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2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)

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2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)(2)

2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)(2)

[研一题] [例2] 如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，
直线BMN交AD的延长线于点C，BM
＝MN＝NC，AB＝2，求BC的长度和 ⊙O的半径． 分析：本题考查割线定理，切割 线定理以及勾股定理的综合应用，解答本题需利用切割线
定理求BC，利用割线定理求⊙O的半径．
解：∵AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线 BMN 是 ⊙O 的割线， ∴∠BAC＝90° ，AB2＝BM· BN. ∵BM＝MN＝NC，AB＝2，∴2BM2＝4. ∴BM＝ 2，∴BC＝3BM＝3 2. ∴AB2＋AC2＝BC2,4＋AC2＝18，AC＝ 14. ∵CN· CM＝CD· CA， 2 ∴ 2· 2＝CD· 14，∴CD＝ 14. 2 7 1 5 ∴⊙O 的半径为 (CA－CD)＝ 14. 2 14
4 答案： 3
点击下图进入“创新演练”
[悟一法]
在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利
用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那 么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
[通一类]
1.如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 DC 中点，直线 BE 交⊙O 于点 F，若⊙O 的半 径为 2，求 BF 的长．
解：∵⊙O 的半径为 2， ∴CD＝2，∴DE＝CE＝1，BE＝ 5. 由相交弦定理得 DE· CE＝BE· EF. 5 6 ∴EF＝ .∴BF＝ 5. 5 5
[读教材·填要点] 1．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 ． 2．割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆
的交点的两条线段长的积 相等 ．
3．切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与 圆交点的两条线段长的 比例中项 ． 4．切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 相等 ，圆 心和这一点的连线 平分 两条切线的夹角．

《2.5与圆有关的比例线段》课件1-优质公开课-人教A版选修4-1精品

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(2)解析：由(1)得 AE2＝AD· AB， ∴(6 2)2＝6×AB，AB＝12. ∴OE＝OD＝3，AO＝9. 9 3 AO OE ∵EO∥BC，∴AB＝BC，即 ＝BC.∴BC＝4. 12
►变式训练
2．PA 切⊙O 于点 A，PBC 为⊙O 割线，且 PB＝BC，PA＝3 2， 则 BC＝________.
比例中项 ． 割线与圆交点的两条线段长的____________
4 ．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
相等 ，圆心和这一点的连线________ 平分 两条切线的夹角． ________
题型1
相交弦定理的应用
例1 已知圆中有两条弦相交， 第一条弦被交点分为 12 cm 和 16 cm
►变式训练
1．⊙O 的两条弦 AB、CD 交于 AB 的中点 E，且 AB＝4，DE＝CE ＋3，则 CD＝________.
答案：5
题型2 切割线及割线定理的应用
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，BE 平分∠ABC 且(1)求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线； (2)若 AD＝6，AE＝6 2，求 BC 的长．
第二讲
直线与圆的位置关系
2.5 与圆有关的比例线段
1．掌握相交弦定理． 2．掌握割线定理． 3．掌握切割线定理与切线长定理．
1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的
相等 ． 积________
2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与 圆的交点的两条线段长的积相等． 3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到
答案：3
题型3
切线长定理的应用
例3
解析：(1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE.由“切 线长”定理可知 PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC. ∴PA＋PB＝2PA＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋(DC＋EC)， 即 2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE 的周长＝PD＋PE＋DE＝8 cm. ∴2PA＝8 cm，PA＝4 cm.

2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)(2)

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一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 天津高考)如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行 线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F， 3 AF＝3，FB＝1，EF＝ ，则线段 CD 的长为________． 2
[命题立意]
[通一类] 3.已知：从圆外一点P，作切线PA.A为 切点，从PA的中点B作割线BCD，交
圆于C、D，连接PC、PD，分别交圆
于E、F. 求证：EF∥PA.
证明：∵PBA 是圆的切线，BCD 是圆的割线． ∴BA2＝BC· BD. 又∵B 为 PA 中点，∴PB＝BA. PB BC 即 PB ＝BC· BD， ＝ . BD PB
(1)求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证：CE· EB＝EF· EP； (3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长． 分析：本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似 三角形的判定与性质与切线长定理的综合应用．解答本题
需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用．
解：(1)证明：∵DE2＝EF· EC， ∴DE∶CE＝EF∶ED. ∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.
[悟一法]
在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利
用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那 么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
[通一类]
1.如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 DC 中点，直线 BE 交⊙O 于点 F，若⊙O 的半 径为 2，求 BF 的长．
解：∵⊙O 的半径为 2， ∴CD＝2，∴DE＝CE＝1，BE＝ 5. 由相交弦定理得 DE· CE＝BE· EF. 5 6 ∴EF＝ .∴BF＝ 5. 5 5

