弹性力学第4章

rdθdr
σr σr
∂σ r ∂σ r dr σ r σ θ 1 ∂σ θ dθ + + + − − − − dr r ∂r ∂r r dr r 2 ∂θ 2r σ θ 1 τθr 1 ∂τθr 1 τθr + + − + fr = 0 r 2 rdθ r ∂θ r dθ
∂σ r 1 ∂τθr σ r − σ θ ∂σ r dr ∂σ θ dθ + + + − + fr = 0 ∂r r ∂θ r ∂r r ∂θ 2r ∂σ r 1 ∂τ θr σ r − σ θ + + + fr = 0 ∂r r ∂θ r
弹性力学讲义
第 4 章 平面问题的极坐标解答 平面问题的极坐标解答
——Chen ping
第 4 章 平面问题的极坐标解答 平面问题的极
本章主要内容
本章主要讨论采用极坐标时平面问题的解法。内容分 为两大部分,首先推导极坐标中平面问题的基本方程,然后 介绍几个典型问题的极坐标解答,如： 圆环和圆筒受均布压力 曲梁的纯弯曲 圆孔的孔边应力集中 楔顶或楔面受力 半平面体在边界上受法向集中力及法向分布力等问题。 半平面体在边界上受法向集中力及法向分布力
对比直角坐标
∂ σ x ∂ τ xy + + fx = 0 ∂x ∂y ∂ σ y ∂ τ xy + + f y = 0 ∂y ∂x
第4章 平面问题 章 的极坐标解答
§4-2 极坐标中的几何方程及物理方程 极坐标中的几何方程及 中的几何方程及物理方程
在极坐标中, 代表径向正应变( 在极坐标中,用εr 代表径向正应变(径向线段的 应变), ),用 代表环向正应变( 正 应变 ), 用 ε θ 代表环向正应变 ( 环向线段的正应 变),用γrθ 代表切应变(径向与环向两线段之间的直 ),用 代表切应变( 角的改变);用ur 代表径向位移,用uθ 代表环向位移。 角的改变) 代表径向位 代表环向位移。
第4章 平面问题 章 的极坐标解答
∂σ θ ∂σ r dθ (σ r + dr )(r + dr )dθ − σ r rdθ − (σ θ + dθ )dr − ∂θ ∂r 2 ∂τ θr dθ σ θ dr + (τ θr + dθ )dr − τ θr dr + f r rdθdr = 0 2 ∂θ
∂σ r ∂σ r σ r rdθ + σ r drdθ + rdrd θ + ( dr ) 2 dθ − σ r rdθ − ∂r ∂r dθ ∂σ θ dθ ∂σ θ dθ dθ σ θ dr − dθdr − dθdr − σ θ dr + 2 ∂θ 2 ∂θ 2 2 ∂τ θr τ θr dr + dθdr − τ θr dr + f r rdθdr = 0 ∂θ
环向线段PB的转角为 向线段PB的转角为 PB
uθ PP" β = −∠POP" = − =− OP r
切应变为 切应变为
γ rθ
∂uθ uθ =α + β = − ∂r r
如果沿径向和环向都有位移， 如果沿径向和环向都有位移，分别叠加而得
ur 1 ∂uθ ∂ur εθ = + εr = r r ∂θ ∂r 1 ∂ur ∂uθ uθ γ rθ = + − r ∂θ ∂r r
∂σ θ ∂σ r dθ (σ r + dr )(r + dr )dθ − σ r rdθ − (σ θ + dθ )dr − ∂r ∂θ 2 ∂τ θr dθ σ θ dr + (τ θr + dθ )dr − τ θr dr + f r rdθdr = 0 ∂θ 2
§4-1 极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的 中的平衡微分方程
§4-1 极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的 中的平衡微分方程
第4章 平面问题 章 的极坐标解答
将微分体所受各力投影到微分体中心的径向轴上,列出径 分体所受各力投影到微分体中心的径向轴上, 向的平衡方程： 向的平衡方程：
∂σ θ ∂σ r dθ (σ r + dr)(r + dr)dθ − σ r rdθ − (σ θ + dθ )dr sin − ∂r ∂θ 2 ∂τθr dθ dθ dθ σθ dr sin + (τθr + dθ )dr cos −τθr dr cos + f r rdθdr = 0 2 ∂θ 2 2
径向线段PA的正应变为 径向线段PA的正应变为 PA
环向线段PB的正应变为 向线段PB的正应变为 PB
P' B'− PB (r + ur )dθ − rdθ ur εθ = = = PB rdθ r
径向线段PA的转角为 径向线段PA的转角为 PA 环向线段PB的转角为 向线段PB的转角为 PB
