平面的方程

与平面平行的平面方程在三维空间中，平面是一个常见的几何体。

平面可以用多种方式来描述，其中一种方式就是用方程来表示。

平面方程可以用来求解平面上的点、直线与平面的交点、平面的法向量等。

在本文中，我们将讨论与平面平行的平面方程。

平面的一般方程在三维空间中，平面可以用一般方程来表示。

平面的一般方程为： Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C是平面的法向量，D是平面的距离。

如果知道平面上一点的坐标以及平面的法向量，就可以用一般方程来表示平面。

与平面平行的平面方程如果已知一个平面的方程，如何求与该平面平行的另一个平面的方程呢？我们可以利用平面的法向量来求解。

如果两个平面平行，它们的法向量必须相同或相反。

因此，我们可以用以下公式来求解与平面平行的另一个平面的方程：Ax + By + Cz + D1 = 0Ax + By + Cz + D2 = 0其中D1和D2是两个平面的距离，它们可以任意取值。

由于两个平面平行，它们的法向量相同或相反。

因此，我们可以选择一个平面的法向量作为另一个平面的法向量，然后代入上述公式，解出D2即可。

举个例子，假设我们已知一个平面的方程为3x - 2y + 4z - 5 =0，求与该平面平行的另一个平面的方程。

首先，我们可以计算出该平面的法向量为(3,-2,4)。

然后，我们可以选择一个任意点，如(0,0,0)，代入该平面的方程，求出该点到平面的距离为5/√29。

最后，我们代入上述公式，得到另一个平面的方程为3x - 2y + 4z + 5/√29 = 0。

总结与平面平行的平面方程可以用平面的法向量来求解。

如果已知一个平面的方程，可以选择其法向量作为另一个平面的法向量，然后代入公式求解。

通过求解与平面平行的平面方程，我们可以更好地理解平面的性质和应用。

平面方程的基本形式一、为什么需要平面方程？在几何学中，平面是一个重要的概念。

它是一个无限大的二维平面，由无数个无限小的点组成。

研究平面的性质和特点，对于解决几何问题和应用数学都具有重要意义。

而平面方程则是描述平面的数学工具，具体来说，它是用来表示平面上所有点的方程。

二、平面方程的基本形式平面方程的基本形式通常是通过平面上的点和平面的法向量来确定的。

一般来说，有两种常见的基本形式，分别是点法向式和一般式。

2.1 点法向式点法向式是平面方程的一种常见形式，它通过平面上的一点和平面的法向量来表示平面方程。

点法向式的一般形式如下：Ax + By + Cz = D其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是平面方程中的常数。

2.2 一般式一般式是另一种常见的平面方程形式，它通过平面上的点和平面的法向量的法向量分量来表示。

一般式的形式如下：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C是平面的法向量的分量，而D则是平面方程中的常数。

三、如何确定平面方程确定平面方程的关键在于确定平面上的一点和平面的法向量。

一般来说，确定平面上的一点是比较容易的，可以通过给定的条件或者已知的点来确定。

而确定平面的法向量则需要一些特定的方法。

3.1 平面上的两个向量确定法向量平面上的两个向量可以确定平面的法向量。

具体来说，如果已知平面上的两个向量u和v，那么它们的叉乘u x v即为该平面的法向量。

3.2 通过法线方向确定法向量如果已知平面上的一点和平面的法线方向，那么可以通过求解法线方向的单位向量来确定平面的法向量。

求解法线方向的单位向量，可以通过将法线方向向量除以其模长得到。

四、平面方程的性质和应用平面方程的基本形式具有一些重要的性质和应用：4.1 平面方程与直线的关系平面方程可以用来判断一条直线是否与平面相交，以及求解它们的交点。

如果一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么它们没有交点；如果一条直线的方向向量与平面的法向量平行，则它们要么没有交点，要么有无数个交点；如果一条直线的方向向量与平面的法向量既不垂直也不平行，则它们有且只有一个交点。

