(推荐)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结

开篇语：不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。

由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。

所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！方法一：分离参数法解析：分离参数法适用的题型特征：当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min方法二：变换主元法(也可称一次函数型)解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，则可简便解题。

适用于变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解。

方法三：二次函数法解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向2，二次函数的判别式是大于0还是小于03，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性 方法四：判别式法解析：不等式一边是分式，且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，利用判别式法可以快速的解题，分离参数将会使解题变得复杂。

方法五：最值法解析：不等式两边是两个函数，且含有参数时，我们可以分出出参数，构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。

总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。

平时练习过程中，应注意观察，总结！。

高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。

一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即解得故的取值范围是.注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。

二、分离参数法在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数.（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围.解：由题意知，函数在区间上是减函数.在上恒成立注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.三、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例 3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.四、最值法当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.例4 已知函数（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解（Ⅱ）当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，；当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.例5 对于任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│＞a恒成立，求实数a的取值范围.分析①：把左边看作x的函数关系，就可利用函数最值求解.解法1：设f（x）=│x+1│+│x-2│=-2x+1,（x≤1）3，（-1＜x≤2）2x-1,（x＞2）∴f（x）min=3.∴a＜3.分析②：利用绝对值不等式│a│-│b│＜│a±b│＜│a│+│b│求解f（x）=│x+1│+│x-2│的最小值.解法2：设f（x）=│x+1│+│x-2│，∵│x+1│+│x-2│≥│（x+1）-（x-2）│=3，∴f（x）min=3. ∴a＜3.分析③：利用绝对值的几何意义求解.解法3：设x、-1、2在数轴上的对应点分别是P、A、B，则│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│，当点P在线段AB上时，│PA│+│PB│=│AB│=3，当点P不在线段AB上时，│PA│+│PB│＞3，因此不论点P在何处，总有│PA│+│PB│≥3，而当a＜3时，│PA│+│PB│＞a恒成立，即对任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│＞a 恒成立.∴实数a的取值范围为（-∞，3）.小结求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象.综上，恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.。