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2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)(2)
2 2
1 14 4－ ＝ ， 2 2
AB BE 又△ABE∽△FAB，所以 ＝ ， FA AB AB2 4 4 14 即 BE＝ ＝ ＝ . FA 7 14 2
[研一题]
[例3] 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，
PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上
一点，且DE2＝EF· EC.
[小问题·大思维] 1．切割线定理与割线定理之间有什么关系？ 提示：切割线定理是割线定理的一种特殊情况． 2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆 心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？
提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的
中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．
[研一题]
[例 1] 如图，AB、CD 是半径为 a
2
又∵∠PBC＝∠DBP， ∴△BPC∽△BDP，∠BPC＝∠D. 又∵∠E＝∠D，∴∠BPC＝∠E，EF∥PA.
本课时考点是高考的重点内容，题型既有选择题、 填空题，也有解答题，且是多个定理综合应用.2012年 天津高考将相交弦切割线定理与相似三角形的性质相 结合综合考查解决的问题的能力，是高考模拟命题的
一个 天津高考)如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行 线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F， 3 AF＝3，FB＝1，EF＝ ，则线段 CD 的长为________． 2
[命题立意]
[研一题] [例2] 如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，
直线BMN交AD的延长线于点C，BM
＝MN＝NC，AB＝2，求BC的长度和 ⊙O的半径． 分析：本题考查割线定理，切割 线定理以及勾股定理的综合应用，解答本题需利用切割线

《2.5与圆有关的比例线段》课件2-优质公开课-人教A版选修4-1精品

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五 与圆有关的比例线段
1．相交弦定理 (1)文字语言 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的 积
相等 ．
(2)图形语言 如图 2－5－1，弦 AB 与 CD 相交于 P 点，则 PA· PB＝
PC· PD
.
图 2－5－1
2．割线定理 (1)文字语言 从圆外一点引圆的两条 割线 ，这一点到每条割线与圆 的 交点 的 两条线段长 的积相等． (2)图形语言 如图 2－5－2，⊙O 的割线 PAB 与 PCD，则有： PA·
1．解答本题的关键是先根据切割线定理求 BC. 2 ．切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行 线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问 题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．
(2013 天津高考)如图 2－5－8， 在圆内接梯形 ABCD 中， AB∥DC.过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E.若 AB ＝AD＝5，BE＝4，则弦 BD 的长为________．
图 2－5－4
1．能否用三角形相似证明相交弦定理？
【提示】 能．如图，⊙O 的弦 AB、CD 相交于 P 点， PA PD 连接 AD、BC，则△APD∽△CPB.故有 ＝ ，即 PA· PB PC PB ＝PC· PD.
2 ．垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、 切割线定理之间有何关系？
(2013· 湖南高考)如图 2－5－6，在半径为 7的⊙O 中， 弦 AB，CD 相交于点 P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心 O 到 弦 CD 的距离为________．
图 2－5－6
【解析】
由相交弦定理得 PA· PB＝PC· PD.
又 PA＝PB＝2，PD＝1，则 PC＝4， ∴CD＝PC＋ PD＝5. 过 O 作 CD 的垂线 OE 交 CD 于 E，则 E 为 CD 中点， ∴OE＝

