【精】深圳市高级中学高一下期中数学(文)试卷及答案

高级中学2011—2012学年第二学期期中测试高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-21题，共110+15分．全卷共计150+15分．考试时间为120分钟．注意事项：1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试室号、座位号，填写在答题卡上，用2B 铅笔涂写在答题卡相应位置上．2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求做大的答案无效．4、 考生必须保持答题卡得整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（本卷共40分）一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. sin 600︒的值是 （ ）A ．2 B ．12- C ．12 D ．2-2. 若(3,2), (5,1)OM ON =-=--，则12MN 等于 （ ） A ．(8,1) B ．(8,1)- C ．1(8,)2- D ．1(4,)2-3. 函数2sin()3y x π=+的一条对称轴为 （ ）A ．2x π=-B ．0x =C ．6x π=D ．6x π=-4. 已知3cos 25θ=，则44sin cos θθ-的值为 （ ） A ．45 B ．35 C ．35- D ．45-5. 若||4, ||6m n ==，m 与n 的夹角为135︒，则m n ⋅等于 （ ）A ．12B ．C ．-D ．12-6. 圆22420x y x y +-+=的圆心和半径分别是 （ ）A ．(2, 1),-．(2, 1), 5-C ．(2, 1),-．(2, 1), 5-7. 直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为 （ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离8. 在ABC ∆中， 2, 2AB BC A π==∠=，且||||BA t BC AC -⋅…，则实数t 的取值范围是 （ ） A ．[1, )+∞ B ．1[, 1]2 C ．1(, ][1, )2-∞+∞ D ．(, 0][1, )-∞+∞第Ⅱ卷（本卷共计110+15分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 函数2sin y x =的最小正周期为 ． 10. 设1cos 13y x =-的最大值和最小值分别为, u v ，则u v += ． 11. 若(1,3), (,1)a b x =-=-，且//a b ，则x 的值为 ．12. tan70tan50tan50︒+︒︒的值为 ．13. 以点(2,1)-为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程为 ． 14. 设0ω>，函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 15. （本小题12分）已知tan 2α=，求下列各式的值：（1）4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+； （2）223sin 3sin cos 2cos αααα+-．16. （本小题满分12分）已知(1,2), (3,2)a b ==-．（1）求|2|a b -的值；（2）若2ka b +与24a b -垂直，求实数k 的值．17. （本小题满分14分）已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切．（1）求圆O 的方程；（2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长．18. （本小题满分14分）已知sin()y A x B ωϕ=++的一部分图像如图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><．（1）求()f x 的解析式； （2）若[0, ]2x π∈，求()f x 的最值．19. （本小题满分14分）已知312sin(2), sin , (, ),(, 0)51322ππαββαπβ-==-∈∈-，求sin α的值．20. （本小题满分14分）如图在ABC ∆中，11, 42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于M 点．设, OA a OB b ==． （1）用, a b 表示OM ；（2） 已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设O E p O A =，OF qOB =，则13p q+是否为定值，如果是定值，这个定值是什么？ 附加题21. （本题满分15分） 已知圆C 过点(1, 1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称． （1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于, A B ，且直线PA 和PB 直线的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行，并说明理由．高级中学2011—20012学年第二学期期中测试高一数学答题卷一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．______________ 10．______________ 11．______________12．______________ 13．______________ 14．______________三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题12分）16．（本小题12分）17．（本小题14分）18．（本小题14分）19．（本小题14分）20．（本小题14分）附加题：21．（本小题15分）高级中学2011—2012学年第二学期期中测试高一数学参考答案一．选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．π 10. 2- 11.13 12．2225(2)(1)2x y -++= 14. 32三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 15.（本小题12分）已知tan 2α=，求下列各式的值：（1）4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+； （2）223sin 3sin cos 2cos αααα+-．解：（1）4tan 24226==5tan 352313αα-⨯-=+⨯+原式；………………………………6分 （2）2222223sin 3sin cos 2cos 3tan 3tan 216==sin cos tan 15ααααααααα+-+-=++原式．………12分 16.（本小题满分12分）已知(1,2), (3,2)a b ==-．（1）求|2|a b -的值；（2）若2ka b +与24a b -垂直，求实数k 的值．解：（1）22|2|=4420a b a a b b --⋅+=-=6分（2）由题意得(2)(24)0ka b a b +⋅-=，即222(44)80ka k a b b +-⋅-=，5010448130, 3k k k +--⨯==． ………………………………………………………12分 17. （本小题满分14分）已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切．（1）求圆O 的方程；（2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长．解：（1）设圆O 方程为222x y r +=．圆22:(3)(4)4C x y ++-=，||2r OC =-23==，所以圆O 方程为229x y +=．…………………………7分（2）O 到直线a 的距离为d ==10分故弦长l ==14分18.（本小题满分14分）已知sin()y A x B ωϕ=++的一部分图像如图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><．（1）求()f x 的解析式； （2）若[0,]2x π∈，求()f x 的最值．解：（1）由图可知函数图像过2(, 1.5),(, 0.5)63ππ-， 则 1.5(0.5)12A --==，………………………………………………………………2分1.510.5B =-=，……………………………………………………………………4分22T==2()=36ππππω-，2ω=，…………………………………………………6分把(, 1.5)6π代入解析式得sin(2)0.5 1.56πϕ⨯++=，解得6πϕ=．所以，1()sin(2)62f x x π=++．………………………………………………………7分 （2）70, 22666x x ππππ+剟剟，……………………………………………………10分113 sin(2)1 0sin(2)26622x x ππ∴-+++，剆剟s ?所以，min ()0f x =，max 3()2f x =．………………………………………………14分19.（本小题满分14分）已知312sin(2), sin , (, ),(, 0)51322ππαββαπβ-==-∈∈-，求sin α的值．解：, 22, 0<,22ππαππαπβ<<<<-<5<22ππαβ∴-<． 由3sin(2)05αβ-=>，得52<22ππαβ-<，4cos(2)5αβ∴-=．……………………………………………………3分又<02πβ-<，由12sin 13β=-得5cos 13β=．………………………………………………………6分 cos 2[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 4531256=()951351365cos ααββαββαββ∴=-+=---⨯-⨯-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分由2cos 212sin αα=-，得29sin 130α=，………………………………………12分又2παπ<<，所以sin 130α=．………………………………………………14分 20.（本小题满分14分）如图在ABC ∆中，11, 42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于M 点．设, OA a OB b ==．（1）用, a b 表示OM ； （2） 已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设O E p O A =，OF qOB =，则13p q+是否为定值，如果是定值，这个定值是什么？ 解：（1）设OM ma nb =+，则(1)AM OM OA ma nb a m a nb=-=+-=-+， 1122AD OD OA OB OA a b =-=-=-+． ∵A M D 、、三点共线，∴AM 与AD 共线，故存在实数t ，使得 AM t AD =，即1(1)()2m a n b t a b -+=-+，(1)2t m a nb ta b -+=-+， ∴1,.2m t t n -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t 得12m n -=-，即21m n +=． ①…………………3分 ∵ 11()44CM OM OC ma nb a m a nb =-=+-=-+，14CB OB OC b a =-=-， 又C M 、、B 三点共线∴CM 与CB 共线，同理可得 41m n +=． ②…………………………………6分 联立①②，解得13, 77m n ==． 故1377OM a b =+．………………………………………………7分 （2）137p q+=． ∵1313()7777EM OM OE a b pOA p a b =-=+-=-+， EF OF OE qOB pOA pa qb =-=-=-+，又EM 与EF 共线，故存在实数k ，使得EM kEF =，即13()()77p a b k pa qb kpa kqb -+=-+=-+. 1737p pk kq ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，消去k 得1377p p q -=-⋅，整理得137p q +=．………………14分 附加题21.（本题满分15分） 已知圆C 过点(1, 1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和PB 直线的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行，并说明理由．。

