广义Julia 集的参数辨识

Julia集的分形特征及可视化分形是一种数学概念，指在自相似的基础上具有无限细节的形态。

而Julia集则是分形中的一种形式，以其美丽而复杂的图形而著称。

本文将介绍Julia集的分形特征以及如何进行可视化。

1. Julia集的定义和数学原理Julia集是由法国数学家Gaston Julia于20世纪初提出的，它属于复变函数的一种特殊表现形式。

对于复变函数f(z) = z^2 + c，其中z是复平面上的数值，c是一个常数。

Julia集就是将平面上的每个点代入该函数后，根据函数的迭代公式进行迭代。

如果点在迭代过程中趋于无穷大，则该点不属于Julia集；如果点在迭代过程中保持有限，则该点属于Julia集。

2. Julia集的分形特征Julia集的分形特征主要体现在其图形形态上。

对于不同的常数c，Julia集呈现出各种各样的形状，常常具有分支、层次分明的特点。

具体来说，Julia集的边界是由无数个自相似的小部分组成的，即边界上的任意一小段都可能与整个边界相似。

这种无限细节的结构使得Julia 集的形态异常复杂，充满了美感。

3. Julia集的可视化方法为了更好地理解和欣赏Julia集的分形特征，我们可以通过可视化方法将其呈现出来。

以下是两种常用的Julia集可视化方法：a. 色彩填充法：通过对Julia集中的每个点进行迭代计算，根据迭代的结果来为每个点上色。

根据迭代的次数，可以确定每个点的颜色深浅，从而呈现出Julia集图像的细节。

同时可以通过调整常数c的值来观察Julia集形态的变化。

b. 迭代绘制法：从画布的左上角开始，按照一定的步长遍历整个画布，对每个点进行迭代计算并绘制。

通过较小的步长和足够的迭代次数，可以绘制出更加精细的Julia集图像。

同时可以通过调整常数c的值来观察Julia集形态的变化。

4. Julia集的应用领域Julia集作为一种迷人的分形形式，已经在多个领域得到了广泛的应用和研究。

其中，数学、物理、计算机图形学等领域是主要的应用领域。

课程名称：智能信息处理概论成绩:分形之Julia集及其算法实现摘要：本文从自然界的几何现彖引出分形的概念，再从其定义、几何特征和分形维的计算这三个方面来加以介绍。

以Julia 集和Mandelbort集为例来具体描述分形。

本文主要从Julia集的特点和算法实现来描述分形以及其实现的方法。

关键词：分形、分数维、Julia集、Mandelboit集、算法实现引言人自然是个很伟人的造物者，它留给我们一大笔美丽景观：蜿蜒曲折的海斥线、起伏不定的山脉，变幻无常的浮云，粗糙不堪的断面，袅袅上升的烟柱，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星……那么，我们又能从这些美妙的自然现彖中得到什么有趣的结论呢？正文分形概述分形的英文单词为fractal,是由美籍法国数学家曼德勃罗(EenoitMandelbrot)创造出来的。

其取自拉丁文词fiangere (破碎、产生无规则碎片)之头，撷英文之尾所合成，本意是不规则的、破碎的、分数的。

他曾说：分形就是通过将光滑的形状弄成多个小块，反复的碎弄。

1975年，曼德勃罗出版了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，标志着分形理论正式诞生。

切两种定义其一：具有自相似性结构的叫做分形；其二：数学定义：豪斯道夫维Df>=拓扑维DJ若一有界集合，包含N个不相重叠的子集，当其放人或缩小“咅后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。

自相似集合是分形集。

具有相似性的系统叫做分形。

当放人或缩小的倍数r不是一个常数，而必须是I(11, 12,-.)的各种不同放大倍数去放人或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合。

具有自仿射性的系统叫做分形。

旧特征1.自相似性：局部与整体的相似，是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果：2.自仿射性：是自相似性的一种拓展，是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果；3.精细结构：即使对该分形图放大无穷多倍，还是能看到与整体相似的结构，表现出无休止的重复:4.分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也不是满足某些条件的点的轨迹；5.分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如递归、迭代；分形其实是由一些简单的图形，经过递归或者迭代产生的复杂、精细的结构；6.无确定的标度且具有分数维数。

