简谐近似和简正坐标

第四章总结成员及分工1：一维晶格以及三维晶格的振动2：晶格热容的量子理论3：简谐近似和简谐坐标4：晶格的状态方程和热膨胀5：离子晶体的长波近似4－1 一维晶格以及三维晶格的振动一、知识脉络二、重点1.格波的概念和“格波”解的物理意义(1)定义：晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。

(2)物理意义：一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。

相邻原子之间的位相差为aq 。

(3) q 的取值范围：－(π/a)<q ≤(π／a)这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。

q 的取值及范围常称为布里渊区（Brillouin zones ）。

(4) Born-Von Karman 边界条件: 1)(=-Naq i e h Naq ⨯=π22.一维单原子链的色散关系22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω=-=把 ω 与q 之间的关系称为色散关系(disperse relation)，也称为振动频谱或振动谱。

3.一维单原子链的运动方程相邻原子之间的相互作用βδδ-≈-=d dvF ad v d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22δβ 第n 个原子的运动方程11()(2)n n n n i t naq nq m Ae ωμβμμμμ∙∙+--=+-=4.一维双原子链中两种原子的运动方程及其解（1）运动方程( equation))2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙∙ )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++∙∙（2）方程的解(solution)])2([2q na t i n Ae -=ωμ ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ5.声学波与光学波的概念与物理意义（1）声学波与光学波的定义}]sin )(41[1{2/1222aq M m mM mM M m +-++=+βω }]sin )(41[1{2/1222aq M m mMmM M m +--+=-βω ω＋对应的格波称为光学波（optic wave ）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格波称为声学波(acoustic wave)或声学支（acoustic branch ）（2）两种格波的振幅比aq m A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫⎝⎛++aq m A B cos 222ββω--=⎪⎭⎫⎝⎛--（3）ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数)()(q aq --=+ωπω)()(q aq ++=+ωπω其中aq a22ππ≤〈-6.对色散关系的讨论（1）一维单原子链与一维双原子链的格波解的差异一维单原子链只有一支格波（一个波矢对应一个格波）— 声学波；而一维双原子链则有两支格波（一个波矢对应两个格波）— 声学波和光学波，两支格波的频率各有一定的范围：0)0()(min ==--ωω Maβπωω2)2()(max ==-- m aβπωω2)2()(min ==++ mMM m )(2)0()(max +==++βωω 在ω-max 与ω+min 之间有一频率间隙，说明这种频率的格波不能被激发。

3.2 晶格振动的量子化－声子参考黄昆书3.1节（p79-82）及p88-92Kittel 书 4.3和4.4 两节一. 简谐近似和简正坐标二. 晶格振动的量子化三. 声子一.简谐近似和简正坐标：从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用拉格朗日方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。

本节采用简正坐标重新处理。

（见黄昆书p79-82）N 个原子组成的晶体，平衡位置为，偏离平衡位置的位移矢量为：'()()n n n R t R u t =+n R ()n u t 所以原子的位置表示为：晶体中原子间的耦合振动，在简谐近似下也可以用3nN 个简正坐标下的谐振子运动来描述。

由于简正坐标Q是各原子位移量的某种线性组合，所以一个简正i振动并不是表示一个原子的振动，而是整个晶体所有原子都参与的运动。

由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的共同振动常被称作晶体的一个振动模。

N个原胞，每个原胞n个原子的晶体总共有3nN种振动模。

或说可以用3nN种简谐振子的运动来表述。

引入简正坐标后，我们可以方便地转入用量子力学的观点来理解晶格振动问题，这才是最为重要的。

显然，一旦找到了简正坐标，就可以直接过渡到量子理论。

每一个简正坐标，对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数，其能量本征值是量子化的，所以把量子力学的基本结论应用到晶格振动上才揭示出了晶格振动的最基本的特征。

