不等式恒成立求参数的范围
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高中数学恒成立问题页数:5
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如何求不等式恒成立的参数的取值范围
要条件是 ：
一
次函数 ｆ ） ａ （ ＝ ｘ＋ｂ在 ∈［ ｎ 上恒 大 ｍ， ］
于零 的充要 条件 是 ：
｛
或 ＇或 ＞ 。 ，
） ａ ＋ｂ恒小于零 的条件亦可类似给 出。 ＝ ｘ 例 １ 对任意的 ａ 一１ １ ， ∈［ ，］ 函数 ｆ ） ＋ （ ＝ （ ４ ＋ ａ一 ） ４—２ ｎ的值总大于零 ， 求 的取值 范围。 解 ： （ 可变形为 ｇ 口 ＝（ 一２ ａ＋ 一４ 厂 ） （） ｚ ） ｘ＋
、
利 用 一 次 函数 的 性 质
０ ① 在区间 ， ） 上恒 成立 ， 要求实参数 ｋ的范 围。
如果能将不等式①化 为 Ｆ ｋ ≥Ｇ ）或 Ｆ ｋ （） （ （ （） ≤Ｇ ） （ ）的形 式 ， 且可求 出 Ｇ ） 区间 ，上 的最 （ 在 大（ 最小 ） ， 么不等式 ①在 区间 ， 恒成立 的充 值 那 上
时 ， 有 ＋ ｋ ｋ一 １ 恒 ｘ＞ ，
ｚ
‘
任何一个一元二次不等 式总可 以化 为 ａ ｘ ｘ ＋ｂ
＋ｃ ＞０（ ０ ａ＞ ）的形 式 ， 由二 次 函数 Ｙ＝
论：
＋ ＋ｃ
求实数 ｋ的取值范 围。
解 ： 等 式 可 化 为 不
（ ａ＜０ 的 图 象 和 性 质 ， 们 不 难 得 出 以 下 两 个 结 ） 我
｛ ｝ 。
， ｆ ２ ａ 则 —ｔ＞ｍ ｘ
①
于是该 题 就 变成 ： ａ∈［一１ １ 内任 意取 值 当 ，］ 时，（） ｇ ａ 恒大于零 ， 求 的取 值范围。 因为 ｇ ｎ 是一次 函数 ， 以 ｇ ａ 在 ［ ， ］ （） 所 （ ） 一１１ 上
恒 为 正 ， 要 只
ｒ （ ） 一 ｘ＋６ ， ｇ 一１ ： ５ ＞０ Ｌ （ ） —３ ｇ１＝ ｘ＋２ 。 ＞０
一
次函数 ｆ ） ａ （ ＝ ｘ＋ｂ在 ∈［ ｎ 上恒 大 ｍ， ］
于零 的充要 条件 是 ：
｛
或 ＇或 ＞ 。 ，
） ａ ＋ｂ恒小于零 的条件亦可类似给 出。 ＝ ｘ 例 １ 对任意的 ａ 一１ １ ， ∈［ ，］ 函数 ｆ ） ＋ （ ＝ （ ４ ＋ ａ一 ） ４—２ ｎ的值总大于零 ， 求 的取值 范围。 解 ： （ 可变形为 ｇ 口 ＝（ 一２ ａ＋ 一４ 厂 ） （） ｚ ） ｘ＋
、
利 用 一 次 函数 的 性 质
０ ① 在区间 ， ） 上恒 成立 ， 要求实参数 ｋ的范 围。
如果能将不等式①化 为 Ｆ ｋ ≥Ｇ ）或 Ｆ ｋ （） （ （ （） ≤Ｇ ） （ ）的形 式 ， 且可求 出 Ｇ ） 区间 ，上 的最 （ 在 大（ 最小 ） ， 么不等式 ①在 区间 ， 恒成立 的充 值 那 上
时 ， 有 ＋ ｋ ｋ一 １ 恒 ｘ＞ ，
ｚ
‘
任何一个一元二次不等 式总可 以化 为 ａ ｘ ｘ ＋ｂ
＋ｃ ＞０（ ０ ａ＞ ）的形 式 ， 由二 次 函数 Ｙ＝
论：
＋ ＋ｃ
求实数 ｋ的取值范 围。
解 ： 等 式 可 化 为 不
（ ａ＜０ 的 图 象 和 性 质 ， 们 不 难 得 出 以 下 两 个 结 ） 我
｛ ｝ 。
， ｆ ２ ａ 则 —ｔ＞ｍ ｘ
①
于是该 题 就 变成 ： ａ∈［一１ １ 内任 意取 值 当 ，］ 时，（） ｇ ａ 恒大于零 ， 求 的取 值范围。 因为 ｇ ｎ 是一次 函数 ， 以 ｇ ａ 在 ［ ， ］ （） 所 （ ） 一１１ 上
恒 为 正 ， 要 只
ｒ （ ） 一 ｘ＋６ ， ｇ 一１ ： ５ ＞０ Ｌ （ ） —３ ｇ１＝ ｘ＋２ 。 ＞０
不等式恒成立、能成立问题 (1)
√A.{a|－1≤a≤4}
B.{a|－1<a<4}
C.{a|a≥4，或a≤－1}
D.{a|－4≤a≤1}
