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9-4 电场强度通量 高斯定理

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9-5-静电场的环路定理解析

9-5-静电场的环路定理解析
•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3

电场强度通量

电场强度通量

（2）当r>R 时，
q l
E 2 0 r
均匀带电圆柱面的电场分布
r
l
E Er 关系曲线
2 0 R
r 1
0
R
r
高斯定理的应用
例3 均匀带电无限大平面的电场. 解：电场分布也应有面对称性，
方向沿法向。
E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
高斯定理的应用
3. 高斯定理的应用
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性
1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场
高斯定理的应用
例1. 均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E dS
0
合球面的电通量都相等。
高斯定理
（2）高斯定理的验证:
①当点电荷在球心时
②任一闭合曲面S´包围点电荷
e
S
E
dS
q
0
作以q为中心的球面S，由于
电力线的连续性，通过闭合曲面
S和球面S´的电力线根数相等。
因此通过S和S´的电通量相等，
均为
e
S
E
dS
q
0
S
q+
r
S´
高斯定理
（2）高斯定理的验证:
§8-3 高斯定理
1. 电场强度通量 2. 高斯定理 3. 高斯定理的应用
电场强度通量
1. 电场强度通量
(1)定义：通过电场中任一给定面的电力线总数，称
为通过该面的电场强度通量或电通量，用Ψ表e 示。

电通量,高斯定理

电通量,高斯定理

电通量、高斯定理1、均匀电场的场强E与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q不改变E分布，则通过半球面的电场强度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。

2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=⋅0/εq s d E i s ，其物理意义是静电场是有源场。

3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E的通量是 q/8ε0。

4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A)(B) (C)(D) 5、应用高斯定理求场强E时，要求E的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。

8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底s dEs dEs dEs dEs=⎰⋅侧面s dE=E⎰侧面ds=2rhEπ（1）r < R时, ∑=ρπhrqi2,2/2ερππhrrhE=,2ερrE=（2）r > R时, ∑=ρπhRqi2,2/2ερππhRrhE=,rRE22ερ=∴=E)(,2)(,22RrrRRrr><ερερ。

电通量高斯定理

电通量高斯定理
穿入曲面的电力线，电通量为负值； 与曲面相切或未穿过曲面的电力线，对通量无贡献。
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过

物理学教程(第二版)09-3高斯定理(新)

物理学教程(第二版)09-3高斯定理(新)
侧 左底
右底
= ES +ES
高斯定理等 式的左边
E= 2 ε
作为经验 公式记住
σ
= 2E S = ε σ =2
σS
0
高斯定理等 式的右边
ε
0
E
恰当的高斯面 是个圆柱体
S
0
恰当的高斯面 是一个圆柱体
E σ
4. 均匀带电圆柱面的电场
设沿轴线方向单位长度带电量为λ （1）r ＜
R
均匀带圆柱面内任意点
0
理由：夹角为90
分析:两板上各自带有正电荷还是负电荷， 题目没有明确的给出，但是图中已经标出两 板之间电场强度矢量叠加以后的方向是向 上的，因此先在图上画出电场线，即可判断 出A、B 板上所带电荷的极性。
－
A
σA σB，
E
B
＋
E 下方＝ ？
根据电场线的走向，可知A板上 带有负电荷、B 板上带有正电荷
σ 应用无限大均匀带电平板电场的经验结论： 2 0 ε 列出相应的方程：
如果高斯面外有电荷，则即使高斯面内无电荷，则高斯面上E可 以处处不为零）因此A、B、C是不正确的。
电场强度通量只取决于高斯面内的电荷，所以 高斯面的E 通量不为零，则高斯面内必有净电荷
∴D是正确的。
例题：如图所示，一均匀带电Q 的球形膜,在它 的半径从R1扩大到R2的过程中,距球为R 的

2
π 4ε R 一点的场强将由____________变为_______,
分析:∵电场线穿过封闭的半球面∴穿过封
闭半球面的电场强度通量为零。即：
s E . dS = 0 s E . dS = E . dS + E . dS = 0
圆面 半球面

