作业71【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

河北省衡水中学2021-2021学年度高三一轮复习周测卷〔一〕理数一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 以下说法正确的选项是〔〕A. 0与的意义一样B. 高一〔1〕班个子比拟高的同学可以形成一个集合C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不一样；因为“比拟高〞是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以〔只有一个实数根〕，即方程的解集只有一个元素，应选答案D。

2. 集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,，所以.考点：集合交集，一元二次不等式.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目.3. 设命题“〞，那么为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全称命题的否认是存在性命题，所以为，应选答案B。

4. 集合，那么集合〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。

5. 设，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，，但时，即，不能保证为正数，所以“〞是“〞的充分不必要条件，应选A.6. 设，假设是的充分不必要条件，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由题意可得：，应选答案B。

7. 命题有解，命题，那么以下选项中是假命题的为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，那么△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2-x-1≤0，解得，，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题．∴以下选项中是假命题的为，应选：B．考点：复合命题的真假8. 集合，那么集合不可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以当时，那么；由于是点集，所以；当时，那么；由于所以，应选答案D。

题组层级快练(八十一)1．(2020·衡水中学调研)在区间(0，100)上任取一数x ，则lgx>1的概率为( ) A ．0.1 B ．0.5 C ．0.8 D ．0.9答案 D解析 由lgx>1解得x>10.所以P ＝100－10100＝0.9.2．在区间[0，π]上随机取一个数x ，使cosx 的值介于－32与32之间的概率为( ) A.13 B.23 C.38 D.58答案 B解析 cosx 的值介于－32与32之间的区间长度为5π6－π6＝2π3.由几何概型概率计算公式，得P ＝2π3π－0＝23.故选B.3．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于12的概率是( )A.916B.34C.1516D.1532答案 C解析 两个数都小于12的概率为116，所以两个数中较大的数大于12的概率是1－116＝1516.4．(2020·湖南益阳期末)星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1，10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是( ) A.12 B.13 C.25 D.35 答案 D解析 本题考查与长度有关的几何概型．由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟．设“小张坐1路车回家”为事件A ，则P(A)＝610＝35，故选D. 5．(2016·课标全国Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310答案 B解析 记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A ，则P(A)＝2540＝58.6．(2020·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥1的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.12 答案 D解析 由f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥1及x ∈[0，π]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴所求概率为P＝π2π＝12. 7.(2020·安徽江淮十校第一次联考)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是( ) A.316 B.38 C.18 D.14答案 D解析 如图所示，设AB ＝4，则OG ＝GH ＝FD ＝HI ＝IE ＝2，DE ＝2，所以S OIHG ＝2×2＝2，S EDFI ＝2×1＝2，所以此点取自阴影部分的概率P＝2＋24×4＝14.8．(2020·山西太原五中月考)在区间(0，1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825答案 C解析 设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎨⎧0<x<1，0<y<1确定的平面区域(不包含边界)，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x<1，0<y<1，x ＋y<65确定的平面区域(不包含边界)，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.9．(2020·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是( ) A.3π20 B.π20 C.3π10 D.π10答案 A解析 方法一：如右图，直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设其内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3，∴内切圆的面积为πr 2＝9π，∴豆子落在内切圆内的概率P ＝9π12×8×15＝3π20，选A.方法二：依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r ，则由等面积法，可得12×8×15＝12×(8＋15＋17)r ，解得r ＝3，向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P＝π×3212×8×15＝3π20. 10．(2020·河北唐山模拟)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现，如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在△ABC 内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为( )A.14B.13 C.15 D.12答案 A解析 根据题意可得标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为14，故选A.11．(2020·山东四校联考)如图的圆形图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自中间阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( )A.12B.13 C ．2－4πD.4π－1 答案 D解析 设圆的半径为R.如图的弓形(阴影部分)的面积S ＝14πR 2－12R 2＝π－24R 2，所以所求概率P ＝阴影部分的面积圆的面积＝πR 2－8×π－24R 2πR 2＝4π－1，故选D.12.(2020·辽宁五校联考)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C.从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D.25答案 B解析 本题考查与面积有关的几何模型．在抛物线y 2＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，∴S矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×42×2＝1623，则阴影部分的面积为82－1623＝823.由概率比为面积比可得点位于阴影部分的概率为82382＝13，故选B.13．在区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nm B.2nm C.4m n D.2m n答案 C解析 由题意得，(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，即以1为半径的14圆中．由几何概型概率计算公式知π41＝m n ，所以π＝4mn.故选C.14．(2020·云南师大附中月考)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB>90°的概率为( ) A.π24 B.π12 C.π8 D.π6答案 A解析 以AB 为直径作球，球在正方体内的区域体积为V ＝14×43π×13＝π3，正方体的体积为8，∴所求概率P ＝π38＝π24.15．(2020·九江模拟)定义：一个矩形，如果从中截取一个最大的正方形，剩下的矩形与原矩形相似，则称这样的矩形为黄金矩形，其宽与长的比为黄金比．如图，现在在黄金矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自剩下的矩形EBCF 内部的概率为( ) A.3－52B.5－12 C.5－22D.2－12 答案 A解析 设AB ＝a ，AD ＝b ，则EB ＝a －b ，b a ＝a －b b ，整理得⎝⎛⎭⎫b a 2＋b a －1＝0，解得b a ＝5－12(负值已舍去)．∴P ＝b （a －b ）ab ＝1－b a ＝3－52.故选A.16．(2016·课标全国Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 答案 12解析 方法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12. 方法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.17．若在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是________． 答案π40解析 将取出的两个数分别用x ，y 表示，则0≤x ≤10，0≤y ≤10.如图所示，当点(x ，y)落在图中的阴影区域内时，取出的两个数的平方和也在区间[0，10]内，故所求概率为14π×10102＝π40.。

