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平面简谐波的表达式

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10-2平面简谐波函数

10-2平面简谐波函数

y
0.1m
t t0
u x
o
y0 0.1cos(t )
解:
ห้องสมุดไป่ตู้
y0 0.1cos(t )

2
t 0

2
y
t 0
y0 0.1 cos[ (t t0 )
0.1m
t t0

2
]
u
t t0
A o

2
o x
x
x y ( x, t ) 0.1cos[ (t t0 ) ] u 2
推广至三维空间
2 2 2

2
——波函数
2
1 2 2 2 2 2 x y z u t
任何物理量 ，不管是力学量、电学量、热 普遍 意义 学量或其它的量，只要它与时间和坐标的关 系满足上述方程，这一物理量就以波的形式 传播，而偏导数 2 t 2的系数的倒数的平 方根就是这种波的传播速度。
u
M

o
x t 0 2
x
x

点P在 t 时刻的位移为
y P A cos[ t 0 2
x

]
沿OX轴正向传播的平面简谐波的波函数
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
沿OX轴负向传播的平面简谐波的波函数
y
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
*§10.2 平面简谐波的波函数
平面简谐波：在均匀、无吸收的介质中，当波 源作简谐振动时，在介质中所形成的平面波。 一、波的表达式（波函数）
数学上如何描述简谐波？？

8-3平面简谐波的表达式

8-3平面简谐波的表达式

已知：波线上任一点 的振动方程 已知：波线上任一点O的振动方程 Ψ o 波速u, 波速 向右传播 求：该平面简谐波波函数 Ψ = Ψ ( x, t )
= A cos(ωt + ϕ 0 )
解： 以参考点 为坐标原点，波速u的方向为 建 以参考点O为坐标原点，波速 的方向为 的方向为+x,建 为坐标原点 立一维坐标。 为波线上任意一点， 立一维坐标。 设P为波线上任意一点，坐标 x 为波线上任意一点
= ⋯⋯
λ
1) 当 x 给定 (x = x0) 时 即x0 处质点的振动方程
x0 Ψ( x0 , t ) = Ψ(t ) = A cos[ω (t − ) + ϕ0 ] u
2) 当 t 给定 (t = t0) 时
x Ψ( x, t0 ) = Ψ( x ) = A cos[ω (t0 − ) + ϕ 0 ] u
O
x(m)
(2) 以O′为坐标原点 ′ P离参考点距离 离参考点距离
x′′ x+5 Ψ = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[ω (t − ) +ϕ] u u
x′′ = x + 5
将xB = −13代入
− 13 + 5 8 ΨB = A cos[ω ( t − ) + ϕ ] = A cos[ω ( t + ) + ϕ ] u u
p
Ψ0 = A cos( ω t + ϕ 0 )
Ψ P (t ) = Ψ 0 (t + ∆ t ) x Ψ ( x, t ) = A cos[ω (t + ) + ϕ 0 ] u x = A cos(ωt + ϕ 0 + 2π ) λ

平面简谐波概念

平面简谐波概念

解：
•
（1）T 2， 40，u 2０，A 10， 2
T
T
且t 0时：yo 5，vo 0
O

2 3

(2) OB长度
Y(cm)
10 •
u
-5 •
解：O B （O B）2
oB
C
20
-5
x(cm)
•
t 0时：yB 0，vB 0
O
-A
x
P
x
P点比O点超前时间 反向波波函数
y
O
P
x
x
以波线上x0处点为参考点
y
则Q点处质点的振动方程为 A x0 Q
O -A
x
P
x
Q点的任一振动状态传到P点，需要时间
则波动方程：
其中：x xo u
— 表示x处质元的振动落后(或超前）xo处质元
振动的时间
(
x u
xo
)
—
表示x处质元的振动落后(或超前）于xo处质元
(2)同一时刻,沿波线各质元振动状态不同,各质元相位 依次落后
*u
=

T
=
u由介质的性质决定
T T振
振 由振源决定.
得波动方程:
当x确定: y(t)——x处质元的振动方程 当t确定： y(x)——t时刻的波形
二、波的强度
1、能流P : 单位时间通过某一面积的波能 P su
—单位:焦耳/秒米2
波动在无吸收的、均匀无限大介质中传播，
1、平面波：A保持不变。
1
2
2、球面波：A与r成反比。 证明：1、 无吸收， P1 P2