解析 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解， ∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0， ∴－1≤a≤4，故选A.
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(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0解集为R，求实数a取值范围.
解 ①若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
若 a＝－1，不等式变为 2x－1<0，解集为xx<12
，
∴a＝1时满足条件.
微专题2
②若a2－1≠0，即a≠±1时，
5 1＋ <x< 2
5
.
反思 感悟
已知参数的取值范围，求变量x的取值范围时，常常把主要变量 x和参数互换身份，构造以参数为变量的函数，根据参变量的取 值范围求解x的范围.
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解：令y=－x2＋2x＋3，由题意，a2－3a≥ymax=4,
a2－3a-4≥0, (a-4)(a+1)≥0 a≤－1或a≥4，∴实数a ϵ{a|a≤－1或a≥4}.
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微专题2
分离参数法
4x＋m 例 2 若存在 x∈R，使得x2－2x＋3≥2 成立，求实数 m 的取值范围.
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}.
不等式中的取值范围求法
不等式中的取值范围求法不等式是高中数学的重要内容，与各部分联系紧密，是历年高考的命题重点，在考查不等式的命题中以求取值范围问题居多，解决此类问题的方法体现了等价转换、函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想。
1、 不等式的性质法利用不等式的基本性质，注意性质运用的前提条件。
例1：已知f x ax c f f ()()()=--≤≤--≤≤2411125，且，，试求f ()3的取值范围。
解：由(1)(2)4f a c f a c =-⎧⎨=-⎩解得[][]1(2)(1)31(2)4(1)3a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴=-=⋅--≤≤∴-≤⋅≤-≤≤-∴≤-⋅≤∴-+≤⋅-≤+-≤≤f a c f f f f f f f f f ()()()()()()()()()()39832531125838324034115353120383538325314032031320ΘΘ，，，即评：解此类题常见的错误是：依题意得-≤-≤--≤-≤4111452a c a c （）（）用（1）（2）进行加减消元，得03173≤≤≤≤a c ，（）由f a c f ()()397327=--≤≤得其错误原因在于由（1）（2）得（3）时，不是等价变形，使范围越加越大。
2、 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
此方法通常化为一次函数。
例2：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2)根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22 即：⎪⎩⎪⎨⎧<->+01-2x 2x 03-2x 2x 22 解得231x 271+<<+- 所以x的取值范围为 3、化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数，结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。