广义逆威布尔分布参数的ML估计广义逆威布尔分布是广义威布尔分布的一种推广形式，适用于描述具有更灵活形态的随机变量分布。

在实际应用中，我们常常需要根据样本数据来估计分布的参数，以便进行后续的统计推断或预测分析。

本文将重点讨论关于广义逆威布尔分布参数的最大似然估计方法，旨在为读者提供一种实用的参数估计技术。

一、广义逆威布尔分布的密度函数广义逆威布尔分布是一种灵活的概率分布形式，其概率密度函数可以表示为：f(x|λ,α,β) = λαβ^α x ^{α-1} e^{-(βx)^λ} /Γ(α/λ)其中λ,α,β分别为分布的参数，Γ(·)为伽玛函数。

二、最大似然估计原理最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其核心思想是寻找使得样本观测到的概率最大的参数值。

对于广义逆威布尔分布的参数λ,α,β，我们可以构建其似然函数L(λ,α,β|X) = ∏_{i=1}^{n} f(X_i|λ,α,β)，其中X为样本数据。

为了便于计算，通常取似然函数的对数，得到对数似然函数l(λ,α,β|X) =Σ_{i=1}^{n} ln(f(X_i|λ,α,β))。

然后通过对对数似然函数对参数的偏导数，并令偏导数等于0，可以得到参数的最大似然估计值。

针对广义逆威布尔分布的参数λ,α,β的最大似然估计，我们可以按照上述方法进行计算。

1. λ的最大似然估计对于λ的最大似然估计，我们首先计算对数似然函数对λ的偏导数：其中Ψ(·)为伽玛函数的对数导数，即Ψ(·) = d ln(Γ(·))/d x。

令∂l/∂λ = 0，求得λ的最大似然估计值为：λ^ = α/(Σ_{i=1}^{n} ln(x_i)- (α/λ)Σ_{i=1}^{n} Ψ(α/λ))四、参数估计的实际应用通过上述计算，我们可以得到广义逆威布尔分布的参数λ,α,β的最大似然估计值。

