人教版数学高二A版选修4-1温故知新第二讲五与圆有关的比例线段

五与圆有关的比例线段
1．会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理．(重点)
2．能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1相交弦定理
阅读教材P34～P35“定理”及以上部分，完成下列问题．
1．文字语言
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2．图形语言
如图2-5-1，弦AB与CD相交于P点，则P A·PB＝PC·PD.
图2-5-1
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为__________．
【解析】 根据相交弦定理，AM ·BM ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫CD 22， 所以CD 2＝6，CD ＝12.
【答案】 12
教材整理2 割线定理
阅读教材P 35～P 36“割线定理”及以上部分，完成下列问题．
1．文字语言 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
2．图形语言
如图2-5-2，⊙O 的割线P AB 与PCD ，则有P A ·PB ＝PC ·PD .
图2-5-2
如图2-5-3，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A .若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝__________.
图2-5-3
【解析】 由割线定理知，
AB ·AC ＝AD ·AE ，
即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5.
【答案】 5
教材整理3 切割线定理
阅读教材P 36“切割线定理”及以上部分，完成下列问题．。

庖丁巧解牛知识·巧学一、相交弦定理.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等..定理的证明：如图，已知⊙的两条弦、相交于圆内的一点.图求证：··.证明：连结、，则由圆周角定理有∠∠，又∵∠∠，∴△∽△.∴∶∶，即··.当然，连结、也能利用同样道理，证得同样结论..由于在问题的证明中，⊙的弦、是任意的，因此，··成立，表明“过圆内一定点的弦，被点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点的弦有无数多条，然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦，如过点的最长或最短的弦，通过它们可以找到定值.图如图（），考察动弦，若过⊙的圆心，则为过点的最长的弦，设⊙的半径为，则·（）（）. 如图（），考察过点的弦中最短的弦，为过⊙内一点的直径，为过点且垂直于的弦，显然，由垂直定理和相交弦定理，应有··().由于⊙是定圆，为⊙内一定点，故⊙的半径与的长为定值.设，比较上述两式，其结论是一致的，即·()（），为定值.于是，相交弦定理可进一步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量，它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.”定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点的位置有关，对圆内不同的点，一般来说，定值是不同的，即这个定值是相对于定点与定圆而言的.知识拓展由第二式可直接得到相交弦定理的推论:“如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.”即·.二、割线定理与切割线定理.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等..切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项..符号语言表述：如图，··.图.定理的证明：连结、，由于为切线，所以∠∠.又因为∠∠，于是△∽△，因此有∶∶，即·.同理，有·，所以··.记忆要诀应用定理应注意的两点：（）所有线段，都有一个公共端点，而另一端点在圆上；（）等积式左右两边的线段，分别在同一条割线上.误区警示使用这部分定理推论时，常常容易出现错误，因此需要结合图形，来准确表述相交弦定量、切割线定理及其推论的题设和结论.如图（１），弦ＡＢ和ＣＤ交于⊙Ｏ内一点Ｐ，则有ＰＡ·ＰＢＰＣ·ＰＤ；如图（２），ＣＤ为⊙Ｏ的弦，ＡＢ为直径，且ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ，则有ＰＣＰＡ·ＰＢ.常见错误是将线段关系写为ＤＰ·ＤＣＢＰ·ＢＡ，ＰＣＰＯ·ＰＢ.()()图如图（），点Ｐ是⊙Ｏ外一点，ＰＴ为切线，Ｔ为切点，ＰＡ为割线，点Ａ、Ｂ是它与⊙Ｏ的交点，则有ＰＴＰＡ·ＰＢ，常见错误是把线段关系写成ＰＴＰＡ·ＡＢ.如图（），ＰＡＢ为⊙Ｏ的割线，ＰＣＤ为⊙Ｏ的另一条割线，则ＰＡ·ＰＢＰＣ·ＰＤ.常见错误是把线段关系写成ＰＡ·ＡＢＰ·ＣＤ.如图()，把切割线定理的推论写成ＰＡ·ＰＢＰＣ·ＰＯ.() () ()图三、切线长定理.我们知道，过圆外一点可以引两条直线与圆相切，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长称为切线长.切线长是一条线段的长，而这条线段的两端分别是圆外的已知点和切点.注意切线是一条直线，而切线长是切线上一条线段的长，属于切线的一部分. .切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角..如图，、是⊙外一点向圆作的两条切线，切点分别为和，那么连结、、，因为、与⊙相切于、两点，则有⊥，⊥，于是∠、∠都是直角.又，，所以△≌△.所以，∠∠.。

