椭圆经典例题分类汇总
1. 椭圆第一定义的应用
例1 椭圆的一个顶点为()02,
A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.
例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2
1=e ,求k 的值.
例3 已知方程1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆,求k 的取值围.
例4 已知1cos sin 2
2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值围.
例5 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322
=+-y x B :的部与其相切,求动圆圆心P 的轨迹方程.
2.焦半径及焦三角的应用
例1 已知椭圆13422=+y x ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
例2 已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示).
3.第二定义应用
例1 椭圆112162
2=+y x 的右焦点为F ,过点()
31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.
例2 已知椭圆1422
22=+b
y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离.
例3 已知椭圆15
92
2=+y x 有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.
(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标;
(2) 求22
3PF PA +
的最小值及对应的点P 的坐标.
4.参数方程应用
例1 求椭圆13
22
=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.
例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程;(2)求椭圆接矩形的最大面积.
例3 椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值围.
5.相交情况下--弦长公式的应用
例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=.
(1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点?
(2)若直线被椭圆截得的弦长为
5
102,求直线的方程.
例2 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3
π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.
6.相交情况下—点差法的应用
例1 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.
例2 已知椭圆1222=+y x ,求过点??
? ??2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.
例3 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点??
? ??2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过()12,
A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足2
1-
=?OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.
例4 已知椭圆13
42
2=+y x C :,试确定m 的取值围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.
例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆19
362
2=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程.