§3.1 平面的方程一、平面的点位式方程1. 在空间给定了一点M0(x0, y0, z0)与两个不共线矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2,Z2 }, 那么通过点M0且与矢量, 平行的平面π就被唯一确定，矢量, 叫做平面的方位矢量. 这个概念与中学几何中的“两条相交直线确定一个平面”是一致的.2. 如图3-1, 在空间取标架{O;,,}，则平面的矢量式参数方程为＝+u+v,坐标式参数方程为(其中u, v为参数).3. 平面π的方程还可表示为 (,,)＝0和＝0.它们和2中的方程一起都叫做平面的点位式方程.4. 由不共线三点M i (x i, y i, z i)(i＝1,2,3)确定的平面π的三点式方程为＝＋u(－)＋v().(－,－,)＝0，＝0, 或＝0.5. 平面的截距式方程为＋＋＝1，其中a, b, c（abc≠0）分别叫做平面在三坐标轴上的截距.二、平面的一般方程空间平面的基本定理：空间中任一平面的方程都可表示成一个关于变数x, y, z的一次方程；反过来，每一个关于变数x, y, z的一次方程都表示一个平面. 方程Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C不全为0)叫做平面的一般方程.证明：因为空间任意平面都可以由它上面的一个点M0(x0, y0, z0)与两个方位矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2 }确定，因而方程可以写为＝0.此方程展开就可写成：Ax+By+Cz+D=0，其中A=，B=，C=. 因为,不共线，所以A，B，C不全为零，这表明空间中任一平面的方程都可表示成一个关于变数x, y, z的一次方程；反过来，在方程Ax+By+Cz+D=0中，因为A，B，C不全为零，不妨设A≠0，则有A2（x+）+Aby +AC z=0，即＝0.显然，它是由一点M0(, 0, 0)与两个方位矢量＝{B, －A, 0}，＝{C, 0, －A }确定的平面.三、平面的点法式方程1. 如果在空间给定一点M0和一个非零矢量，那么通过点M0且与矢量垂直的平面唯一地被确定. 把与平面垂直的非零矢量叫做平面的法矢量或简称平面的法矢. 这个概念与中学几何中的“过一点与已知直线垂直的平面是唯一确定的”一致.2. 如图3-2, 在空间直角坐标系{O;,,}下，设点M0的径矢＝，平面π上任意一点M的径矢为＝，且M0 (x0, y0, z0), M(x,y,z)，则⋅(－)＝0 或A(x－x0)+B(y－y0)+C(z －z0)＝0都叫做平面的点法式方程.3. 如图3-3, 如果平面上点M0特殊地取自原点O向平面π所引垂线的垂足P, 而π的法矢量取单位法矢量，当平面不过原点时，的正向取为与相同；当平面过原点时，的正向在垂直于平面的两个方向中任取一个，设||＝p，则⋅－p＝0叫做平面的矢量式法式方程.如果设＝{x, y, z}，＝{cosα, cosβ, cosγ}, 则x cosα+ y cosβ + z cosγ－p＝0叫做平面的坐标式法式方程或简称法式方程.4. 把平面的一般方程Ax+By+Cz+D＝0化为法式方程的方法如下：以法式化因子λ＝（在取定符号后）乘以方程Ax+By+Cz+D＝0可得法式方程：.其中λ的选取，当D≠0时，使λD＝－p<0，即λ与D异号；当D＝0时，λ的符号可以任意选取（正的或负的，一般选与A同号，若还有A＝0，则选与B同号等等）.例1. 求通过M1(1, －1, －5) 和M2(2, 3, －1) 且垂直于xOz坐标面的平面π的方程.解：取定点为M1(1,－1,－5)，方位矢量为＝{0,1,0}和＝{1, 4, 4}，故有＝0,即 4x―z―9＝0.例2. 已知两点A(a1, a2, a3)和B(b1, b2, b3)，求分别过AB的中点、两个三等分点且与AB垂直的平面方程.解：取＝{a1－b1,a2－b2,a3－b3}为所求平面的法矢量, AB的中点是M ,两个三等分点是M1, M2,设P (x, y, z)为平面上任意点，则过M, M1, M2分别与AB垂直的平面的点法式方程为＝0或＝0,＝0或＝0,＝0或＝0.化成坐标式方程分别为(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.例3. 已知三角形顶点为A (0, －7, 0), B (2, －1, 1), C (2, 2, 2), 求平行于△ABC所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程.解：△ABC所在的平面方程为＝0 或 3x－2y＋6z－14＝0.设M(x, y, z)为所求平面上的任意一点，依题意有,3x－2y＋6z－14＝±14,故所求的平面方程有两个：3x－2y＋6z＝0 和3x－2y＋6z－28＝0.例4. 求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴Ox, Oy与Oz上的截距之比为a:b:c＝－1:3:2的平面.解：依题意可设所求平面为,6x－2y－3z＋6k＝0,以法式化因子λ＝±乘以上式两端从而±＝6, k＝±7故所求的平面方程有两个6x－2y－3z ± 42＝0.例5. 平面＝1分别与三个坐标轴交于A, B, C, 求△ABC的面积.解：依题意有A (a, 0, 0), B(0, b, 0), C (0, 0, c), 则＝{－a, b, 0}, ＝{－a, 0, c},所以S△ABC＝||＝|{bc, ac, －ab}|＝.例6. 设从坐标原点到平面++=1的距离为p，求证++=.证明：将++－1=0化为法线式＋＋－＝0，依题意有＝p，整理即得++=.作业题：1. 如果两个一次方程 (a－3) x+(b+1) y+(c－2) z+8＝0和 (b+2)x+(c－9) y+(a－3) z－16＝0表示同一平面，试确定a, b, c的值.2. 已知A(a1, a2, a3)及B(b1, b2, b3)，分别求过A、B且与AB垂直的平面的方程.3. 原点O在所求平面上的正射影是P (a, b, c)，求平面方程.4. 已知一平面过点M0.(x0, y0, z0)，且在x轴、y轴上的截距分别是a、b, 求其方程.。