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数字信号处理第6章 IIR滤波器设计

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数字信号处理--实验六IIR滤波器的设计

数字信号处理--实验六IIR滤波器的设计
subplot(3,2,1);
plot(w/pi,db);
axis([0,1,-50,10]);
grid on
xlabel('\omega/\pi');
ylabel('幅度(dB)');
title('直接调用函数设计的滤波器的幅频响应曲线');
%输入信号及其波形
x=[-0.0289,0.3943,0.9965,1.1266,0.9995,1.0891,1.2262,1.0699,0.8990,0.7685,0.7844,0.9471,1.4317,1.6765,1.7629,-3.2903,3.4122,4.5403,-2.1667,-2.0584,4.6694,2.0368,-0.4864,0.1427,2.5652,-1.8980,-0.0527,-1.4730,2.7884,-6.4092,2.9084,-5.1428,1.5929,0.0014,-0.6010,-4.3059,-0.4518,1.9959,-3.3526,0.5745,-3.5487,0.5913,-0.2472,-1.5479,-2.4422,2.5066,-4.2421,-2.3588,3.8869,-3.9855,0.9583,-1.2164,3.7050,1.2411,-1.7249,0.9964,3.9695,1.3400,-3.5513,5.8552,-2.8092,2.6877,0.4444,3.5641];
subplot(3,2,4)
k=0:255;
plot(2*k/256,abs(X))
axis([0,2,0,60]);
xlabel('k');
ylabel('X(k)');

第六章IIR滤波器的理论与设计精品PPT课件

第六章IIR滤波器的理论与设计精品PPT课件

器系统函数Ha(s)的情况下，求出数字滤波器系统函数
H(z)。Ha(s)是模拟滤波器冲激响应的拉氏变换
一、设计方法 ▪ 模拟滤波器系统函数
H a(s)
M
aksk
k0
N
bisi
i0
且一般M<N
因式分解
M
(s sk )
► Down
◙ Main
22.10.2020
§6.1 IIR数字滤波器的设计概述 一、设计步骤 1、按照实际任务确定滤波器的性能要求； 2、用一个因果稳定的系统函数去逼近这一要求 （IIR、FIR两类系统）； 3、利用有限精度算法来实现这个系统函数 （选择运算结构，选择合适字长，选择有效的 数字处理方法）； 4、实际的技术实现（软件、硬件或二者结合）。
T [ x ( t ) h a ( 0 ) x ( t T ) h a ( t ) x ( t k ) h a ( k ) T ] T
Tx(tkT)ha(kT)
k0
◄ Up
► Down
◙ Main
Return
22.10.2020
现对输出y(t)抽样，令t=nT代入上式
y(n)T Tx(nT k)T ha(k)T 令 h(k)=Tha(kT)
▪ 频域变换法有：双线性变换法、微分映照法
◄ Up
► Down
◙ Main
Return
22.10.2020
§6.2 模拟滤波器的数字仿真
▪ 数字仿真就是要设计出数字滤波器Ld，当其输入为模拟滤
波器La输入x(t)取样时，输出也为La输出y(t)的取样。
x(t)
ha(t)t)
◄ Up
► Down
◙ Main