14-2平面简谐波的波动方程

14-2平面简谐波的波动方程

u
振动曲线 图形
A O
波形曲线
t A O t 0 P

t0 P
T

v
v
u x
研究 某质点位移随时间 对象 变化规律
由振动曲线可知
某时刻，波线上各质点 位移随位置变化规律
由波形曲线可知 该时刻各质点位移 波长 , 振幅A 只有t=0时刻波形才能提供初相
物理 周期 T 振幅 A 初相 0 意义
14-2 平面简谐波的波动方程
一、波函数的建立
波函数(wave function): 描述波传播媒质中不同质点的 运动规律,又称波动表达式(或波动方程).
y f x, t
依据：各质点沿波传播方 向相位依次落后. 平面波在传播过程中,波 线上的各质点都作同频率 同振幅的简谐运动—叫做 平面简谐行波(traveling wave). 波面为平面 传播中的波(相对于“驻波”而言)
x y A cos t u
(1)
P为任意点,波动表达式为
u O P( x )
x
方法2 波线上沿传播方向每走一个,相位落后2
P点相位比O落后
y P A cos(t
即
x

2π
x
y A cos(t
2π
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左移
y(m)
0.2 O 1
t=0 P
2
yP(m) x(m)
0.2 O 0.1 0.2
t (s)
3 yO 0.2 cos(10πt π) 2 x 3 波向-x方向传播 y 0.2 cos[10 π(t ) π] 10 2 π π b) 以 P 为参考点 P yP 0 2cos( 10π t ) 2 2 波向-x方向传播 x 1 π 0 2 cos[10 π(t x ) π ] y 0 2 cos[10 π(t ) ] 10 2 10 2

平面简谐波 波动方程

平面简谐波 波动方程
3
式中x以m计。
§5-3 波的能量
能流
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
1. 波的能量
考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V )。 当波动传播到该体积元时，将具有动能 Wk和弹性势 能Wp。
x 平面简谐波 y ( x, t ) A cos t u
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则
y(t1 )
x(1) A cos t1 0 u
x( 2) A cos t1 t 0 u
y(t1 t )
u
S
平均能流密度或波的强度 通过与波传播方向垂直的 单位面积的平均能流，用I 来表示，即
1 平均能流： P w Su uSA2 2 2
2 2 2
u
I wu u A 2 z A 2
2
波的强度
其中介质的特性阻抗 z u 。 I 的单位：瓦特/米2 (W.m-2) 平面余弦行波振幅不变的意义:
加速度
y x 2 A cos t 0 , 2 t u
2
任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上 式，则这一物理量就按波的形式传播。
波动方程的推导
例题 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播， 棒的杨氏模量为 Y =1.91011N/m2，棒的密度 =7.6103kg/m3。 如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3) 离原点 10cm 处质点的振动表式， (4) 离原点 20cm 和 30cm 两点 处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。

机械波一章习题解答

机械波一章习题解答

5m
习题 13―7 图
X(m)
y P = A cos(ω t + ϕ )
由所给的波形图容易得到： λ = 10 m ，A=0.10m，u=20m/s，而振动的圆频率
ω=
2πu 2π × 20 = = 4π rad/s λ 10
因为波是自左向右传播的， 由此可以判断出 P 点在 t=0 时刻正在最大位移一半处 且向 Y 轴负向运动，所以， P 点振动的初位相为 ϕ = π 3 。这样，P 处介质质点 的振动方程为
Y
B P C A PX
0 (B)
习题 13─11
如图所示，为一向右传
Y
0
X
播的简谐波在 t 时刻的波形图，BC 为 波密介质的反射面，波由 P 点反射。 则反射波在 t 时刻的波形图为： ［ ］ 解：因为 BC 为波密介质的反 射面，所以在反射时有“半波损失” ， 故反射波在 P 点引起的振动与入射波 在 P 点引的振动在位相上刚好相反，
(A) y P = 0.10 cos(4πt + π 3) 。 (B) y P = 0.10 cos(4πt − π 3) 。 (C) y P = 0.10 cos(2πt + π 3) 。 (D) y P = 0.10 cos(2πt + π 6) 。 解：设 P 点处的振动方程为
u=20m/s P
y0 = A cos(ω t ′ + φ )
由 t=3s 时的波形曲线可知 A = 2 × 10 −2 m , λ = 20 m，所以
ω = 2πν =
2πu π = rad/s λ 2
t ′ = 0 时，原点处质元处于负的最大位移处，则其位相为 φ = π ，所以，
故 x=0 处的振动方程为

