电场强度通量-高斯定理

E
4
1 πε0
Q r2
er
2. 求点电荷系的电场强度
Ep
Ei
Qi
4 0
ri2
ei
3. 求带电体的电场强度 由于各电荷元在所求场强位置
Ep
dq
40r 2 er
产生的dE方向不同，需将dE 投 影到各坐标轴方向，再分别积分， 最后合成E。
即将带电体看做由无数个电荷元
dq组成，求各电荷元产生的dE和。
已知细杆带电q ,长L,点P距细杆右端为d。
解：建立如图坐标系 O 距原点x 处取长为 dx的
x dx
dq
L
线元，其上带电量dq
dq dx
其在P点的场强
P
d dE x
dE
dq
4 0 (L d x)2
dx 4 0 (L d
x)2
方向沿x轴正向。
（经分析知，带电杆上任意位置的电荷元在p点产生的dE方向
物理学 复习:电场强度的计算之一:
第五版
求点电荷的电场强度： 若计算点电荷Q的电场中P点的电场强度,
E 1 Q 4 πε0 r2
方向
E
+-
er
FE
P
Q0
第五章 静电场
1
物理学 电场强度的计算之二:
第五版
求点电荷系统的电场强度：
各点电荷在 P 点激发的电场
强度分别为
E1
q1 4πε0r12
e1
E2
q2 4πε0r22
dl 线分布 Q 为线电荷密度
L
dq =
ds
面分布 Q
S
为面电荷密度
dV
体分布
Q V
ρ为体电荷密度
dq dS
r
dq dl
dS,dV 的选取由带电体的形 状确定。
dS 2 rdr
r
h
dq dV
dr
dV 2 rhdr
第五章 静电场
课堂巩固 7
物理学
第五版
例1、求均匀带电细杆延长线上一点P的场强
P的电场强度.
(分析:将带电圆盘看作由若干半径不同的带电圆环状电荷元构成)
解：（由带电圆环在p点场强
做修改）
y dq 2 π rdr
qx
E 4π 0(x2 R2)3 2
dq x
dE 4 π0 (x2 r2 )3 2
r
o
R
r (x2 r2 )1/2
x
P
dE
x
2 0
xrdr (x2 r2)3
dE 方向如图。P
x
x
dE
10
物理学
第五版
将 dE取分量：
dEx dE cos
dEy dE sin
由对称性可知
Ey
dEy 0
(即，所有dE在y轴上的投 影之和为零)
Ex
dE cos θ
l
xq
4πε0r3 2πR
dl
4πε0r 2
2πR 4πε0
x r
圆环，试求垂直于环面轴线上任一点 P 的电场强度。
解: 取环心为坐标原点O，垂直于环面过圆心的轴 线为Ox轴，设 P 点到环心 O 的距离为 x 。
在圆环上任取线元 dl，dl 所带电荷
式中 q 。
2 πR
dl
dq 在 P 点产生的电场强 q
度的大小
R
dE
dq 4πε0r 2
dl
4πε0r 2
O
2
z
dr q πR2
第五章 静电场
13
物理学
第五版
xrdr
dE
20 (x2 r 2 )3 2
（经分析，任意半径的圆环状电 荷元在P点场强的方向均相同）
y
则整个带电圆盘在P点总场强
E dE
x
2 0
R
rdr
0 (x2 r 2 )3/2
dE
4
1 πε0
dq r2
er
3.将 dE 向各坐标轴投影，得：dEx ; dEy ; dEz
4.将各坐标轴的dE 分量求和（积分）得：
第五章 静电场
5
物理学
第五版
Ex = dEx ; Ey = dEy ; Ez = dEz
5.整个带电体在所求电场强度的位置产生的电场强
度大小为： E Ex2 Ey2 Ez2
其在P点的场强：dE
1 4πε0
dq r2
er
则整个带电体在P点的场强
E
4
1 πε0
Q r2
er
E
dE
1 4πε0
dq r2
er
E
1 V 4πε0
ρdV r2
er
dq
+
r
dq
+
面 分布 r
dl
dE
dE
P
P
r
dE
P
第五章 静电场
3
物理学
第五版 总结: 求电场强度的三种类型
1. 求点电荷的电场强度
e2
q1
e1 r1
e2 r2
q2 ei ri
P
•
rn q0
qi
qn en
En Ei
E2 E1
Ei
qi 4πε0ri2
ei
E
Ei
qi
4π 0ri2
ei
—— 点电荷系的电场强度
第五章 静电场
2
物理学 电场强度的计算之三: 第五版 求带电体的电场强度：
点电荷场强公式
在带电体上任取一电荷元dq,将其视为一点电荷，
均沿x轴正向。因此不必将dE分解）
第五章 静电场
8
物理学
第五版
dx
O x dq L
P
d
x
dE
4
0
dx
(L d
x)2
整个带电细杆在P点的场强
E
L
0
λdx 4πε0(L d
x)2
4
0
(1 d
L
1
d
)
qL
q
4 0d L(L d) 4 0d(L d)
第五章 静电场
9
物理学
第五版
例2
有一半径为 R、均匀带有电荷量 q （ q > 0）的细
电场强度：E=Exi Ey j Ezk
特例：若构成带电体的各电荷元dq在所求场强位置产 生的各dE方向均相同，就不需将dE按坐标轴投影，直 接积分dE，就得到带电体在所求场强位置产生的场强：
Ep
dE
dq
4 0r 2
第五章 静电场
6
物理学 强调：
第五版
求带电体的电场强度时，正确写出dE式中的dq是关键
x
qx 4πε0 r
3
( x2 R2 )3 2
2πR
dl
0
整个带电圆环在 P点
激发的电场强度
E
Ex
qx 4πε0 ( x2
R2 )3
2
dl
q
R
O
r
dE
θ P dEx E
x
x
E 的方向沿 x 轴正方向。
dEy dE
第五章 静电场
11
17
物理学
第五版
讨论
E
qx 4πε0 ( x2
R2 )3
2
(1) 若 x >> R，则
第五章 静电场
4
物理学
第五版 归纳: 如何求带电体电场中某点的电场强度
1. 先将带电体看做由无数个连续分布的点电荷组成；
2. 在其中任选一个点电荷，其到所求电场强度的位 置为r, 利用求点电荷的电场强度公式
1Q E 4 πε0 r2 er
做修改： E dE
Q dq
该点电荷，在所求电场强 度的位置 产生的电场强度：
E
4
q πε0 x2
(2) x = 0 时，E0 = 0
环心处的场强为零。
q R
O
P x
(3) 令 dE 0，可得 dx
场强最大值位置
x
2 2
R
E
2R 2
o2
2
R
第五章 静电场
E
x
x
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物理学
第五版
例3 求均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度.
有一半径为 R ,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面
密度为 . 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点