2.5与圆有关的比例线段 课件(人教A版选修4-1)2

2.5与圆有关的比例线段 课件(人教A版选修4-1)2
答案：2
PA 8 =2. PB 4
割线定理、切割线定理及其应用 【技法点拨】 1.割线、切割线定理的应用 (1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、
平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数
学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等.
(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况,当两条割线中
由切割线定理，可得AQ2=QB·QC， ∴62=QB·(QB+5)， 解得QB=4(负值舍去).„„„„„„„„„„„„„„„„8分 ∵∠QAB=∠QCA， ∴△QAB∽△QCA,
AB QA . „„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 ∴ AC QC ∴ AB 6 ，解得AB 10 . „„„„„„„„„„„„12分 5 45 3
∴EA⊥AB,FB⊥AB,∴EA∥FB,∴ EA EP ,
∴
EC EP , ∴CP∥FB, FC PB BF BP
∴∠EPC=∠EBF.
【规范解答】 切割线定理的综合应用
【典例】(12分)如图，P是⊙O外一点，
PA切⊙O于A，PBC为⊙O的割线.
2 AB PB 求证： . 2 AC PC
阻.
切线长定理及其应用 【技法点拨】 切线长定理的应用 运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相 等；②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角.然后结合三 角形等图形的有关性质进行计算与证明.
【典例训练】 1.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，∠P=80°， 则∠C=_____.
需要 . 【解题设问】(1)本题需要求BC的长吗？______
证明∠ABC=∠BAC . (2)利用什么求BC呢？_________________

2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)(2)

2
又∵∠PBC＝∠DBP， ∴△BPC∽△BDP，∠BPC＝∠D. 又∵∠E＝∠D，∴∠BPC＝∠E，EF∥PA.
本课时考点是高考的重点内容，题型既有选择题、 填与相似三角形的性质相 结合综合考查解决的问题的能力，是高考模拟命题的
2 2
1 14 4－ ＝ ， 2 2
AB BE 又△ABE∽△FAB，所以 ＝ ， FA AB AB2 4 4 14 即 BE＝ ＝ ＝ . FA 7 14 2
[研一题]
[例3] 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，
PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上
一点，且DE2＝EF· EC.
[通一类] 3.已知：从圆外一点P，作切线PA.A为 切点，从PA的中点B作割线BCD，交
圆于C、D，连接PC、PD，分别交圆
于E、F. 求证：EF∥PA.
证明：∵PBA 是圆的切线，BCD 是圆的割线． ∴BA2＝BC· BD. 又∵B 为 PA 中点，∴PB＝BA. PB BC 即 PB ＝BC· BD， ＝ . BD PB
4 答案： 3
点击下图进入“创新演练”
[悟一法]
在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利
用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那 么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
[通一类]
1.如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 DC 中点，直线 BE 交⊙O 于点 F，若⊙O 的半 径为 2，求 BF 的长．
解：∵⊙O 的半径为 2， ∴CD＝2，∴DE＝CE＝1，BE＝ 5. 由相交弦定理得 DE· CE＝BE· EF. 5 6 ∴EF＝ .∴BF＝ 5. 5 5
一个新亮点．
[考题印证]

人教A版高中数学选修4-1 第二讲 五 与圆相关的比例线段 课件(共30张PPT)

AP＝2，则PO 等于（ B ）
A.4 B． 3 C. 2 D． 1
解析 由相交弦定理 ，PA·PB=PC·PD
D
∵PC=PD,∴ 2*PB=4*4 ∴PB=8，AB=PB+PA=10.
O
AP
B
∴PO=5-2=3. C
3、如图，PAB为⊙O的割线，PC切⊙O于C，PC＝10，
AB＝15，则PA长 （ ） A
B
PD PB
∴PA•PB=PC•PD
C
D O
AP C
探究
B
D AP B
O
C D
P A OB
C 将弦AB向上或向下平移，是否还有以上等式呢？
D
AP
B
O
D A PO B
C 证明：
C
连接AD，BC
∠A＝∠C， ∴Rt△APD∽Rt△CPB
△APD∽△CPB
PA PC PD PB
PA•PB=PC•PD
A2 B
上面都是与圆有关角得关系，那么与圆有
关线段是否存在什么关系呢？
探究
如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB，AB与CD相
交于P.
D
AP O
B
C
C
猜想：PA、PB、PC、PD有什么关系呢？
教学目标
知识与能力
理解和掌握相交弦定理、割线定理、切 割线定理、切线长定理，并能够应用定理解 决和证明相关的几何问题.
A.5 B． 6 C. 7 D． 8
解析 由切割线定理 ，PC2=PA·PB ∴ 10*10=PA*(PA+15) P
∴PA=5.
A
B
O
C
4.如图AB是⊙O的直径,过A、B引两条弦AD和BE, 相交于点C. 求证: AC•AD+BC•BE=AB2

