专题 与圆相关的比例线段

与圆相关的比例线段阅读与思考比例线段是初中数学的一个核心问题.我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系. 相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系： 1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式. 熟悉以下基本图形和以上基本结论.TPBDCBAPP ADCBA例题与求解【例1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F .若DE =34CE ，AC =85，点D 为EF 的中点，则AB = . 解题思路：设法求出AE 、BE 的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.例1题图 例2题图【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC 、AB 都相切，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14解题思路：由切割线定理知BE 2=BD ·BC ，欲求BD ，应先求BE . 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条件.【例3】如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于D ，DE ⊥AB 于E .已知AE ∶ EB =4∶ 1，CD =2，求BC 的长.解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.【例4】如图，AC 为⊙O 的直径且P A ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DP =DC DO =23.（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线； （2）求cos ∠BCA 的值. 解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.P【例5】如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点.延长BC 至D ，使CD =BC ，CE ⊥AD 于E ，BF 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P .求证：PE =PC .解题思路：易证PC 为⊙O 切线，则PC 2=PF ·P A ，只需证明PE 2= PF ·P A . 证△PEF ∽△P AE ，作出常用辅助线，突破相关角.B【例6】如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线. 过点P 作⊙O 的割线P AB ，交⊙O 于A 、B两点，与ST交于点C.求证：1PC=12（1P A+1PB）.解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.能力训练A级1．如图，PA切⊙O于A点，PC交⊙O于B、C两点，M是BC上一点，且PA=6，PB=BM=3，OM=2，则⊙O的半径为.2．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点.如果BD∥CF，BC=25，则CD= .PD（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C、D，OP⊥CD于点P. 若AB=4cm，AD=8cm，⊙O的半径为5cm，则OP= .4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=25，那么PE的长为.5．如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM=MC，若AM=1.5，BM=4，则OC的长为（）A．2 6 B． 6 C．2 3 D．22MDCBAC（第5题图）（第6题图）（第7题图）6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积为（）A．16πB．36πC．52πD．81π7．如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若AB=12，CD=9，则MD=（）A．3 B．3 3 C．6 D．6 38．如图，⊙O的直径AB=10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE=2，DE=22，则弦心距OF为（）A．1 B． 2 C．7 D． 3B（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=6，AE=62，求DE的长.10．如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连结AD并延长交⊙O于E，已知：BE2=DE·EA.求证：（1）PA=PD；（2）2BP2=AD·DE.11．如图，△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC.已知⊙O过点C且与AC相交于F，与AB 相切于AB的中点G.求证：AD⊥BF.A F（第11题图）（第12题图）12．如图，已知AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A. 连结CO并延长交⊙O于点D、E，连结BD并延长交边AC于点F.（1）求证：AD·AC=DC·EA；（2）若AC=nAB（n为正整数），求tan∠CDF的值.。

微专题：与圆有关的比例线段传播数学文化点亮校园生活微专题：与圆有关的比例线段01问题背景最近同学们在学习圆的过程中遇到这样一个问题：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，求OC的长。

同学们利用垂径定理和勾股定理构造了等量关系，从而求出OC的长。

除了上述方法，我们还有没有更简单的解法呢？与圆有关的线段有哪些特殊关系呢？让我们一起来探索：与圆有关的比例线段！02新知探索一、相交弦定理1、在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，则PA、PB、PC、PD之间有什么关系？相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

二、切割线定理2、在⊙O 中，若PA是切线，PCD是割线,则PA、PC、PD有什么等量关系？切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

三、割线定理3、在⊙O 中，若PAB、PCD是割线,则PA、PB、PC、PD有什么等量关系？割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

03拓展思考请同学们运用我们探索出相关定理，尝试解决最初的问题：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，求OC的长。

解：延长CO交⊙O于点D,设CO为x，则OP=x-2，PD=2x-2，∵PA.PB=PC.PD即4×6=2（2x-2）∴x=7，即OC=7。

思考：若在⊙O中，CD为直径，CD=10，弦AB、CD相交于点P,你能求出AP.PB的最大值么？欢迎留言分享你的答案和思路。

和圆有关的比例线段难题一．知识点在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幂定理。

1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。

推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。

2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。

3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理；(2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。

圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系，它们之间有着密切的联系，我们应当熟悉以下基本图形。

例题精讲例1：如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙1O 的切线，交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切，且PA = 6，PC =2，PD =12时，求AD 的长。