自我小测1．如图，圆内接四边形ABCD的边BA、CD的延长线交于P，AC、BD交于E，则图中的相似三角形有()．A．2对B．3对C．4对D．5对2．在半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为()．A．33cm B．27 cm C．123cm D．63cm3．如图，PA、PB分别为O的切线，切点分别为A、B，PA＝7，在劣弧AB上任取一点C，过C作O的切线，分别交PA、PB于D、E，则△PDE的周长是()．A．7 B．10 C．14 D．284．如图，两个等圆O和O′外切，过O作O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于()A．90°B．60°C．45°D．30°5．如图所示，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，2 3 aPD=，∠OAP＝30°，则CP＝__________.6．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA PB⋅的最小值为__________．7．如图，已知PA，PB为O的切线，AB与PO相交于点M，O的弦CD过点M，连接DP，CP.求证：(1)设OP交O于点E，则OE2＝OM·OP；(2)∠DPA＝∠CPB．参考答案1.答案：C解析：△PAD∽△PCB，△PAC∽△PDB，△ADE∽△BCE，△AEB∽△DEC，共4对．2.答案：C解析：方法一：如图所示，OA＝12 cm，CD为OA的垂直平分线，连接OD．在Rt△POD中，2222=-=-=，PD OD OP1266 3 cm∴CD＝2PD＝123(cm)．方法二：如图，由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD．又∵CD为线段OA的垂直平分线，∴PD2＝PA·PM.又∵PA＝6 cm，PM＝6＋12＝18 cm，PD=，∴CD＝2PD＝123(cm)．∴PD2＝6×18，∴6 3 cm3.答案：C解析：∵DA、DC为O的切线，∴DA＝DC．同理EB＝EC．∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝(PD＋DC)＋(PE＋CE)＝(PD＋DA)＋(PE＋EB)＝PA ＋PB＝7＋7＝14.4.答案：B解析：如图，连接OO′，O′A．∵OA为O′的切线，∴∠OAO′＝90°.又∵O与O′为等圆且外切，∴OO′＝2O′A．∴'1sin ''2AO AOO OO ∠==，∴∠AOO ′＝30°. 又由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°. 5. 答案：98a 解析：∵AP ＝PB ，∴OP ⊥AB ． 又∵∠OAP ＝30°，∴32AP A =． 由相交弦定理得CP ·PD ＝AP 2，∴22339428AP CP a A PD a ==⨯=． 6. 答案：223-解析：如图，设∠APO ＝θ，222cos 2(12sin )PA PB PA PA θθ⋅=⋅=⋅－221(1)12||OP OP ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭－ ＝|OP |2＋22||OP －3≥223-，当且仅当|OP |2＝22||OP ，即|OP |＝42时，“＝”成立． 7. 证明：(1)连接OA ，OA ⊥PA ，∵PA 、PB 为O 的切线，∴PA ＝AB ，PO 平分∠APB ．∴PO ⊥AB ． 又OA ⊥PA ，∴OA 2＝OM ·OP . 又OE ＝OA ，∴OE 2＝OM ·OP . (2)连接OD ，OC ，∵OA 2＝OM ·OP ， 又OA ＝OD ，∴OD 2＝OM ·OP ，即OM ODOD OP=.又∠DOM＝∠POD，∴△OMD∽△ODP.∴∠1＝∠2. 同理∠3＝∠4.又∠1＝∠3，∴∠2＝∠4.又∠APD＝∠BPO，∴∠APD＝∠BPC．。