将这些估计值代入到分布的概率密度函数中，就可以得到最优拟合的分布模型。

偶四次多项式Julia集的连通性数学年刊24A:4(2003),399-406偶四次多项式Julia集的连通性料木吕菁木邱维元书聿提要本文推广了Branner.Hubbard.Y occoz拼图技巧来研究偶四次多项式填充Julia集的连通性,得到类似Branner-Hubbard关于三次多项式的定理.关键词Julia集,连通性,完全不连通性,偶四次多项式MR(2000)主题分类37F10中图法分类O174.5文献标识码A文章编号1000—8314(2003)04—0399—08§1.引言关于多项式动力系统P.Fatou有一个着名的定理【_31J:一个多项式的Julia集是连通的当且仅当它的所有临界轨道是有界的.如果所有的临界轨道都趋向无穷远点,那么这多项式的Juha集是完全不连通的.因为二次多项式只有一个有限临界轨道,Fatou定理给出了二次多项式Julia集连通性的完整的刻画.对高次多项式,情况要复杂得多,因为存在一些临界轨道趋向无穷远点,而另一些临界轨道是有界的中间情形.在这情况下,Julia集有不可数个连通分支.因此,在什么情况下Julia集是完全不连通的就成了动力学的一个基本问题.Branner和Hubbard[1J研究了三次多项式的情形,他们发展了一种强有力的工具一拼图技巧(PuzzleTechnique)来处理三次多项式有一个临界轨道是有界的,而另一个临界轨道趋向无穷远点情况,Y occoz用类似但更复杂的技巧研究了二次多项式Julia集的局部连通性.但Branner-Hubbard—Y occoz拼图技巧只能处理只有一个阶为1的临界轨道是有界的情况【6.,对于有一个高阶临界轨道或者有两个或两个以上的临界轨道是有界的情况,一般来说是无效的.譬如四次多项式的Julia集在什么情况下是完全不连通的就仍不清楚.本文将推广拼图技巧用于处理偶四次多项式Julia集的情形.定理1.1假设,是一个偶四次多项式,则(a)f的Julia集是连通的充要条件是,的所有临界点都在,的填充Julia集内.(b)f的Julia集是完全不连通的充要条件是,的填充Julia集的周期分支内没有,临界点.本文2002年7月16日收到,2003年1月13日收到修改稿.}复旦大学数学研究所,上海200433.F_,-maihLv_jing2000~Y ahoo.corn}}复旦大学数学系,上海200433.}}}国家自然科学基金(No.10271029,No.10271031)资助的项目.数学年刊24卷A辑§2.拼图和环考虑更为一般的情况f(z)=Zd+azd+b,(2.1)这里d2,a,b是复数.f(z)有临界点0(阶为d一1)和厂—cj=《/一号,J=0,1,…,d一1,(2.2)这里:e等i.不妨假设口≠0.否则,f只有一个临界点,这时,的Julia集的连通性是清楚的.在这样的假设下,临界点0和cj,J=0,1,…,d一1,是两两不同的点,并且c的阶都是1.记J(f),K(f),F(f)分别是,的Julia集,填充Julia集和Fatou集.将研究当0点的轨道趋于无穷远点,但c5,J=0,1,…,d一1的轨道是有界的情形下,K(f)的连通性.与文【61中类似,要构造,的Branner—Hubbard拼图.设G:C_÷【0,+∞)是如下定义的势函数1G(z)赤.g+If(z)I,(2?3)C(z)满足G(f(z))=(2d)G(z),并且K(f)=z:C(z)=o).由假设c(o)>0,G的临界点是0以及0在,迭代下的逆像.G的临界值则是数G(O)/(2d),k0.选择数G0,使得G(O)/(2d)<Go<G(0),定义,的深度为0的拼图片(PuzzlePieces)是集z:c(z)Co)的连通分支.对k>0,定义,深度为k的拼图片是f-k({z:C(z) G0))=z:C(z)Co/(2d))的连通分支.每个拼图片是不含0点的闭拓扑圆盘.这些拼图片有如下性质:对每个k1,任意一个深度为k的拼图片至少包含一个深度为k+1的拼图片,并且被唯一一个深度为k一1的拼图片所包含.对任意一点Z,存在唯一一个深度为良的拼图片(z)包含点z.于是有下面的拼图片套…cPkz)cPk一1(Z)c…cPoz)称为Z点的端(end).显然,n(z)是填充Julia集K(f)含Z的一个连通分支.k=O引理2.1深度为0的拼图片有d个.每片的内部包含一个临界点(0Jd 一1),并且P0()=Po(c0),J=0,1,…,d一1,这里P,wsP={wjz:z∈P1.证用Riemann-Hurwitz公式于f:z:C(z)>Co)_÷z:C(z)>(2d)Go}立刻得到深度为0的拼图片的个数.由f(wJz)=f(z)和(2.3),GZ)=G(z),J=0,1,…,d一1,因此如果P0是一个深度为0的拼图片,那么P0也是一个深度为0的拼图片,并且P0(z)=P0(z).特别地,Po(c~)=,JPo(c0),J=0,1,…,d一1,4期吕菁邱维元偶四次多项式Julia集的连通性为证明引理2.1,只须证明Po(勺),J=0,1,…,d一1是两两不交的.如若不然,不妨设存在某个J≠0,使得P0co)=Po(cj)=Po(c0),则P0co)=Po(co)=P0(‘c0),k=0,1,…,d0—1,这里d0d为满足d.=1的最小正整数.