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五与圆有关的比例线段1．相交弦定理(1)文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)图形语言如图2－5－1，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.图2－5－12．割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(2)图形语言图2－5－2如图2－5－2，⊙O的割线PAB与PCD，则有：PA·PB＝PC·PD.3．切割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(2)图形语言如图2－5－3，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.图2－5－34．切线长定理(1)文字叙述从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示如图2－5－4，⊙O的切线PA、PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.图2－5－41．能否用三角形相似证明相交弦定理？【提示】能．如图，⊙O的弦AB、CD相交于P点，连接AD、BC，则△APD∽△CPB.故有PAPC＝PDPB，即PA·PB＝PC·PD.2．垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间有何关系？【提示】如图，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点，PCD为过圆心O的割线，连接AB，交PD于点E，则有下列结论：(1)PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO；(2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE；(3)若AC平分∠BAP，则C为△PAB的内心；(4)OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2；(5)AC＝BC，AD＝DB，PD⊥AB；(6)∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BPD.3．应用切割线定理应注意什么？【提示】应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错．(1)如图所示，把PC2＝PA·PB错写成PC2＝PO·PB；(2)如图所示，把关系式PT2＝PB·PA错写成PT2＝PB·BA，把关系式PB·PA＝PD·PC错写成PB·BA＝PD·DC.图2－5－5如图2－5－5，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC＝2，PA＝8，则tan∠ACD的值为________．【思路探究】由垂径定理知，点P是BD的中点，先用相交弦定理求PD，再用射影定理或勾股定理求AD、CD，最后求tan∠ACD.【自主解答】∵BD⊥AC，∴BP＝PD，∴PD2＝PA·PC＝2×8＝16，∴PD＝4.连接AD，则∠ADC＝90°，∴tan∠ACD＝AD CD.又AD＝PA2＋PD2＝82＋42＝45，CD＝PC2＋PD2＝22＋42＝25，∴tan∠ACD＝4525＝2.【答案】 21．解答本题的关键是先用相交弦定理求PD，再用勾股定理或射影定理求AD、CD.2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．(2018·湖南高考)如图2－5－6，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．图2－5－6【解析】由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，∴CD＝PC＋PD＝5.过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，∴OE＝r2－CD22＝7－254＝32.【答案】32图2－5－7已知如图2－5－7所示，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM ＝MN＝NC，若AB＝2.求：(1)BC的长；(2)⊙O的半径r.【思路探究】由AB2＝BM·BN求得BC→由CD·AC＝CN·CM求得CD→结果【自主解答】(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.根据切割线定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x)．解得x ＝2，∴BC ＝3x ＝3 2. (2)在Rt △ABC 中， AC ＝BC 2－AB 2＝14， 由割线定理，得CD·AC＝CN·CM，由(1)可知， CN ＝2，BC ＝32，CM ＝BC －BM ＝32－2＝22， AC ＝14， ∴CD ＝CN·CM AC ＝2147， ∴r ＝12(AC －CD)＝12(14－2147)＝51414.1．解答本题的关键是先根据切割线定理求BC.2．切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．图2－5－8(2018天津高考)如图2－5－8，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为________．【解析】 因为AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是等腰梯形，所以BC ＝AD ＝AB ＝5.又AE 是切线，所以AE ∥BD ，AE 2＝BE·EC＝4(4＋5)＝36，所以AE ＝6.