一、选择题1．如图所示，PC 切⊙O 于A ，PO 的延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AC ∶CP ＝1∶2，则PO ∶OB 等于( )．A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．1∶4解析 连接OA ，则OA ⊥PC ，∴△PAO ∽△PBC ，∴PO PC ＝OA BC ，即PO OA ＝PC BC ，又∵OA ＝OB ，AC ∶CP ＝1∶2，设AC ＝x ，则CP ＝2x ，∴CA ＝x ＝BC ，∴PO OA ＝2x x ＝2，∴PO ∶OB ＝2∶1.答案 A2．如图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，连接OP 交AB 于C ，连接OA 、OB ，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为 ( )．A ．1,2B ．2,2C ．2,6D ．1,6解析 ∵PA 、PB 为⊙O 切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥PB ，PA ＝PB ，OP 平分∠APB ，∴OP ⊥AB .∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．即直角三角形有：△OAP ，△OBP ，△OCA ，△OCB ，△ACP ，△CBP ；等腰三角形有：△OAB ，△ABP .答案 C3．设圆内两条相交弦，其中一弦长为8 cm ，且被交点平分，另一条弦被交点分成1∶4两部分，则这条弦长是( )．A ．2 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm解析 由相交弦推论即可得．设另一条弦被分成x cm ，4x cm.则⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝x ·4x ，所以x ＝2 cm. 所以弦长为10 cm.答案 C4．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM ＝MC ，AM ＝1.5，BM ＝4，则OC 等于( )．A ．2 6B. 6 C ．2 3 D ．2 2解析 延长CO 交⊙O 于D ，则DM ＝3CM ，CM ·MD ＝MA ·MB ，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝2，OC ＝2 2.答案 D二、填空题5．如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．解析 由相交弦定理知EA ·EB ＝EC ·ED . (*)又∵E 为AB 中点，AB ＝4，DE ＝CE ＋3，∴(*)式可化为22＝EC (CE ＋3)＝CE 2＋3CE ，∴CE ＝－4(舍去)或CE ＝1.∴CD ＝DE ＋CE ＝2CE ＋3＝2＋3＝5.答案 56．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C，图中互相垂直的线段有________⊥________.(只要求写出一对线段)解析如题图所示，由于PA、PB均为⊙O切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB.又由切线长定理知PA＝PB，OP为∠APB的角平分线，∴AB⊥OP，故应填PA⊥OA或PB⊥OB或AB⊥OP.答案AB OP7．如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．解析∵CE为⊙O切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案 38．(2012·湖南高考)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．解析设半径为R，由相交弦定理得(PO－R)(PO＋R)＝PA·PB，(3－R)·(3＋R)＝1×3,9－R2＝3，R2＝6，R＝ 6.答案 6三、解答题9．如图所示，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.求证：AB＋CD＝AD＋BC证明因为AB、BC、CD、DA都与⊙O相切，L、M、N、P为切点，所以AL＝AP，LB＝MB，DN＝DP，NC＝MC.所以AB＋CD＝AL＋LB＋DN＋NC＝AP＋MB＋DP＋MC＝AD＋BC.即AB＋CD＝AD＋BC.10．如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线，垂足是点E.分别交⊙O于C、D两点.求证：PC·PD＝AE·AO.证明连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.11．(拓展深化)如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10 cm，AP∶PB＝1∶5，求⊙O的半径．解法一连接OC，设AP＝k cm，PB＝5k (k>0) cm，因为AB为⊙O直径，所以半径OC＝12AB＝12(AP＋PB)＝12(k＋5k)＝3k，且OP＝OA－PA＝3k－k＝2k.因为AB 垂直CD 于P ， 所以CP ＝12CD ＝5 cm.在Rt △COP 中，由勾股定理，得OC 2＝PC 2＋PO 2，所以(3k )2＝52＋(2k )2，即5k 2＝25，所以k ＝5．所以半径OC ＝3k ＝3 5 (cm)． 法二 设AP ＝k ，PB ＝5k ， 由相交弦定理：CP ·PD ＝AP ·PB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫CD22＝k ·5k .∴k ＝5，∴AB 2＝AP ＋PB2＝35，即⊙O 的半径为3 5 cm.。