2017-2018学年广东省深圳市高级中学高一（下）期中数学试卷（文科）一．选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁U B）=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}2．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C． D．3．过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y+4=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y+3=0 D．x﹣2y+5=04．在同一坐标系中画出函数y=log a x，y=a x，y=x+a的图象，可能正确的是（）A．B．C．D．二．填空题：共2小题，每小题5分，共10分．5．函数f（x）=的定义域为______．6．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得弦长为时，则a=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣GBF的体积．第二部分本学期知识和能力部分一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．8．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．9．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．10．已知tanθ=，θ∈（0，），则cos（﹣θ）=（）A．B．﹣C．D．11．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．512．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点P（0，），如图，则φ的值为（）A．B． C．或D．﹣或13．已知函数y=f（x），将f（x）的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，那么函数y=f（x）的解析式是（）A．B．C．D．14．已知，O为平面内任意一点，则下列各式成立的是（）A．B．C．D．15．函数是（）A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数二．填空题：共2小题，每小题5分，共10分．16．已知tanα=﹣，则=______．17．已知为非零向量，且夹角为，若向量=，则||=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．已知，且cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，求：cos2α的值．19．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣（3+m））．（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．20．已知函数f（x）=A（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=时取最大值2，x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α）=，α∈（，），求sin（﹣2α）的值．21．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．22．已知向量=（2cos（﹣θ），2sin（﹣θ）），=（cos（90°﹣θ），sin（90°﹣θ））（1）求证：⊥；（2）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t2﹣3），=﹣k+t满足⊥．试求此时的最小值．2017-2018学年广东省深圳市高级中学高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁U B）=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，可以求出集合C U B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴C U B={1，3，4}∵A={3，1，2}∴A∩（C U B）={1，3}故选D．2．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h 即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．3．过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y+4=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y+3=0 D．x﹣2y+5=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程，并化为一般式．【解答】解：过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y﹣3=（x﹣2），化简可得x﹣2y+4=0，故选A．4．在同一坐标系中画出函数y=log a x，y=a x，y=x+a的图象，可能正确的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据指数函数和对数的函数的单调性，和一次函数的纵截距所得的a的范围是否一致．故可判断．【解答】解：当0＜a＜1，y=log a x，y=a x均为减函数，且y=x+a与y轴的交点纵坐标小于1，当a＞1，y=log a x，y=a x均为增函数，且y=x+a与y轴的交点纵坐标大于于1，观察图象知，A，B，C均错，只有D正确．故选：D二．填空题：共2小题，每小题5分，共10分．5．函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）=，∴，解得，∴f（x）的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．6．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得弦长为时，则a=．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意可得圆心C（a，2）半径r=2，则圆心（a，2）到直线x﹣y+3=0得距离d==，在Rt△CBM中由勾股定理可得，d2+BM2=BC2结合a＞0可求【解答】解：由题意可得圆心C（a，2）半径r=2则圆心（a，2）到直线x﹣y+3=0的距离d==Rt△CBM中由勾股定理可得，d2+BM2=BC2∵a＞0∴或a=（舍去）故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣GBF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面ABE ，可得BC ⊥AE ．再利用线面垂直的判定定理可得AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）由三角形的中位线定理可得：FG ∥AE ，．利用线面垂直的性质可得FG⊥平面BCE ．再利用“等体积变形”即可得出V C ﹣GBF =V G ﹣BCF 计算出即可． 【解答】（I ）证明：∵AD ⊥面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥面ABE ，AE ⊂平面ABE ， ∴AE ⊥BC ．…又∵AE ⊥EB ，且BC ∩EB=B ，∴AE ⊥面BCE ．… （II ）解：∵在△BCE 中，EB=BC=2，BF ⊥CE ， ∴点F 是EC 的中点，且点G 是AC 的中点，… ∴FG ∥AE 且． …∵AE ⊥面BCE ，∴FG ⊥面BCE ． ∴GF 是三棱锥G ﹣BFC 的高 …在Rt △BCE 中，EB=BC=2，且F 是EC 的中点．…∴．…第二部分本学期知识和能力部分一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项． 8．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性． 【分析】先根据周期排除C ，D ，再由x 的范围求出2x +的范围，再由正余弦函数的单调性可判断A 和B ，从而得到答案．【解答】解：C 、D 中函数周期为2π，所以错误 当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选A．9．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3．故选：C．10．已知tanθ=，θ∈（0，），则cos（﹣θ）=（）A．B．﹣C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求出cosθ和sinθ的值，再根据两角差的余弦公式即可求出．【解答】解：∵tanθ=，θ∈（0，），∴=又sin2θ+cos2θ=1，∴sinθ=，cosθ=，∴cos（﹣θ）=cos cosθ+sin sinθ=×（﹣）+×=，故选：C．11．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．5【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．12．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点P（0，），如图，则φ的值为（）A．B． C．或D．﹣或【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】将P点坐标代入f（x）即可求得φ的值．【解答】解：由函数图象可知，将P（0，）坐标代入，φ∴φ=，由函数的周期为π∴φ=故答案选A13．已知函数y=f（x），将f（x）的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，那么函数y=f（x）的解析式是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用逆向思维寻求应有的结论，注意结合函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：对函数的图象作相反的变换，利用逆向思维寻求应有的结论．把的图象沿x轴向右平移个单位，得到解析式的图象，再使它的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的倍，就得到解析式的图象，故函数y=f（x）的解析式是，故选D．14．已知，O为平面内任意一点，则下列各式成立的是（）A．B．C．D．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】用表示出，则．【解答】解：∵，∴=，∴==﹣+．故选：A．15．函数是（）A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．【分析】函数f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用诱导公式化简得到结果，找出ω的值代入周期公式求出最小正周期，根据正弦函数为奇函数确定出函数的奇偶性，即可得到结果．【解答】解：f（x）=+﹣1= [cos（x﹣）﹣cos（x+）]=（sinx+sinx）=sinx，∵ω=1，∴T=2π，∵正弦函数为奇函数，∴函数f（x）为周期为2π的奇函数．故选C二．填空题：共2小题，每小题5分，共10分．16．已知tanα=﹣，则=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】将1=sin2α+cos2α代入，分子分母同时除以cos2α可得到关于tanα的关系式，即可得到答案．【解答】解：∵==又∵tanα=﹣∴原式=故答案为：．17．已知为非零向量，且夹角为，若向量=，则||=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将向量=平方，转化为向量的数量积解答．【解答】解：因为为非零向量，且夹角为，向量=，所以||2=（）2=（）2+（）2+2=1+1+2cos=1+1+1=3，所以||=；故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．已知，且cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，求：cos2α的值．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．【分析】由α与β的范围求出α﹣β与α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin （α﹣β）与cos（α+β）的值，所求式子角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵＜β＜α＜，∴0＜α﹣β＜，π＜α+β＜，∵cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，∴sin（α﹣β）==，cos（α+β）=﹣=﹣，则cos2α=cos[（α﹣β）+（α+β）]=cos（α﹣β）cos（α+β）﹣sin（α﹣β）sin（α+β）=×（﹣）﹣（﹣）×=﹣．19．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣（3+m））．（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）根据三点构成三角形的条件，即只要三点不共线，根据共线的条件确定出m 的值，从而解出A、B、C能构成三角形时，实数m满足的条件；（2）将几何中的角为直角转化为向量的语言，通过向量的数量积为零列出关于实数m的方程，求解出实数m．【解答】解：（1）若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，∵，故知3（1﹣m）≠2﹣m∴实数时，满足条件．（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，∴3（2﹣m）+（1﹣m）=0解得．20．已知函数f（x）=A（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=时取最大值2，x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α）=，α∈（，），求sin（﹣2α）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由已知可得：T=π，A=2．利用=π，解得ω=1，f（x）=2sin（2x+φ），由于在x=时取最大值，可得+φ=+2kπ，（k∈Z），0＜φ＜π），解得φ即可得出．（2）由f（α）=，可得sin=，又sin（﹣2α）=cos，利用三角函数的平方关系即可得出．【解答】解：（1）由x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1﹣x2|的最小值为．得：T=π．函数f（x）=A（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=时取最大值2，∴A=2．∴=π，解得ω=1，∴f（x）=2sin（2x+φ），∵在x=时取最大值，∴+φ=+2kπ，（k∈Z），0＜φ＜π），∴φ=，∴f（x）=2sin．（2）∵f（α）=，∴2sin=，∴sin=，∵sin（﹣2α）=cos，∵＜2＜π，∴==﹣，∴sin（﹣2α）=﹣．21．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；（2）由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，]上的单调性．【解答】解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，所以T==π，∴ω=1．（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．22．已知向量=（2cos（﹣θ），2sin（﹣θ）），=（cos（90°﹣θ），sin（90°﹣θ））（1）求证：⊥；（2）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t2﹣3），=﹣k+t满足⊥．试求此时的最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用诱导公式和数量积运算，只要证明=0即可；（2）由⊥，可得=0，解得k与t的关系，代入，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵=2cos（﹣θ）cos（90°﹣θ）+2sin（﹣θ）sin（90°﹣θ）=2cosθsinθ﹣2sinθcosθ=0，∴．（2）=4cos2θ+4sin2θ=4，=1，∵⊥，∴=[+（t2﹣3）]•（﹣k+t）=+=﹣4k+t（t2﹣3）=0，（k≠0，t≠0）．∴，∴==﹣．2018年9月28日。