不等式恒成立问题中参数范围的求解策略
条件
A1#2@
4&= <
( 1#2&>
条件 B1#2&= #2< 4&+C
其中 可以 判断 函 数 1#2&是 周 期为 ,4的周 期
函数 的条 件是
C
D0设函 数 1#2&的 定义 域 为 E3任 取 2(F
2,F28 G3且 2(5 2,31#2&5H (3给出 下列 I
个关 系式 :
#(&1#2(@ 2,&= 1#2(&J1#2,&> #,&1#2(J2,&= 1#2(&@ 1#2,&> #’&1#2(< 2,&= (1@ #2(1&#< 2(&11##22,,&&>
每 一个 2都成 立3其 中#45 +365 +3437368
9&: #(&条件 ; 1#2&< 1#< 2&= +> 条件 ?1#4@ 2&= 1#4< 2&> 条件 A1#62@ 7&= 1#< 62< 7&> 条件 B1#2&= #2< 4&+C
其 中 判 断 函 数 1#2&是 偶 函 数 的 条 件 是
又 设 25 4 1)%则 它是 过原 点%斜 率为 1的直 线 9& 在同 一 直角 坐 标 系 下作 出
它们 的图 像-如 图 3/&依题 意%半 圆 8恒 在直 线 9上方 时%只 有 1: #时成 立%故 1
图3
不等式恒成立求参数的取值范围
不等式恒成立求参数的取值范围武汉市第四十九中学 李清华邮政编码；430080一、 教学目标1、 知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用2、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力3、情感目标；优化学生的思维品质二、 教学重难点1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。
我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。
引入课题2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成）由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一；分离参数 由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ， 又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x又因为x∈[-1，1]，所以a<1.解法二；分类讨论、解不等式（x-2）[x-(2-a)]>0当a=0时不等式恒成立当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1所以a<1时不等式恒成立解法三；构造函数求最值设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时-a2<0 不成立，舍弃；当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0a<3 不成立，舍弃；当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1综上得：a<1解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布设x2+(a-4)x+4-2a=0方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1△=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1解法五；数形结合（用动画来演示a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4分别作两函数的图象当x∈[-1，1]时，总有y=a(x-2)的图象在y=-x2+4x-4图象的上方由图象可得a<1归纳总结（由老师板书）1、如果作图较易，也可用数形结合。