平面简谐波波函数

平面简谐波波函数
大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0

平面简谐波的波动方程

平面简谐波的波动方程
方向的运动情况.
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
xu t （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 c) c m π [ o 2 (s - .) 1 t5 ( 0 .0 0 c- 1 s ) m 1 x ].
t
u
a 2 t2 y 2 A co (t su x )[ ]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
v y A si (n t x [ ) ]
t
u
二 波动方程的物理意义
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
y co ( t x s ) u [ ] c2 o ( t s T x ) [] m
u2
222
2）求t1 .0 s波形图.
y 1 .0 co 2π (st[x)π ] m 2 .02 .0 2
t 1 .0 s
波形方程
y1.0coπsπ (x) m 2
1.0siπ nx)( m
波形图为 y / m
pO
2π
x
p 2 π x 2 π T x u u x ypA co ts (p)
点 P 振动方程
ypAcos(tu x)
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x0,0 O A
x
点 O 振动方程 y O A co t s)(
波 yAco(st [x)]u沿x轴正向
动 方
yAco(st [u x)]u沿 x轴负向
u
T

7-2平面简谐波的波动方程

7-2平面简谐波的波动方程

时间推 点O 的振动状态
迟方法 yO A cost
t-x/u时刻点O 的运动状态
t x
点P
u
t 时刻点 P 的运动状态
点P 振动方程
yP
A cos (t
x) u
➢ 波动方程
A y u
y Acos (t x)
u
相位落后法
Ox
P
*
x 点 O 振动方程
设x 0 , 0 0
A
yo A cost
各质点都作简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 其特点
是在均匀的、无吸收的介质中各质点振幅相同
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
波动方程的推导
设有一以速度u 沿 x 轴正向传播的平面 简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振
动方程
设x 0, 0 0
yO Acost
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
波程差 x21 x2 x1
波程差与位相差
2π x
3 若 x, t 均变化，波动方程表示波形沿传播
方向的运动情况.
yu
t 时刻 t t 时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
x ut （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
点 P 比点 O 落后的相位
p
O
2π x
p
2π
x
2π x Tu
x u
yp Acos(t p )
点 P 振动方程
yp
A cos (t
x) u

大学物理第十六章机械波第二节平面简谐波 波动方程

大学物理第十六章机械波第二节平面简谐波 波动方程

0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm

A

A 2
T
0.5 102
2 m/s
1 30
0.94 m/s
(6)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 4而到达
高等教育大学教学课件 大学物理
§16-2 平面简谐波 波动方程
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频 率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般 不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知， 任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它 们离开各自的平衡位置有相同的位移。
波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变 化关系。
y /cm
M 1 和'
M 2处' 。
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
谢谢欣赏!
Hale Waihona Puke A cos2

t

x



0

y(x,t) Acos( t k x 0) 其中 k 2
平面简谐波的波动表式
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y

A c os
t

2
x1

0

平面简谐波

平面简谐波

解 根据题意设波源的振动方程为
y
0.01cos
200
t
x 400
0
vy00
0 0
即0.021csoins00
0 0
0
2
故
y
0.01cos
200
t
x 400
2
（1）B 和A 两点之间的振动相位差为
200
t
2 400
2
200
t
1 400
2
2
（2）以B 为坐标原点时有
t x
T
(t, x) (t t, x x)
x ut
讨论：如图简谐 波以余弦函数表示，
求 O、a、b、c 各点
振动初相位.
(π ~ π )
t =0 A y
Oa
A
A
O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
u
b c
A
y
y
t=T/4
x
b 0
c
π 2
讨论
1.同一波线上两个不同点的振动相位差
x 2 x
程、2）波函数。
2 y(102 m)
22
o
2
yo
t(s)
2 102 cos(2π t )m
4
A
oA2 y
π
3
t 0,x 0 y A 2 v 0
波函数
y 2 102 cos[2π( t x ) π ]m 44 3
x 0.5m 处质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4

