直线和圆综合问题题型分类全面

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．2、设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1 已知圆，求过点与圆相切的切线．2 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为.类型三：弦长、弧问题1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系1、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，实数m 的取值范围 2圆上到直线的距离为1的点有个？3、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是.5、 圆上到直线的距离为的点共有（）．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个6、 过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点 类型五：圆与圆的位置关系1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系2圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。

直线与圆综合（易错必刷38题17种题型专项训练）➢直线与圆位置关系判断 ➢直线与圆位置关系求参 ➢直线与“残圆”交点 ➢阿圆与直线 ➢直线与圆交点坐标 ➢直线与圆相交弦➢直线与圆相交：韦达定理型➢切线：圆上点切线➢切线：圆外点切线➢切线长最值➢切点弦 ➢切点弦最值范围➢切点弦面积型➢角度最值 ➢中点弦➢圆的弦长与定值定圆➢圆的动切线3小题）1．（24-25高三·四川成都·期中）在同一平面直角坐标系中，直线()10mx y m -+=ÎR 与圆222x y +=的位置不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（23-24高二上·四川乐山·期中）已知直线20:l ax by r +-=，圆222:C x y r +=，点(,)A a b在圆内，则A ．直线l 与圆C 相交B ．直线l 与圆C 相切C ．直线l 与圆C 相离D ．不确定3．（24-25高三上·江苏南通·期中）在同一坐标系中，直线0ax by c ++=与圆220x y ax by c ++++=的图形情况可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二． 直线与圆位置求参（共小题）4．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线1y =(2)4y k x =-+有两个相异的交点，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．54,123æùçúèûB ．53,124æùçúçúèûC ．17,412éö÷êëøD ．17,612éö÷êëø5．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆C 的方程为22680x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．123,55éùêú--êúëûB ．12,05æö-ç÷èøC ．[)12,0,5æù-¥-+¥çúèûUD ．12,05éù-êúëû6．（23-24高二上·江苏常州·期中）若存在实数k 使得直线:20l kx y k --+=与圆22:220C x ax y a ++-+=无公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()7,-+¥B ．()(),21,-¥-+¥U C ．()2,1-D ．()()7,21,¥--È+三．直线与“残圆”型交点 （共3小题）7．（23-24高二上·四川·期中）直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是（ ）A ．11b -<£B ．1b ££C ．1b <£-D ．11b -<£或b =8．（23-24高二上·河南商丘·期中）方程10kx -=有两相异实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．10,3æùçúèûB ．1,03æö-ç÷èøC ．11,033æöìü-íýç÷èøîþUD ．110,33æùìü-íýçúèûîþU9．（22-23高二·全国·期中）若直线20kx y --=1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．4,23æùçúèûB ．4,43æùçúèûC ．442,,233éöæù--÷çêúëøèûUD ．4,3æö+¥ç÷èø四．阿圆与直线（共3小题）10．（23-24高二上·山东临沂·期中）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点()4,2A 和()2,0B ，且该平面内的点P 满足P 的轨迹关于直线()300,0mx ny m n --=>>对称，则41m n+的最小值是（ ）A B C ．3D ．911．（23-24高二上·全国·期中）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数l（0l >且1l ¹）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，()30A -,，动点M M 的轨迹是阿氏圆C ．直线l ：()3y k x =+与圆C 恒有公共点，则k 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．éêëC ．éêëD ．[]22-,12．（22-23高二上·福建泉州·期中）已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PB PA l =（0l >且1l ¹），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，Q æççè，直线1:230l kx y k -++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（ ）A ．B ．6-C ．9-D ．3五．直线与圆交点坐标（共2小题）13．（22-23高二上·山东烟台·期中）已知直角ABC V 的斜边长为4，以斜边BC 的中点O 为圆心作半径为3的圆交直线BC 于M ，N 两点，则222AM AN MN ++的值为（ ）A ．78B ．72C ．68D ．6214．（20-21高二上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ×=uuu r uuu r ，则点A 的横坐标为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1六．直线与圆相交弦 （共2小题）15．（2023·江苏淮安·二模）已知圆221:20O x y ty ++-=与y 轴交于,A B 两点，点C 的坐标为(1,2)．圆2O 过,,A B C 三点，当实数t 变化时，存在一条定直线l 被圆2O 截得的弦长为定值，则此定直线l 的方程为（ ）A ．250x y +-=B ．20x y -=C 10y --=D 0y -=16．（22-23高二上·四川广安·期中）已知圆C 经过()4,2P -，()1,3Q -两点，且在y 轴上截得的线段的长为5.若直线//l PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则直线l 的方程为（ ）A ．40x y ++=或30x y +-=B ．40x y +-=或30x y ++=C ．40x y ++=或30x y ++=D ．40x y +-=或30x y +-=七． 直线与圆相交：韦达定理型（共2小题）17．（22-23高三上·山东菏泽·期中）已知圆C 的方程为22240x y x y a +--+=，圆C 与直线:240l x y +-=相交于,A B 两点，且OA OB ^（O 为坐标原点），则实数a 的值为A ．