2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。

题组层级快练(七十二)1．2020年2月，为确保食品安全，北京市质检部门检查一箱装有1 000袋方便面的质量，抽查总量的2%.在这个问题中下列说法正确的是( ) A ．总体是指这箱1 000袋方便面 B ．个体是一袋方便面 C ．样本是按2%抽取的20袋方便面 D ．样本容量为20答案　D2.去年年底，甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m 万，各县人口占比如图，其中丙县人口总数为70万，则去年年底甲县的人口总数为( )A ．162万B ．176万C ．182万D ．186万答案　C解析　由题意，得＝20%，所以m ＝350.所以去年年底甲县的人口总数为m·52%＝70m350×52%＝182(万)．故选C.3．(2020·西藏拉萨模拟)“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于1月份的平均值 答案　D解析　A 错误，并无周期变化；B 错误，并不是不断减弱，中间有增强；C 错误，10月的波动大于11月份，所以10月份的方差要大；D 正确，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以12月份的平均值比1月份的平均值大．故选D.4．(2020·贵州遵义联考)某校高三年级有1 000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000.现按系统抽样方法，从中抽取200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是( ) A ．0927 B ．0834 C ．0726 D ．0116答案　A解析　系统抽样就是等距抽样，被抽到的编号满足0122＋5k ，k ∈Z .因为0927＝0122＋5×161，故选A.5．(2020·四川资阳)某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 答案　C 解析　×18＝3.故选C. 936＋186．从2 019名学生中选取50名学生参与一项调查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 019人中剔除19人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为D ．都相等，且为502 019140答案　C7．(2020·山东济宁一模)某学校从编号依次为01，02，…，90的90名学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为( ) A ．32 B ．33 C ．41 D ．42 答案　A解析　本题考查系统抽样．由题意可知相邻的两个组的编号分别为14，23，所以样本间隔为23－14＝9，所以第一组的编号为14－9＝5，所以第四组的编号为5＋3×9＝32.故选A. 8．(2020·贵州凯里一中期末)利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( )A ．73B ．78C ．77D ．76答案　B解析　样本的分段间隔为＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝801678.故选B.9．(2020·河北武邑中学周考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10答案　A解析　在扇形统计图中，根据抽取的比例计算样本容量，根据条形统计图计算抽取的高中生近视人数．该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.10．(2020·宜昌一中模拟)某学校为了解本校学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2 400名学生中抽取30人进行调查．现将2 400名学生随机从1～2 400编号，按编号顺序平均分成30组(1～80号，81～160号，…，2 321～2 400号)，若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是( ) A ．416 B ．432 C ．448 D ．464 答案　A解析　样本间隔为2 400÷30＝80.设首个号码为x ，则第3、4个号码分别为x ＋160，x ＋240，则x ＋160＋x ＋240＝2x ＋400＝432，得2x ＝32，x ＝16，则第6组抽到的号码为16＋80×5＝16＋400＝416.故选A.11．(2019·课标全国Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生答案　C解析　由系统抽样可知第一组学生的编号为1～10，第二组学生的编号为11～20，…，最后一组学生的编号为991～1 000.设第一组取到的学生编号为x ，则第二组取到的学生编号为x ＋10，以此类推，所取的学生编号为10的倍数加x.因为46号学生被抽到，所以x ＝6.所以616号学生被抽到．故选C.12．某工厂的一、二、三车间在今年11月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量．决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，则二车间生产的产品数为( ) A ．800 B ．1 000 C ．1 200 D ．1 500答案　C解析　因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的，即3 600×＝1131313200.13．(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案　B解析　由茎叶图可知，在区间[139，151]的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为20×＝4. 73514．(2020·广东中山模拟)某班运动队由足球队员18人、篮球队员12人、乒乓球队员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为________． 答案　6解析　n 为18＋12＋6＝36的正约数，因为18∶12∶6＝3∶2∶1，所以n 为6的倍数，因此n ＝6，12，18，24，30，36.因为当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n ＋1为35的正约数，因此n ＝6.15．(2020·衡水中学调研卷)衡水中学高三(2)班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________． 答案　45 解析　分组间隔为＝8，∵在第一组中随机抽取的号码为5，∴在第6组中抽取的号码为5648＋5×8＝45.16．(2020·衡水中学调研卷)我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有________人． 答案　8 100解析　设北乡有x 人，则＝，解得x ＝8 100.108x 300－1087 488＋6 91217．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示： 文艺节目 新闻节目 总计 20至40岁 40 18 58 大于40岁 15 27 42 总计5545100(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ (3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率． 答案　(1)有关　(2)3名　(3)35解析　(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(2)应抽取大于40岁的观众×5＝×5＝3(名)． 274535(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y 1，Y 2)，大于40岁有3名(记为A 1，A 2，A 3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y 1Y 2，Y 1A 1，Y 1A 2，Y 1A 3，Y 2A 1，Y 2A 2，Y 2A 3，A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3.设A 表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众的年龄为20至40岁”，则A 中的6 103 5基本事件有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，故所求概率为P(A)＝＝.。