广东省深yil 高级中学20XX-20XX 学年高一下学期期中考试 数学鼬本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两局部，第I 卷为1・8题，共40分, 第II 卷为9-21题，共110+15分.全卷共计150+15分.考试时间为120分钟.考前须知:1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试室号、座位号，填写在答题卡上，用2B 钳笔涂写在答题卡相应位置上.2、 选择超每题选出答案后，用2B 铅笔把答詹卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3、 非选择题必须用般色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须与在答题卡各题U 指定区域内相应位齿上：如需改动.先划掉原来的答案.然后再写上新的答案：不准使用铅 笔和涂改液.不按以上要求做大的答案无效.h 考生必须保持答题K •得整洁.考试结束后，将试卷和答题K •一井交回.第I 卷（本卷共40分）一、选择题：（本大题共8题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项符合题目要求的）I.sin 600°的值是2. 假设函=（3,—2）,伽=（一5,—1），那么；丽等于3. 函数y = 2sin （x + ^）的 条对称轴为A. (8.1)B. (一8.1)C.(&T。

・（-4或）A. X- -----2 34. cos 2。

=；,那么 sinW-cos' 0 的值为B. x = OC.7TD. x =——65. 假设|福|=4,修|=6, S与日的央角为135。

，那么航3等于6. 圆V +）? -4x+2），= 0的圆心和半径分别是（）A ・（Z -1）, x/5B ・（2, -IX 5 C. （一2, I ）, x/5D. （一2, 1）, 57. 直线y =工+1与圆/ + 丁 = 1的位置关系为（ ）A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D .相离8. 在MBC 中，AB = J5, 8C = 2.匕4 =兰，旦|前一/•而|・」花|,那么实数，的取2值范围是（ ）A. [1, +8）B. [―, 1|C. （—+8）D.（-<©,（）]U 【1，+°°）第II 卷（本卷共计110+15分）二、填空0（本大题共6小题，每题5分，共30分）9. 函数y = sin 2x 的最小正周期为 __________ ・10. 设y = ；cosx-l 的最大值和最小值分别为站八 那么w+v= ____________ ・° 11 .假设Z = （-l,3）,另=（工,一1）,且allb.那么x 的值为 ______ ・ 12. lan 70° + tan 50°一右 tan 70°tan50° 的值为 ____________ ・13. 以点（2.-1）为圆心且与直线x+ y = 6相切的网的方程为 ____________ .4414. 没刃>0,函数y = sin （/yx4--） + 2的图像向右平移兰几个单位后与原图像敢合，那么刃的最小位为 _________ .三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解容许写出文字说明，证明过程，或演算步骤）（本小题12分）tana = 2,求以下各式的值:(2) 3sin 2 a + 3sinacosa-2cos : a.A. 12B. 12>/2C. -12>/2D. -1215. (I )4sin + -2cosa5sinu + 3cosa16. （本小题淌分12分）己知3 = （1,2）,》=（一3,2）.（2）i\ka + 2b与勿一4片垂直，求实数A的值.17. （本小题总分值14分）圆。