85B ．12C ．45-D ．1518．（2024·湖北·模拟预测）直线y kx =与圆()()22111x y -+-=交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则OM ON ×=uuuu r uuu r （ ）A ．211k +B ．221k k +C ．1D ．2八． 切线：圆上点切线（共2小题）19．（2025·江苏苏州·模拟预测）过原点的圆的圆心为()sin 3,cos3-，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ）A ．3B ．π3-C ．3π62-D ．6π2-20．（23-24高三上·全国·期中）已知圆22:8O x y +=在点()2,2P 处的切线上一点(),M a b 在第一象限内，则14a b+的最小值为（ ）A ．52B ．5C ．94D ．9九．切线：圆外点切线（共2小题）21．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知()00,P x y 是直线40l y -+=上一点，过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，当直线AB 与l 平行时，AB =（ ）A B C D ．422．（22-23高三上·河北沧州·期中）已知圆O ：224x y +=，00(,)M x y 为圆O 上位于第一象限的一点，过点M 作圆O 的切线l .当l 的横纵截距相等时，l 的方程为（ ）A ．0x y --=B ．0x y +=C ．0x y +-=D ．0x y +-=十．切线长最值 （共2小题）23．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点P 是直线: 43+70l x y +=上的动点，过点P 引圆()()22:20C x y r r -+=>的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点，则PM 时，r 的值为（ ）A ．1B ．2C D24．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆O 的半径为2，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，那么PA PB uuu r uuu r g 的最小值为（ ）A ．16-+B ．12-+C ．12-+D ．16-+十一． 切点弦（共2小题）25．（2023高三·全国·期中）过点()0,4M -作圆C ：22+2660x x y y -+=+的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y -+=B ．7180x y -+= C ．2550x y -+=D ．550++=x y26．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知()00,P x y 是:40l x y -+=上一点，过点P 作圆22:5O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，当直线AB 与l 平行时，AB =（ ）A B C D ．4十二．切点弦最值范围（共2小题）27．（23-24高三上·北京顺义·期中）过直线4x y +=上一动点M ，向圆O ：224x y +=引两条切线，A 、B 为切点，则圆O 上的动点P 到直线AB 距离的最大值等于（ ）A ．1B ．2CD ．328．（21-22高二上·湖北武汉·期中）已知点M 作抛物线2:4C y x =上运动，圆C ¢过点，过点M 引直线12,l l 与圆C ¢相切，切点分别为P ，Q ，则||PQ 的取值范围为（ ）A ．2ö÷÷øB ．4)C ．2ö÷÷øD ．4)十三．切点弦面积型（共2小题）29．（23-24高三上·全国·期中）已知圆C 过点()4,2，()2,0，()6,0，点M 在直线y x =上，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形ACBM 面积的最小值为（ ）A ．3B ．C ．4D ．30．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆M ：22222x y x y +--=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当四边形PAMB 面积最小时，PM 的值为（ ）A ．B ．CD 十四．角度最值 （共2小题）31．（22-23高三上·湖北黄冈·期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角∠AQB 的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得∠MPN 最大．”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点2()1,M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．－7C ．1或－7D ．2或－732．（23-24高二上·浙江·期中）已知圆()22:32C x y -+=，对于直线():30l mx y m m -+=ÎR 上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得π2APB Ð=，则实数m 的取值范围是（ ）A ．æççèB ．,¥¥æö-È+ç÷ç÷èøC ．æççèD ．,¥¥æö-È+ç÷ç÷èø十五．中点弦（共2小题）33．（2024·湖北·二模）过点()1,1P -的直线l 与圆22:410C x y x ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．BCD ．234．（23-24高三上·江苏泰州·期中）已知直线:1l y x =+与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，与圆22:(4)16C x y -+=交于A ，B 两点，弦AB 的中点为P ，则MN MP ×=uuuu r uuur （ ）A ．4B ．C ．5D ．十六．圆的弦长与定值定圆（共2小题）35．（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知圆221:20O x y tx t ++-=与x 轴交于,A B 两点，点C 的坐标为()1,2-．圆2O 过,,A B C 三点，当实数t 变化时，存在一条定直线l 被圆2O 截得的弦长为定值，则此定直线l 的方程为（ ）A ．250x y +-=B ．20x y -=C ．2340x y +-=D ．3240x y -+=36．（21-22高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆222(28)0C x y tx t y ++-+=：，圆C 随t 的变化而运动，若存在一条定直线l 被动圆C 截得的弦长为定值，则此定直线l 的方程为（）A ．y x=B ．y x =-C ．y =D ．y =十七． 圆的动切线（共2小题）37．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中q 为参数，R q Î）能形成这种效果的是（ ）A ．sin 20x y q +-=B ．cos 2sin 0x y q q +-=C ．cos sin 20x y q q +-=D ．cos 20x y q +-=38．（22-23高二上·广东广州·期中）设直线系:cos sin 1,02M x y q q q p +=£<，对于下列四个命题：（1）M 中所有直线均经过某定点；（2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；（3）对于任意整数,3n n ³，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；（4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ）A ．（2）（3）B ．（1）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）。

