3.1 空间中平面的方程
1. 平面的方程
法向量 如果一非零向量垂直于一平面 , 这向量就叫做该
平面的法向量.
平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.
唯一确定平面的条件 当平面上一点 M0(x0, y0, z0) 和它的 一个法线向量 n = (A, B, C) 为已知时, 平面的位置就完全确定了.
i j k n= M M11 M33 = - 3 4 - 6 = 14i + 9 j - k . n = M M M 1M 2 1M 2 - 2 3 -1 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为
14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 即14x+9y-z-15=0.
所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. 这就是平面 的方程, 称为点法式方程.
平面的点法式方程 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 且法线向量为 n = ( A, B, C 的平面的方程为 A( x - x0 + B ( y - y0 + C ( z - z0 = 0.
平面的三点式方程 已知不在同一直线上的三点
P 1 ( x1 , y1 , z1 , P 2 ( x2 , y2 , z2 , P 3 ( x3 , y3 , z3 ,
与 PP 不共线, 即 PP PP 1 3 1 2 PP 1 3 0, 1 2
例2 求过三点M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平 面的方程. . 我们可以用 解 M1M2 M1M3 作为平面的法线向量 n
因为 M 1M 2 = (- 3, 4, - 6) , M 1M 3 = (- 2, 3, -1) ,