一道线线对称题多解探求

直线中的对称问题学习目标：直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。

下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。

新知自学：1、点关于点的对称例1：已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。

2、直线关于点的对称例2：求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。

3、点关于直线的对称例3：求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。

特别地：点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；关于y 轴的对称点的为 ；关于y x =的对称点的坐标为 ；关于y x =-的对称点的坐标为 .关于x=m 的对称点的坐标为 ；关于y=n 的对称点的坐标为 .关于x+y+c=0的对称点的坐标为 ；关于x-y+c=0的对称点的坐标为 .4、直线关于直线的对称例4：求直线02y x :l 1=--关于直线03y x 3:l 2=+-对称的直线l 的方程。

变式：求直线02y x :l 1=--关于直线03:2=+-y x l 对称的直线l 的方程。

特别地：直线Ax+By+C=0关于x 轴的对称直线为 ；关于y 轴的对称直线为 ； 关于y x =的对称直线为 ；关于y x =-的对称直线为 .关于x=m 的对称直线为 ；关于y=n 的对称直线为 . 关于x+y+c=0的对称直线为 关于x-y+c=0的对称直线为 .例5：已知点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)直线l ：3x-y-1=0 （1）试在直线l 上找一点P ，使CP AP +最小，并求出最小值. （2）试在直线l 上找一点Q ，使BQ AQ -最大，并求出最大值.变式：1、求5213422+--++=x x x x y 的最大值。

2、求5213422+-+++=x x x x y 的最小值。

例6： 一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度.例7：已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.随堂检测：1.求点A （4,1-）关于直线l ：02732=-+y x 的对称点。

直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。

直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ； （4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --；（5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。

四种对称问题的解法几何图形的对称是美观的，又是根本的、常见的、重要的．我们一起来了解解析几何中的点与直线的四种对称问题及其解法．一、点关于点的对称点()P a b ，关于点()Q m n ，的对称点为(22)P m a n b '--，，特例，点()P a b ，关于点(00)O ，的对称点为()a b --，． 二、直线关于点的对称例1 求直线1:210l x y -+=关于点(21)P ，的对称直线2l 的方程． 解法一：因为为P 不在直线1l 上，且1l 与2l 关于点(21)，对称，所以12l l ∥，故设 2:20l x y C -+=．由于点(21)P ，=所以7C =-，或1C =〔舍去〕，故所求的方程为270x y --=．解法二：直线2l 上任意一点()Q x y ，，关于(21)P ，的对称点(42)x y --，在直线 210x y -+=上，2(4)(2)10x y ---+=∴，2:270l x y --=∴．评注：解法一是利用线线平行及点到两直线距离相等来解；解法二是设动点，运用“轨迹法〞求解，这也是求解曲线方程的一般方法．一般地，直线0Ax By C ++=关于点()a b ，对称的直线方程为(2)(2)0A a x B b y C -+-+=．三、点关于直线的对称例2 直线:330l x y -+=，求点(45)P ，关于直线l 的对称点． 解法一：设(45)P ，关于直线l 的对称点为()P x y '''，，显然4x '≠，那么PP l '⊥，线段PP '的中点在直线l 上．45330225143x y y x ''++⎧⨯-+=⎪⎪⎨'-⎪=-⎪'-⎩，．∴27.x y '=-⎧⎨'=⎩，∴ (27)P '-，∴即为所求的点．评注：此解法最常用，其关键是利用“垂直〞、“平分〞．一般地，假设点00()P x y ，关于直线:0l Ax By C ++=的对称点为()P x y '''，，那么000222()A x x Ax By C A B'=-+++，000222()B y y Ax By C A B '=-+++． 解法二：设(45)P ，关于直线l 的对称点为()P x y '''，，那么PP l '⊥，故设直线:30PP x y C '++=．又点(45)P ，在直线PP '上，4350C +⨯+=∴，19C =-． ∴直线:3190PP x y '+-=． 由3190330x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，，得16.x y =⎧⎨=⎩，此点即为PP '的中点，(27)P '-，∴． 四、直线关于直线的对称例3 求直线:20a x y --=关于直线:210l x y ++=对称的直线b 的方程．解法一：在直线a 上取一点(20)，，运用例2介绍的方法，可求得点(20)P ，关于l 的对称 点41255P ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，，由方程组20210x y x y --=⎧⎨++=⎩，，得直线a 与l 的交点(11)Q -，． 直线b 过点P '与Q ，由“两点式〞得直线b 的方程：780x y --=。

直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。

练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ，即设1l ：01=++C By Ax 。

点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。

☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面： 1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在） 2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。

练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称分两种：1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 （2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P （3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。

练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。

高中数学解题方法系列：解析几何中对称问题的常见求解方法解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。

但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。

对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。

这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、总结。

使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。

本文谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。

一、关于点对称。

1、点关于点对称。

①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --；②点(,)P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为00(2,2)x a y b --。

2、直线关于点对称。

①直线L：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。

设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；②直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。

它的求法分两种情况：1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。

2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，则它关于M 的对称点为00(2,2)Q x x y y --，因为Q 点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程。

解法（二）：在1l 上取一点11(,)P x y ，求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。

再由12l l K K =，可求出直线2l 的方程。

解法（三）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线为'0Ax By C ++==求设'C 从而可求的及对称直线方程。