不等式恒成立求参数范围问题的解法初探
摘 要： 已知不等式恒成立， 求参数 范围是近几年 高考热点问题 ； 常出现填空 ， 选择和简答题 ， 难度较大； 为了对恒成立问题有一 个全 新 的 认 识 ， 面推 进 新 课 程 标 准 的发 展 ， 何 探 求 恒 成 立 问题 中参数 取 值 范 围 ， 文 对此 类 问题 的 求解 作 一 些探 讨 与研 究 ， 全 如 本 特 归纳 四 种 类 型 ， 大 家参 考 。 供 关键 词 ： 等 式 恒成 立 ； 数 范 围 ； 法 不 参 解
１一次 函数 的性 质 ３利用 函数 的最值 （ 值域 ） 或 （） （） ｍ 对任意 ｘ １ ， 都成立 甘 ， ≥ｍ ； （） （） （） ｍ对 任意 ｘ 成立 甘 ≥， 一 。 ２ ， 都 （ 简单计作 ： “ 大则大 于 最大 的 ， 则小于最小 的” 小 。本类 问题实 质上是一类 求函数 的最值 问题 ， （ 叫分 离参数 法 ） 也 ；分离 参数法 实际上是 应用 函数思想 及不等 式 的有
对于一次函数 ｆ（） ｘ＋ｂ ∈【 ｎ 有 ： ｘ ＝ｋ ， ｍ， ］
， ） 。 立§１（ ） ０ （ ＞ 恒成 Ｉ ｍ ｆ ＞
厂 ） ０ （ ＞
，
ｆ＜成甘； （０ 立｛ 恒 ）
将要求的参数分离 出来 ， 进而求出其取值范围， 它一般适用于 在给 出 的含 有两 个变量 的不 等式 中 ，学生 习惯把 变量 ｘ 看成 是主 关知识， 元 （ 知数 ）而把另 一个变 量 ａ 成参数 ， 未 ， 看 在有 些 问题 中这 样 的解题 过 参数 易于分离 的＇ｇ。 Ｎ Ｏ － ． 例 ４已知 函数 ｆ１ ＾（ 中 ａｂ 常量 ， ａＯａ ） 图像经 ： ｆ＿ ａ 其 ｘｂ ｘ ，为 切 ＞ ，≠１的 程繁琐。 如果把已知取值范围的变量作为主元， 把要求取值范围的变量 看作 参数 ， 可简化解 题过程 。（ 主换元 ） 则 变 过点 Ａ １ ） （， ） （， ， ３ ４． ６Ｂ ２ （） １试确定 ｆ ） （ ｘ 例１ ：若不 等式 ２ ～ ＞ａ １对 满足 一 ａ １ ｘ １ （ 一） ｘ １ 的所有 ａ 都成 立 ， 求 ｘ 范围 。 的 （） 不等 式（ ＋１ ｆ ￣ｍ在 ｘ 一 １ ２若 １ （ｂｘ ／ ＞ （ ，时恒 成立 ， 数 ｍ 的 １ 求实 解 ： 们可 以用 改变 主元 的办法 ， ａ 为主 变元 ， 元不 等 式 取值范 围。 我 将 视 即将 解 ： １ｂ ａ６ ＊ ＾ ２ － ａ ２ ＝ 所 以 ｆ）３ ２ｘ （ ） ＊＿ ， ａ３ ４ ＝ ， ３ － ｂ ＝ ￣＞ ｂ － （－ ＊ ＾ ｘ 化 为 ：（ 一） （ｘ １ ０； ， ＝ａ １ （ 一）贝 — ａ １ ，由 ０ ａ １ ２一） ， ） （ 一） ２ １ ０ １ 时 ， ＜ ｘ 一 ＜ 令 ｘ ｘ ， （ （）＾３ 在 （ ，） ２２ｘ ＾ ，ｘ 一 １上单 调递增且 匣正 ， 以 ｆ）１ ｌ ＾ 所 （＝／ ｘ ／ ｘ ｘ ２＋３ 在（ｏ，） 一。１上单诃 递减 ， ｆ） ／，趋于＋ 时 ，＾３ 都趋于 ０ 又 （＝ ６ｘ １５ ２ｘ ＾ ，ｘ ， ｆ） （趋于＋ ｘ ∞。ｆ） 域为［６ ＋。， 以 ｍ ＝／ （的值 ｘ ５ ， 。） ／ 所 ＜５ ６ ∈ （ 掣 ， ３ ） 例 ５ （）求使 不等 式 ａ ｓ ｘ ＣＳ， ［７ 恒成立 的实数 ａ ：１ ＞ ｉ — ＯＸ ０ ｒ ｎ ∈ ，］ 的范 ２利用 一元二 次 函数 的判别式 围。 ， 解： 于函 。 一 。 。“－ ’一 卜 ， ， 然函 由 ｍ ｃ ＿ （ ， ； ｏ √ｉ ｘ 显 数有 ２１对于一 元二次 函数 ， ） ａ ｘ ｃ ０ Ｒ ． （ ＝ ｘ＋ｂ＋ （ ， ）有 ： ａ ∈ （） （） 在 ∈Ｒ 上恒成 立 铮 口 且Ａ ＜０； １ 厂 ＞０ ＞０ 最 大值 、 ． ／ ＞√ 。 （） （） 在 ∈Ｒ 上恒成立 甘 ｎ ＡＡ ＜０ ２ ｆ ｘ ＜０ ＜０ 如果把 上题稍微改 一点 ， 那么答案 又如何 呢？请看 下题 ： 例２ ：若 不等 式 一１ ＋（一１ ＋２ ） ａ ） ｘ ＞０的解 集是 Ｒ， ａ的范 求 围。 解析 ： 应用 上面 的结论 ， 得保证 是二 次的 ， 判别式 ， 要想 就 才有 但二 解： 我们首 先要认 真对 比上面两个 例题 的区别 ， 主要在 于 自 变量 的 次项系 数含有参 数 ａ所 以要讨 论 ａ１ ， 一 是否是 ０ 一 。 取值范 围的变化 ， 这样使得 ｙ ｉｘ ｏｘ ｓ —ｃｓ 的最大值取不到、 ， ａ ｎ ／ 即 （） ａ ｌＯ ， 不等式化 为 ２０ １当 －＝ 时 元 ＞ 恒成立 ， 满足题 意 ；
不等式恒成立求取值范围
不等式恒成立求取值范围【最新版】目录1.引言：不等式恒成立的概念和重要性2.不等式恒成立的求解方法3.求取值范围的步骤和技巧4.实际应用案例分析5.总结：不等式恒成立求取值范围的意义和应用正文1.引言不等式在数学中占据着非常重要的地位，它不仅涉及到各种数学问题的求解，还与实际生活息息相关。
在解决不等式问题时，我们经常会遇到一个关键问题，那就是如何求解不等式恒成立的问题。
本文将从不等式恒成立的概念入手，探讨如何求取值范围，并结合实际应用案例进行分析。
2.不等式恒成立的求解方法不等式恒成立，指的是对于所有的变量值，该不等式都成立。
求解不等式恒成立的问题，通常需要运用到数学中的各种不等式性质和恒等式。
这里我们简要介绍两种常用的方法：（1）利用不等式的基本性质，如加减、乘除、倒数等性质，将原不等式转化为一个容易求解的形式。
（2）利用恒等式将原不等式转化为一个恒成立的形式。
例如，对于不等式 |x| + |y| ≥ |x - y|，可以利用绝对值不等式得到 |x| + |y| ≥|x - y| 恒成立。
3.求取值范围的步骤和技巧求取值范围是解决不等式恒成立问题的关键，通常需要按照以下步骤进行：（1）分析题目给出的不等式形式，确定需要求解的变量范围。
（2）利用不等式的基本性质和恒等式，将原不等式转化为一个容易求解的形式。
（3）根据转化后的不等式，求解变量的取值范围。
（4）将求得的取值范围代入原不等式，验证不等式是否恒成立。
在求取值范围的过程中，还需要运用到一些技巧，如合理运用不等式的基本性质，灵活运用恒等式等。
4.实际应用案例分析假设我们有一个不等式：x^2 + y^2 ≥ 2x + 2y，要求求解该不等式恒成立的 x 和 y 的取值范围。
（1）利用不等式的基本性质，将原不等式转化为：(x - 1)^2 + (y - 1)^2 ≥ 2。
（2）根据转化后的不等式，求解变量的取值范围：(x - 1)^2 ≥ 0，(y - 1)^2 ≥ 0，因此，x ∈ R，y ∈ R。
数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略
２ ／ … ＞ｍ， （ ）＜ｍ 恒 成 立 （ ） ＜ｍ 此 方 法 特 别 ） ｆ／ ２ ２ ／… ．
于 ｎ的最小值 １令＿ ＜ ， Ⅱ １ ０ ０ ÷ ． ， １解得 ＞ 或 ＜ ＜
１ 一 ｒ 上 Ｚ
适 用 于解 厂ｎ 的最 值 容 易求 出 的 数 列 不 等 式 恒 成 立 题 型 ． （） 例 １ 已 知 数 列 ｛ 满 足 ０ Ⅱ｝ Ｊ＝５ ／ ， ：＝５ ｎ ＋ ＝。 ２ ， ＋
解 由题 设 ０ ＝ｒ 一 ＝ｏ ． ＝ ｎｇ ＝ｎ ｇ ． 上× ， 。ｂ ｌａ 口 ｌａ
若 ｂ ＞ｂ ， … 则
ｂ＋ １一ｂ ＝（ 凡＋１ ｒ ｌ。一ｎ ｇ ）上 ｇ ｎ ｌｎ
【 键 词 】 等 式 恒 成 立 问题 ； 列 ； 数 范 围 问题 关 不 数 参