电场强度通量和高斯定理

电场强度通量和高斯定理

？
高斯定理的导出
点电荷电场强度公式 电场强度叠加原理
高斯 定理
点电荷位于球面中心
E
S
q 4π 0r
S
2
r
2
dS
+
Φe E dS
q 4π 0r
dS
Φe
q
0
Φe
q
4 π 0

dS＇ q 2
r
0
dΦe
q 4π 0r
2
dS cos

q
q2
S
0 S面内 e E dS S 1 ( q1 q2 q3 )
i
q
0
证明： 1）仅有一个点电荷
e E dS
S
Sn
B）点电荷在S面外：
A）点电荷在S面内：
E
q
+
q E dS
Sn
S
0
E
e E dS
q
q1
i
S面内电荷代数和
3） 当
e 0
时，
q 0
i
面内有净正电荷，并非 一定仅只有正电荷
+
q2
-
S
q1 q2
1 e E dS
S
当
e 0
时，
q 0
i
0 S面内q2
+
面内有净负电荷，并非 一定仅有有负电荷
S
q1 q2
i
当
e 0
i（外）


S
Ei dS 0
i（外）

Ei dS

高斯定理(电磁学)


证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。

2电通量 高斯定理


小结
1、点电荷
E q 4 0 r 2
2、均匀带电球面
0 q E 2 4 r 0
rR rR
3、均匀带电球体
E E
qr 40 R q 40 r
2 3
,r R ,r R
4、无限长均匀带电直线
E 20 r
5、无限长均匀带电圆柱面
6、无限长均匀带电圆柱体
· Q
· q
D
练习 一个带电量为q的点电荷位于立方体的中心处， 则通过侧面a b c d的电场强度通量等于：
q 1） 6 0 q 2） 12 0 q 3） 24 0 q 4） 48 0
· q
A
练习 一个带电量为q的点电荷位于立方体的顶角处， 则通过侧面a b c d的电场强度通量等于：
q 1） 6 0 q 2） 12 0 q 3） 24 0 q 4） 48 0
q1 q2
S
E ds：
q
内
：
S 内的净电荷
通过S的电通量， 只有S内电荷有贡献
2、 揭示了静电场中“场”和“源”的关系
q : 发出 q 0 条电场线，是电场线的“头”
q : 吸收 q 0 条电场线，是电场线的“尾”
静电场的重要性质 —— 静电场是有源场
四、高斯定理的应用
Q1 Q2 1） 2 4 0 r
3） 2 4 0 r 4） 2 4 0 r Q2 Q1
Q1 Q2 2） 2 4 0 r
Q1 R1 r
Q2
· P
（3）
R2
练习
一点电荷 , 放在球形高斯面的中心处 . 下列那 一种情况,通过高斯面的电通量发生变化:
A) 将另一点电荷放在高斯面外. B) 将另一点电荷放进高斯面内. C) 将球心处的点电荷移开,但仍在在高斯面内. D) 将高斯面半径缩小.

大学物理-电场强度通量,高斯定理



2
i
0
q
i
E 4πr 0
E 4 πr
2
q
E 0
0
E
q 4 π 0 r 2
例2 计算均匀带电球体的场强分布，q , R 解： 通量

q 4 πR 3 3
qi 2 Φe E dS E 4πr S 0
r<R r>R 电量
电量
4 3 q π r i 3
S S

n
E
曲面闭合时
Φe E dS E cos dS
S S
S
dS

注： E为dS处的电场强度
n E
例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
2、高斯 (Gauss) 定理 （1） 证明: 略.书P166-168 （2 ）内容(书P168): 真空中 注:
1 Φe E dS
s
0
q
i 1
n
in i
①公式中S：高斯面(闭合曲面)
②穿过S面的电场强度通量e: 只由S面内的电荷决定
（如图中 q1、q2） ③ E : 面元 dS 处的场强 , 由所有电荷（面内、外电荷） 共同产生（如图中 q1、 q2 、 q3）
；
.
q 8 0
(3) 若将此电荷移到正方体的一 个顶点上，则通过整个 正方体表面的电场强度通量为
1 e E dS
s
0
q