清华大学数字信号处理课件--第六章10设计IIR滤波器的频率变换法

清华大学数字信号处理课件--第六章10设计IIR滤波器的频率变换法

1T 2tg 2 11.01 课9 件 rad/s
8
2T 2tg 2 21.453rad/s
s2T 2tg2 s22 rad/s
0 1 2 1 .2 1 7ra d /s
B 2 1 0 .4 3 4r a d /s
归一化：
s1 s1/B 1 .4 9 8 1 1/B2.348
6）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数 字带通滤波器：
H (z)H(s) H(s) a
sT 21 1 z z 1 1
a
s4(1z 2 1()1 2 z 2 0 2)(1 B z1)2
1 1 .4 9 1 z 1 0 .0 2 2 .8 1 ( 4 1 8 z 2 2 z 2 1 .6 8 z z 4 ) 3 1 .2 7 3 z 4
2020
清华大学数字信号处理课件--第六章10设计IIR滤波 器的频率变换法
2 02
c 2 c 1
c
c
2 2
2 0
2
2 1
1
2 0
02 12
B2 1 c
0 为 通 带 几 何 对 称 中 心 角 频 率
B为通带带宽
课件
6
s
s2
2 0
s
2 02
归一化变换：
2
2 0
4）设计归一化模拟低通滤波器：
ksp
100.11 100.12
10.127 1
sps/ p2 .9 0 2
N l g k s p / l g s p 1 . 9 4 0 取 N 2
查表得：
Ha(s)s2课件
1 2s1
10
5）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器：

数字信号处理第六章 IIR数字滤波器设计

数字信号处理第六章 IIR数字滤波器设计

D' ( p) p N bN 1 p N 1 bN 2 p N 2 „ b1 p b0
b0 b1
b2 b3 b4 b5 b6 b7
b8
阶数N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 1.4142 2.0000 2.6131 3.2361 3.8637 4.4940 -5.1258 5.7588 2.0000 3.4142 5.2361 7.4641 10.0978 13.1371 16.5817 5.2361 9.1416 14.5918 21.8462 31.1634 3.2361 7.4641 14.5918 25.6884 41.9864 3.8637 10.0978 21.8642 41.9864 4.4940 13.1371 31.1634 5.1258 16.5817 5.7588
IIR数字滤波器的设计方法
间接设计法 根据设计指标设计相应的过渡模拟滤波器 将过渡模拟滤波器转换成数字滤波器。
直接设计法 在时域或频域直接设计数字滤波器。
本章主要讲述：（间接法）
6.1 模拟滤波器设计
6.2 IIR数字滤波器设计
6.1 模拟滤波器设计
模拟滤波器（AF）的一般设计过程： （1） 根据信号处理要求确定设计指标（选频） （2） 选择滤波器类型 （3） 计算滤波器阶数 （4） 通过查表或计算确定滤波器系统函数 Ha (s) （5） 综合实现并调试
2
(
s
)
N

A2 1
• 于是 阶数
lg k1 N lg k

数字信号处理 第六章

数字信号处理 第六章

各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言

数字滤波器的设计步骤：


按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。

零极点分布对系统相角的影响

相位“延时”（或相位“滞后”）系统

最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统

相位“超前”（或相位“领先”）系统

当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法

IIR数字滤波器的设计

IIR数字滤波器的设计

1
Am (e ) Am ( z ) Am ( z 1 ) z e j 1
由于 : 所以：
Am (e j 0 ) 1 (0) 0
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积，由于 一阶全通系统相位是递减的 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。

0
0
-2
-02-4(2) 确定wc
0.1 A p
wp
(10
0.1 Ap
1)
1/ 2 N
wc
ws
(100.1 As 1)1 / 2 N
(3)确定滤波器的系统函数H(s)
Type I Chebyshev Lowpass filter(CB I 型)
1 H ( jw ) 2 1 2C N (w / w c )
1 1 az H ( z ) H1 ( z )(z a ) 1 1 az 1
H1 ( z )(1 az )
1 az1
故
H(z) =Hmin(z) A1(z)
例 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为
b z 1 H ( z) , a 1, b 1 1 1 az
k 2
s 2 sin(
2
( 2 k 1) 2N
)s 1
•当N为偶数时
H (s)
k 1
N /2
1 s 2 2(sin k ) s 1
k ( 2 k 1) π /(2 N )
例：N=2,
k ( 2 k 1) π /(2 N )
H (s) 1
As 20log10 d s
阻带衰减(db )(stopband Attenuation) 滤波器的Gain函数 G(w)=20log10|H(jw)| dB