五与圆有关的比例线段1．掌握相交弦定理及其应用．2．掌握割线定理、切割线定理及其应用．3．掌握切线长定理及其应用．1证明线段成比例由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．该推论又称为垂径定理．【做一做1】如图，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE 等于( )A．1 B．2C．3 D．42证明线段成比例【做一做2】如图，P是⊙O外一点，PC＝4，PD＝2，则PA·PB等于( )A．2 B．4C．8 D．不确定3证明线段成比例相交弦定理、割线定理和切割线定理(割线定理的推论)统称为圆幂定理．可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线)．两条线段的长的积是常数PA·PB＝|R2－d2|，其中d为定点P到圆心O的距离．若P在圆内，d＜R，则该常数为R2－d2；若P在圆上，d＝R，则该常数为0；若P在圆外，d＞R，则该常数为d2－R2.使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点．【做一做3】如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，过点P的直线l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC＝9，则PA等于( )A．4 B．6 C．9 D．364【做一做4】如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，∠P＝80°，则∠C ＝__________.答案：1．积PC·PD【做一做1】B ∵AE·EB＝DE·EC，∴2EB＝4×1.∴EB＝2.2．积PC·PD【做一做2】C ∵PA·PB＝PC·PD，∴PA·PB＝4×2＝8.3．比例中项PB·PC【做一做3】B ∵PA2＝PB·PC＝4×9＝36，∴PA＝6.4．相等平分PB∠OPB【做一做4】50°∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB.又∠P＝80°，∴∠PAB＝∠PBA＝50°.∴∠ACB＝∠PAB＝50°.1．与圆有关的比例线段问题剖析：与圆有关的比例线段问题，主要是圆与相似形的综合，其解法大致可分以下几种：(1)直接由相似形得到，即先由已知条件证得两个三角形相似，从而直接得到有关对应线段成比例．这是简单型的比例线段问题．(2)利用“等线段”代换得到，在证明“等积式”形如a2＝bc时，如果其中有三条线段共线，那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换．(3)利用“中间积”代换得到，在证明“等积式”形如a2＝bc时，如果其中有三条线段共线，不妨可以把平方项线段利用中间积进行代换试试．(4)利用“中间比”代换得到，在证明比例线段(不论共线与否)，如果不能直接运用有关定理，不妨就寻找“中间比”进行代换试试．与圆有关的比例线段证明要诀：圆幂定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效．2．垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间的关系剖析：如图，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点，PCD为过圆心O的割线，连接AB，交PD于点E，则有下列结论：(1)PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO；(2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE；(3)若AC平分∠BAP，则C为△PAB的内心；(4)OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2；(5)AC＝BC，AD＝DB，PD⊥AB；(6)∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BP D．题型一相交弦定理的应用【例题1】如图，过⊙O内一点A作直线，交⊙O于B，C两点，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径r＝__________.反思：相交弦定理的结论是线段成比例，也可以看成等式，因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段，又可以建立方程来解决问题，如本题中，利用相交弦定理列出关于r的方程．题型二割线定理的应用【例题2】如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A点和B点，PA＝6 cm，AB＝8 cm，PO ＝10.9 cm，求⊙O的半径．分析：由于PO既不是⊙O的切线，也不是割线，故需将PO延长交⊙O于D，构成圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用割线定理解题即可．反思：如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线，那么常用到割线定理．