直线与圆的有关问题一、最值问题一、直线与圆的交点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径之间的比较，或者是利用方程有解的问题。

例1、若直线430x y a -=+=与圆22100x y +=(1)相交(2)相切(3)相离分别求实数a 的取值范围二、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离例2、求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离练习：求圆C: 上的点与直线 的最大值和最小值.三、有些最值问题要注意向函数问题转化。

例3、方程ax 2+ay 2－4（a －1）x +4y =0表示圆，求a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.四、两个动点的最值问题总是转化成一个一定点到动点的最值问题例4、 五、抓住式子的几何意义也是我们求最值的方法之一。

二、综合问题1. 不论k 为何值，直线0)4()2()12(=+----k y k x k 恒过的一个定点是（ ）A.(0,0)B.(2,3)C.(3,2)D.(-2,3)2. 过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的圆的切线方程为（ ）A.032=-+y xB. 012=--y xC. 012=--y xD. 012=+-y x3. 斜率为1的直线l 被圆422=+y x 截得的弦长为２，则直线l 的方程为 ． 211-22=++）（）（y x 04=+-y x 的切线）（：为圆上一点，为直线21)1(0422=++-=+-y x C PT y x P .的最小值求切线PT 014,522=+-+x y x y x 满足、已知例的最大值和最小值；）求（x y 1的最小值；）求（x y -2的最大值和最小值）求（223y x +4. 已知圆C 的圆心与点P (2,1)-关于直线1+=x y 对称，直线01143=-+y x 与圆C相交于A 、B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．5、 圆心在直线04=--y x ，且经过两圆034,0342222=--+=--+y y x x y x 的交点的圆的方程为（ ）（ A ） 032622=-+-+y x y x（B ）032622=-+++y x y x （C ） 032622=---+y x y x （D ）032622=--++y x y x6、实数x 、y 满足 012222=+--+y x y x ，则24--x y 的取值范围为（ ） （ A ）[34，∞+） （B ）[0，34] （C ）]34,(--∞ （D ）)0,34[- 7、已知直线L 过点P （2，1），且L 的倾斜角是已知直线0843`:=--y x l 的倾斜角的一半，直线L 的方程是_________________________8、过圆074822=++-+y x y x 内一点（5，)3-的最短弦的在的直线方程是________________,最长的弦所在直线方程是______________________9、若点P 在圆0126422=+-++y x y x 上，点Q 在直线2134=+y x 上，则PQ 的最小值是-_________________________10、已知x,y 满足04222=+-+y x y x ，求y x 2- 的最大值为_____________________11．两平行直线51230102450x y x y ++=++=与间的距离是（ ）. A.213 B. 113 C. 126 D. 52610．已知点A 的坐标为(4,4)-，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； （2）直线l 关于点A 的对称直线l '的方程.11、光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D （－1，6），求BC 所在直线的方程.12．试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程.13．已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．。