2023-2024学年广东省深圳市高一下册期中数学试题一、单选题1．已知复数25iiz -=，则z 的虚部为（）A ．2B ．2-C ．5D ．5-【正确答案】B【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，即可得出答案.【详解】()i 25i 25i 52i i 1z ---===--，则z 的虚部为2-．故选：B.2．下列结论中，正确的是（）A ．零向量只有大小，没有方向B ．若//AB CD ，//AB EF，则//CD EF C ．对任一向量a，0a > 总是成立的D ．AB BA = 【正确答案】D【分析】对于A ，根据零向量的定义可判断；对于B ，根据向量平行的传递性可判断；对于C ，举反例00= ，即可判断；D ，根据AB BA =-即可判断.【详解】对于A ，零向量的方向是任意方向的，A 错误；对于B ，当0AB = 时，CD 与EF可以不平行，B 错误；对于C ，00=，C 错误；对于D ，AB BA BA =-=，D 正确.故选：D 3．若7cos 225α=-，π02α<<，则cos α等于（）A ．45B ．45-C ．35D ．35-【正确答案】C【分析】根据倍角余弦公式可得29cos 25α=，再根据π02α<<，开方即可求解.【详解】因为27cos 22cos 125αα=-=-，所以29cos 25α=，又π02α<<，则3cos 5α=.故选：C4．函数()12cos 22f x x x =+的最小正周期和振幅分别是（）A ．π,1B ．π,2C ．2π,1D ．2π,2【正确答案】A【分析】利用辅助角公式化简可得()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合最小正周期和振幅的概念即可求解.【详解】()1π2cos2sin 226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为2ππT ω==，振幅为1.故选：A.5．已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，5MN a b =+ ，()24=--NP a b ，()3=-PQ a b ，则（）A ．M ，N ，P 三点共线B ．M ，N ，Q 三点共线C ．M ，P ，Q 三点共线D ．N ，P ，Q 三点共线【正确答案】B【分析】根据共线定理即可判断各项.【详解】对于A ，令tMN NP = ，即()()524b t a b a -+-=，所以258t t =-⎧⎨=⎩，所以不存在t ，使得tMN NP = ，A 错误；对于B ，由于2(4)NP a b =-- ，3()PQ a b =-，所以5NQ NP PQ a b =+=+ ，所以MN NQ = ，又,MN NQ相交于点N ，故M 、N 、Q 三点共线.B 正确；对于C ，13MP MN NP a b =+=-+，令mMP PQ = ，即()()133b m b a a -+=-，所以3133m m -=⎧⎨=-⎩，所以不存在m ，使得mMP PQ = ，C 错误；对于D ，令nNP PQ = ，即()()243b n a b a --=-，所以2383n n -=⎧⎨=-⎩，所以不存在n ，使得nNP PQ = ，D 错误.故选：B6．已知,αβ都为锐角，12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，则cos β等于（）A ．6365B ．6365-C ．3365D ．3365-【正确答案】A【分析】根据余弦的差角公式，结合()βαβα=+-,同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为,αβ都为锐角，即π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,παβ+∈因为12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，所以5sin 13α=，()3sin 5αβ+=，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦124536313513565=⨯+⨯=.故选：A7．若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25C ．25-D ．65或25-【正确答案】B【分析】利用三角恒等变换和同角三角关系求解即可.【详解】因为tan 2θ=-，所以cos 0θ≠，所以()222sin 1sin 2sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ++++==+++222sin sin cos sin (sin cos )sin cos θθθθθθθθ+=+=+22tan tan 2tan 15θθθ+==+，故选：B8．剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD 的边长为2，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（）A ．[]1,3-B ．[]2,6-C ．[]3,9-D ．[]3,6-【正确答案】B【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求出点P 的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得AP AB ⋅的取值范围.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，设点(),P x y ，易知，以AD 为半径的左半圆的方程为()()221110x y x +-=-≤≤，以BC 为半径的右半圆的方程为()()()2221123x y x -+-=≤≤，所以点P 的横坐标x 的取值范围是[]1,3-，又因为(),AP x y = ，()2,0AB = ，所以，[]22,6AB AP x ⋅=∈-.故选：B.二、多选题9．已知平面向量()()2,2,1,a b m ==，且22a b a b +=- ，则（）A ．1m =-B ．π,3a b =C ．//a bD ．2b =【正确答案】AD【分析】因为22a b a b +=-，两边平方可得0a b ⋅= ，即可求得1m =-，从而可判断选项ABC ，进而求得()1,1b =-，从而可判断选项D.【详解】因为22a b a b +=- ，两边平方可得()()2222a ba b +=- ，所以22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即0a b ⋅= .对于A ，220a b m ⋅=+=，解得1m =-，A 正确；对于B ，因为0a b ⋅= ，所以π,2a b =，B 错误；对于C ，因为0a b ⋅= ，则a b ⊥，C 错误；对于D ，由选项A 可知()1,1b =-，所以b = ，D 正确.故选：AD10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π8,6c B ==.若ABC 有两解，则b 的值可以是（）A ．4B ．5C ．7D ．10【正确答案】BC【分析】由题意画出图形，可知sin c B a c <<，求出a 的范围，根据选项，得出结果即可.【详解】解：如图：要使ABC 有两个解，则sin c B a c <<，即π8sin86a <<，解得：48a <<，故选：BC11．已知()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，则下列选项中可能成立的是（）A ．a b a b+=- B ．1a b -=C ．()()1a b a b +⋅-= D ．2a b ×= 【正确答案】AB【分析】利用坐标进行向量线性运算，并结合三角恒等变换计算相应数量积和模长，从而判断出答案.【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，所以1a == ，1b == ，()cos cos ,sin sin a b θϕθϕ+=++ ，()cos cos ,sin sin a b θϕθϕ-=--，()()222cos cos sin sin a b θϕθϕ+=+++ ()()22cos cos sin sin 22cos θϕθϕθϕ=++=+-，()()222cos cos sin sin a b θϕθϕ-=-+- ()()22cos cos sin sin 22cos θϕθϕθϕ=-+=--，若π2θϕ=+，此时222a b a b +=-= ，故a b a b +=- ，A 可能正确；若π3θϕ=+，此时21a b -= ，1a b -= ，B 选项可能正确；()()()()cos cos ,sin sin cos cos ,sin sin a b a b θϕθϕθϕθϕ+⋅-=++⋅--()()22222222cos cos sin sin cos sin cos sin 110θϕθϕθθϕϕ=-+-=++-+=-=，故C 一定不正确；[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ×=×=Î-，故D 一定不正确.故选：AB12．如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1，2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=，则（）A ．()13AG AB AC =+ B ．GAB △面积的最小值是23C ．1AG ≥ D ．GA GB ⋅存在最小值【正确答案】ABC【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出(),3,,C m B G 坐标，根据AC AB ⊥及0GA GB GC ++=即可找到三个点的坐标关系，分别写出()1,3AG AB AC +即可判断A ；取AB 中点为F ，连接CF ，根据0GA GB GC ++=，可得,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，即可找到GAB △面积与ABC 面积之间比例关系，进而建立GAB △面积等式，根据基本不等式即可判断B ，求出AG再根据基本不等式可判断C ；写出GA GB ⋅ 进行化简，根据m 的范围即可得GA GB ⋅最值情况.【详解】解：记AB 中点为F ，连接CF ，以D 为原点，,DB DE 方向分别为,x y轴建立如图所示直角坐标系：所以()()0,2,0,3A E ，设()()(),3,,0,,,,,,R C m B n G x y m n x y ∈，且,0m n ≠，所以()(),1,,2AC m AB n ==- ，因为AC AB ⊥，所以0AC AB ⋅=，即20mn -=，故2n m =，即2,0B m ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(),2GA x y =-- ，2,GB x y m --⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),3m x y GC =--，因为0GA GB GC ++= ，所以230530m x m y ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩，解得2353m m x y ⎧+⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，即325,3m G m ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以21,33m m AG -⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，因为()()2112,2,1331,33mm AB AC m m ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，故()13AG AB AC =+，选项A 正确；因为0GA GB GC ++=，所以()GC GA GB =-+ ，即2GC GF =-，所以,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，所以1136GAB ABC S S AC AB ==⋅=△△23=，当且仅当221m m =，即1m =±时取等，所以选项B 正确；因为21,33m m AG -⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以AG =1=≥=，当且仅当224m m=，即m =1AG ≥ ，选项C 正确；因为23,15,333,3m m m m GA GB ⎛⎫+-⎛⎫⎪- ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭ ，所以155,33333332923,m m m m m m m m GA GB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-⋅=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎛⎫+-+- ⎭⎝⎭⎪⋅- ⎪⎝⎭⎝ ⎪⎭222266165999m m m m ----=-=，因为R m ∈且0m ≠，所以20m >，记()66f x x x=--，0x >，可知()f x 单调递增，没有最值，即GA GB ⋅没有最值，故选项D 错误.故选：ABC思路点睛：该题考查向量的综合应用，属于难题，关于三角形三心的思路有：（1）若G 为ABC 的重心，则①G 是三边中线的交点，②0GA GB GC ++=，③重心分三角形中线为2:1；（2）若O 为ABC 的内心，则①O 是三角形三个角平分线的交点，②0aOA bOB cOC ++=，③::::BOC AOC BOA S S S a b c =△△△；（3）若O 为ABC 的外心，则①O 是三角形三边垂直平分线的交点，②sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，③::sin 2:sin 2:sin 2BOC AOC BOA S S S A B C =△△△.三、填空题13．2cos 15= _____．【分析】利用21cos30cos 152+=即可得到答案.【详解】211cos302cos 1522+===本题主要考查余弦二倍角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.14．设,D E 分别是ABC 的边,AB BC 上的点，12,23AD AB BE BC ==,若,AB a AC b == ，则DE ＝________.（用,a b表示）【正确答案】1263a b -+ 【分析】利用三角形法则，结合12,23AD AB BE BC ==即可.【详解】如图:因为12,23AD AB BE BC ==，所以()12122323DE DB BE AB BC AB AC AB=+=+=+- 12212122336363AB AB AC AB AC a b -+=-+=-+ ，故1263a b -+15=________.【正确答案】1【分析】=再利用差角余弦公式和诱导公式即可求解.=1==故116．如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD = ，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅ 的值是______________.【正确答案】22【分析】根据基底,AB AD 表示,,AP BP 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=，即得结果.【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-2231162AD AB AB AD =--⋅ 311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．四、解答题17．已知复数1i z =-（i 是虚数单位）.(1)求复数z 的模和共轭复数；(2)若(),az b z a b R +=∈，求,a b 的值.【正确答案】(1)z =，1i z =+(2)1,0a b ==【分析】（1）利用复数模的公式求模，再利用复数的共轭复数的定义求共轭复数；（2）将复数z 代入(),az b z a b R +=∈，利用复数相等求解；【详解】（1）解：因为复数1i z =-（i 是虚数单位），所以z 1i z =+；（2）因为复数1i z =-（i 是虚数单位），且(),az b z a b R +=∈，所以()1i 1i a b -+=-，即i 1i a b a +-=-，则11a b a +=⎧⎨-=-⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩.18．已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1= b ．(1)若a ，b 的夹角为π3，求a b ⋅ ；(2)若()-⊥a b b r r r ，求a 与b 的夹角．【正确答案】2(2)π4【分析】（1）先算出a r，再按照数量积的公式计算即可（1）根据()-⊥a b b r r r 得到()0a b b -=r r r g ，计算出a b ⋅ ，再根据cosθa b a b = 即可【详解】（1）()1,1a =- ，所以a =所以π1cos 1322a b a b ⋅==⨯= （2）因为()a b b -⊥ ，所以()0a b b -⋅= ，所以20a b b -= ，所以1a b = ，令θa b ⋅=所以cos θ2a b a b⋅== ，因为[]θ0,π∈，所以πθ4=故a 与b 的夹角为π4．19．已知向量()sin ,1a x = ，3cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()()2f x a a b =⋅- .(1)求()f x 的最小正周期以及单调递增区间；(2)将()f x 的图象向左平移π4单位后得到()g x 的图象，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()g x 的值域.【正确答案】(1)π，增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)⎡-⎣【分析】（1）求得()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据周期公式可求得最小正周期，令πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈可求得单调递增区间；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由题意知：()()2π22sin 2sin cos 1sin 2cos 224f x a a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=-=- ⎪⎝⎭ ，所以πT =，令πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈，则π3πππ,Z 88k x k k -≤≤+∈所以()f x 的最小正周期为π，增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意知：()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以()g x ⎡∈-⎣.即()g x的值域为⎡-⎣.20．某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观测人员分别在A ，B 处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒．（注：点A ，B ，C ，D在同一平面内）(1)求ABD △的面积；(2)求点C D ，之间的距离．【正确答案】(1))236km +;(2)．【分析】（1）由正弦定理求得AD 的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；（2）求出AC 和CAD ∠，由余弦定理即可求得答案.【详解】（1）在ABD △中，75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒，所以60ADB ∠=︒．由正弦定理：sin sin AD AB ABD ADB=∠∠，得sin 45sin 60AD AB =︒︒，所以)sin 45212km sin 60AD AB ︒=⋅==︒,()1sin sin 75sin 45302224BAD ⎫∠=︒=︒+︒=+=⎪⎪⎝⎭，所以ABD △的面积为)211sin 1236km 224ABD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=+．（2）由30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，得45CAD ∠=︒，且90ACB ∠=︒,12cos30AC ∴== 在ACD中由余弦定理，得2222cos 3631662602CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠=⨯+⨯-⨯=,所以)km CD =．即点C ，D之间的距离为．21．已知tan α，tan β是方程2430x px --=的两个实根，且0p >.(1)若1p =，求()tan αβ+的值；(2)用p 表示()()2tan cos 2cos 2sin αβαβαβ⎡⎤++-⎣⎦，并求其最大值.【正确答案】(1)1(2)11p p +，最大值为12【分析】（1）根据韦达定理，结合和角正切公式即可求解；（2）根据韦达定理结合和角正切公式先求得()tan p αβ+=，再利用三角恒等变换结合齐次弦化切得原式为()()22tan 11tan 11p p p p αβαβ+==++++，利用基本不等式即可求得最大值.【详解】（1）当1p =时，2430x x --=由题意知：tan tan 4αβ+=，tan tan 3αβ=-所以()tan tan 4tan 11tan tan 13αβαβαβ++===-+（2）由题知：tan tan 4p αβ+=，tan tan 3αβ=-，则()tan tan 4tan 1tan tan 13p p αβαβαβ++===-+因为()()()()222222cos 2cos 2sin cos sin cos sin sin cos cos sin αβαβααββαβαβ+-=--+-2222222222cos cos cos sin sin cos sin sin sin cos 2sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβ=--++-22cos sin αβ+2222cos cos sin sin 2sin cos cos sin αβαβαβαβ=+-()()2222cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ=-+-()()cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin cos cos αβαβαβαβαββα=-+-()()()()()22222cos 1cos sin cos tan 1αβαβαβαβαβ+=+==+++++，所以()()()()222tan 1tan cos 2cos 2sin 1tan 11p p p pαβαβαβαβαβ+⎡⎤++-===⎣⎦++++而12p p +≥=，当且仅当1p =时，等号成立，所以当1p =时，取得最大值为12.22．悬索桥的外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数cos ()h x 以及双曲正弦函数()sin h x 有关.已知()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，满足()()e x f x g x +=，其中e 是自然对数的底数.(1)求()f x 和()g x 的解析式；(2)已知[]0,x π∈，（i ）解不等式cos sin sin cos e e e e x x x x ---≥-；（ii ）设（i ）中不等式的解集为D ，若x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，求a 的取值范围.（注：1e <+）.【正确答案】(1)()e e 2x xf x -+=，()e e 2x xg x --=(2)（i ）30,,π44ππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（ii ）[]4,4-【分析】（1）根据()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，由()()()()e e x x f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩求解；（2）由（i ）不等式cos sin sin cos cos cos sin sin e e e e e e e e x x x x x x x x -----≥-⇒+≥+，令()e e x x h x -=+，证明其单调性即可；（ii ）令cos t x =，将x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，转化为()22e e e e 20t t t t a --+--+≥恒成立求解.【详解】（1）解：由()()()()e e x x f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：()e e 2x x f x -+=，()2x xe e g x --=；（2）（i ）不等式cos sin sin cos cos cos sin sin e e e e e e e e x x x x x x x x -----≥-⇒+≥+，令()e e x x h x -=+，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()121212e e e e x x x x h x h x ---=-+-，()12121e e 1e x x x x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为[)12,0,x x ∈+∞，所以12e 1x x +>，则12110e x x +->，因为12x x <，所以12e e x x <，所以()()120h x h x -<，所以函数()h x 在[)0,∞+为增函数，又()()e e e e x x x x h x h x ---=+=+=，所以()h x 是偶函数，则cos sin x x ≥，又因为[]0,πx ∈，所以不等式解集为30,π44ππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（ii ）令cos t x =，则1,22t ⎤⎡⎤∈⋃--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由()()2cos cos 10f x ag x -+≥，得()22e e e e 20t t t t a --+--+≥，当,12t ⎤∈⎥⎣⎦时，1e e e e t t --⎡⎤-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22e e 2e e t t t ta --++≥-恒成立，因为()2e e 44e e 4e e e e t t t t t t t t -----+=-+≥≥--，当且仅当e e 2t t --=时，等号成立，所以4a ≤，当1,2t ⎡∈-⎢⎣⎦时，1e e e t t --⎡⎤-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22e e 2e e t t t ta --++≥-恒成立；，()2e e 44e e e e e et t t t t t t t a -----+=-+≥--，因为()2e e 44e e 4e e e e t t t t t t t t -----+⎛⎫=--+≤-=- ⎪--⎝⎭，当且仅当e e 2t t --=-时，等号成立，所以4a ≥-，综上：a 的取值范围是[]4,4-.。