本题中，利用割线定理列出了关于半径r的方程，进而求出了r的值．题型三切割线定理的应用【例题3】如图，AB切⊙O于B，ACD为割线，E为CD的中点，BE交DC于F，求证：AF2＝AC·A D．分析：由切割线定理可知AC ·AD ＝AB 2，故只需证AF ＝AB 即可．反思：如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线，那么常用到切割线定理． 题型四 切线长定理的应用【例题4】如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的切线与过A ，B 两点的切线分别交于点E ，F ，AF 与BE 交于点P .求证：∠EPC ＝∠EBF .分析：由切线长定理→EA ＝EC ，FC ＝FB →EC FC ＝EPPB→CP ∥FB →结论 反思：如果已知条件中出现过圆外同一点的切线，那么常用到切线长定理．要注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合直角三角形、相似三角形等图形的有关性质进行计算与证明．答案：【例题1】241 如图所示，作直线OA 交⊙O 于E ，F 两点，则AE ＝r －10，AF ＝r ＋10.由相交弦定理，得(r －10)(r ＋10)＝64，解得r 1＝241，r 2＝－241(不合题意，舍去)． 故r ＝241.【例题2】解：如图，将PO 延长交⊙O 于D .根据割线定理，可得PA ·PB ＝PC ·PD . 设⊙O 的半径为r cm ，则6×(6+8)＝(10.9－r )(10.9+r )，解得r ＝5.9，即⊙O 的半径为5.9 cm. 【例题3】证明：如图，连接BC ，BD ，∵E 为CD 的中点， ∴∠DBE ＝∠CBE . 又AB 是⊙O 的切线， ∴∠ABC ＝∠CDB .∴∠ABC +∠CBE ＝∠DBE +∠CDB ， ∴∠ABF ＝∠AFB .∴AB ＝AF .又AB 是⊙O 的切线，ACD 为割线，由切割线定理，可知AC ·AD ＝AB 2，∴A F 2＝AC ·AD .【例题4】证明：∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB .∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB . ∴EA ∥FB .∴EA BF ＝EPBP.∴EC FC ＝EP PB，∴CP ∥FB .∴∠EPC ＝∠EBF .1圆内两弦相交，其中一条弦长为8 cm ，且被交点平分，另一条被交点分为1∶4的两部分，则这条弦长为( )A ．2 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．16 cm 2(2011·北京海淀一模)如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ，D 是CE 与⊙O 的交点．若∠BAC ＝70°，则∠CBE ＝__________；若BE ＝2，CE ＝4，则CD ＝__________.3如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PE 分别切⊙O 于点B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝__________.4(2011·北京西城一模)如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA ＝22，PC ＝4，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为__________．5如图，已知P 为⊙O 外一点，OP 与⊙O 交于点A ，割线PBC 与⊙O 交于点B ，C ，且PB ＝B C ．如果OA ＝7，PA ＝2，求PC 的长．答案：1．C 设所求弦长为5k cm ，则由相交弦定理得42＝k ×4k ， 则k ＝2(－2舍去)，故所求弦长为5k ＝5×2＝10(cm)． 2．70° 3 由于BE 是⊙O 的切线，则∠CBE ＝∠BAC ＝70°.由切割线定理，知EB 2＝ED ·EC . 又BE ＝2，CE ＝4，则ED ＝EB 2EC＝1.所以CD ＝CE －ED ＝3.3．80° 如图所示，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 又∠ACE ＝40°，∴∠PCB ＝180°－∠ACB －∠ACE ＝50°. 又PB ＝PC ，∴∠PBC ＝50°.在△PBC 中，∠P ＝180°－50°－50°＝80°. 4．2 如图所示，取BC 的中点D ，连接OD 和OB ，则OD ⊥BC .已知OD ＝3，则BC ＝2BD＝2OB 2－OD 2＝2OB 2－3. 由于PA 是圆O 的切线，所以PA 2＝PB ·PC . 又PA ＝22，PC ＝4，所以PB ＝PA 2PC＝2.则BC ＝PC －PB ＝2.所以2OB 2－3＝2，解得OB ＝2，即圆O 的半径为2. 5．解：如图，延长PO 交⊙O 于E ， 则PA ·PE ＝PB ·PC .设PC ＝x ，又∵PB ＝BC ，∴PB ＝12x .又PE ＝PA ＋AE ＝PA ＋2AO ＝16，∴2×16＝12x ·x ，解得x ＝±8.又∵x ＞0，∴x ＝8.∴PC ＝8.。