数字信号处理第六章1 IIR数字滤波器的设计方法

* j
H (e
) H (e
j
)e
j (e
j
)
H (e H (e
*
j j
) )
e
2 j (e
j
)
H (z) H ( e j ) 1 j ln (e ) ln * j 1 2 j H ( z ) z e j 2 j H (e )
2012-10-11 数字信号处理
1 ：通带容限
2 ：阻带容限
2012-10-11
数字信号处理
通带最大衰减： 1
1 2 0 lg
H (e H (e
j0 j c
) )
2 0 lg H ( e
j c
) 2 0 lg (1 1 )
阻带最小衰减： 2
2 2 0 lg
H (e H (e
构、字长的选择等
实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法
2012-10-11
数字信号处理
3、数字滤波器的技术要求
选频滤波器的频率响应：
H (e H (e
j j
) H (e
j
)e
j ( j )
为幅频特性：表示信号通过该滤波器后 各频率成分的衰减情况
)
( j ) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器
2012-10-11 数字信号处理
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
数字滤波器： 是指输入输出均为数字信号，通过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。
优点： 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求 阻抗匹配，可实现特殊滤波功能
2012-10-延时情况

《IIR滤波器的设计》课件

频率转换法
解释频率转换法，如低通到带通和高通 到带通的频率转换，以及其在滤波器设 计中的作用。
工程应用
语音信号处理中的应 用
探讨IIR滤波器在语音信号处理 中的应用，如降噪、语音增强 和语音识别等。
图像处理中的应用
介绍IIR滤波器在图像处理中的 应用，如图像增强、边缘检测 和图像去噪等。
音频信号处理中的应 用
讨论IIR滤波器在音频信号处理 中的应用，如均衡器、混响效 果和音频压缩等。
总结
IIR滤波器的优缺点
总结IIR滤波器的优点和缺点，讨论其在实际应 用中需要注意的问题。
IIR滤波器的应用前景
展望IIR滤波器的应用前景，探讨其在未来的发 展方向和创新应用。
滤波器的基本特征
讨论滤波器的基本特征，包 括传递函数、频率响应和滤 波器的稳定性。
IIR滤波器的概述
与FIR滤波器的区别
介绍IIR滤波器与FIR滤波器的传输函数和极点-零 点图
解释IIR滤波器的传输函数和极 点-零点图，以及如何通过调整 极点和零点来改变滤波器的性 质。
《IIR滤波器的设计》PPT 课件
介绍IIR滤波器的设计原理和应用。包括滤波器基础、IIR滤波器的概述、设计 方法和工程应用。
滤波器基础
数字信号处理的基 本概念
介绍数字信号处理的基本概 念，包括采样、量化和数字 信号的表示。
时间域与频率域分 析
解释时间域和频率域分析的 概念和方法，以及它们在滤 波器设计中的应用。
IIR滤波器的类型
介绍不同类型的IIR滤波器，如 低通、高通、带通和带阻滤波 器，以及它们的应用场景。
IIR滤波器的设计方法
1
变换方法
2
介绍变换方法，如模拟到数字转换和频

数字信号处理 第六章-IIR数字滤波器的设计


系统函数逼近的思路
频域逼近： 系统函数的幅度响应和相位响应满 足要求。主要应用在滤波领域。 时域逼近： 系统函数的单位抽样响应满足要求。 主要应用在成形领域。
二、性能指标的描述
几类典型理想滤波器的幅频特性
H a (jΩ) H a (jΩ)
1
低通 0
Ωc
1
高通 Ω 0
Ωc
Ω
H a (jΩ)
H a (jΩ)
Re[z ]
第一次变换： 频率压缩
第二次变换： 数字化
（1）频率压缩
把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。
tan(
1T ) 2
频率压缩关系：
tan
1T 2
，1
p
T
, 0，1 0
复变量变换关系：
1
s
e e
2. H(s)转换为H(z)的映射方法
•冲 激 响 应 不 变 法 典型映射方法： •阶跃响应不变法 •双 线 性 变 换 法
2.1 冲激响应不变法
数 字 滤 波 器 的冲 激 响 应 h(n)
对 应
模 拟 滤 波 器h (t) 的 等 间 隔 抽 样
h(n)=h (nT)
T是抽 样周期
特点： (1)时 域 逼 近 良 好
1
带通 c Ω c1
Ωc2
1
带阻 Ω 0Ω c1
Ωc2
Ω
理想滤波器物理不可实现。（从一个频带到另一个频带之 间有突变，其单位抽样响应是非因果的）
不能由理想滤波器性能指标进行滤波器设计。
物理可实现要求：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带 ；且在通带和阻带内也不应该严格为1或零，应给以较小容限。

