简单低通滤波器设计及matlab仿真
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东北大学
研究生考试试卷
考试科目:
课程编号:
阅卷人:
考试日期:
姓名:xl
学号:
注意事项
1.考前研究生将上述项目填写清楚.
2.字迹要清楚,保持卷面清洁.
3.交卷时请将本试卷和题签一起上交.
4.课程考试后二周内授课教师完成评卷工作,公共课成绩单与试卷交研究生院培养办公室,
专业课成绩单与试卷交各学院,各学院把成绩单交研究生院培养办公室.
东北大学研究生院培养办公室
数字滤波器设计
技术指标:
通带最大衰减: =3dB ,
通带边界频率: =100Hz
阻带最小衰减: =20dB 阻带边界频率: =200Hz
采样频率:Fs=200Hz 目标:
1、根据性能指标设计一个巴特沃斯低通模拟滤波器。
2、通过双线性变换将该模拟滤波器转变为数字滤波器。 原理:
一、模拟滤波器设计
每一个滤波器的频率范围将直接取决于应用目的,因此必然是千差万别。为了使设计规范化,需要将滤波器的频率参数作归一化处理。设所给的实际频
率为Ω(或f ),归一化后的频率为λ,对低通模拟滤波器令λ=p ΩΩ/,则1
=p λ,
p
s s ΩΩ=/λ。令归一化复数变量为p ,λj p =,则p
p s j j p Ω=ΩΩ==//λ。所以巴
特沃思模拟低通滤波器的设计可按以下三个步骤来进行。 (1)将实际频率Ω规一化 (2)求Ωc 和N
11010/2-=P C α
s
p s N λααlg 1
10
110lg
10
/10/--=
这样Ωc 和N 可求。
p x fp s x s f
根据滤波器设计要求=3dB ,则C =1,这样巴特沃思滤波器的设计就只剩一个参数N ,这时
N
p N
j G 222
)/(11
11)(ΩΩ+=
+=
λλ
(3)确定)(s G
因为λj p =,根据上面公式有
N N N p j p p G p G 22)1(11
)/(11)()(-+=
+=
-
由
0)1(12=-+N
N p 解得 )221
2exp(πN N k j
p k -+=,k =1,2, (2)
这样可得
1
)21
2cos(21
)
)((1
)(21+-+-=
--=
-+πN N k p p p p p p p G k N k k
求得)(p G 后,用p
s Ω/代替变量p ,即得实际需要得)(s G 。
二、双线性变换法
双线性变换法是将s 平面压缩变换到某一中介1s 平面的一条横带里,再通过标准变换关系)*1exp(T s z =将此带变换到整个z 平面上去,这样就使s 平面与z 平面之间建立一一对应的单值关系,消除了多值变换性。
为了将s 平面的Ωj 轴压缩到1s 平面的1Ωj 轴上的pi -到pi 一段上,可以通过以下的正切变换来实现:
)21
tan(21T T Ω=
Ω
这样当1Ω由T pi -经0变化到T pi 时,Ω由∞-经过0变化到∞+,也映射到了整个Ωj 轴。将这个关系延拓到整个s 平面和1s 平面,则可以得到
T s T s e e T T s T s ⋅-⋅-+-=
⋅=11112)21tan(2
再将1s 平面通过标准变换关系映射到z 平面,即令)*1exp(T s z =得到
11112--+-=
z z T s
同样对z 求解,得到
s T s T z -+=22
这样的变换叫做双线性变换。为了验证这种映射具有s 平面的虚轴映射到z 平面
单位圆上的特性,考虑 Ω=j s ,ω
j e z =,得
ωω
j j e e T j --+-=
Ω112
ω21tan 2T =
Ω
除了使s 平面的虚轴映射到单位圆上之外,s 平面的左半部分映射到单位圆的内部,s 平面的右半部分映射到单位圆的外部。
设计过程
一、计算滤波器阶数N 和截止频率Ωc 。 根据公式:
代入数据,计算可得:
λps =0.5
K ps =0.99885 N=3.3151
所以取N=4,即滤波器为四阶滤波器。
计算3dB 截止频率,根据公式
计算可得 Ωc =112.6096
二、计算系统函数
已知四阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器系统函数为:
()16131.24142.36131.21
234++++=
s s s s s H a
将S 用S/Ωc 替代,求出系统函数: H a (s) = b/ (s 4+a 3s 3+ a 2s 2+ a 1s+ a 0) 其中:
b=2.5063*10^(11) a 3=1.8489*10^(5) a 2=1.7092*10^(6) a 1=9.2560*10^(8) a 0=2.5063*10^(11)
三、程序实现模拟滤波器(MATLAB ) clear; close all
fp=100;fs=200;Rp=3;As=20; %滤波器指标
[N,fc]=buttord(fp,fs,Rp,As,'s') %计算阶数N 和3dB 截至频率fc [B,A]=butter(N,fc,'s'); %设计低通巴特沃斯模拟滤波器