在 高 考 压 轴 题 中 ， 与 函 数 恒 成 立 问题 既 有 类 似 之 处 ， 有 它 又 些 差 别 ， 生容 易 出错 ， 至 不 知 所 措． 里 通 过 几 个 例 学 甚 这 子 归 纳 这 类 问题 的 几 种 常 用 解 法 和 需 要 注 意 的 问题 ．
一
的 等 比数 列 ， ｂ 令 ＝ａｌａ （ ） 若 数 列 ｛ 中 的每 一 ｎ ｎＥＮ＋ ． ｇ ｂ｝ 项 总 小 于 它后 面 的 项 ， 。的取 值 范 围． 求
解 题 技 巧 与 方 法 嚣
稻 啦
。
．～ ＿
篝 童 俦 纛 戚 篆
【 要 】 等 式 的 恒 成 立 问题 是 学 生 较 难 理 解 和 掌 握 的 摘 不
一
参 魏
７６ ０ ） ４ ００
只需 ｍ≥６ ．
鼷
曦
◎ 马 健 （ 肃 省 陇 南 市武 都 区 两水 中 学 甘
于 ｎ的最小值 １令＿ ＜ ， Ⅱ １ ０ ０ ÷ ． ， １解得 ＞ 或 ＜ ＜
１ 一 ｒ 上 Ｚ
适 用 于解 厂ｎ 的最 值 容 易求 出 的 数 列 不 等 式 恒 成 立 题 型 ． （） 例 １ 已 知 数 列 ｛ 满 足 ０ Ⅱ｝ Ｊ＝５ ／ ， ：＝５ ｎ ＋ ＝。 ２ ， ＋
解 由题 设 ０ ＝ｒ 一 ＝ｏ ． ＝ ｎｇ ＝ｎ ｇ ． 上× ， 。ｂ ｌａ 口 ｌａ
若 ｂ ＞ｂ ， … 则
ｂ＋ １一ｂ ＝（ 凡＋１ ｒ ｌ。一ｎ ｇ ）上 ｇ ｎ ｌｎ
【 键 词 】 等 式 恒 成 立 问题 ； 列 ； 数 范 围 问题 关 不 数 参
在 高 考 压 轴 题 中 ， 与 函 数 恒 成 立 问题 既 有 类 似 之 处 ， 有 它 又 些 差 别 ， 生容 易 出错 ， 至 不 知 所 措． 里 通 过 几 个 例 学 甚 这 子 归 纳 这 类 问题 的 几 种 常 用 解 法 和 需 要 注 意 的 问题 ．
一
的 等 比数 列 ， ｂ 令 ＝ａｌａ （ ） 若 数 列 ｛ 中 的每 一 ｎ ｎＥＮ＋ ． ｇ ｂ｝ 项 总 小 于 它后 面 的 项 ， 。的取 值 范 围． 求
解 题 技 巧 与 方 法 嚣
稻 啦
。
．～ ＿
篝 童 俦 纛 戚 篆
【 要 】 等 式 的 恒 成 立 问题 是 学 生 较 难 理 解 和 掌 握 的 摘 不
一
参 魏
７６ ０ ） ４ ００
只需 ｍ≥６ ．
鼷
曦
◎ 马 健 （ 肃 省 陇 南 市武 都 区 两水 中 学 甘
五种策略巧解不等式中恒成立问题的参数范围
二 、 量 分 离 策 略 变 变 量 分 离 策 略 即将 参 数 与 未 知 量 分 离 于 表 达 式 的 两 边 ．
时 【 Ｊ・ ＇
由于 原 不 等 式 在Ｘ∈［ ｌ １ 一 ，］恒 成立 ，故 以上 各 情 形取 交 集 ， 以ａ ４ 所 ＝． 五 、 造 函数 策 略 构 此 种 策 略 在 综 合题 中 很是 常见 ． 据 题 意设 出所
周 宇
（ 睢宁 县 王 集 中 学 ， 苏 睢 宁 江 ２ １０ ） ２ ２ ０
五 种 策 略 巧 解 不 等 式 中 恒 成 立 问 题 的 参 数 范 围
摘 要 ： 观 近 几 年 全 国 高 考 试 题 ， 解 不 等 式 中恒 成 纵 求 立 问题 的参 数 范 围 的题 型 经 常 出现 。本 文详 细介 绍 了五 种 行 之有 效 的 解此 类题 的 策 略 。 关 键 词 ： 等 式 恒 成 立 问题 解 题 策 略 不 不 等 式 中恒 成 立 问 题 涉 及 一 次 函数 、 次 函 数 的 性 质 、 二 图 像 ， 透着换元 、 渗 化归 、 形 结 合 、 数 函数 与 方 程 等 思 想 方 法 ． 此 类 问 题 综 合 性 强 。 辑 能 力 要 求 高 ， 法 灵 活 ， 点 考 查 学 生 逻 解 重 的 分 析 问题 、 决 问 题 能 力 ． 握 以 下 几 种 常 规 策 略 ， 实 战 解 掌 在 中定 能 收 到很 好 的效 果 ， 面一 一 介 绍 ． 下
一