α =0
简化
σ r = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ + 2τ xy sin θ cosθ
第4章 平面问题 章 的极坐标解答
应力分量的坐标 坐标变换式 §4-3 应力分量的坐标变换式
直角坐标 极坐标
根据三角板 A的平衡条件, 可以写出平衡方程 三角板
∑ Fθ = 0
τ rθ = (σ y − σ x ) sin θ cosθ + τ xy (cos2 θ − sin 2 θ )
∂u ∂ur (ur + dθ ) − ur BB'− PP' 1 ∂ur ∂θ = = β= PB rdθ r ∂θ
切应变为 切应变为
γ rθ
1 ∂ur =α + β = r ∂θ
a.各点径向坐标不变 a.各点径向坐标不变
径向线段PA的正应变为 径向线段PA的正应变为 PA
∂uθ AA" = uθ + dr ∂r ∂uθ BB" = uθ + dθ ∂θ
第4章 平面问题 章 的极坐标解答
§4-3 应力分量的坐标变换式 应力分量的坐标 坐标变换式
直角坐标 极坐标
第4章 平面问题 章 的极坐标解答
应力分量的坐标 坐标变换式 §4-3 应力分量的坐标变换式
直角坐标 极坐标
根据三角板A的平衡条件, 可以写出平衡方程
∑F
r
=0
σ r ds ×1 − σ x ds cosθ ×1× cosθ − σ y ds sin θ ×1× sin θ − τ xy ds cosθ ×1× sin θ − τ yx ds sin θ ×1× cosθ = 0
将微分体所受各力投影到微分体中心的切向轴上,列出切 分体所受各力投影到微分体中心的切向轴上,列出切 向的平衡方程
∂σθ ∂τ rθ dθ )dr −σθ dr + (τ rθ + dr)(r + dr)dθ −τ rθ rdθ + (σθ + ∂θ ∂θ dθ dθ dθ ∂τθr dθ )dr +τθr dr +τ rθ r + fθ rdθdr = 0 (τθr + ∂θ 2 2 2
ε r εθ γ rθ ur uθ
O
x
P
B
P′
A A′
B′
y
a.各点环向坐标不变 a.各点环向坐标不变
PP' = ur
∂ur AA' = ur + dr ∂r ∂ur BB' = ur + dθ ∂θ
∂ur (ur + dr ) − ur P' A'− PA AA'− PP' ∂ur ∂r εr = = = = PA PA dr ∂r
根据三角板 B的平衡条件 三角板
∑ Fθ = 0
σ θ = σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ − 2τ xy sin θ cosθ
本章学习指导 本章学习指导
1. 本章建立了在极坐标系中平面问题的基本方程和 按应力求解的方法, 答。 2. 对于圆形、环形或由径向线和环向线围成的物体, 宜用极坐标求解。因为用极坐标表示这些物体的边 界非常简单, 从而使边界条件简化, 求解方便。 并介绍了一批有实用价值的解
3. 极坐标是一种最简单的曲线坐标。 极坐标 (r,θ) 和直角坐标 (x, y) 相比, 除了都 是正交坐标系 正交坐标系外, 两者有下列区别：在直角坐标中 正交坐标系 x和y的坐标线都是直线, 有固定的方向, x和y的量 纲都是长度。在极坐标中, r坐标线 (θ = 常数）和 θ坐标钱 (r = 常数) 在不同的点有不同的方向；r 坐标线是直线 , 而θ坐标线为圆弧曲线；r的量纲 为长度, 而θ的量纲为一。这些区别将引起弹性力 学基本方程的差异。
(4-2)
几何方程
1 ε r = (σ r − υσ θ ) E 1 εθ = (σ θ − υσ r ) E 1 2(1 + υ ) γ rθ = τ rθ = τ rθ G E
(4-3)
物理方程 平面应力) (平面应力)
直角坐标和极坐标是两种常用的坐标系, 直角坐标和极坐标是两种常用的坐标系, 我 们常常需要将物理量从一种坐标系转换到另一种 坐标系。另一方面, 极坐标系中的一切公式, 坐标系。另一方面, 极坐标系中的一切公式, 当 然可以如同直角坐标系中一样从头导出。 然可以如同直角坐标系中一样从头导出。但是我 们也可以简化公式的推导, 们也可以简化公式的推导, 直接通过坐标变换关 系, 从直角坐标系中的公式转换成极坐标中的公 为此, 式。为此, 我们来建立直角坐标系和极坐标系之 间的变换关系。 间的变换关系。
4. 应理解和掌握在极坐标系中基本方程的建立和 按应力求解的方法，并与直角坐标系中的基本方程 进行对比，了解两者的相似之处和不同之处。