取连接C0和cj=wjco的曲线cP0(c0),则jcPo(c0),0kd0—1.dn一1于是,有UcPo(co)形成一条绕0点的闭曲线,因Po(co)是单连通的,所以k=O0∈Poco),得到矛盾.类似地,对给定k0,也有(勺)=∥Pk(c0),J:0,1,…,d一1.(2.4)称Pk(c~)是深度为k的J?临界拼图片(CriticalPuzzlePiece).同一深度的J?临界拼图片只包含一个临界点.J.nPk(cj)对应于(,)的含有.j的临界分支,记这个临界分支k=0为K(cj).设(z)与+1(z)分别是包含(,)中Z点的深度为k与k+1的拼图片,显然z)Pk+1(z).定义Ak(z)=int(Pk(z))\Pk+1(z),它是一个有正模的环,称为z点深度为k的环.环Ak(z)称为非临界的(Off-Critica1),J?临界的(?Critica1)和J?半临界的(J.Semi?Critica1)分别指的是(z)不含任何临界点,+1(z)包含临界点cj和Ak(z)包含临界点cj.在第一种情形下,,:Ak(z)_÷Ak一1(,(z))是一个共形映射,这时modAk(z)=modAk一1(,(z)).在第二种情形下,f:Ak(z)Ak一1(,())是一个度为2的覆盖映射,1modAk(z)=nl0dAk一1(,(z)).二在最后一种情形,由GrStzsch不等式【6]j1modAk(z)>去modAk一1(,(z)).二所有J?临界环(或J?半临界环)均简单称为临界环(或半临界环).与【1]和【6]不同,在深度为k的环中,我们有多于一个临界环.从(2.4),有modA(勺)=modAk(co),J=0,1,…,d一1.(2.5)引理2.2【]给定z∈K(f)和它的端Z∈…(z)cPk一1(Z)c…cP0(z),∞∞如果∑modAk(z)=∞,那么n(z)由单点Z组成.数学年刊24卷A辑§3.环阵对z∈(,),记Ak,(z)=(,州(z))是,州(z)点深度为k的环,Ako(z)=Ak(z),Z 点的环阵定义为无穷列阵(l(z)),l0.环阵(勺)称为J一临界环阵.引理3.1环阵T(z)有下列规则:规则1对给定z(z0),第z列的环Ak,(z)满足:或者存在某个J,使得所有l(z),k0,均是J一临界的;或者存在ko0及某个J,使得.l(z)是J一半临界的,而当k<ko时,Ak,(z)是J一临界的.当k>ko时,Am(Z)是非临界的.在第一种情况下,称第Z列是完全J一临界的.在第二种情况下,称第Z列有一个半深度0.规则2如果Ak,(z)是J一临界的,即Ak,(z)=Ako(C,),那么,当0m佗k 时,有A(k一)(1+)(z)=A(k一)(勺).规则3如果Ak,(z)是J一半临界的,且当0<m<佗时,A(k一(cj)是非临界的,但A(k一)(cJ)是i一临界的,则当0<m<佗时,A(k--m)(1+)(z)也是非临界的,而A(k一)(1+)(z)是i一半临界的.证由环阵的定义即可得规则1和2.由于A(k一)(勺)是非临界的,利用规则1,2可知A(k--m)(1+)(z)是非临界的.由,:Ak(c~)--+A(k一)(cj)=Ak一(c{)以及+1(,州(z))cAk(cj)得到.尸一+1(,.(+’(z))=,.(.尸一1(,.()))cAk-n(c{)因此Ci∈A(k一)(1+)(z),规则3成立.引理3.2【1,4】如果存在一个ko0使得环阵T(z)中的环Ak,(z)在0和f>0时均是非临界的,那么∑modAk(z)=...k=0引理3.3如果∑modAk(co)=..,那么对任意∈(,),k=0f1(z)={z).k=0证由引理3.2,假设对任意的k0存在一个最小的数z:z>0,使得Am()是J一临界的(某个J),即Am(z)=(勺).由规则1,当0<佗<z时,A(k+)(1一)()是非临界的,于是/o(-1):(+lk--1)1(z)--+Am(z)=Ak(cj)是共形映射,这样modAk+t(z)吉modA(k+t一1)l(Z)=专modAk(cj)=击modAk(co).(3.1) 再利用规则1,有Z+1.因此∞∞∞∑rfl.d(z)∑rfl.dAk+t(z)i∑In.d(co)=...k=0k=0一k=0由引理2.2即得出结论.从(2.5)可知,引理3.3的条件能被替换为:对某个1Jd一1,’.∞=勺Adom∞∑4期吕菁邱维元偶四次多项式Julia集的连通性引理3.4当k0,z>0,0,Jd一1时,有Akt(ci)=Akt(cj).证当i<J时,有cj=ci及,(Z)=/(z)即得Akl(cj)=Ak+l(fol(勺))=Ak+t(/or(ci))=Akl(Ci).根据引理3.4,引理3.1中环阵的规则2和规则3可以改为如下:规则2如果Akt(z)是J一临界的,那么当0<mnk时,有A(k一)(f+)(z)=A(k一)(c0).规则3如果Akl(Z)是J一半临界的,并且当0<m<nk时,A(k-m)co)是非临界的,但A(k一1co)是i一临界的,那么当0<m<n 时,A(k--m)(f+)(z)是非临界的,而A(k一1(1+1(z)是i一半临界的.现在考虑临界环阵T(cj).首先,引入[6】中的一些定义.如果环阵T(cj)的第k行有一个i一临界环,使得,州:A+f(cj)-÷Ak(ci)是度为2的覆盖映射,那么称T(cj)的第k+z行为第k行的子行.如果第k行没有半临界环,那么临界环阵T(cj)的这一行称为”好的”.