含参数恒成立不等式问题的解题策略河南省三门峡市卢氏一高高三数学组（472200）赵建文 张贺忠 Eail:含参数不等式恒成立问题是高中数学中的一类重要问题，是高考考查的重点和热点，本文将这类问题的解题策略作以介绍，供同学们学习时参考.一、主元变换法例1已知关于x 的不等式243x px x p +>+-对24p -≤≤恒成立，求实数x 的取值范围.分析：本题是对含参数的不等式在某个区间上恒成立，用主元变换法处理.解析：将其化为关于p 的不等式：2(1)430x p x x -+-+>对24p -≤≤恒成立， 当x =1时，不等式化为0>0，不成立.当x ≠1时，关于p 的一次函数()f p =2(1)43x p x x -+-+在[-2,4]上的值恒为正值， 无论一次项系数1x -为正还是为负，只需要(2)0(4)0f f ->⎧⎨>⎩，即222(1)4304(1)430x x x x x x ⎧--+-+>⎪⎨-+-+>⎪⎩，解得5x <-或1x >. 所以实数x 的取值范围(,5)(1,)-∞-⋃+∞.点评：对含参数的不等式在某个区间上恒成立问题，若将其看成关于已知范围的变量的不等式更为简单，常将已知范围的变量看作主变量，化为关于已知范围的变量的不等式，结合对应的函数图像，得出其满足的条件，通过解不等式求解.二、数形结合法例2已知关于x 的不等式2x <log a x 对1(0,]2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 分析：本题是一边为二次式另一边是对数式的不等式问题，用数形结合法.解析：作出y =2x 和log a y x =的图像，由题意知对1(0,]2x ∈，y =2x 图像恒在log a y x =的图像的下方，故2111()log 22a a <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得1116a <<, 故实数a 的取值范围为1116a <<. 点评：对不等式经过移项等变形，可化为两边是熟悉的函数的形式，特别是可化为一边为多项式另一边是超越函数的不等式问题和含参数的一元二次不等式问题，常常用数形结合法，先构造函数，再作出其对应的函数的图像，结合图像找出其满足的条件，通过解不等式求出参数的范围.例3.对任意实数x 不等式12x x a +-->恒成立，求实数a 的取值范围.分析：设y =|1||2|x x +--,对任意实数x 不等式12x x a +-->恒成立即转化为求函数y =|1||2|x x +--的最小值，画出此函数的图象即可求得a 的取值范围.解：令y =|1||2|x x +--=31211232x x x x -≤-⎧⎪--<<⎨⎪≥⎩在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数x 不等式12x x a +-->恒成立恒成立，只需3-<a .故实数a 的取值范围3-∞-（，）点评：本题中若将对任意实数x ，不等式12x x a+-->恒成立，求实数a 的取值范围，改为①任意实数x ，不等式12x x +--＜a 恒成立，求实数a 的取值范围，同样由图象可得a ＞3;②对任意实数x ，不等式12x x ++-＞a 恒成立，求实数a 的取值范围,构造函数，画出图象，得a ＜3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.三、分离变量法例3已知函数()f x 在R 上是减函数，对一切x R ∈不等式2(2sin )f m x -≤ 2(21cos )f m x ++成立，求实数m 的取值范围.分析:先用函数的单调性化为关于x 的不等式，再用分离变量法，化为一端关于m 的式子另一端是关于x 的式子的不等式，解析：∵函数()f x 在R 上是减函数，对一切x R ∈不等式2(2sin )f m x -≤ 2(21cos )f m x ++成立，∴22sin m x -≥221cos m x ++对一切x R ∈恒成立，∴221m m --≥2cos 2sin x x +对一切x R ∈恒成立，设()g x =2cos 2sin x x +， ∴221m m --≥max [()]g x ()g x =2cos 2sin x x +=2sin 2sin 1x x -++=2(sin 1)2x --+，当sin x =1即x =22k ππ+（k Z ∈）时，max [()]g x =2， ∴221m m --≥2， 解得x ≤1-或x ≥3，∴实数m 的取值范围为x ≤1-或x ≥3.点评：对含参数不等式的在某个范围上恒成立求参数范围问题,若容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，即化为不等式()f x <()g m (或()f x >()g m )在x 的某个范围上恒成立问题,则()g m <min [()]f x (()g m >max [()]f x ),先求出()f x 的最值，将其转化为关于m 的不等式问题，通过解不等式求出参数m 的取值范围.四、分类讨论法例4当x ∈[2,8]时，不等式221log a x -＞1-恒成立，求实数a 的取值范围.分析：本题不等式左边是对数式，底数含参数，故需要对底数分类讨论.解析：原不等式可化为：221log a x -＞22211log 21a a --， 当0＜221a -＜1 ①时，对数函数是减函数，则原不等式等价于：2121a -＞x 对x ∈[2,8]恒成立， ∴2121a -＞max x ， ∵当x ∈[2,8]时，max x =8， ∴2121a -＞8，②解①②得，34-＜a ＜2-或2＜a ＜34； 当221a -＞1 ③时，对数函数是增函数，则原不等式等价于：2121a -＜x 对x ∈[2,8]恒成立， ∴2121a -＜min x ， ∵当x ∈[2,8]时，min x =2， ∴2121a -＜2，④解③④得，a ＜1-或 a ＞1，综上所述，实数a 的取值范围为33(,1)(,)()(1,)4224-∞-⋃--⋃⋃+∞. 点评：对含参数恒成立的不等式问题，若参数取值不同，是不同的不等式或解法不同时，可对参数进行分类讨论进行求解，注意分类要做到不重不漏.五、判别式法例5不等式2222463x mx m x x ++++＜1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：本题左边是分子和分母都为关于x 二次三项式，可用判别式法.解析：∵2463x x ++＞0恒成立，∴原不等式可化为：22(62)3x m x m +-+-＞0对x ∈R 恒成立，∵2>0， ∴∆=2(62)42(3)m m --⨯-＜0，解得1＜m ＜3，∴实数m 的取值范围为（1，3）.点评：对可化为关于x 一元二次不等式对对x ∈R （或去掉有限个点）恒成立，常用判别式法.先将其化为关于x 一元二次不等式，结合对应的一元二次函数图像，确定二次项系数与判别式满足的条件，化为关于参数的不等式问题，通过解不等式求解.注意二次是否可为0.六、最值法例6若已知不等式4(4)13x x x a -->+-对x ∈[3,2)-恒成立，求实数a 的取值范围. 分析：本题是一元二次不等式在某个区间上恒成立问题，将其化为一边是关于x 的二次式的另一边为0的形式，其对应的函数最值易求，故用最值法.解析：原不等式可化为：21613x x a ++-＜0对x ∈[3,2)-恒成立， 设()f x =21613x x a ++-(x ∈[3,2]-)=2855()39x a +--，对称轴x =83-∈[3,2)-且离2远，故x =2时，max [()]f x =473a -， 要使21613x x a ++-＜0对x ∈[3,2)-恒成立，只需max [()]f x =473a -≤0即可， 解得a ≥473，∴实数a 的取值范围为47[,)3+∞. 点评：对含参数的不等式恒成立问题，可将其化为()f x ＞0（或()f x ＜0）在x 的某个范围上恒成立问题，则0<min [()]f x (0>max [()]f x ),先求出()f x 的最值，将其转化为关于m 的不等式问题，通过解不等式求出参数m 的取值范围.。