《与圆有关的比例线段》
作用，本节课背景是在学生初中已经了解了定理，本节重点在于对定理的推导、证明，并解
决等量关系的证明。

【知识与能力目标】
1、
理解相交弦定理 、割线定理、及其证明；
2、 会应用定理解决相关的几何问题；
【过程与方法目标】
3、体会数学中的运动变化思想方法。

【情感态度价值观目标】
4、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。

【教学重点】
理解切割线定理、切线长定理及其证明。

【教学难点】
会应用定理解决相关的几何问题。

多媒体课件
二、知识探究
如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB. AB 与CD 相交于P ，线段PA 、PB 、PC 、PD 之间有什么关系？
连接AD 、BC
问题：根据已知条件证明△ADP ∽△CPB
预设：∵∠APD=∠CPB=90°
又∵∠DAB=∠DCB
∴△ADP ∽△CPB
问题：根据△ADP ∽△CPB 能得出什么结论？ ··A B C D O P ·
·A B
C
D O P。

课堂导学三点剖析一、用圆幂定理证明ab=cd+ef 型线段关系式【例1】 如图2-6-1,已知⊙O 1与⊙O 2内切于点P,⊙O 2的弦AB 切⊙O 1于点C,连结PA 、PB,PC 的延长线交⊙O 2于点D.求证:PC 2=PA·PB-AC·BC.图2-6-1思路分析:要证结论,考虑将左边化成右边形式,将PC 变为PD-CD,则左边=PC(PD-CD)=PA·PB-AC·BC=右边,只需分别证明PC·PD=PA·PB 和PC·CD=AC·BC 即可. 证明：连结BD,过P 作两圆的公切线PM,∵AB 是⊙O 1的切线,∴∠ACP=∠MPC=∠DBP.又∵∠A=∠D,∴△APC ∽△DPB.∴PBPC PD PA =.∴PD·PC=PA·PB. 由相交弦定理,得PD·CD=AC·CB.∴PD·PC-PC·CD=PA·PB-AC·BC,PC(PD-CD)=PA·PB-AC·BC.∴PC 2=PA·PB-AC·BC.二、用圆幂定理证明d c ba =22型线段关系式 【例2】 如图2-6-3,已知:△ABC 内接于⊙O,过A 的切线交BC 的延长线于P,若D 为AB 的中点,PD 交AC 于E,求证:22PC PA =ECAE .图2-6-3思路分析:∵PA 2=PC·PB,∴22PC PA =PC PB PCPB PC =•2,则只需证PC PB =EC AE . 证明：过C 作CF ∥AB 交PD 于F,∴PC PB =CF BD , EC AE =CF AD .∵BD=AD,∴PC PB =ECAE . 由切割线定理,得PA 2=PC·PB,∴22PC PA =2PCPB PC •=PC PB .∴22PC PA =EC AE . 温馨提示(1)在两条线段平方比中的一条线段是切线时,常采用此法——降幂法.所谓降幂法,就是欲证d c b a =22,先证a 2=be,则be b be b a ==222,再证dc b e =即可. (2)一条线段的平方常由切割线定理得到,有时还可由射影定理、相似三角形的性质得到.三、用运动变化思想探究问题的结论【例3】 如图2-6-5,已知AB 是⊙O 的直径,AB 垂直于弦CD,垂足为M,弦AE 与CD 交于F,写出图中有关线段的关系式.图2-6-5解析：由相交弦定理AF·FE=CF·DF,①CM·MD=AM·BM.②∵CM=MD,③∴CM 2=AM·BM 或DM 2=AM·BM.④连结BD,则∠ADB=90°.由射影定理AD 2=AM·AB.⑤连结DE,∵=,∴∠ADF=∠AED.∵∠DAF=∠EAD,∴△ADF ∽△AED.∴AE AD =ADAF . ∴AD 2=AE·AF.⑥由⑤⑥得AM·AB=AE·AF.⑦各个击破类题演练1如图2-6-2,⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B 两点,过A 作⊙O 2的切线交⊙O 1于C,直线CB 交⊙O 2于D,直线DA 交⊙O 1于E.求证:(1)CE=CA;(2)CE 2+DA·DE=CD 2.图2-6-2证明:(1)连结AB,∵∠3=∠2,∠2=∠E,∴∠3=∠E.∵∠3=∠1,∴∠1=∠E. ∴CE=CA.(2)由切割线定理,得CA 2=CD·CB,∴CE 2=CD·CB.由割线定理,得DA·DE=CD·DB,∴CE 2+DA·DE=CD·CB+CD·DB=CD(CB+DB)=CD 2.类题演练2 如图2-6-4,已知⊙O 为△ABC 的外接圆,AD 为⊙O 切线,交BC 延长线于D 点,求证:BDCD AB AC =22.图2-6-4解析:等式左侧不易降幂,设法对右侧升幂,BD CD =2BD BD CD •=22BD DA ,故22AB AC =22BD DA ,只需证BDDA AB AC =即可. 证法一:∵AC 是弦,AD 为切线,∴∠CAD=∠ABC.∴△ABD ∽△CAD.∴DBDA AB AC =. 又由切割线定理,得DA 2=DC·BD,∴22AB AC =222BD BD CD DB DA •==BDCD . ∴BDCD AB AC =22. 证法二:∵△ABD ∽△CAD,∴ABD CAD S S ∆∆=22AB AC . 又△CAD 与△ABD 同高,∴ABD CAD S S ∆∆=BDCD .∴BD CD ABAC 22. 类题演练3若将弦CD 向下平移至与⊙O 相切于B 点时，如图2-6-6，结论⑥是否仍然成立?若不成立，请探求AE·AF 等于哪两条线段的积，并证明.图2-6-6解析:连结EG 、BG,∵AB 是直径,∴∠AGB=90°.∴∠BAG+∠ABG=90°.由BD 是切线,得AB ⊥BD.∴∠D+∠BAD=90°.∴∠ABG=∠D.又,∴∠AEG=∠ABG.∴∠AEG=∠D.∴E 、F 、D 、G 四点共圆.由割线定理,得AE·AF=AG·AD.⑧故AE·AF 不等于AD 2.结论⑥已不再成立.变式提升3当CD 继续向下平移至与⊙O 相离时,结论⑧是否仍然成立?图2-6-7解析:连结EG 、BG.仍然有∠AEG=∠ABG=∠D.∴E 、F 、D 、G 四点共圆.∴AE·AF=AG·AD.∴结论⑧仍然成立.。