因为∠CDB ＝∠BAE ，∠BCD ＝∠ABE ，所以△ABE ∽△DCB ，所以AE DB ＝BE BC ，于是BD ＝5×64＝152. 【答案】152如图2－5－9B 两点的切线分别交于点E 、F ，AF 与BE 交于点P.图2－5－9求证：∠EPC ＝∠EBF. 【思路探究】 由切线→EA＝EC ，FC ＝FB→EC FC ＝EPPB→CP∥FB→结论【自主解答】 ∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB ，∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB ， ∴EA ∥FB ， ∴EA BF ＝EP BP ， ∴EC FC ＝EP PB ， ∴CP ∥FB ， ∴∠EPC ＝∠EBF.1．解答本题的关键是利用对应线段成比例得到CP ∥FB.2．运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即(1)切线长相等，(2)圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．图2－5－10如图2－5－10所示，已知⊙O 的外切等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝DC ，梯形中位线为EF. (1)求证：EF ＝AB ；(2)若EF ＝5，AD ∶BC ＝1∶4，求此梯形ABCD 的面积． 【解】 (1)证明：∵⊙O 为等腰梯形ABCD 的内切圆， ∴AD ＋BC ＝AB ＋CD.∵EF 为梯形的中位线，∴AD ＋BC ＝2EF.又∵AB＝DC，∴2EF＝2AB，∴EF＝AB.(2)∵EF＝5，∴AB＝5，AD＋BC＝10. ∵AD∶BC＝1∶4，∴AD＝2，BC＝8. 作AH⊥BC于H，则BH＝12(BC－AD)＝12(8－2)＝3.在Rt△ABH中，AH＝AB2－BH2＝52－32＝4.∴S梯ABCD＝EF·AH＝5×4＝20.(教材第40页习题2.5第3题)如图2－5－11，点P为⊙O的弦AB上的任意点，连接PO，PC⊥OP，PC交圆于C，求证：PA·PB＝PC2.图2－5－11(2018·湖南高考)图2－5－12如图2－5－12所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．【【解析】设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝ 6.【答案】61．如图2－5－13，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE＝( )图2－5－13A．1 B．2C．3 D．4【解析】由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2.【答案】 B2．如图2－5－14，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，过点P的直线l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC ＝9，则PA等于( )图2－5－14A．4 B．6C．9 D．36【解析】由切割线定理知，PA2＝PB·PC＝4×9＝36，∴PA＝6.【答案】 B3．如图2－5－15，PA、PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，∠P＝80°，则∠C＝________.图2－5－15【解析】∵PA、PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB.又∠P＝80°，∴∠PAB＝∠PBA＝50°.∴∠ACB＝∠PAB＝50°.【答案】50°4．(2018·重庆高考)如图2－5－16，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为______．图2－5－16【解析】在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10 3.∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5 3.由切割线定理得DC2＝DE·DB，即(53)2＝15DE，∴DE＝5.【答案】 5一、选择题1．PT切⊙O于T，割线PAB经过点O交⊙O于A、B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝( )A.45B.12C.38D.34【解析】如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，∴cos∠BPT＝PTPO＝45.【答案】 A图2－5－172．如图2－5－17，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O半径为( ) A．5.5 B．5C．6 D．6.5【解析】由相交弦定理知AP·PB＝CP·PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝AP·BPCP＝4×63＝8，∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.【答案】 A图2－5－183．如图2－5－18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为( )A．1 B.12C.13D.14【解析】观察图形，AC与⊙O切于点C，AB与⊙O切于点E，则AB＝AC2＋BC2＝5.如图，连接OE，由切线长定理得AE＝AC＝4，故BE＝AB－AE＝5－4＝1.根据切割线定理得BD·BC＝BE2，即3BD＝1，故BD＝13 .【答案】 C4.