深圳市高一第二学期期中测试卷数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(3,)B m 两点，则m =（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．1-2．过点A 且倾斜角为120︒的直线方程为（ ）3．下列四个命题中正确的是（ ）①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． A. ①和③ B. ①和④ C. ①②和④ D. ①③和④4．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 ( )A B C D5．如图，平面⊥α平面β，AB B A ,,βα∈∈与两平面βα,所成的角分别为4π和6π，过B A ,分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，若16AB =，则A B ''=（ ）.A 4 .B 6 .C 8 .D 96、已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ⋂,//m α,n β⊥,则 （ ）A ．//m nB ．m n ⊥ C.//m l D ．n l ⊥7．已知向量()1,2a =--，()3,0b =，若()()2//a b ma b +-，则m的值为 （ ） A．2- D ．28．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为 （ ）A ．32B ．64 C．．9、已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a b （ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．210．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++=； （2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=． 则点O 依次为ABC ∆的（ ）（注：重心是三条中线的交点；垂心是三条高的交点；内心是内切圆的圆心；外心是外接圆的圆心） A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心 D ．外心、内心、垂心、重心11．已知O 是正三角形ABC 内部一点，且32=++,则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为 （ ）A ．23 B ．25C ．2D ．512．直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其外接球的体积为（ ）AB ．43πC ．3πD ．4π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 131=的倾斜角等于 ． 14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．15．设a 、b 是单位向量，其夹角为θ．若t +a b 的最小值为12，其中t R ∈．则θ=______． 16．在棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -中，以A为 。