直线与圆的综合一、直线与圆的位置关系应用1. 求圆的切线的方法（1）自一点引圆的切线的条数①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；③若此点在圆内，则过此点不能作圆的切线．（2）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．注意：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得值是一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可用数形结合法求出．经典例题1.过点与圆所引的切线方程为．2.过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为（）．A. B. C. D.3.若过点总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是．巩固练习1.过点且与圆相切的直线方程为．A. B.C.D.2.已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（）．2.求圆的切线长求切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．经典例题A.B.C.D.1.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2） 2.已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．求圆的方程．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为、点，求四边形面积的最小值．巩固练习A. B.C.D.1.点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长可能为（）．A.B. C.D.2.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2）3.已知圆经过点，且圆心为．求圆的标准方程．过点作圆的切线，求该切线的方程及切线长．3. 直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：（1）几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．注意：计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．（2）代数法①将方程组消元后，由一元二次方程中根与系数的关系可得关于或的关系式，则通常把叫做弦长公式．②直线的方程与圆的方程联立求出交点坐标，由两点间的距离公式求得．经典例题A. B.C.D.1.已知圆的方程为，过该圆内一点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（ ）．2.若直线将圆的圆周分成长度之比为的两段弧，则实数的所有可能取值是 ．A.B. C.D.3.圆：被直线：截得的弦长的最小值为（）．4.直线经过点被圆截得的弦长为，求此弦所在直线方程．A. B.C.D.5.若圆与轴、轴均有公共点，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.6.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线 的斜率的取值范围是（）．A. B.C.D.7.已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）．巩固练习A. B.C.D.1.已知圆关于轴对称，经过点且被轴分成两段弧长之比为.则圆的方程为（）．A.或B.或C.或D.2.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为( )3.若过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的方程是 ，此时的弦长为．A.B.或C.或D.或4.过点的直线与圆相交于，两点，且，则直线的方程为（）．A.B.C.D.5.若圆上至少有三个不同点的直线的距离为，则的取值范围是（）．A.B.或 C.或D.6.已知直线的方程为，若直线与曲线相交，则直线斜率的取值范围为（）．4.知识总结（一）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．（二）求圆的切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．（三）直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．二、圆与圆的位置关系问题1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有三种：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．圆与圆位置关系的判断方法一般采用几何法来判断，利用两圆的圆心距进行判断设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含经典例题1.若圆：与圆：相交，则的取值范围为．A.条B.条C.条D.条2.两圆与的公切线有（）．巩固练习A.外离 B.外切 C.内含D.内切1.已知圆的方程为，圆的方程为，那么这两个圆的位置关系不可能是（）．A.B. C. D.2.圆与圆的公切线的条数是（）.2. 两圆的公共弦（1）两圆相交时，公共弦所在的直线方程设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）两圆公共弦长的求法①代数法：将两圆方程联立，求出公共弦所在直线的方程，将所得直线方程与任一圆的方程再联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．②几何法：将两圆的方程联立，求出公共弦所在的直线的方程，由点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．经典例题1.已知圆与圆相交于两点．（1）（2）求两圆的公共弦所在直线的方程．求两圆的公共弦长．A. B.C.D.2.两圆和相交于两点，，则线段的长为（）．巩固练习（1）（2）1.已知圆，圆．分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离．求这两个圆的公共弦的长．A.B.C.D.2.两圆相交于两点和，且两圆圆心都在直线上，则的值是（）．3. 知识总结（一）两圆的位置关系设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含（二）两个圆的公共弦（1）公共弦所在直线设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）公共弦长代数法、几何法三、与圆有关的应用1. 求圆的轨迹方程的方法（1）直接法：直接由题目给出的条件列出方程；（2）定义法：根据圆的定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法（即相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.经典例题1.在直角坐标系中，点在圆上移动，动点和定点连线的中点为，求中点的轨迹方程．A. B.C.D.2.已知点和圆：，过点的动直线与圆交于，，则弦的中点的轨迹方程（）． 3.已知定点，是圆上一动点，的平分线交于点，求的轨迹方程．巩固练习1.已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是 ；轨迹为．2.已知为圆上一动点，定点，求线段中点的轨迹方程．2. 与圆有关的最值问题（1）距离型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；（2）过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦；（3）直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.经典例题（1）（2）1.已知，，动点满足，设动点的轨迹为．求动点的轨迹方程．点在轨迹上，求最小值．2.已知直线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为．（1）（2）3.在平面直角坐标系中，，动点满足．求点的轨迹方程．设为圆：上的动点，求的最小值．A.B.C.D.4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．当，，三点不共线时，面积的最大值为（）．A.最大值是，最小值是 B.最大值是，最小值是C.最大值是，最小值是D.最大值是，最小值是5.如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴非负半轴上，点在第一象限，且，，那么，两点间距离的（）．巩固练习A.B. C.D.1.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）．2.已知实数，满足，则的取值范围是．3.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为 ．A.B.C.D.4.若点在圆上运动，，则的最小值为（ ）．3. 与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称．（2）圆关于点对称①求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．（3）圆关于直线对称①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．经典例题A. B.C. D.1.圆关于直线对称的圆的方程为（）．A. B.C.D.2.已知圆上两点，关于直线对称，则圆的半径为（）．A. B.C.D.3.已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为（）．A.B. C. D.4.若圆：关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）．5.在平面直角坐标系中，若圆：（）上存在点，且点关于直线的对称点在圆：上，则的取值范围是．6.点，分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为．巩固练习A. B.C.D.1.已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（）．A. B. C.D.不存在2.圆：上有两个点和关于直线对称，则（）．3.圆关于直线对称，则的值是（ ）．A. B. C. D.4.已知圆：关于直线：对称，则原点到直线的距离为（）．A. B. C. D.4. 知识总结（1）求圆的轨迹方程的方法直接法、定义法、几何法、代入法（2）与圆有关的最值问题①斜率型最值问题②截距型最值问题③距离型最值问题④过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦、⑤直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.（3）与圆有关的对称问题圆的轴对称性、圆关于点对称、圆关于直线对称思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！出门测1.从直线上的点向定圆作切线，则切线长的最小值为（）．A. B. C. D.2.从圆外一点向圆引两条切线，切点分别为，，则（）．A. B. C. D.3.若圆与圆相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是（）．A. B. C. D.。