大学物理 —— 第四章2 电通量 电场中的高斯定理


E • ds
s
0 r
qi
当场源分布具有高度对称性时求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定
E
的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 qi
３.利用高斯定理求解
例1．均匀带电球面
已知R、 q>0 求均匀带电球面的场强分布
解: 对称性分析
E
具有球对称
❖ 作高斯面 过P点的球面
R
r
P
通量
rR
e
E1 • ds E1
ds E14 r 2
rR r
通量
e
E2 • ds E2
P
ds E24 r2
s
s1
电量
qi 0
s
电量
s2
qi q
用高斯定理求解
E1 4r 2 0
E2 4r 2
q
0
E1 0
E2
q
4 0r 2
课 球体
堂
练 计算均匀带电球体内外的场强分布，已知q,R
电通量 电场中的高斯定理
一．电场线（电场的图示法）
方向 ：切线
E 大小：E dN =电场线密度
Ea
Eb
b
dS Ec
c
E
a
dS
E
性质： 静电场中，
不闭合；不相交 起于正电荷、 止于负电荷。
E
点电荷的电场线
负电荷
正电荷
+
一对等量异号电荷的电场线 +
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对异号不等量点电荷的电场线
)
等于这个闭合
曲面所包围的电荷的代数和除以 0 ，与闭合曲面外 的电荷无关。
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z
+
en
+
+ + +
s (柱面）
E dS
E dS
S
E
s (上底）
E dS E dS
s (下底）
E dS
h
r
o y
en en

s (柱面）
第九章 静电场
x
9 - 4 电场强度通量 高斯定理
物理学教程 （第二版）
Φe Φe前 Φe后 Φe左 Φe右 Φe下 0
第九章 静电场
三
9 - 4 电场强度通量 高斯定理 高斯定理
物理学教程 （第二版）
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量, 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 . （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
1 Φe E dS
E dS
S
s ( 柱面）
EdS
h 0
h E dS E 2 πrh 0
z
+ +
E
E 2π 0r
第九章 静电场
h
r
+ +
o y
en
x
+
9 - 4 电场强度通量 高斯定理
物理学教程 （第二版）
例4 无限大均匀带电平面的电场强度 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度.
dΦ E1 dS1 0 1 dΦ2 E2 dS2 0
dΦ dΦ2 0 1
E2
q
dS 2
dS1
E1
E dS 0
S
第九章 静电场
9 - 4 电场强度通量 高斯定理
物理学教程 （第二版）
E Ei Ei
2） 电场线不相交.
3） 静电场电场线不闭合.
第九章 静电场
9 - 4 电场强度通量 高斯定理 二 电场强度通量
物理学教程 （第二版）
均匀电场 ，E 垂直平面 Φe ES 均匀电场 ， 与平面法线夹 E 角 Φe ES S S cos Φe ES cos Φe E S
9 - 4 电场强度通量 高斯定理 一 电场线 （电场的图示法） 规 定
物理学教程 （第二版）
1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线的条数 为该点电场强度的大小.
E E dN / dS
E
S
第九章 静电场
9 - 4 电场强度通量 高斯定理
物理学教程 （第二版）
i 内 i 外
E E1 E2
Φe E dS
S
由多个点电荷产生的电场
q1
q2
E
dS
s
qi
Ei dS Ei dS S S i (内） i（外） Ei dS 0
i（外） S
x
9 - 4 电场强度通量 高斯定理 解
物理学教程 （第二版）
Φe Φe前 Φe后
y
Φe左 Φe右 Φe下
Φe前 Φe后 Φe下
s E dS 0
P
en
N
o
M

en
en
z
Q
E R x
Φe左 EdS cos π ES 左 cos π ES 左 s左 Φe右 EdS cos ES 右 cos ES 左 s右
3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.
4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献.
5）静电场是有源场.
第九章 静电场
9 - 4 电场强度通量 高斯定理
物理学教程 （第二版）
讨论
点
将 q2 从 A 移到
P 电场强度是否变化？ 穿过高斯面 的 Φ 有否变化？ e
B q A 2 P*
q2 B
dS 2
E
物理学教程 （第二版）
dS