物理学14-平面简谐波的波函数与波动方程

物理学14-平面简谐波的波函数与波动方程

若波源（原点）振动初位相不为零 y0 A cos( t 0 )
x y A cos[ (t ) 0 ] u
或
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2x y A cos[ 2t ) 0 ] 2 y A cos[ (ut x) 0 ] A cos[ k (ut x) 0 ]
y
O
u
x
x
p
x O点振动状态传到p点需用 t u t 时刻p处质点的振动状态重复
y
O
u
x
x
p
x t 时刻O处质点的振动状态 u
x p点的振动方程： y A cos ( t ) u 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u x 沿x轴负向传播的 y A cos ( t ) 平面简谐波的波动方程 u
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
O
u
t
t t
x x
x
可见，波函数y(x,t)反映了波形的传播。 它描述的是在跑动的波，这种波被称为 行波（travelling wave）
三、平面波的波动微分方程
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
求t 的二阶导数
2x0

若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
为x0处质点落后于原点的位相
是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 x1 x 2 1 2 2


பைடு நூலகம்
2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) 0 ] u 表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布 ，即给定了t0 时刻的波形

7.2平面简谐波表达式

7.2平面简谐波表达式
P
7.2 平面简谐波表达式
解:
(1) 设原点处质元的振动方程为
y = A cos(ωt + ϕ 0 )
t = 0 时, o点处质元的位移 y = 0
所以
0 = A cos ϕ 0
ϕ0 = ±
由图可知
π
2
u t = 0时， = u 0 = −ωA sin ϕ 0 < 0
7.2 平面简谐波表达式
则 sin ϕ 0 > 0 ,应取 ϕ 0 = 2 应取 (2) 根据两质点间相位差与波程差的关系即
0
1.0
3 *
总结: 总结: 求解波动方程方法
1、求出坐标原点O振动方程 、求出坐标原点 振动方程
yO = A cos(ωt + ϕ )
2、得出波动方程 、 x y = Acos[ (t m ) + ϕ] ω v 3、波动方程其它形式 、
t x y = Acos[2π ( m ) + ϕ0 ] T λ
7.2 平面简谐波表达式
轴正方向传播, 例2 一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播 已知振幅 A = 1.0 m , T = 2 .0 s , λ = 2.0 m .在 在 t = 0 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向运动 求： 轴正向运动.求 (1) 波动方程； 波动方程； (2) t = 1 . 0 s 时的波形图； 时的波形图； (3) x = 0 .5 m处质点的振动规律并作图 处质点的振动规律并作图.
= A cos[ωt m
2πx
λ
+ ϕ]
7.2 平面简谐波表达式
注意
(1)关系式中的 x 是代数量 有 关系式中的 是代数量,有 正负之分 (2)这种形式的波动方程 (2)这种形式的波动方程,波源一 这种形式的波动方程,波源一 定在坐标原点

9.2 平面简谐波的表达式

9.2 平面简谐波的表达式
2
yB (310 m) cos[(4π s )t π ]
2
1
u
8m C 5m A 9m D
oB
x
20
9.2 平面简谐波的表达式
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程 点C 的相位比点A 超前
yC (3 10 m) cos[( 4 π s )t 2 π
13 (3 10 m) cos[( 4 π s )t π] 5
9.2 平面简谐波的表达式
一
平面简谐波的表达式 （波函数）
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O 处质点的振动方程为
yO A cost
u
P
y
A
x
A
O
x
1
9.2 平面简谐波的表达式
yO A cost
yO 表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上P点(坐标 x), P 点比 O点的振 x 动落后t , P 点在 t 时刻的位移是O点在
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
19
9.2 平面简谐波的表达式
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
y A (3 10 m) cos( 4 π s )t xB x A 5 B A 2π 2π π 10
2
1
B π
t x y (3 10 m) cos[ 2π ( ) π ] 0.5s 10 m
4
9.2 平面简谐波的表达式
表达式（波函数） x y A cos[ (t ) ] u 质点的振动速度，加速度
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u