如果存在ko≥0,使得当k>ko和z>0时,Akl(cj)是非临界的,那么称T(cj)为非回归的(Non-Recurrent),否则,称T(cj)为回归的(Recurrent).如果临界环阵T(cj)存在一列,如第z列(z>0)是完全i一临界的,那么环阵T(cj)称为预周期的.当i=J时,环阵T(cj)称为周期的.从引理3.4可知,如果有一个临界环阵的第k行是”好的”或者有一个第k+Z行(z>0)为第k行的子行,那么其他临界环阵的第k行也是”好的”或者也有第k+z行(z>0)为第k行的子行.如果某个临界环阵是回归的或是预周期的,那么其他临界环阵也都是回归的或是预周期的(在预周期的情况下,它们中有一个临界环阵是周期的).根据这些事实,只须考虑临界环阵T(co).引理3.5假设临界环阵T(co)是回归但不是预周期的.那么(1)T(co)的任意一行至少有一个子行.(2)如果第k行是”好的”,那么第k行至少有两个子行.(3)如果第k行是”好的”并且第k+Z行是它的子行,那么第k+Z行也是”好的”.(4)如果第k行只有一个子行,设为第k+Z行,那么第k+Z行也是”好的”.证(1)考虑T(c0)的第k行.由假设,存在最小的正整数z>0及某个J,使得Akl(CO)是J一临界的,则,州:Ak+l(CO)-÷Akl(C0)=Ak(cj)是一个度为2的覆盖映射,这就意味着第k+Z行是第k行的一个子行.(2)在(1)的基础上,存在k>k,使得第z行有半临界深度k及Ak,t(co)是J一半临界的.由于第k行是”好的”,根据规则3,当0<nk一k时,A一)(f+)(co)是非临界的或半临界的,特别地,Ak(1+k’-k1(c0)是非临界的或半临界的.于是,我们就可找到一个最小的正整数z>z+k一k及某个i,使得Akt,(.0)是i一临界的(某个).这样第k+Z行是第k行的另一个子行.(3)如果第k+z行不是”好的”,那么存在f≥z,使得A(+t)t,(CO)是半临界的,由规则3,Ak(t,+f1(c0)是半临界的,这与第k行是”好的”矛盾.(4)如果第k+l行不是”好的”,那么与(3)中的讨论类似,存在zz,使得Ak(t1(CO)是半临界的,假设Z是满足此条件的最小的正整数,则能找到最小的列n>Z+Z,使得数学年刊24卷A辑A(c0)是J一临界的(某个),于是第南+n行也是第南行的一个子行,与假设矛盾§4.主要定理的证明定理4.1假设,是由(2.1)给定的多项式,0的轨道趋于无穷远点,但其他的有限临界轨道是有界的,则有(a)如果K(f)的每个临界分支都不是周期的,那么,的填充Julia集K(f)是完全不连通的.(b)如果填充Julia集K(f)有一个周期临界分支,那么K(f)的一个连通分支是非平凡的(即至少有两点)的充要条件是该连通分支或是一个临界分支,或是某个临界分支在,迭代下的逆像.并且K(y)的每个非平凡连通分支拟共形同胚于与某个具有连通Julia集的二次多项式的填充Julia集.证(a)由假设,每个临界环阵T(cj)都不是预周期的,所以T(co)也不是预周期的.如果T(co)不是回归的,那么有引理3.2和引理3.3可得填充Julia集K(f)是完全不连通的.如果T(co)是回归的但不是预周期的,那么由引理3.5,存在ko0,使得环阵T(c0)的第南0行有下列性质:(i)第南0行至少有两个子行(称为第南0行的第一代子行).(ii)第j.0行的第扎代中每一行至少有两个子行(称为第0行的第n+1代子行),因此,第0行至少有2个第礼代子行.设C(n)是第南.行的所有第n代子行的集合,则C(n)的元素至少有2个.注意到如果第南行是第南行子行,则有1modAk,(CO)=roodAk(Co),所以对每一个k∈C(礼),有1modAk(cO):-=-t)nmodAk0(c0),因此一1∑roodAk(co)=card(C(n))2--~modAk.(c0)2modAk.(co).知∈c(n)于是∞oooo∑111.dAkco)∑∑111.dAkco)∑111.dAko(c.)=O0.k=On=OkEG(n)n=0由引理3.3,K(f)是完全不连通的.(b)首先,假设K(cj)是K(f)的一个周期为f(f>0)的周期临界分支,则环阵T(cj)是周期的并且第Z列是完全J一临界的.可以看出,在0到Z列之间不存在其他完全临界列,若存在0<n<f,使得第n列是完全i一临界的,则由引理3.1的规则2可知,环阵T(ci)的第z—n列也是完全J一临界的,又有引理3.4,环阵(勺)的第z—n列是完全J一临界的,这与K(cj)的周期为{矛盾.设是环阵T(cj)从0到f列的最大半临界的深度,则F=f州:Pk+z(勺)_÷(勺)是一个度为2的分支覆盖,并且它的临界点是cj,于是(+￡(勺),(勺))是一个度为2的类多项式,F的填充Julia集恰好是K(cj)并且临界点cj在F的迭代下是有界4期吕菁邱维元偶四次多项式Julia集的连通性的.根据Douday和Hubbard的整理定理F混合(Hybrid)等价于某个具有连通Julia集的二次多项式P.,且K(cj)与K(p.)是拟共形同胚的.因K(ci)=一,K(),所以K(ci)与K(p.)也是拟共形同胚的.设是(.』)在,州逆像下的一个非临界分支,则,州:Kg(cj)是共形的,故也与K(p.)拟共形同胚.其次,在上面的假设下,由引理 3.4每个临界环阵(c)是预周期的.设K(zo)是K(f)中包含点Z0∈K(f)的连通分支,并且它既不是周期的临界分支也不是某个周期临界分支在,迭代下的逆像.