从量子力学的观点看，表征原子集体运动的简谐振子的能量是量子化的，每个振动模式能量的最小单位被称为声子（Phonon ）。

这是晶格振动量子理论最重要的结论。

在经典理论中，势能函数是连续的，量子理论修正了这个错误，而保留了经典理论中原子振动要用集体运动方式描述的观点，因而按经典力学求出的色散关系是正确的，量子理论并没有改变其结论，只是对各模式振幅的取值做了量子化的规定。

i ω声子概念引入后给我们处理具有强相互作用的原子集体－－晶体带来了极大方便，而且生动地反映了晶格振动能量量子化的特点。

机械振动1、判断简谐振动的方法简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。

特征是：F=-kx,a=-kx/m.要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。

然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x 轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为F=-kx,则该物体的运动是简谐运动。

2、简谐运动中各物理量的变化特点简谐运动涉及到的物理量较多，但都与简谐运动物体相对平衡位置的位移x 存在直接或间接关系：如果弄清了上述关系，就很容易判断各物理量的变化情况3、简谐运动的对称性简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。

运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。

理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。

4、简谐运动的周期性5、简谐运动图象简谐运动图象能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图象跟具体运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种好方法。

6、受迫振动与共振(1)、受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率；受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。

位移x回复力F=-Kx 加速度a=-Kx/m 位移x 势能E p =Kx 2/2 动能E k =E-Kx 2/2 速度m E V K 2(2)、共振：○1共振现象：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。

简谐运动的描述一、描述简谐运动的物理量 1．振幅(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A 表示。

(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量。

2．全振动图11-2-1类似于O →B →O →C →O 的一个完整振动过程。

3．周期(T )和频率(f )描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

二、简谐运动的表达式简谐运动的一般表达式为x ＝A sin(ωt ＋φ) 1．x 表示振动物体相对于平衡位置的位移。

2．A 表示简谐运动的振幅。

3．ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝2πT ＝2πf 。

4．ωt ＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t ＝0时的相位，叫做初相。

1．对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。

(2)全振动的四个特征：①物理量特征：位移(x )、加速度(a )、速度(v )三者第一次同时与初始状态相同。

②时间特征：历时一个周期。

③路程特征：振幅的4倍。

④相位特征：增加2π。

2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。

振幅越大，振动系统的能量越大。

(2)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。

在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。

(3)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。

其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。

(4)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。

做简谐运动的物体位移x 随时间t 变化的表达式： x ＝A sin(ωt ＋φ)(1)x ：表示振动质点相对于平衡位置的位移。

(2)A ：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。

(3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝2πT ＝2πf 。

简谐运动在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函数或余弦函数的规律随时间变化。

任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成。

本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。

一、简谐运动的基本概念： 1．弹簧振子：轻质弹簧(质量不计)一端固定，另一端系一质量为m 的物体，置于光滑的水平面上。

物体所受的阻力忽略不计。

设在O 点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O 点为平衡位置。

系统一经触发，就绕平衡位置作来回往复的周期性运动。

这样的运动系统叫做弹簧振子（harmonic Oscillator ），它是一个理想化的模型。

2．弹簧振子运动的定性分析：考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力：B →O ：弹性力向左，加速度向左，加速，O 点，加速度为零，速度最大； O →C ：弹性力向右，加速度向右，减速，C 点，加速度最大，速度为零； C →O ：弹性力向右，加速度向右，加速，O 点，加速度为零，速度最大； O →B ：弹性力向左，加速度向左，减速，B 点，加速度最大，速度为零。

物体在B 、C 之间来回往复运动。

结论：物体作简谐运动的条件：● 物体的惯性 ——阻止系统停留在平衡位置 ● 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置二、弹簧振子的动力学特征： 1．线性回复力分析弹簧振子的受力情况。

取平衡位置O 点为坐标原点，水平向右为X 轴的正方向。

由胡克定律可知，物体m (可视为质点)在坐标为x (即相对于O 点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为f=-kx式中的比例系数k 为弹簧的劲度系数（Stiffness ），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。

离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。

这种始终指向平衡位置的力称为回复力。

2．动力学方程及其解根据牛顿第二定律， f=ma可得物体的加速度为x mk m f a -==0202x v v x ωω-⎪⎭⎫⎝⎛+＝2020⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωv x ＝求02.072.0=m k ＝v x 6004.022222020+=+=ω2=4π±，由（4π-。