直线与圆题型及做题技巧
一、直线与圆题型
1、求圆与直线的位置关系，即直线是否与圆相交，相交的情况有几种；
2、求直线与圆的交点；
3、求圆与直线的切线；
4、求直线与圆的关系，即圆是否在直线内部，圆是否完全包含在直线外面；
5、求直线上一点到圆的距离；
6、求圆上一点到直线的距离；
7、求圆心到直线的距离；
8、求圆的切点；
9、求圆的外切线；
10、求圆的内切线；
二、做题技巧
1、首先应该判断出圆与直线的位置关系，其次才能确定
解题思路；
2、要分析圆的参数方程和直线的参数方程，并将它们进
行比较；
3、从圆的数学定义出发，可以把问题转化为求解二元一
次方程组；
4、可以利用圆心到直线的距离公式求解；
5、可以利用圆上一点到直线的距离公式求解；
6、可以利用圆的切点求解，如果圆与直线不相交，可以
求出两个切点；
7、可以利用圆的外切线求解，此时可以求出一条外切线；
8、可以利用圆的内切线求解，此时可以求出一条内切线；
9、可以利用圆的半径求解，如果圆与直线不相交，可以
求出直线与圆的距离；
10、可以利用三角法求解，如果圆与直线不相交，可以求出直线与圆的距离。

总之，在做直线与圆的题目时，首先要分析出圆与直线的位置关系，然后根据圆和直线的数学定义，把问题转化为求解
二元一次方程组的形式，再利用相关公式解出相应的解，最后根据题目要求，得出结果。

圆的方程常考题型类型一：圆的方程1 、求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1 已知圆，求过点与圆相切的切线．2 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程.练习：1、求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程 .2、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 .类型三：弦长、弧问题1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长 .2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 .3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长 .类型四：直线与圆的位置关系1、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，实数m 的取值范围 .2 、圆上到直线的距离为1的点有 个.3、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 .4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .5、圆上到直线的距离为的点共有（ ）． （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个6、过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点类型五：圆与圆的位置关系)4,1(A )2,3(B 0=y 422=+y x O ：()42，P O 0111221=++++F y E x D y x C ：0222222=++++F y E x D y x C ：A B AB 9)3()3(22=-+-y x 01143=-+y x 034222=-+++y x y x 01=++y x 2()43--，P l l ()()42122=++-y x C ：1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系2、圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条.类型六：圆中的对称问题1、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 .类型七：圆中的最值问题1、圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差 是 .2、已知圆，为圆上任一点．求： （1）的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值；（3）求22y x +的最大值与最小值.类型八：轨迹问题 1、已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.2、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.3、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .1)2(222=++y x O ：),(y x P 12--x y y x 2-。