高级中学2014—2015学年第二学期期中测试高一数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10题，共50分，第Ⅱ卷为11-20题，共100分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（本卷共50分）一、选择题：（本大题共10题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式()()31210x x +->的解集是（ ）A ．}31|{->x x B ．}21|{>x x C ．}2131|{<<-x x D ．}2131|{>-<x x x 或 2．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．643．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y xD ．072=+-y x4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =（ ） A.21 B. 22C. 2D.25．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =AC =( )A ． ． ． D ．6.在△ABC 中AB ＝3，AC =2，BC 则AB →⋅AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.327．等差数列{}n a 中，a 1＞0，d ≠0，S 3=S 11，则S n 中的最大值是 ( )A ．S 7B ．S 7或S 8C ．S 14D ．S 88．已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则37a a +与52a 的大小关系是A ．37a a +＞52aB ．37a a +＜52aC ．37a a +＝52aD ．37a a +与52a 的大小与a 有关 9．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（ ） A ．31010 B ．1010 C ．510 D ．51510．已知整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第70个数对是（ ）A ．()2,11B ．()3,10C ．()4,9D ．()5,8第Ⅱ卷（本卷共计100分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =_ _. 12．在ABC ∆中，若︒=120A ，AB =5，BC =7，则ABC ∆的面积S=__________. 13．等比数列{a n }中，73=a ，前3项的和S 3=21，则公比q 的值是 ． 14．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+ba ab 中，正确的不等式是 ．（填序号）三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 15．（本小题12分） （Ⅰ）求以下不等式的解集：1． 22150x x --< 2． 23x>- （Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，求实数m 的值．16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若60B =o， 且1411)cos(-=+C B .（1）求C cos 的值； （2）若5=a ，求△ABC 的面积.17．（本小题14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.18．（本小题满分14分）如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东060的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？19．（本小题满分14分）已知点(1,1)P 到直线l ：3(0)y x b b =+>的距离为.数列{a n }的首项11a =，且点列()*1,n n a a n N +∈均在直线l 上.（Ⅰ)求b 的值；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （III ）求数列{}n na 的前n 项和n S .20．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足2n S n =，数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m ，n （1＜m ＜n ），使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由。