下面证明K(z0)是单点集.为此,对环阵T(z0)分下面两种情况讨论:(i)存在ko>0,使得当ko且z>0时,环Am(ZO)是非临界的,那么由引理2.2和引理3.2立即得到g(z0)是单点集.(ii)对每个,在T(zo)的第行中,都有最小的z>0,使得环Akl(zo)是临界的.由假设,第c列一定有半临界深度为ko即Ak.t(Zo)是半临界环.因此环阵T(zo)存在无穷多对(,lm),m=1,2,…,使得Akl(Z0)是半临界的,但Akt(z0),0<2<2是非临界的.因每个临界环阵(.j)是预周期的,所以我们能选择数d,使得每个临界环阵在深度d时都没有半临界环.由引理3.1的规则3可得,当>d时,对每个0<ikm—d,环A(km--0(1re+i)(ZO)或是非临界的,或是半临界的.因此环A(km--i+1)(￡+)()当-li一d时,都是非临界环.所以,环Ak+z+l(ZO)与某个深度为d的环Ad共形,modAk+z+1(ZO)=modAd.又深度为d的环只有有限个,且每个环都有正模,因此,modAk+l+l(zo),m0,有一个正的下界.从而,∑modAz0)=...几由引理2.2和引理3.2,集K(zo)是单点集.定理1.1的证明经过一个线性共轭后,任何一个偶四次多项式可写为,()=Z+az.+b,它的临界点为0和c士=土,如果这三个临界点的轨道都趋于无穷远点或都有界,则由Fatou定理即可得到结论.注意到临界点c土有相同的轨道,所以只有下列两种情形:(i)C=k的轨道趋于无穷远点,但0点的轨道是有界的.(ii)0点的轨道趋于无穷远点,但c土的轨道是有界的.对第一种情形,因0是简单临界点,结论已由【1】(或见【6】)给出.第二种情形就是定理4.1在d=2时的特例.致谢感谢陈纪修教授的鼓励和关怀参考文献【1】Branner,B.&Hubbard,J.H.,TheiterationofcubicpolynomialsII:Pattern sandpara—patternsActaMath.,169(1992),229—325.数学年刊24卷A辑[2]Douady,A.&Hubbard,J.H.,Onthedynamicsofpolynomial-likema ppings[J],Ann.Sci.Ec.Norm.Sup.,18(1985),287-343.[3]Fatou,P.,Surleseciuationsfonctionnelles[J],Bul1.Soc.Math.France,47( 1919),161-271.[4]Faught,D.,Localconnectivityinafamilyofcubicpolynomials[D],Thesis ,Cornell,1992.[5]Milnor,J.,Dynamicsinonecomplexvariable[M],IntroductoryLectures, 2Ed.,Vieweg,2000.[6]Milnor,J.,LocalconnectivityofJuliasets:expositorylectures,theMandel brotset[M],ThemeandV ariations,Ed.TanLei,CambridgeUniversityPress,2000,67-116.[7]Hubbard,J.H.,LocalconnectivityofJuliasetsandbifurcationloci:threeth eoremsofJ.C.Y occoz,TopologicalMethodsinModernMathematics[M],Goldbergan dPhillips,Ed.PublishorPerish,1993,467_511.CoNNECTIVITY oFJULIASETSFoREVENQUARTICPOL YNOMIALSLUJingQIUWeiyuan,InstituteofMathematics,FudanUniversity,Shanghai200433,China.E-mail:Lv_jing2000~Y ahoo.corn**DepartmentofMathematics,FudanUniversity,Shanghai200433,China. Abstract TheauthorsextendthepuzzletechniquetostudytheconnectivityofthefilledJ uliasetsofevenquarticpolynomials.AnanalogueofBrannerandHubbardisobtai ned.KeywordsJuliaset,Connectivity,Totaldisconnectivity,Evenquarticpolyno mial2000MRSubjectClassification37F10 ChineseLibraryClassificationO174.5ArticleID1000-8314(2003)04--0399??08 TheEnglishtranslationofthispaperwillbepublishedin ChineseJournalofContemporaryMathematics,V o1.24No.3,2003 byALLERTONPRESS,INC.NEWYORK,USA。