进 行研 究 的方 法 ． 种 方 法 让 我 们有 “ 重 水 复 疑 无路 ， 暗 花 此 山 柳 明又 一 村 ” 的感 觉 ． 使 我们 的 思路 清 晰 化 、 捷 化 ， 效 地 提 可 简 有 高 解题 效 率 ．
不等式恒成立求参数范围问题的再思考
讯（ 下） ， ２ ０ １ １ （ ９ ） ．■
高 中 版 十。 ？ 擞－ ？
教
参
解 法 探 究
＞ ３ 或 ＜ ０ ． ． …・
、
发 挥 初 始 解 法 的 价值
至此 ， 学 生有 了想 放弃 的念 头 ， 因为运 算 已超 出 了 学生最初接触此类问题是在学习了解一元二次不等 式之后 ， 例如 ， 不等式Ｘ ２ － （ ｍ＋ １ ） ｘ ＋ ４ ＞ ０ 在 ∈［ ０ ， ３ ］ 上恒 成 他 们力 所能 及 的范 围 ， 并 体会 到 ： 若孤 立地从 不 等式 的 立， 求ｍ 的取值范 围． 学生独 立思考后 ， 大都想到这样 的解
２ ０ １ ３年 １ ２月
解 法探 究
学
谋
不等 式恒成 立求参数范 围问题 的再 思考
⑩浙江省 绍兴市高级 中学 阮伟 强
在近几年全 国各地 的高考试题 中 ，不等式恒 成立求 参数 范围的问题非常活跃 ， 且常 以压轴题 的形式 出现 ． 随 之而来 的是对其解法研究 的相关 文章 ， 频频见诸 于报刊 、
解 集为
≠２ ｝不满 足 ；当Ａ ＞ ０ ｔ ￣，不 等式 的解集 是
｛ ｝ ＜ — — 二 — 二 ＿ ～戥 ＿ △ ＞ ＞ 一 ｍ ＋ ｌ ＋ Ｎ ／ ￣ － 一 ｝ ， 要 赞 使 便 ［ Ｌ ０ ｕ ， ３ ｊ ］ ｊ 是 定 它 匕 的 酬 子 丁
集， 必需满足 生 ２
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（ ２ ） Ｎｋ ￣ ｋ 产一 ｌ ＿ ［ １ ｋ ． ． ＝ 旦 ， 于是 ，
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参
解 法 探 究
＞ ３ 或 ＜ ０ ． ． …・
、
发 挥 初 始 解 法 的 价值
至此 ， 学 生有 了想 放弃 的念 头 ， 因为运 算 已超 出 了 学生最初接触此类问题是在学习了解一元二次不等 式之后 ， 例如 ， 不等式Ｘ ２ － （ ｍ＋ １ ） ｘ ＋ ４ ＞ ０ 在 ∈［ ０ ， ３ ］ 上恒 成 他 们力 所能 及 的范 围 ， 并 体会 到 ： 若孤 立地从 不 等式 的 立， 求ｍ 的取值范 围． 学生独 立思考后 ， 大都想到这样 的解
２ ０ １ ３年 １ ２月
解 法探 究
学
谋
不等 式恒成 立求参数范 围问题 的再 思考
⑩浙江省 绍兴市高级 中学 阮伟 强
在近几年全 国各地 的高考试题 中 ，不等式恒 成立求 参数 范围的问题非常活跃 ， 且常 以压轴题 的形式 出现 ． 随 之而来 的是对其解法研究 的相关 文章 ， 频频见诸 于报刊 、
解 集为
≠２ ｝不满 足 ；当Ａ ＞ ０ ｔ ￣，不 等式 的解集 是
｛ ｝ ＜ — — 二 — 二 ＿ ～戥 ＿ △ ＞ ＞ 一 ｍ ＋ ｌ ＋ Ｎ ／ ￣ － 一 ｝ ， 要 赞 使 便 ［ Ｌ ０ ｕ ， ３ ｊ ］ ｊ 是 定 它 匕 的 酬 子 丁
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线段尺 的中点， 即ｆ Ｏ Ｒ【 ＝ ｆ Ｏ Ｔ １ ．
（ ２ ） Ｎｋ ￣ ｋ 产一 ｌ ＿ ［ １ ｋ ． ． ＝ 旦 ， 于是 ，
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不等式恒成立求参数的范围
一、最值的直接应用 例１、已知函数2()()x k f x x k e =-。
⑴求()f x 的单调区间；
⑵若对于任意的(0,)x ∈+∞,都有()f x ≤
1e ,求k 的取值范围. 例2、已知函数()()0≠++=x b x
a x x f ，其中R