平面简谐波的波函数

平面简谐波的波函数

解 确定坐标原点的 Y
振动初相0
A
由图知：t=0时， A/2
u=100m /s
x=0处的质点位于
0
1
X(
A/2处 且向位移正方向运动
-A
m)
由图知：t=0时， x=1m处的质点位于平 衡位置处且向位移负方
向运动
第十章 波动
21
物理学
第五版
0
π 3
,
2.4m,
u 100(m/s)
T /u 0.024s
在 理学
第五版
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以 p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第十章 波动
6
物理学
第五版
波函数的几种常用形式
第十章 波动
7
物理学
第五版
演示实验安排
周三 第3节 7班 第4节 8班
第十章 波动
8
物理学
第五版
二 波函数的物理含义
1 x一定，t变化
解
确定坐标原点的振动初相0
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章 波动
18
物第理五例版学 4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播. 图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方 程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0
t/s
t=5s时质点第一次回到平
第十章 波动
28
物理学
第五版
(1/4) 2A2
o
EP Ek
Y
WpWk x = x0
Tt
y
第十章 波动
t

7-2平面谐波的表达式

7-2平面谐波的表达式

y
A 0
己计算出 0 2
t0
3 p 2 2
简谐波波动方程：
u
x
P
x y A cos[ ( t ) ] u 2
例3 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播， 已知振幅 A 1.0m ， T 2.0s， 2.0m. 在 t 0 时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 (1)波动方程；(2) t 1.0s波形图； 运动. 求：
把题中波动方程改写成
2.5 0.01 y 5 cos 2 π [ t x] 比较得 2 2 2 2 T 0.8 s 200 cm v 250 cm s 1 0.01 2.5 T
振动在弹性媒质中传播时，两质点之间的相位差 和波程差的关系
u
0 x x1 2 y1 A cos ( t ) y2 A cos ( t ) n n u u x1 x 2 2 2 1 ( x1 x 2 ) 真空或空气 u 0
2 1
相位差
0
x1
x2
2
n
( x1 x2 )
2
0
n( x1 x2 )
波程差
任一介质
二、平面简谐波波动方程的物理意义 1)当 x 为某一定 值(x =x0) 时 x0 y( x0 , t ) y( t ) A cos[ ( t ) 0 ] u 即x=5m 处质点的振动方程
y/m
3 *
4 2 * * 1.0 O O 2 2.0 * t / s * 1 -1.0*1 x 0.5 m 处质点的振动曲线
例4 一平面简谐波以速度 u 20m s -1 沿 直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程 y A 3102 cos( 4 π t ) ; ( y, t 单位分别为m，s). 求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程； (3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程； (4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.

平面简谐波的表达式

平面简谐波的表达式

Ox*
相位落后法
A
点p P 比 点2 π O x 落 后 的 相 位2 π T x u p O u x 2 π x
点 P 振动方程 ypAcos[t(u x)]
波 yAcos(t[x)] u沿x轴正向
函 数
yAcos(t[ux)]
π [ 2 (- ) . t 1 1 5 ( 0 . 0 c 0 - ) 1 x 1 m 1 ] s π [ 2 (- ) . t 1 2 5 ( 0 . 0 c 0 - ) 1 x 1 m 2 ] s
x2x120 cm 0ux2x1 25c0m s1
Tt2t10.8s
u
u沿 x轴负向
波动方程的其它形式
y(x), tA co2π s(t[x)]
T λ
y ( x ,t) A co t k s x ) ((角波数
k

2
π
)
质点的振动速度，加速度

v y A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x)]
解：方法上相位差为 2π的两
点间的距离.
π [2 (.-) 5 1 t (0 0 .0c s1 -m ) 1 x 1 ] π [2 (.-) 5 1 t0
(0.0c1m -)1x2]2π x2x120c0m
周期为相位传播一个波长所需的时间
把题中波动方程改写成
y (5 c)m co 2 π [s 2 ( .s-1 5 )t 0 (0 .0c1 -1 m )x ]
2
2
比较得
T 2 s0.8s 2cm20c0mu25c0ms1
2.5
0.01
T