2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)

32－8＝24或32－24＝8，
所以另一条弦被交点分成的两段长分别为8 cm和24 cm.
2.
如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON， P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交 ⊙O于Q、R. 求证：PM· MQ＝PN· NR.
证明： OM＝ON
OA＝OB
AM＝BN ⇒ BM＝AN
∵PE⊥OA，
∴AP2＝AE· AO. ∵PD· PC＝PA· PB＝AP2， ∴PD· PC＝AE· AO.
相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，
也经常与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相 结合证明某些结论．
1．已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12 cm和
16 cm两段，第二条弦的长为32 cm，求第二条弦被交 点分成的两段长． 解：设第二条弦被交点分成的一段长为x cm， 则另一段长为(32－x) cm. 由相交弦定理得：x(32－x)＝12×16， 解得x＝8或24，
答案： 6
4．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交
⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分
别与AB，AC相交于点D、E，求证：(1)AD＝AE；
(2)AD2＝DB· EC.
证明：(1)因为∠AED＝∠EPC＋∠C，
∠ADE＝∠APD＋∠PAB， PE是∠APC的角平分线， 故∠EPC＝∠APD， 因为PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB. 所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.
(2)切割线定理： ①文字叙述： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长的 比例中项 ； ②图形表示： 如图，⊙O的切线PA，切点为A， PC 割线PBC，则有 PA2＝PB· .
3．切线长定理 (1)文字叙述： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的 长相等 ，圆 心和这一点的连线平分 两条切线 的夹角．

2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)(2)

2 2
1 14 4－ ＝ ， 2 2
AB BE 又△ABE∽△FAB，所以 ＝ ， FA AB AB2 4 4 14 即 BE＝ ＝ ＝ . FA 7 14 2
[研一题]
[例3] 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，
PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上
一点，且DE2＝EF· EC.
[读教材·填要点] 1．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 ． 2．割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆
的交点的两条线段长的积 相等 ．
3．切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与 圆交点的两条线段长的 比例中项 ． 4．切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 相等 ，圆 心和这一点的连线 平分 两条切线的夹角．
[悟一法]
相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理 是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是 因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆
周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得
到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆 有关的相似三角形问题． 因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到 相交弦定理；见到两条割线要想到割线定理；见到切线 和割线要想到切割线定理．
2
又∵∠PBC＝∠DBP， ∴△BPC∽△BDP，∠BPC＝∠D. 又∵∠E＝∠D，∴∠BPC＝∠E，EF∥PA.
本课时考点是高考的重点内容，题型既有选择题、 填空题，也有解答题，且是多个定理综合应用.2012年 天津高考将相交弦切割线定理与相似三角形的性质相 结合综合考查解决的问题的能力，是高考模拟命题的
[小问题·大思维] 1．切割线定理与割线定理之间有什么关系？ 提示：切割线定理是割线定理的一种特殊情况． 2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆 心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？
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答案：B
6. 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 ⊙O分别相切于L、M、N、P. 求证：AD＋BC＝AB＋CD. 证明：由圆的切线长定理得 CM＝CN，BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN， ∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC，
CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD，
∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC) ＝(AL＋ND)＋(BL＋CN)
∵PE⊥OA，
∴AP2＝AE· AO. ∵PD· PC＝PA· PB＝AP2， ∴PD· PC＝AE· AO.
相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，
也经常与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相 结合证明某些结论．
1．已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12 cm和
16 cm两段，第二条弦的长为32 cm，求第二条弦被交 点分成的两段长． 解：设第二条弦被交点分成的一段长为x cm， 则另一段长为(32－x) cm. 由相交弦定理得：x(32－x)＝12×16， 解得x＝8或24，
∠PCE＝∠PAD ⇒ (2) ∠CPE＝∠APD EC PC △PCE∽△PAD⇒DA＝ PA ； ∠PEA＝∠PDB AE PA ⇒△PAE∽△PBD⇒ BD＝PB. ∠APE＝∠BPD PA是切线，PBC是割线⇒ PA PC PA ＝PB· PC⇒PB＝ PA .
(2)图形表示：
如图：⊙O的切线PA、PB，则PA ＝ PB ，∠OPA＝ ∠OPB .
[例1]
如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过
点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C、D两点，垂足是点E. 求证：PC· PD＝AE· AO.
[思路点拨]
由相交弦定理知PC· PD＝AP· PB，又P为AB
的中点，∴PC· PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可． [证明] 连接OP， ∵P为AB的中点， ∴OP⊥AB，AP＝PB.
答案： 6
4．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交
⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分
别与AB，AC相交于点D、E，求证：(1)AD＝AE；
(2)AD2＝DB· EC.
证明：(1)因为∠AED＝∠EPC＋∠C，
∠ADE＝∠APD＋∠PAB， PE是∠APC的角平分线， 故∠EPC＝∠APD， 因为PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB. 所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.
＝(AL＋BL)＋(ND＋CN)
＝AB＋CD， 即AD＋BC＝AB＋CD.
点击下图进入应用创新演练
(2)切割线定理： ①文字叙述： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长的 比例中项 ； ②图形表示： 如图，⊙O的切线PA，切点为A， PC 割线PBC，则有 PA2＝PB· .
3．切线长定理 (1)文字叙述： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的 长相等 ，圆 心和这一点的连线平分 两条切线 的夹角．
故另一段长为32－8＝24或32－24＝8，
所以另一条弦被交点分成的两段长分别为8 cm和24 cm.
2.
如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON， P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交 ⊙O于Q、R. 求证：PM· MQ＝PN· NR.
证明： OM＝ON
OA＝OB
Hale Waihona Puke AM＝BN ⇒ BM＝AN
PM· MQ＝AM· MB PN· NR＝BN· AN ⇒PM· MQ＝PN· NR.