IIR数字滤波器的原理及设计



这个式子中的常数 N是为了使(6.5)式满足而加入的。
c
这N个极点s0、s1、…、sN-1在s 平面的左半平面而且以共
轭形式成对出现，当N为奇数时, 有一个在实轴上
(为 - )。
c
6.2.1.3
一般情况下的B型低通滤波器
图 6.3
一般情况下低通滤波器的设计指标

此时，应该将角频率 标称化，通常以Ω 1为基准频率，
H z
n
hn z
N k 1 N

n

n
Ts Ak e sk nTs u nTs z n
k 1

N
Ts Ak e
n 0

s k Ts
z
1 n

Ts
Ak s k Ts 1 z k 1 1 e
(6.66)

上式中的幂级数收敛应该满足条件： e sk Ts z 1 |

模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，
产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有 简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起 来方便准确。

而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的, 因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设
计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中，较多地采用
的极点必须在左半平面系统才是稳定的，因而将左半s平
面的N个极点s k （k=0,1,…,N-1)分给H a (s)，这样，右半 平面的N 个极点-sk就正好是Ha(s)的极点。因此有：
N c H a (s) ( s s 0 )( s s1 ) ( s s N 1 )
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j
)
H (e j ) 2 j ( e j ) e * j H (e )
1 H (e j ) 1 H ( z ) (e j ) ln * j ln 2 j H (e ) 2 j H ( z 1 ) z e j
H (e j )
缺点：
– 频率响应混迭 只适用于限带的低通、带通滤波器
四、阶跃响应不变法
变换原理
数字滤波器的阶跃响应 g (n) 模仿模拟滤波器的阶跃响应 g a (t )
g (n) g a (t )
t nT
g a (nT )
T — 抽样周期
u (n) z z 1
h( n) H ( z)
g ( n) u ( n) * h( n) z G( z) H ( z) z 1
ha (t ) L [ H a ( s )] Ak e u (t )
1 sk t k 1 N
N
h(n) ha (nT ) Ak e
k 1 n
N
sk nT
u (nT ) Ak e
k 1 N
N

sk T
n
u (n)
H ( z)
n N
h( n) z
模拟滤波器的频率响应：
2 H a ( j ) (3 2 ) j 4
数字滤波器的频率响应：
0.318e j H (e j ) 1 0.4177e j 0.01831e j 2
4、优缺点
优点：
– h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 ha (t ) 时域逼近良好 – 保持线性关系： T 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器
n 0

Ak e
n 0 k 1 1

sk T
n
z n
Ak e z
sk T k 1


n
Ak 1 e skT z 1 k 1
N
Ak H a ( s) k 1 s sk
N
Ak H ( z) 1 e skT z 1 k 1
数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器 的频响而不产生混迭失真：
1 H (e ) H a j T T
j

实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在
s / 2 处衰减越快，失真越小
fs T

T

s 混迭 2
当滤波器的设计指标以数字域频率 c给定时，
j
j
j ( j )
H (e j ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后
各频率成分的衰减情况
( j ) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器
后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近 1 1 H (e j ) 1 通带： c
st 过渡带： c st
k 1 k 0 N M
用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：
H ( z)
即为求滤波器的各系数：ak , bk
s平面逼近：模拟滤波器 z平面逼近：数字滤波器
先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器 计算机辅助设计法
二、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器
设计思想：
s 平面