线线对称求法
线对称是一种几何变换，通过某一直线将图形分为两个相似但是相互镜像的部分。

线对称的求法取决于所给图形的类型。

以下是一些常见图形的线对称求法：
线对称的基本性质：
1.对称轴上的点：对称轴上的点不动。

2.对称轴上的任意两点：对称轴上的任意两点关于对称轴对称。

3.线段：对称轴上的线段的中点不动。

线对称的求法：
1. 线段的线对称：
线段的线对称是指找到线段的中点，并通过这个中点作垂直于线段的直线，这条直线即为线段的线对称轴。

2. 多边形的线对称：
多边形的线对称通常需要找到多边形的中心点，并通过中心点作任意方向的直线，这条直线即为多边形的线对称轴。

3. 圆的线对称：
圆的线对称是指通过圆心作任意方向的直线，这条直线即为圆的线对称轴。

因为圆的任意两点都是关于圆心对称的。

4. 图形的线对称：
对于任意给定的图形，可以通过观察找到其中的对称性质，找到关于哪一条直线进行线对称。

这可能需要一些几何直觉和分析。

5. 网格的线对称：
对于均匀网格，通常可以通过网格中心的水平线、垂直线或对角线进行线对称。

6. 几何图形的线对称：
几何图形的线对称通常是通过找到图形的中心或特殊点，然后通过这些点作直线，找到线对称轴。

总体来说，线对称的求法涉及对图形的结构和对称性质的认识，可以通过观察图形的几何特征来找到适当的对称轴。

第2节 直线关于直线的对称问题知识与方法1.对称问题是平面解析几何中的一类重要的问题，在很多问题中，我们也会运用对称的思想来解题，这一小节我们解决求直线a 关于直线l 的对称直线a '的问题，这类题求解的时候要抓住两点：（l ）所求直线a '经过直线a 和直线l 的交点P ；（2）对称轴l 上除P 外的另一点到a 和a '的距离相等.2．技巧：当对称轴直线l 的斜率是1±时，可直接由对称轴方程将x 、y 反解出来，代入直线a 的方程，整理即可得到a 关于直线l 的对称直线a '的方程.典型例题【例题】直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线l 的方程为______.【解析】11013300x y x l x y y +-==⎧⎧⇒⇒⎨⎨--==⎩⎩和2l 的交点为()1,0P ， 直线l 也过点P ，可设其方程为()10A x By -+=， 整理得：0Ax By A +-=，在对称轴2l 上取点()0,3Q -，则点Q 到直线1l 和l 的距离相等，其中A 、B 不同时为0223132B A A B----+B A =或7B A =-，若B A =，则直线l 的方程为0Ax Ay A +-=， 即10x y +-=，此时l 与1l 重合，不合题意，所以7B A =-，故直线l 的方程为70Ax Ay A --=，即710x y --=.【答案】710x y --= 变式1 直线1:220l x y -+=关于直线2:10l x y -+=的对称直线l 的方程为______.【解析】1101x y x y y x =-⎧-+=⇒⎨=+⎩，代入直线1l 的方程为：()()12120y x --++=， 整理得所求直线l 的方程为210x y -+=.【答案】210x y -+=变式2 直线1:220l x y -+=关于直线2:10l x y ++=的对称直线的方程为______.【解析】1101x y x y y x =--⎧++=⇒⎨=--⎩，代入直线1l 的方程得：()()12120y x -----+=，整理得所求直线l 的方程为230x y -+=.【答案】230x y -+=【反思】当对称轴的斜率为1±时，可以使用小技巧来求对称直线的方程，若斜率不是1±，则不能这样做.强化训练1.（★★★）直线l 1:20l x y --=关于直线:330l x y -+=的对称直线2l 的方程为______. 【解析】1520233092x x y l x y y ⎧=-⎪--=⎧⎪⇒⇒⎨⎨-+=⎩⎪=-⎪⎩与l 的交点为59,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线2l 也经过点P ， 可设2l 的方程为59022A x B y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：22590Ax By A B +++=，其中A 、B 不同时为0，在直线l 上取点()1,0Q -，则点Q 到1l 和2l 的距离相等， 2212259244A A B A B ---+++，故A B =-或7A B =， 若A B =-，则直线2l 的方程为2240Bx By B -++=，即20x y --=，与1l 重合，不合题意， 所以7A B =，直线2l 的方程为142440Bx By B ++=，化简得：7220x y ++=.【答案】7220x y ++=2.（★★★）直线1:2310l x y --=关于直线:40l x y +-=的对称直线2l 的方程为______.【解析】4404x y x y y x =-⎧+-=⇒⎨=-⎩，代入直线1l 的方程可得：()()243410y x ----=， 化简得所求直线2l 的方程为3250x y --=.【答案】3250x y --=3.（★★★）一光线从点()0,2P 发出，入射到直线:10l x y --=上的点()1,0Q 后被反射，则反射光线所在的直线的方程为______.【解析】如图，由题意，应有反射光线所在的直线和直线PQ 关于直线l 对称，直线PQ 的斜率20201k -==--，其方程为22y x =-+，即220x y +-=， 1101x y x y y x =+⎧--=⇒⎨=-⎩，代入直线PQ 的方程可得：()()21120y x ++--=，化简得反射光线所在直线的方程为210x y +-=.【答案】210x y +-=。

直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。