解决鸟类眼界的线条和圈子的多汁问题时，经常出现7种令人兴奋的问题。

想象一下，找到那些神奇的交叉点，在那里，一个令人兴奋的线与一个酷酷的圈子相遇，或者想出一个调情的切线与一个圈子的等式——这就像解谜一样！接下来是分析一个大胆的线条相对于一个神秘的圆圈的位置的刺激，以及揭开多个圆圈和线条的交叉点的谜题。

等等，还有更多！准备好探究一个圆圈和一条线之间的最大和最小距离——这就像一个高招的捉迷藏游戏。

谁能抗拒探索被一圈一线包围的区域和周边的冒险？这就像揭开埋藏的宝藏！如果这还不够的话，使用坐标几何来导航令人惊奇的线条和圆圈世界，将是一个令人发指的挑战。

谁知道数学会这么有趣？
第一种问题在于找出一条线和一圈交汇的地方。

你基本上必须解决几个方程，才能找到它们相互交叉的点。

第二类问题是试图找到一个线的方程式，这个线只在某一点上触碰一个圆。

这就像找到线的坡度并利用它来构建方程式第三类问题在于如何看一行与一圈的关系。

你基本上正在想，如果线条穿过圆圈，只是触摸它，或者在它之外停留。

展望未来，第四种问题涉及审查多个圈和线的交叉点。

这会造成复杂配置，特别是在处理两个以上的圆圈和线条时。

第5类问题侧重于调查给定圆与给定线之间的最大和最小距离。

这往往需要利用几何和微积分的概念来优化距离。

第六类问题探索特定圆圈和特定线所包围的区域和周边。

这需要几何公式和方程解析的二元化。

第7类问题涉及
理解协调几何的应用，以解决涉及线和圈的问题。

这可能需要使用距离公式和一个圆的方程来导航问题的复杂性。

第18讲直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m ≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即2+-x y ；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：2+-x y 题型五：圆中最值问题【例1】已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．82-B ．1682-C ．842+D ．162+【答案】C 【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离422d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则42AB =PAB △面积的最大值为()14222822⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295【答案】B【分析】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，计算出圆心E 到直线125240x y -+=的距离d ，结合对称性可得出PQ QR +的最小值为25d -，即可得解.【详解】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为()221265247125d ⨯-+==+-，【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。

高考数学一轮总复习直线与圆的多元综合运用在高考数学考试中，直线与圆的多元综合运用是一个重要的考点。

该考点主要考察学生对直线和圆的性质、关系以及相关求解方法的理解和运用能力。

下面将从几个典型的应用问题入手，探讨直线与圆的多元综合运用。

问题一：已知圆C的圆心为O，点A在圆上，点B在直线l上，且AB是圆C的直径，求证：直线AB垂直于直线l。

解析：由题意可知，直线AB是圆C的直径，因此直线AB的垂直平分线就是圆C的半径，也即线段AC、BC的中垂线。

而中垂线与线段所在直线垂直，所以直线AB垂直于直线l。

问题二：已知直线l与圆C的切点为A，直线l过点B(圆C外一点)，求证：直线AB的长度等于直线BC的长度。

解析：由题意可知，直线l是圆C的切线，而切线与半径垂直，所以∠OAB = 90°。

又因为直线l过点B，所以直线AB是直线l与圆C交点B到圆心O的线段。

利用勾股定理可得：AB² = AO² + OB²。

同理，直线BC也是直线l与圆C交点C到圆心O的线段，所以BC² = CO² + OB²。

由于AO = CO（半径），所以AO² = CO²。

将以上两个等式结合起来，可得到AB²= BC²。

因此，直线AB的长度等于直线BC的长度。

问题三：已知圆C的弦AB与直线l相交于点D，圆C内一点P到直线l的距离为d，求证：直线l与弦AB的交点D到圆心O的距离也为d。

解析：设直线l与圆C交于点E和F。

由题意可知，直线l与弦AB 相交于点D，采用反证法来证明直线l与弦AB的交点D到圆心O的距离也为d。

假设直线l与弦AB的交点D到圆心O的距离为d1，且d1 ≠ d。

因为直线l与圆C相交于点E和F，所以圆C的直径EF垂直于直线l，也即EF是直线l的宽度。

而弦AB也是直线l的一部分，所以直线l的宽度不可能大于EF的宽度。

假设直线l与弦AB的交点D到圆心O的距离为d1 ≠ d，那么直线l的宽度必然大于EF的宽度，与直线l 的定义相矛盾。