题组层级快练(七)1．(2020·重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝lnx 2 C ．y ＝D ．y ＝－x 2cosxx 答案　D解析　由函数的奇偶性排除A 、C ，由函数的单调性排除B ，由y ＝－x 2的图象可知当x>0时，此函数为减函数，又该函数为偶函数．故选D.2．(2020·唐山市高三测试)设函数f(x)＝x(e x ＋e －x )，则f(x)( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 答案　A解析　方法一：由条件可知，f(－x)＝(－x)(e －x ＋e x )＝－x(e x ＋e －x )＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f ′(x)＝e x ＋e －x ＋x(e x －e －x )，当x>0时，e x >e －x ，所以x(e x －e －x )>0，又e x ＋e －x >0，所以f ′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A.方法二：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以排除B 、D.易知f(1)<f(2)，所以排除C.故选A. 3．(2020·浙江宁波十校联考)函数f(x)＝x 3＋sinx ＋1(x ∈R )．若f(m)＝2，则f(－m)的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2 答案　B解析　把f(x)＝x 3＋sinx ＋1变形为f(x)－1＝x 3＋sinx.令g(x)＝f(x)－1＝x 3＋sinx ，则g(x)为奇函数，有g(－m)＝－g(m)，所以f(－m)－1＝－[f(m)－1]，得到f(－m)＝－(2－1)＋1＝0. 4．(2020·南昌市联考)函数f(x)＝的图象( )9x ＋13x A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于坐标原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 答案　B解析　因为f(x)＝＝3x ＋3－x ，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y 轴对称．9x ＋13x 5．(2020·皖南八校联考)设f(x)是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x 2－x ，则f ＝( )(－52)A ．－B ．－1412C. D. 1412答案　C解析　因为f(x)是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f ＝－f ＝－f .又当0≤x ≤1(－52)(52)(12)时，f(x)＝x 2－x ，所以f＝－＝－，则f ＝. (12)(12)2 1214(－52)146．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( ) A ．－x(1－x) B ．x(1－x) C ．－x(1＋x) D ．x(1＋x)答案　B解析　当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)． 7．函数f(x)是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1，0]上是减函数，则f(x)在[2，3]上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 答案　A8．(2019·山东临沭一中月考)已知定义在R 上的函数f(x)的满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 019)＝( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．3 答案　B解析　由题意得f(x)为奇函数，f(0)＝0，用－x 换x ，可将f(x ＋3)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x ＋6)＝f(x ＋3)＝f(x)，∴T ＝6，∴f(2 019)＝f(336×6＋3)＝f(3)． ∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0.9．若定义在R 上的奇函数f(x)满足对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，则f(2 019)，f(2 020)，f(2 021)的大小关系是( ) A ．f(2 019)<f(2 020)<f(2 021) B ．f(2 019)>f(2 020)>f(2 021) C ．f(2 020)>f(2 019)>f(2 021) D ．f(2 020)<f(2 021)<f(2 019) 答案　A解析　因为定义在R 上的奇函数f(x)满足对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝－f(x)成立，所以f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，且f(0)＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－8，所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝－8，f(2 020)＝f(4×505)＝f(0)＝0，f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝8，即f(2 019)<f(2 020)<f(2 021)．10．(2020·安徽蚌埠质检)函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，满足f(3＋x)＝f(3－x)，当x ∈(0，3)时，f(x)＝2x ，当x ∈(－6，－3)时，f(x)等于( ) A ．2x ＋6 B ．－2x －6 C ．2x －6 D ．