[例2]
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，
ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB. 证明：(1)AD· AE＝AC2； (2)FG∥AC. [思路点拨] (1)利用切割线定理；
2
EC AE 故DA＝BD，又AD＝AE， 故AD2＝DB· EC.
[例 3]
如图，AB 是⊙O 的直径，C 是
⊙O 上一点，过点 C 的切线与过 A、 B 两点的切线分别交于点 E、F， AF 与 BE 交于点 P. 求证：∠EPC＝∠EBF. [ 思 路 点 拨 ] 切线长定理 → EA＝EC，FC＝FB
EC EP → FC＝PB → CP∥FB → 结论
[证明]
∵EA，EF，FB是⊙O的切线，
∴EA＝EC，FC＝FB. ∵EA，FB切⊙O于A，B，AB是直径， ∴EA⊥AB，FB⊥AB. EA EP EC EP ∴EA∥FB.∴BF＝BP.∴FC＝PB. ∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF.
运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系， 即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切 线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计 算与证明．
切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行
线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学
问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．
3．(2012· 湖南高考)如图，过点P的直线 与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1， AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．
解析：设⊙O的半径为R，由割线定理得 PA· PB＝(3－R)(3＋R)，即1×3＝9－R2，∴R＝ 6.
1．相交定理 圆内的两条 相交弦 ，被交点分成的两 条线段长的 积相等 ．如图，弦AB与CD相
PD 交于P点，则PA· PB＝ PC· .
2．割线有关定理
(1)割线定理： ①文字叙述： 从圆外一点引圆的两条 割线 ，这一点到每条割线与圆 的 交点 的两条线段长 的积相等．
②图形表示：
如图，⊙O的割线PAB与PCD， PB＝PC· . PD 则有： PA·
(2)证△ADC∽△ACE.
[证明]
(1)∵AB是⊙O的一条切线，
ADE是⊙O的割线， ∴由切割线定理得AD· AE＝AB2. 又AC＝AB，∴AD· AE＝AC2. AD AC (2)由(1)得 AC＝AE， 又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE. ∴∠ADC＝∠ACE. 又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE. ∴FG∥AC.
5． 两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线 OA、OB，A、B是切点，则∠AOB＝ A．90° C．45° B．60° D．30° ( )
解析：如图，连接OO′，O′A. ∵OA为⊙O′的切线， ∴∠OAO′＝90° . 又∵⊙O与⊙O′为等圆且外切， ∴OO′＝2O′A. AO′ 1 ∴sin ∠AOO′＝ ＝ . OO′ 2 ∴∠AOO′＝30° . 又由切线长定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60° .