简谐近似和简正坐标

简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
只考察某一个振动模
系aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
讨论 1.声子是玻色子
一个模式可以被多个相同的声子占据，ω 和q相同的声子不可区分，自旋为零。满足玻 色统计。
除碰撞外，不考虑它们之间的相互作用， 则可视为近独立子系，则玻色统计与玻尔兹 曼统计一致。
玻色子（boson)，得名于印度物理学家玻色.。玻色 子是指自旋为整数的粒子。不遵守泡利不相容原理。 在低温时可以发生玻色-爱因斯坦凝聚。符合玻色－ 爱因斯坦统计.
原子位移宗量
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
取
平衡位置
—— 不计高阶项
系统的势能函数
V

1 2
3N 2V (
i, j1 i j
)0 i j
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
摩尔热容量 CV 3Nk 3R —— 与温度无关
—— 杜隆－珀替经验规律
—— 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降 晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础 晶格振动 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超
导电性、磁性、结构相变有密切关系
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
简写成：
三.平均声子数
各个格波可能具有不同的声子数， 在一定温度的热平衡态，一个格波的 平均声子数有多少呢？
由于声子间相互作用很弱，除了碰 撞外，可不考虑它们之间的相互作用， 故可把声子视为近独立子系，这时玻 色－爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼 统计是一致的。
n(,T )＝
2.声子是一种准粒子
粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。
声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用，
满足能量守恒。 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的 准动量。
3.准动量选择定则
准动量的确定只能准确到可以附加任何 一个倒格矢Gh
ω(q)= ω(q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1＋q2＝q3＋Gh q1＋q2＝q3＋Gh
2
3N i1
pi2

1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1, Q3N )
i1
E (Q1,
Q3N )
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
任意一个简正坐标 能量本征值
1 [2 2
2 Qi2
i2Qi2 ] (Qi )
i (Qi )
i

(ni

系统的势能函数
系统的动能函数
系统的哈密顿量
H

1 2
3N i1
mi i 2

1 2
3N 2V (
i, j1 i j
)0 i j
—— 含有坐标的交叉项
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
引入简正坐标 —— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来 假设存在线性变换
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密
顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的
振 动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质 固体热容量 —— 热运动是晶体宏观性质的表现
杜隆－珀替经验规律
—— 一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能 量均分定律，每个自由度平均热能为kT
总的内能 E 3NkT
摩尔热容量
CV

(
E T
)T
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
i 1
ni (Qi )
i

exp(

2
2
)
H
ni
(
)
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二 、能量量子和声子 （量子力学修正）
把上述经典谐振子的能量用量子力 学的结果来表示。量子力学告诉我 们，频率为的谐振子，其能量为
En＝
1 2

n


n=0,1,2…… （3－57）
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3-1 简谐近似和简正坐标
一、晶格振动和谐振子
简谐近似 —— 只考虑最近邻原子之间的相互作用 研究对象 —— 由N个质量为m的原子组成的晶体
第n个原子的平衡位置
偏离平衡位置的位移矢量
原子的位置 Rn ' Rn n (t)
3个方向上的分量
(坐标变换)
系统的哈密顿量
拉格朗日函数
正则动量
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
系统的哈密顿量
正则方程
pi


H Qi
正则动量
pi

L Q i
Qi
Qi i2Qi 0, i 1, 2, 3, 3N —— 3N个独立无关的方程 简正坐标方程解 Qi Asin(it )
这表明谐振子处于不连续的能量状态。
当n＝0时，它处于基态，E0＝12 ,称为零点能。
相邻状态的能量差为,它是谐振子的能量量子， 称它为声子，正如人们把电磁辐射的能量量子称 为光子一样。
3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应，因此式 （3－57）也是一个频率为ω的格波的能量。频率 为ωi(q)的格波被激发的程度，用该格波所具有的 能量为ωi (q)的声子数n的多少来表征。
1 2
)
i
—— 谐振子方程
本征态函数
ni (Qi )
i

exp(

2
2
)
H
ni
(
)
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
N个原子组成的晶体 系统薛定谔方程
系统能量本征值
E

3N
i
i 1

3N i 1
(ni

1 2
)i
3N
系统本征态函数 (Q1, Q2, Q3,Q3N ) ni (Qi )