z 平面
z es1T
1 z s 1 z 1
1
1 s z 1 s
为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一
频率有对应关系，引入系数 c
1T c tg 2
1 z 1 sc 1 z 1
cs z cs
2、变换常数c的选择
1
e
4 T
设T = 1s，则
0.318 z 1 H ( z) 1 0.4177 z 1 0.01831z 2
TAk H ( z) 1 e skT z 1 k 1
N
0.318 z 1 H ( z) 1 0.4177 z 1 0.01831z 2
j
1T 2
j
1T 2
s j
s1 j1
s1T 2
s j
e e
T j 1 2 T j 1 2
e e
T j 1 2 T j 1 2

e e
s1T 2 s1T 2
e e
sT 1 2 sT 1 2
e
1 e s1T 1 z 1 s1T 1 1 e 1 z
H (e j 0 ) H (e jst )
j0
20lg H (e jst ) 20lg 2
其中： H (e ) 1
H (e jc ) 2 / 2 0.707 时， 1 3dB 当
称 c 为3dB通带截止频率
4、表征滤波器频率响应的特征参量
幅度平方响应
H (e ) H (e j ) H * (e j )
群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
d (e j ) (e j ) d
dH ( z ) 1 Re z dz H ( z ) z e j
(e j ) = 常数， 若滤波器通带内
则为线性相位滤波器
5、IIR数字滤波器的设计方法
bk z k 1 ak z k
模拟系统 H a ( s) H ( z ) 数字系统
H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，
即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆
因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，
即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1
试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器
解：据题意，得数字滤波器的系统函数：
T T H ( z) T 1 1 e z 1 e 3T z 1

1 e
T e T e 3T z 1Te3T Nhomakorabeaz
Ak H a ( s) k 1 s sk
z
2
N
2、数字滤波器的设计过程
按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术
指标
用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)
逼近此性能指标
利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结
构、字长的选择等
实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法
3、数字滤波器的技术要求
选频滤波器的频率响应：
H ( e ) H (e ) e
不能通过提高抽样频率来改善混迭现象
fs T , T T T
T c

c
T

3、模拟滤波器的数字化方法
H a ( s) ha (t ) ha (nT ) h(n) H ( z )
Ak H a ( s) k 1 s sk
N
sT s sk z 平面z e k 极点：s 平面
系数相同：Ak
e skT 1 稳定性不变：s 平面 Re[ sk ] 0 z 平面
1 H (e ) H a j T T
j
当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正
令： h(n) Tha (nT )
阻带：
H (e ) 2
j
c ：通带截止频率
st ：阻带截止频率
1 ：通带容限
2 ：阻带容限
通带最大衰减：1
1 20lg
H (e j 0 ) H (e jc )
20lg H (e jc ) 20lg(1 1 )
阻带最小衰减： 2
2 20lg
j
2
H ( e ) H (e
1
j
j
) H ( z)H ( z )
1
z e j
H ( z ) H ( z ) 的极点既是共轭的，又是以单位 圆成镜像对称的 j Im[ z ]
1/ a*
H(z)的极点：单位圆内的极点
0
a
a
*
Re[ z ]
a 1
相位响应
H (e ) H (e ) e
H ( z)
z e sT
1 2 ˆ ( s) Ha Ha s j T k T k
2、混迭失真
1 2 k j H (e ) H a j T k T
数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的 周期延拓，周期为 2 /T s 仅当 ha ( j) 0 T 2
冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近
缺点是产生频率响应的混叠失真
1 : , :[, ] T T 1T z es1T tg 2
e e 1T sin 1T 2j 2 tg T T 1T j 1 j 1 2 cos e 2 e 2 2 2
设计方法：
- 冲激响应不变法 - 阶跃响应不变法 - 双线性变换法
三、冲激响应不变法
1、变换原理
数字滤波器的单位冲激响应 h(n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应 ha (t )
h(n) ha (t )
t nT
T—抽样周期
H ( z)
H a (s)
H ( z)
z e sT
1 2 ˆ (s) Ha Ha s j T k T k
TAk H ( z) sk T 1 z k 1 1 e
2 k 则：H (e ) H a j T k
j
N