b a ∈,． ⑴若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式; ⑵讨论函数()x f 的单调性； ⑶若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1,4
1上恒成立，求b 的取值范围. 例3、已知函数2()()x f x x a e =-.
⑴若3a =，求()f x 的单调区间;
⑵已知12,x x 是()f x 的两个不同的极值点，且1212||||x x x x +≥，若3233()32
f a a a a b <+-+恒成立，求实数b 的取值范围。
二、恒成立之分离常数 例４、已知函数()ln 1,.a f x x a R x
=+-∈ (1) 若()y f x =在0(1,)P y 处的切线平行于直线1y x =-+，求函数()y f x =的单调区间;
(2) 若0a >,且对(0,2]x e ∈时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围． 例５、已知函数12)(2
---=ax x e x f x
,（其中∈a R ,e 为自然对数的底数). （1)当0=a 时,求曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程;
(２）当x ≥1时，若关于x 的不等式)(x f ≥0恒成立，求实数a 的取值范围. 例６、设函数1()(1(1)ln(1)
f x x x x =>-++且0x ≠) （1)求()f x 的单调区间；
(２）求()f x 的取值范围;
(3)已知1
12(1)m x x +>+对任意(1,0)x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。
例7、已知函数1ln ()x f x x
+=
. (Ⅰ）若函数在区间1(,)2
a a +其中a >0，上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式()1k f x x ≥+恒成立，求实数ｋ的取值范围； 例8、已知函数2()(,),f x x bx c
b
c =++∈R 对任意的,x ∈R 恒有()()f x f x '≤. ⑴证明:当20()();x f x x c +≥时，≤
⑵若对满足题设条件的任意b 、c ,不等式22()()()f c f b M c b --≤恒成立，求M 的最小值。
例9、已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++,t R ∈.
（１）若函数()y f x =依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值．
①求t 的取值范围;②若22a c b +=，求t 的值.
(2)若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立．求正整数m 的最大值.例１0、已知函数x a x x f ln )(2+=(a 为实常数).
(１)若2-=a ,求证:函数)(x f 在(1,+∞）上是增函数;
(2)求函数)(x f 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值；
(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围.
例11、设函数2()ln f x a x bx =-.
⑴若函数()f x 在1x =处与直线12
y =-
相切： ①求实数,a b 的值；②求函数()f x 在1[,]e e
上的最大值； ⑵当0b =时,若不等式()f x ≥m x +对所有的23[0,],[1,]2a x e ∈∈都成立,求实数m 的取值范围.。