图2－5－19(2018·北京高考)如图2－5－19，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正确；②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正确；③项，延长AD于M，连结FD，∵AD与圆O切于点D，则∠GDM＝∠GFD，∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，则△AFB与△ADG不相似，故③错误，故选A.【答案】 A二、填空题图2－5－205．(2018·天津高考)如图2－5－20，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交wEw.【解析】因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以34＝2BD，即BD＝83.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝649，所以x＝43 .【答案】4 36．(2018·北京高考)如图2－5－21，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.图2－5－21【解析】由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a.根据切割线定理有PA2＝PD·PB.又PA＝3，PB＝25a，∴9＝9a·25a，∴a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5. 在Rt △PAB 中，AB 2＝PB 2－AP 2＝25－9＝16，故AB ＝4.【答案】 954 三、解答题图2－5－227．如图2－5－22所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，D 为⊙O 上的点，且AD ＝AC ，AD ，BC 相交于点E.(1)求证：AP ∥CD ；(2)设F 为CE 上的一点，且∠EDF ＝∠P ，求证：CE·EB＝FE·EP.【证明】 (1)∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠ADC.又∵PA 与⊙O 相切于点A ，∴∠ACD ＝∠PAD.∴∠PAD ＝∠ADC ，∴AP ∥CD.(2)∵∠EDF ＝∠P ，且∠FED ＝∠AEP ，∴△FED ∽△AEP.∴FE·EP＝AE·ED.又∵A 、B 、D 、C 四点均在⊙O 上，∴CE·EB＝AE·ED，∴CE·EB＝FE·EP.8．如图2－5－23，圆的两弦AB 、CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线AD 交于P ，再从P 引这个圆的切线，切点是Q ，求证：PF ＝PQ.图2－5－23【证明】 ∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠ADF ＝∠ABC.∵PF ∥BC ，∴∠AFP ＝∠ABC.∴∠AFP ＝∠FDP.∵∠APF ＝∠FPD ，∴△APF ∽△FPD.∴PF PA ＝PD PF.∴PF 2＝PA·PD.∵PQ 与圆相切，∴PQ 2＝PA·PD.∴PF 2＝PQ 2，∴PF ＝PQ.9．如图2－5－24，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PO ＝4cm ，∠APB ＝60°，求阴影部分的周长．图2－5－24【解】 如下图所示，连接OA ，OB.∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝π2，∠APO ＝12∠APB ＝π6，在Rt △PAO 中，AP ＝PO·cos π6＝4×32＝2 3 (cm)，OA ＝12PO ＝2 (cm)，PB ＝23(cm)．∵∠APO ＝π6，∠PAO ＝∠PBO ＝π2，∴∠AOB ＝2π3， ∴l AB ＝∠AOB·R＝2π3×2＝43π(cm)，∴阴影部分的周长为PA ＋PB ＋l AB ＝23＋23＋43π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋4π3cm.10.如图，已知AD 是⊙O 的切线，D 为切点，割线ABC 交⊙O 于B 、C 两点，若DE ⊥AO 于E. 求证：∠AEB ＝∠ACO.【证明】 连接DO.∵AD 为切线，∴AD ⊥DO.∴△ADE ∽△AOD.∴AD AE ＝AO AD .即AD 2＝AE·AO.又∵AD 为切线，∴AD 2＝AB·AC.∴AE·AO＝AB·AC，即AE AB ＝AC AO .∵∠EAB ＝∠CAO ，∴△EAB ∽△CAO.∴∠AEB ＝∠ACO.。
五与圆有关的比例线段-人教A版选修4-1 几何证明选
讲教案
教案目标
1.能够理解圆的定义、性质；
2.能够根据给定条件证明圆的性质；
3.能够运用圆的性质解决相关问题。
教学重点
1.圆的定义和性质；
2.线段比例的性质。
教学难点
1.如何证明圆内接角等于该角对应的弧的一半。
教学方法
1.自主探究法；
2.案例分析法。
教学过程
1. 引入
教师用白板或PPT展示一张圆形图片，让学生自主分析，如何定义圆、圆的性质等。
2. 自主探究
学生自主尝试解决以下问题：
给定圆O，∠ACB 为其内接角，弧AB 对应的圆心角为α，弧ACB 对应的圆心角为β，求证：∠ACB 等于弧AB 的一半，即∠ACB = 0.5α。
学生可自行思考、讨论、尝试证明此结论。
3. 全班讨论
教师对学生的证明进行点评、总结，让学生一起讨论解决其他类似问题的证明方法。
4. 案例分析
例：点P、Q 在圆内，分别交弧AB、AC 和弦 BC 于点M、N。
若 BM：AM = 7：5，CN：AN = 3：2，求证：PQ 与 BC 平行。
教师和学生一起探究如何使用线段比例的性质来证明此结论，并讨论如何解决类似问题。
5. 课后拓展
让学生自主寻找与圆有关的证明题目，并在下节课适当的时间讨论。
课堂小结
教师对上节课讲解的圆的定义和性质进行复习，并总结线段比例的性质的应用方法。
课堂作业
1.完成课本练习题；
2.寻找一些与圆有关的证明题目，并尝试解决。