高级中学2014—2015学年第二学期期中测试高一数学（文科）命题人：郑方兴 审题人：余小玲本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10题，共50分，第Ⅱ卷为11-20题，共100分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（本卷共50分）一、选择题：（本大题共10题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式()()31210x x +->的解集是（ ）A ．}31|{->x xB ．}21|{>x xC ．}2131|{<<-x x D ．}2131|{>-<x x x 或 2．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y xD ．072=+-y x4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =（ ）A.21 B. 22 C. 2 D.25．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =AC =( )A ． ． ． D ． 26.在△ABC 中AB ＝3，AC =2，BC AB →⋅AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.327．等差数列{}n a 中，a 1＞0，d ≠0，S 3=S 11，则S n 中的最大值是 ( ) A ．S 7 B ．S 7或S 8 C ．S 14 D ．S 88．已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则37a a +与52a 的大小关系是A ．37a a +＞52aB ．37a a +＜52aC ．37a a +＝52aD ．37a a +与52a 的大小与a 有关 9．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（ ）A B C10．已知整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第70个数对是（ ） A ．()2,11 B ．()3,10 C ．()4,9 D ．()5,8第Ⅱ卷（本卷共计100分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =__.12．在ABC ∆中，若︒=120A ，AB =5，BC =7，则ABC ∆的面积S=__________.13．等比数列{a n }中，73=a ，前3项的和S 3=21，则公比q 的值是 ． 14．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式是 ．（填序号）三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题12分）（Ⅰ）求以下不等式的解集：1． 22150x x --< 2． 23x>- （Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，求实数m 的值． 16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若60B =， 且1411)cos(-=+C B .（1）求C cos 的值； （2）若5=a ，求△ABC 的面积. 17．（本小题14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 18．（本小题满分14分）如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东060的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？ 19．（本小题满分14分） 已知点(1,1)P 到直线l ：3(0)y x b b =+>.数列{a n }的首项11a =，且点列()*1,n n a a n N +∈均在直线l 上.（Ⅰ)求b 的值；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （III ）求数列{}n na 的前n 项和n S . 20．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足2n S n =，数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和， （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m ，n （1＜m ＜n ），使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由。

高级中学—第二学期期中测试高一数学命题人：高 军 审题人：张英哲本试卷共，满分100分，考试用时100分钟，请将答案写在答题纸上. 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. ︒300sin 的值是 （ ）A ．．12- C ．12D 2. 若0sin <θ 且0tan >θ ，则角θ是 （ ）A. 第一象限角B.第 二象限角C. 第三象限角D.第四象限角 3. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 ( )A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin 4. 设向量→a 与→b 的夹角为︒60，且1==→→b a ,则→→+b a 3的值等于 （ ）A ．7B ．10C ．13D ．45.在ABC ∆中，已知222c bc b a ++=，则角A 是 （ ）A ．3π B ． 6π C ．32πD ． 65π6. 已知)2,3(-=a ，)0,1(-=b ，向量+λ与2-垂直，则实数λ的值为 ( )A ．17-B ．17C ．16-D ． 167. 设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称 B ．()f x 的图像关于点(,0)4π对称C ．把()f x 的图像向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图像 D ．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数8. 已知向量)2,1(=，)4,2(--=，5||=，若25)(=⋅+，则a 与c 的夹角为 （ ）A. ︒30B. ︒60C. ︒120D. ︒1509. 求值：︒-︒40sin )310(tan = （ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．336+-10. 在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足=++，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是（ ）A ．31 B ．21 C ．32 D ．43 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共11. 已知)6,(,)3,2(-==x ，若∥，则实数x 的值为 ． 12. 在ABC ∆中，︒=∠90C ，)1,(k =，)3,2(=，则实数=k ． 13. 求值：=︒+︒+︒⋅︒)20tan 10(tan 320tan 10tan _________． 14. 已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π, 则β= .15. 在下列四个命题中： ①函数tan()4y x π=+的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4|ππ；②已知1sin 2α=，且[0,2]απ∈，则α的取值集合是6π⎧⎫⎨⎬⎩⎭； ③函数x a x x f 2cos 2sin )(+=的图象关于直线8π-=x 对称，则a =－1 ；④函数2cos sin y x x =+的最小值为-1.把你认为正确的命题的序号都填在横线上____________.三、解答题:（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(本小题满分8分)已知角α的终边经过点)4,3(-P ，求)23cos()2sin(cos 1)2cos()sin(22απαπααπαπ+⋅-++-⋅-的值.17．(本小题满分10分)已知向量)sin ,sin (cos x x x a +=，)sin ,sin (cos x x x b -=，设b a x f ⋅=)(. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及最小值.y xO6π 2 512π18. (本小题满分12分)已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.（1） 求函数()f x 的解析式；（2） 如何由函数2sin y x =的图象通过适当的变换得到函 数()f x 的图象, 写出变换过程; （3） 若21)4(=αf ，求)6sin(απ-的值.19. (本小题满分10分)已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、).23,2(),sin ,(cos ππααα∈C（1）若α求角|,|||BC AC =的值；（2）若.tan 12sin sin 2,12的值求ααα-+-=⋅(本小题满分10分)如图，设G 为ABO ∆的重心，过G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 和Q ，已知x =，OB y OQ =，OAB ∆与OPQ ∆的面积分别为S 和T .（1） 求函数)(x f y =的解析式； （2） 求ST的取值范围.高级中学—第二学期期中测试高一数学答案 一、选择题答案：（每题3分,共30分）OABMPGQ二、填空题答案：（每题4分，共 11. 4- 12. 5 13. 1 14. 3π15. ①③④ 三、解答题答案： 16. (本小题满分8分)解：由题意：34tan -=α 原式=31tan 11tan tan 2sin cos cos 1cos sin 222-=+++=++⋅αααααααα 17. (本小题满分10分)解：（1）)42sin(22sin 2cos cos sin 2sin cos )(22π+=+=+-=x x x x x x x x f ,最小正周期π=T , 由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ,得)(883Z k k x k ∈+≤≤-ππππ, 故函数()f x 的单调增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k )(Z k ∈. （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+43,4)42(πππx ,故当242ππ=+x ，即8π=x 时，()f x 有最大值2,442ππ-=+x ，即4π-=x 时，()f x 有最小值1-.18. (本小题满分12分) 解：（1）)62sin(2)(π+=x x f .（2）法1：先将2sin y x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的21倍，所得图象即为)62sin(2)(π+=x x f 的图象.法2：先将2sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的21倍，再将所得图象向左平移12π个单位，，所得图象即为)62sin(2)(π+=x x f 的图象.（3）由21)62sin(2)642sin(2)4(=+=+⋅=παπααf , 得：41)62sin(=+πα，而87811)62(sin 21)3cos()6sin(2=-=+-=+=-παπααπ. 19. (本小题满分10分)解：)sin ,3(cos αα-= )3sin ,(cos -=αα. （1）若||||=，则2222)3(sin cos sin )3(cos -+=+-αααα.化简得：ααcos sin =，又)23,2(ππα∈，故45πα=. （2）若,1-=⋅则1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-αααα, 化简得：32cos sin =+αα，两边平方得：095cos sin 2<-=αα, ),2(ππα∈∴ 故0cos sin >-αα ，而914cos sin 21)cos (sin 2=-=-αααα 314cos sin =-∴αα,631453143295sin cos )cos (sin cos sin 2cos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22=-⨯-=-+=-+=-+αααααααααααααα(本小题满分10分)解：（1）)(31)(213232+=+⨯==Θ, OB OA x OB OA OA x OG OP GP 31)31()(31--=+-=-=,y y )31(31)(31-+=-+=-=,Θ与QG 共线，与不共线,yx --=-∴31313131得：)121(13≤≤-=x x x y 即为所求. （2）BOA OB xy BOA OQ T ∠⨯=∠⨯=sin |||21sin |||21Θ,BOA OB S ∠⨯=sin |||21,2213113x x x x xy S T -=-==∴令49)231(13)(22+--=-=x x x x g ， 121≤≤x Θ 211≤≤∴x 当231=x 时，)(x g 最大为49； 当11=x 或2时，最小为2. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴21,94S T 即为所求.。