基于广义Julia集的剪纸图案生成方法本文根据剪纸的构图特征与分形图形的相似性，对剪纸艺术与分形理论的结合的可能性进行初步探讨。

并以分形中的Julia集为例，用逃逸时间算法来实现Julia集图形的生成，利用计算机图形技术对生成的图形进行处理。

标签：分形；Julia集；剪纸；时间算法分形的概念是在1975年被正式提出，自那以后它被广泛运用在诸多领域。

随着文化强国战略的开展，分形理论在我国传统文化剪纸艺术的设计有很大的应用潜力。

传统剪纸艺术是纯手工的设计，它的设计受限于人工巧匠的个人技艺。

将分形理论与剪纸艺术相结合，不仅能解决传统剪纸艺术传播的局限性，还能大大丰富剪纸艺术的内容，扩大剪纸的应用范围，也为中华传统剪纸的传承提供一种数字化的设计方法。

一.广义Julia集生成原理Julia集是法国科学家Gaston Julia发现的一种分形集合。

本文主要用逃逸时间算法和java编程在计算机上生成广义Julia集分形图形，与剪纸的构图特征相结合，实现以Julia集图形作为剪纸图案生成的一个元素。

分形的主要生成算法有：文法构图算法（LS）、递归算法、逃逸时间算法、演化算法、迭代函数系统算法（IFS）。

本文的Julia集图形主要是利用逃逸时间算法来生成的。

逃逸时间算法，假设有一个充分大的整数N，当未逃逸区域M中的初始点a经过小于N次迭代就达到未逃逸区域M的边界，甚至超出了边界，我们就认为点a逃逸出去了；而如果经过N次迭代后a的轨迹仍未达到M的边界，我们就认为a是A上的点。

用这样的方法绘制出A的边界图形，这便是逃逸时间算法的基本思想。

二.剪纸图案设计由于颜色和构图共同组成了剪纸，所以剪纸的图案设计主要考虑这两个方面。

由于传统文化剪纸艺术的技艺的局限，一般来说，剪纸的颜色主单调统一，大多为紅色。

本文根据剪纸的特点来设计时主要考虑图案的构图特征。

剪纸的平面构图大部分是对称的结构。

我国最早的剪纸作品是团花剪纸，如图2（1），它就是典型的对称作品。

D4对称平面排列映射广义充满Julia集
陈宁;杜利明
【期刊名称】《小型微型计算机系统》
【年(卷),期】2003(024)010
【摘要】为了更加直观、有效地在参数空间挑选参数构造出具有D4对称特性的平面排列映射的混沌吸引子和广义充满Julia集,在参数空间任选两个实参数构造参数断面,构造其上的广义M集.在这种广义M集的周期区域中挑选参数,可以由计算机生成大量新颖的广义充满Julia集.为了揭示出这种广义充满Julia 集内部的复杂结构,给出了两种构造方法.为具有平面对称特性的动力系统的计算机图形化研究工作增添了新形式的艺术图像.
【总页数】4页(P1787-1790)
【作者】陈宁;杜利明
【作者单位】沈阳建筑工程学院,计算机系,,辽宁,沈阳,110015;沈阳建筑工程学院,计算机系,,辽宁,沈阳,110015
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.4
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