【解析】连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ，所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ，所以∠D =∠E .又∠2=∠3，所以△APD ∽△CPE ，所以PA PDPC PE=， 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6，PC =2，PD =12，得6×PE =2×12，得PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ，所以4PB =6×2，得PB =3.所以BD = PD －PB =9，DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ，所以DA 2= DB ·DE ，即AD 2=9×16，得AD ＝12.例2：如图，已知圆内接四边形ABCD ，延长AB 、DC 交于E ，延长AD 、BC 交于F ，EM 、FN 为圆的切线，分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧，两弧交于K ，求证：EK ⊥FK ．证明 连结EF ，过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ，连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆，所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆，所以∠1=∠3，于是∠2 =∠3，故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2=EC ·ED =EH ·EF ，FN 2= FC ·FB=FH ·FE ，所以EM 2＋FN 2=(EH ＋FH )·EF =EF 2．又因为EM=EK ，FN=FK ，所以EK 2＋FK 2=EF 2．故△EKF 为直角三角形，且∠EKF =90°，即EK ⊥FK .例3：如图，⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点，在公共弦QP 延长线上取一点M ，过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证：.AD BD DMAC CB CM=证明 由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ =MC ·MD ，所以A 、B 、D 、C 四点共圆，可得∠ADB =∠ACB .又11sin ,sin 22ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ∆∆=∠=∠，所以.ADB ACB S AD BDS AC BC∆∆=过C 作CG ⊥MB ，垂足为G ，过D 作DH ⊥MB ，垂足为H .所以CG ∥DH ，得△MGC ∽△MHD ，得.ADB ACB S DH DM S CG CM ∆∆==所以AD BD AC BC =.DMCM例4：如图，两个同心圆的圆心为O ，大圆的弦AD 交小圆于B 、C ，大 圆的弦AF 切小圆于E ，经过B 、E 的直线交大圆于M 、N ，求证：(1) AE 2= BN ·EN ；(2)若AD 经过圆心O ，且AE = EC ，求 ∠AFC 的度数。

圆中成比例的线段知识考点：1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。

2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。

精典例题：【例1】已知如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2。

求：（1）BC 的长；（2）⊙O 的半径r 。

分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。

解：（1）设BM ＝MN ＝NC ＝x ，由切割线定理可得：BM BN AB ⋅=2即)(22x x x +=解得：2=x ，∴BC ＝233=x ； （2）在Rt △ABC 中，AC ＝1422=-AB BC由割线定理可得：CM CN AC CD ⋅=⋅ ∴7142=⋅=AC CM CN CD ∴14145)714214(21)(21=-=-=CD AC r 【例2】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AE AD ⋅的值。

分析：由切割线定理有PC PB PA ⋅=2，可得直径BC 的长，要求AE AD ⋅，由△ACE ∽△ADB 得BA CA AE AD ⋅=⋅，也就是求CA 、BA 的长。

解：连结CE∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线∴PC PB PA ⋅=2又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15 ∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP 又∠P 为公共角，△PAB ∽△PCA ∴212010===PC PA AC AB ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝900 ∴225222==+BC AB AC∙例1图ONMDCBA∙例2图PO EDCB A∴AC ＝56，AB ＝53 又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB ∴△ACE ∽△ADB ，∴ACADAE AB = ∴905356=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD【例3】如图，AB 切⊙O 于A ，D 为⊙O 内一点，且OD ＝2，连结BD 交⊙O 于C ，BC ＝CD ＝3，AB ＝6，求⊙O 的半径。

和圆有关的比例线段(三)一、引言在之前的两篇文档中，我们探讨了和圆有关的比例线段的含义以及相关的性质。

本文是本系列的第三篇，将继续深入研究这一主题。

二、线段比例定理的回顾回顾一下前两篇文档中提到的线段比例定理：给定一个三角形ABC，D是AB上的一点，E是AC上的一点，那么线段DE与线段BC的比例等于线段AD与线段AB的比例：DE / BC = AD / AB这个定理的一个特殊情况是当D为A点时，即D与A重合，那么有：AE / AC = AD / AB这个比例关系在和圆有关的问题中经常出现，接下来我们将进一步探讨。

三、和圆切线的线段比例考虑一个圆O，以及一条过圆外一点P的直线L，我们要求从点P向圆作两条切线，分别与圆相交于点A和点B，并且直线L与线段AB的比例为k。

根据线段比例定理，我们有：PL / PK = PA / PB而直线L与线段AB的比例为k，即 PL / PK = k。

从而我们得到：k = PA / PB这意味着点P到圆切线上的两个交点A和B的距离比例等于直线L与线段AB的比例。

四、从线段比例计算半径比例根据刚刚的推导，我们知道了直线L与线段AB的比例为k，它们满足如下关系：k = PA / PB接下来，我们将从这个比例关系中计算圆的半径比例。

设圆O的半径为r₁，点A和点B到圆心O的距离分别为d₁和d₂。

根据勾股定理，我们有：r₁² = d₁² + PA²r₂² = d₂² + PB²将刚刚得到的线段比例带入上述公式，我们得到：r₁² = d₁² + (k * PB)²r₂² = d₂² + PB²进一步化简得到：r₁² = k² * PB² + d₁²r₂² = PB² + d₂²将这两个等式相除，我们得到半径比例的平方：(r₁ / r₂)² = (k² * PB² + d₁²) / (PB² + d₂²)由于我们已知线段比例k，可以将PB用k来表示，进一步化简得到：(r₁ / r₂)² = (k² * r₂² + d₁²) / (r₂² + d₂²)这个公式给出了直线L与圆O的半径比例的平方，通过计算，我们可以得到r₁ / r₂的具体值。