心尺引州丑巴孔市中潭学校芝罘区数学函数求参数范围问题解决方法及针对性练习2021年高三专题复习-函数专题〔4〕一、变换“主元〞思想，适用于一次函数型处理含参不等式恒成立的某些问题时，假设能适时的把主元变量和参数变量进行“换位〞思考，往往会使问题降次、简化。

例1.对于满足04≤≤p 的一切实数p ，不等式x 2+px>4x+p-3恒成立，求x 的取值范围．分析：习惯上把x 当作自变量，记函数y= x 2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p []4,0∈时y>0恒成立，求x 的范围．假设把x 与p 两个量互换一下角色，即p 视为变量，x 为常量，那么上述问题可转化为在[0,4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x 2-4x+3，当x=1显然不满足题意．由题设知当04≤≤p 时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x 2-4x+3>0且x 2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x 的取值范围为x>3或x<-1． 例2．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x恒成立，求x 的取值范围。

答案：),3()1,(+∞-∞ 。

例3．假设不等式)1x (m 1x 22->-，对满足2m 2≤≤-所有的x 都成立，求x 的取值范围。

答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-231271， 注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为⎩⎨⎧>>0)(0)(βαf f 。

二、别离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行别离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

例1．假设对于任意角θ总有sincos 22410θθ++-<m m 成立，求m 的范围．〔注意分式求最值得方法〕分析与解：此式是可别离变量型，由原不等式得m (cos )cos 242θθ+<，又cos θ+>20，那么原不等式等价变形为222m <+cos cos θθ恒成立．即2m 必须小于cos cos 22θθ+的最小值，问题化归为求cos cos 22θθ+的最小值．因为cos cos 22θθ+2cos 4)2(cos 4)2(cos 2+++-+=θθθ4cos 24440cos 2θθ=++-≥-=+ 即cos θ=0时，有最小值为0，故m <0．例2．函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

恒成立问题——参变分离法一、基础知识：1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。

然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。

3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。

但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。

例如：()21log a x x -<，111axx e x-+>-等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。

（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。

则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。

（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。

例1：已知函数()x x f x e ae -=-，若'()f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______思路：首先转化不等式，'()x xf x e ae -=+，即x xa e e +≥a 与xe便于分离，考虑利用参变分离法，使,a x 分居不等式两侧，()2x x a e ≥-+，若不等式恒成立，只需()()2maxx xa e≥-+，令()()(223x xxg x ee =-+=-+（解析式可看做关于x e 的二次函数，故配方求最值）()max 3g x =，所以3a ≥ 答案：3a ≥例2：已知函数()ln a f x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________思路：恒成立的不等式为2ln ax x x-<，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法 解：233ln ln ln ax x x x a x a x x x x-<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞ ∴只需要()3maxln a x x x >-，令()3ln g x x x x =-'2()1ln 3g x x x =+- （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将ln x 变为1x，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定()'gx 的符号，不妨先验边界值）()'12g =-，()2''11660x g x x x x-=-=<，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程） ()'gx ∴在()1,+∞单调递减，()()''10()g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减()()11g x g ∴<=- 1a ∴≥- 答案：1a ≥-小炼有话说：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号。

恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。

含参量函数恒成立问题解法例析作者：焦冬梅来源：《中学教学参考·理科版》2013年第10期纵观近几年的新课标全国卷，几乎都是以函数问题作为最后的压轴题，而函数问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的理解和应用.函数中的恒成立问题往往是融合了函数、导数、不等式等，考查学生解决综合问题的能力.我们在这里对两种常见的含参量的恒成立问题的解决方法进行简单总结.一、分离参量法【例1】已知函数f（x）=xlnx，对于任意正实数x，不等式f（x）>kx-12恒成立，求实数k的取值范围.解析：由于x>0，所以f（x）=xlnx>kx-12，∴k令k（x）=lnx+12x，则令k′（x）=1x-12x2=2x-12x2=0，得x=12.当x∈（0，12）时，k′（x）当x∈（12，+∞）时，k′（x）>0.则x=12时取得最小值，k（x）min=k（12）=ln12+1=1-ln2.∴k的取值范围是（-∞，1-ln2）.点评：对于恒成立的不等式中，如果求的参量很容易分离出来，不等号的另一侧构造x的函数，对于x取值范围内任意一个数都有a≥f（x）恒成立，则a≥f（x）max，若a≤f（x）恒成立，则a≤f（x）min.这种方法是学生最常用的方法，但其缺点是往往需要进行多次求导，构造函数，当遇到不等式中含有对数等符号时会比较困难.二、参数讨论法【例2】已知函数f（x）=ax+bx+c（a>0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1.若f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立，求a的取值范围.解析：∵f（1）=1-1=0，∴a+b+c=0，又f′（1）=a-b=1，∴b=a-1，c=1-2a.令g（x）=f（x）-lnx=ax+a-1ax+1-2a-lnx.∵x∈（0，1]，∴g（1）=0，g′（x）=a-a-1x2-1x=ax2（x-1）（x-1-aa）.当0∴g（x）在（0，1]上单调递增，∴g（x）≤g（1）=0，此时f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立.当a>12时，则有1a-1记a1=max{1a-1，0}，对任意x∈（a1，1）都有g′（x）∴当x∈（a1，1）时，有g（x）>g（1）=0，此时f（x）≤lnx在（0，1]上非恒成立.综上，f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立时，a的范围为（0，12].点评：将恒成立的不等式转化为f（x）≥0或f（x）≤0形式，即f（x）min≥0或f（x）max≤0，通过对参量的讨论，寻找函数的单调性，继而求得函数的最值.对于分类讨论的问题，要求学生能准确找到参量讨论的分界点，在可取范围内的讨论做到不重不漏.恒成立求参量的问题无论采取何种方法，本质上都是利用函数的单调性求函数的最值，这也是函数问题的重点和难点，需要学生通过分析抓住式子的特征，灵活变形，以最合适的方法解决问题.（责任编辑金铃）。

专题课含参不等式恒成立问题－－参数取值范围求解策略知识梳理:“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。

本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

(一)、判别式法：●若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

【类型1】:一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 (1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; (2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.0⎩⎨⎧<∆<⇔a【类型2】：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （1）当0a >时，()0[,]f x x αβ>∈在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf ab a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或例1．已知函数2lg[(1)(1)1]y a x a x =-+-+的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

例2．一元二次不等式220x bx ++<在[]1,2上恒成立，求实数b 的取值范围。

破解含参不等式恒成立的5种常用方法含参数不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。

对含有参数的不等式 恒成立问题，破解的方法有：分离参数法、数形结合法、单调性分析法、最值定位法、构造函数法等。

一 分离参数法分离参数法是解决含问题的基本思想之一。

对于含参不等式的问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等 式的性质将参数分离出来 ，得到一个一端是参数、另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性式就可以解决问题。

例1 已知函数a x f x x 421)(++=在（－∞，1］上有意义，试求的取值范围。

分析 ：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。

解析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥x x a 2141，∈x （－∞，1］恒成立，记)(x g a ≥，∈x （－∞，1］，因此问题又等价于)(x g a ≥在)(x g a ≥上恒成立，)(x g 在（－∞，1］上是增函数，因此)(x g 的最大值为)1(g 。

)(x g a ≥在（－∞，1］上恒成等价于43)1()(max -==≥g x g a 。

于是工的取值范围为43-≥a 。

【点评】)(x f a ≥恒成立等价于max )(x f a ≥；)(x f a ≤恒成立等价于min )(x f a ≤。

如果函数)(x f 不存在最值，上面的最大值就替换为函数值域的右端点，最小值就替换为函数值域的左端点。

解这类问题时一定要注意区间的端点值。

二 数形结合法数形到结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合法是破解含参数不等式恒成立问题的又一个主要方案。