简谐波波函数 波的特征量

简谐波波函数 波的特征量

2. 频率 周期
波的时间周期性
频率ν 周期T
单位时间内通过传播方向上 某一点的
完整波的个数 波的周期为各点振动的周期
ν=1
T
由波源决定的
ω =2πν
3.波长 振动状态相同的两点间的最近距离
简谐波 ：在同一波线上相位差为2π的两点间距离
y
λ →u
波的空间周期性
o
o′ x λ = u Τ
简谐波的不同表示形式
= λ u= T u y t
ν =1/T ν
ω =2πν
y(x, t ) = Acos[ω(t − x )]
u
y(x, t ) = Acos[2π ( t − x )]
Tλ
y(t, x) = Acos[2π (ν t − x )] λ
t+∆ tx∆来自x = u∆t波数=k
2= π λ
ω
u
y(t, x) = Acos(ω t − kx)
P 处质点在 t 时刻的振动状态，即波函数为
y (x,t) = y(o, t+x/u)= Acos [ω(t+x/u)]
二、波的特征量
1.波速
y(0, t ) = Acos(ωt + ϕ0 )
y(x, t )
=
A cos[ω (t
−
x) u
+ ϕ0 ]
平衡位置在x 处的质点, t 时刻的相位
ω(t
−
x )] u
波函数 ξ (x, t ) = Acos[ω (t − x )]
u
1、x 确定 x = x0
ξ
ξ(t ,
x0 )
=
Acos[ω( t
−
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x2 x1 x21 12 1 2 2 π 2π
2π
x

3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 向的运动情况（行波）.
y
O
u
t
时刻
t t 时刻
x
x x
t x y A cos 2 π ( ) (t , x) (t t , x x) T t x t x t t x x x ut 2π ( ) 2π ( ) T T T
平面简谐波的表达式
一 平面简谐波的波函数 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) 称 为波函数.
y y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波. 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
x2 x1 200 cm T t2 t1 0.8 s
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A 1.0m ， 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标 T 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 波动方程
解 写出波动方程的标准式
点 P 振动方程
x y p A cos [(t ) ] u
波 函 数
x y A cos[ (t ) ] u 沿 x 轴正向 u x y A cos[ (t ) ] u 沿 x 轴负向
u
波动方程的其它形式
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ 2π y( x, t ) A cos(t kx ) (角波数 k )
t 0 x0
t x y A cos[ 2π ( ) ] T
π 2 y cos[π(t x) / 2]
A cos 0 2A sin 0 T
y y 0, v 0 t
作业
P266:5-5,5-7,5-9
下次内容： １．波的能量，能流密度（§５－３） ２．惠更斯原理（§５－４）
2cm 2 1 200 cm u 250 cm s T s 0.8 s T 0.01 2.5
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s )t (0.01cm ) x].
-1 -1
解：方法二（由各物理量的定义解之）. 波长是指同一时刻 t ，波线上相位差为 2π 的两 点间的距离.
质点的振动速度，加速度

y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
二
波函数的物理意义
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[ 2 π( ) ] u T
t 时刻点 P 的运动
波函数 点 O 振动方程
x y A cos [(t ) ] u
y A
O
yo A cos[t ]
相位落后法
u
P
A
x
*


x
x 点 P 比点 O 落后的相位 p O 2 π x x x p 2π 2π Tu u
1. 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程， 并给出该点与点 O 振动的相位差.
x x 2 π u λ y ( x, t ) y( x, t T ) （波具有时间周期性）
波线上各点的简谐运动图
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[ 2 π( ) ] u T
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s )t (0.01cm ) x].
-1 -1
解：方法一（比较系数法）.
t x y A cos 2π ( ) T
把题中波动方程改写成
比较得
2.50 -1 0.01 -1 y (5cm ) cos 2π [( s )t ( cm ) x] 2 2
-1 -1 π [(2.50s )t (0.01cm-1 ) x1 ] π [(2.50s )t
(0.01cm ) x2 ] 2π
-1
x2 x1 200 cm
x2 x1 u 250 cm s 1 t2 t1
周期为相位传播一个波长所需的时间
-1 -1 π [(2.50s )t1 (0.01cm-1 ) x1 ] π [(2.50s )t2 (0.01cm-1 ) x2 ]
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点 相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
x1 t x1 1 (t ) 2 π ( ) u T x2 t x2 2 (t ) 2 π ( ) u T
以速度u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波 为例. 令原点O 的初 相为φ其振动 方程
yO A cos(t )
时间推 迟方法
yO A cos t
点O 的振动状态
t-x/u时刻点O 的运动
点P 振动方程
x y P A cos[ (t ) ] u

x t u
点P