－2x ＋6答案　D解析　由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，当x ∈(－6，－3)时，x ＋6∈(0，3)，由f(3＋x)＝f(3－x)，得f(x)＝－f(－x)＝－f[3－(3＋x)]＝－f[3＋(3＋x)]＝－f(6＋x)＝－26＋x . 11．(2020·长春市质量监测)已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案　B解析　因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x 3－x ＝x(x －1)(x ＋1)， 所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ≤6时，f(x)＝0有三个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为7.12．(2020·福州市模拟)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是( ) A ．0<f(1)<f(3) B ．f(3)<0<f(1) C ．f(1)<0<f(3) D ．f(3)<f(1)<0 答案　C解析　由函数f(x)是定义在R 上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x ＋2)＝－f(x)，得f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)， 即f(1)<0<f(3)． 13．如果函数g(x)＝是奇函数，那么f(x)＝________．{2x －3，x >0，f （x ），x <0)答案　2x ＋3解析　令x<0，所以－x>0，g(－x)＝－2x －3.因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝2x ＋3，所以f(x)＝2x ＋3.14．已知y ＝f(x)＋x 2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．答案　－1解析　令H(x)＝f(x)＋x 2，则H(－1)＋H(1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.15．(1)若f(x)＝＋a 是奇函数，则a ＝________．12x －1(2)(2019·成都一诊)已知函数f(x)＝是奇函数，则实数a 的值为________． x ＋2－ax 4＋3(3)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x ＋)为偶函数，则a ＝________． a ＋x 2(4)若函数f(x)＝x 2－|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝________． 答案　(1)　(2)2　(3)1　(4)012解析　(1)依题意得f(1)＋f(－1)＝0，由此得＋a ＋＋a ＝0，解得a ＝. 121－112－1－112(2)方法一：因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即2－a ＝0，解得a ＝2.方法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即＋＝0，即x ＋x ＋2－a x 4＋3－x ＋2－ax 4＋32－a －x ＋2－a ＝0，解得a ＝2.(3)由已知得f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x ＋)，则ln(x ＋)＋ln(a ＋x 2a ＋x 2a ＋x 2a ＋x 2－x)＝0，∴ln[()2－x 2]＝0，得lna ＝0，∴a ＝1.a ＋x 2(4)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即|x －a|＝|x ＋a|，两边平方得4ax ＝0.∴a ＝0.故填0. 16．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为________．答案　{x|－1<x<0或0<x<1}解析　∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式x[f(x)－f(－x)]<0可化简为xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而函数f(x)的大致图象如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1<x<0或0<x<1}．17．若f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，且x ∈[0，1)时f(x)为增函数，求不等式f(x)＋f (x －12)＜0的解集． 答案 {x|－12＜x ＜14}解析　∵f(x)为奇函数，且在[0，1)上为增函数，∴f(x)在(－1，0)上也是增函数． ∴f(x)在(－1，1)上为增函数．(x－12)(x－12)(12－x){－1＜x＜1，－1＜12－x＜1，x＜12－x)1214 f(x)＋f＜0⇔f(x)＜－f＝f⇔⇔－＜x＜.(x－12)1214∴不等式f(x)＋f＜0的解集为{x|－＜x＜}．18．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求：(1)f(0)与f(2)的值；(2)f(3)的值；(3)f(2 020)＋f(－2 021)的值．答案　(1)f(0)＝0，f(2)＝0　(2)f(3)＝－1　(3)1解析　(2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(3)依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2 020)＋f(－2 021)＝f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1)．而f(0)＝log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2 020)＋f(－2 021)＝1.。