广东省深圳市高一下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高三上·荣昌期中) 执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·会宁期中) 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（）A . 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B . 频率是客观存在的，与试验次数无关C . 概率是随机的，在试验前不能确定D . 频率就是概率3. （2分）先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是（）A . “至少一枚硬币正面向上”；B . “只有一枚硬币正面向上”；C . “两枚硬币都是正面向上”；D . “两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”.4. （2分） (2019高三上·凤城月考) 《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为（）A . 6B . 4C . 3D . 26. （2分）运行如图所示的程序框图，则输出的数是5的倍数的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入，则输出的为（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·淮北模拟) 国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目.已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测.现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图.下列描述正确的是（）A . 甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B . 甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C . 乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D . 乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐9. （2分）下图是两组各名同学体重（单位：）数据的茎叶图．设两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（）（注：标准差，其中为的平均数）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·南昌期中) 点M在圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上，则M点到直线3x+4y﹣2=0的最短距离为（）A . 9B . 8C . 5D . 211. （2分）在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是（﹣a，0）和（a，0），其中a＞0，G为△ABC的重心（三角形三条中线的交点），若|AG|=2，则点G的轨迹方程是（）A . x2+y2=1（y≠0）B . x2+y2=4（y≠0）C . x2+y2=9（y≠0）D . x2+y2=a2（y≠0）12. （2分）圆x2+y2+2x﹣4y=0的半径为（）A . 2B .C .D . 5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）将八进制53转化为二进制的数结果是：________14. （1分） (2016高二上·沭阳期中) 已知圆x2+y2=9与圆x2+y2﹣4x+2y﹣3=0相交于A，B两点，则线段AB的长为________15. （1分）某班共有有54名学生，现根据其学号（1﹣54），采用系统抽样抽取容量为6的一个样本，已知在第一部分抽取的是5号，那么样本中的最大学号是________16. （1分）在我市2015年“创建文明城市”知识竞赛中，考评组从中抽取200份试卷进行分析，其分数的频率分布直方图如图所示，则分数在区间[60，70）上的人数大约有________ 人．三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分）(2013·大纲卷理) 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（1）求第4局甲当裁判的概率；（2） X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．18. （5分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．（1）若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，求图中的a值及从身高在[140，150]内的学生中选取的人数m．（2）在（1）的条件下，从身高在[130，150]内的学生中等可能地任选两名，求至少有一名身高在[140，150]内的学生被选的概率．19. （5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，设任意x0∈[﹣5，5]使f（x0）≤0的概率为P，求P的值．20. （10分） (2017高二下·运城期末) 在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为ρ=4 ．（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．21. （10分） (2016高一下·烟台期中) 某地最近十年对某商品的需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20082010201220142016需要量（万件）236246257276286（1）利用所给数据求年需求量y与年份x之间的回归直线方程 = x+ ；（2）预测该地2018年的商品需求量（结果保留整数）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、第11 页共11 页。

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深圳高级中学（集团）2016-2017学年高一年级第二学期期中考试数学(文科)本试卷由两部分组成.第一部分：高一数学第一学期期末前的基础知识和能力考查，共54分；选择题部分包含第1、3、7、9、11题，分值共25分， 填空题部分包含第16题，分值共5分；解答题部分包含第19、22题，分值共24分。

第二部分：高二数学第一学期期末后的基础知识和能力考查，共96分；选择题部分包含第2、4、5、6、8、10、12题，分值共35分，填空题部分包含第13、14、15题，分值共15分；解答题部分包含第17、18、20、21题，分值共46分。

全卷共计150分. 考试时间120分钟一。

选择题：（本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

已知集合A ＝{0，1,2，3｝，集合B ＝｛x|0＜x ＜3}，则A∩B＝( ） A ．｛0，1｝ B ．{1，2｝ C ．｛1，2，3} D ．{0，1，2，3｝2. 若cosθ＞0，sinθ＜0,则角θ的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 函数3log 1y x =-的定义域为（ )A 。

(0,)+∞B 。