E
E dS
E
2
S
为封闭曲面
dS1
π 2 , 2
第九章 静电场
π 1 , 2
dΦe1 0
E2
1
E1
dΦe2 0
9 - 4 电场强度通量 高斯定理 闭合曲面的电场强度通量
物理学教程 （第二版）
Φe E dS E cos dS
S S
dΦe E dS
E
S
dS

E
第九章 静电场
9 - 4 电场强度通量 高斯定理 例1 如图所示 ，有一
物理学教程 （第二版）
个三棱柱体放置在电场强度
E 200i N C1的匀强电
场中 . 求通过此三棱柱体的 电场强度通量 .
y
E
o
z
第九章 静电场

E
第九章 静电场
E E
E
9 - 4 电场强度通量 高斯定理
物理学教程 （第二版）
讨论
无 限 大 带 电 平 面 的 电 场 叠 加 问 题

0

0
0


0
0

0
第九章 静电场
9 - 4 电场强度通量 高斯定理
物理学教程 （第二版）
总结
1 E dS 0 qi 高斯定理对所有静电场成立
例
有一边长为
a 的正方形平面，其中垂线上距
2处有一电量为 q 的正点电荷,则
）
(2) (4)
正方形中心 o 点为 a
通过该正方形平面的电通量为：（
o
q
a2
a
第九章 静电场
4 πq (1) 6 0 q (3) 3 π 0
q
S
q E ds
q 6 0 q 6 π 0
0
9 - 4 电场强度通量 高斯定理
9 - 4 电场强度通量 高斯定理
物理学教程 （第二版）
例2
均匀带电球面的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 Q 的球 面 . 求球面内外任意点的电场强 度.
解：（1）
r
s2
+ + 1+ + + +
S
rR
O
r
R
+ + +
+ + +
Q E dS
S2
0
EdS
S2
Q
Q 4π 0R2
+ + 1+ + + +
S
O
r
R
+ + +
+ + +
E
s2
o
第九章 静电场
R
r
9 - 4 电场强度通量 高斯定理
物理学教程 （第二版）
例3 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
r
解 对称性分析：轴对称 选取闭合的柱形高斯面
Φe
q
0
第九章 静电场
9 - 4 电场强度通量 高斯定理 点电荷在任意封闭曲面内
物理学教程 （第二版）
q 发出的 q / 0
条电场线仍全部穿出封闭
曲面 S ，即：
+
e
第九章 静电场
q
0
点电荷位于球面中心
Φe
q
0
9 - 4 电场强度通量 高斯定理 点电荷在封闭曲面之外
物理学教程 （第二版）
？
9 - 4 电场强度通量 高斯定理 高斯定理的导出 库仑定律 电场强度叠加原理 点电荷位于球面中心
物理学教程 （第二版）
高斯 定理
E
q 4π 0r 2
S
Φe E dS
r
q 4π 0r
2
dS
+
S
dS
q q dS 4 π r2 4 π0 r 2 S 4 π0 r 2
S
0
q
i 1
n
i
q1
q2
E
dS
s
第九章 静电场
qi
9 - 4 电场强度通量 高斯定理
物理学教程 （第二版）
1 Φe E dS
S
0
q
i 1
n
i
q1
q2
s
qi
请思考：1）高斯面上的 E 与那些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面 s的 Φ 有贡献 e
第九章 静电场
解 对称性分析： 垂直平面 E

0
r
S＇ E dS
S
选取闭合的柱形高斯面 底面积
E
S＇ 2 S＇ E 0 E 2 0
第九章 静电场
S＇
S＇
S＇
E
9 - 4 电场强度通量 高斯定理
物理学教程 （第二版）
E 2 0

E
x
O
( 0)
但只有电场有对称性时，才能利用高斯定理求场强 可利用高斯定理求电场强度的情况主要有： 均匀带电球面的电场 均匀带电球体的电场
均匀带电厚球壳的电场
均匀无限长带电圆柱面、柱体、有厚度的柱壳的电场
均匀带电无限大平面的电场