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2.3.2 圆的一般方程1曲线x2+y2+2x-2y=0关于()A.直线x=2对称B.直线y=-x对称C.点(-2,2)中心对称D.点(-2,0)中心对称(x+)2+(y-)2=4.圆心(-)在直线y=-x上,故圆关于直线y=-x对称.故选B.2若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值是()A.-1B.2C.-1或2D.1可得a=-1或a=2(舍).3过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-xy=kx,因为圆心(-2,0)到直线kx-y=0的距离等于圆的半径1,所以=1,解得k=±.又因为切点在第三象限,所以k=-舍去.所以所求直线的方程为y=x.4点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-1)2=1(x1,y1),其与点P连线的中点为(x,y),则代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.5圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是()A.36B.18C.6D.52+y2-4x-4y-10=0⇒(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为3.由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为=5,由数形结合思想可得:该圆上的点到已知直线的距离的最小值为2,最大值为8,故所求距离之差为6.6已知A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点,则这四点()A.共线B.不共面C.共圆D.不共圆A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有解得所以经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,将点D(4,3)的坐标代入上述方程有42+32-2×4+2×3-23=0,所以点D在此圆上,故A,B,C,D四点共圆.7已知A(-2,0),B (0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最大值为()A.3-B.4-C.D.3+ABC的面积最大,即要求点C到AB的距离最大,亦即求圆上的点到直线AB距离的最大值,应为圆心到直线AB的距离d与半径r之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d为,即C到AB的距离的最大值为+1,故△ABC的面积的最大值为×|AB|×=3+.8设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是.AB与点P和圆心所确定的直线垂直,由点斜式可得.4=09圆x2+y2-2x-K2+2K-2=0的面积的最小值是.(x-1)2+y2=K2-2K+3,因此其半径为,圆的面积S=π()2=(K2-2K+3)π=[(K-1)2+2]π,故当K=1时,圆的面积最小,最小值为2π.π10判断下列方程表示什么图形.(1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x-2y-3=0;(3)x2+y2+2ax+2by=0.因为x2+y2=0,所以x=0,且y=0.即方程表示一个点(0,0).(2)原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,即方程表示圆心为(1,1),半径为的圆.(3)原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=a2+b2,当a=b=0时,方程表示一个点(0,0);当a2+b2≠0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为的圆.11已知过点M(-1,1)的直线l被圆C:x2+y2-2x+2y-14=0所截得的弦长为4,求直线l的方程.C的坐标为(1,-1),半径为4,因为直线l被圆C所截得的弦长为4,所以圆心C到直线l的距离为2.(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,此时点C到l的距离为2,可求得弦长为4,符合题意.(2)若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,因为圆心C到直线l的距离为2,所以=2,所以k2+2k+1=k2+1,所以k=0,所以直线l的方程为y=1.综上(1)(2)可得:直线l的方程为x=-1或y=1.★12某圆拱桥的示意图如图,该圆拱的跨度AB是16 m,拱高OP是4 m,在建造时,每隔2 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.,以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,设出圆的一般方程,代入点的坐标即可求出.AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-8,0),(8,0),(0,4),设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵点A,B,P在所求的圆上,则代入坐标得解得∴圆拱所在的圆的方程为x2+y2+12y-64=0.将点P2的横坐标x=2代入圆的方程,解得y1=-6-4(舍)或y2=-6+4.答:支柱A2P2的长为(4-6) m.。
6.3一、单选题1、平面330x y z +--=的截距式方程为（ ）.A 3(1)0x y z +--= B133x z y +-= C 33x y z +-= D 13y x z +-=答案： B解析： 根据截距式方程的标准形式，可将平面的一般式方程330x y z +--=，化为133x z y +-=.2、过三点1(0,1,0)M -, 2(1,0,1)M , 3(1,1,1)M -的平面的一般式方程为（ ）.A 32(1)0x y z -+-=B 3220x y z --+=C 3220x y z ---=D 1232x z y --= 答案： C解析：方法一 直接求平面的一般方程 .设平面的一般方程为0Ax By Cz D +++= ①，将已知的三个点123,,M M M 坐标分别代入方程①中, 即有方程组000B D A C D A B C D -+=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩, 运用中学学过的消元法解方程组, 用D来表示,,A B C , 可得3212B DA D C D ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩ , 因此, 所求平面的一般方程为 310,22D x D y D z D -⋅+⋅+⋅+=方程两边同时除以2D -化简得3220x y z ---=.方法二 先求平面的点法式方程, 再化为一般方程 .将三个点任意连成两个向量, 不妨作1213,,M M M M则有1213(1,1,1),(1,2,1),M M M M ==-从1213,M M M M的坐标可以看出这两个向量并不平行, 可以通过这两个向量求出平面方程的法向量1213111121i j kn M M M M =⨯=-11111132.211112i j k i j k =+=-++--- 再从123,,M M M 中任取一点, 不妨就取1(0,1,0)M -, 根据点法式, 可得所求的平面方程(3)(0)2(1)1(0)0,x y z -⋅-+⋅++⋅-=化为平面的一般方程即3220x y z ---=. （大家还可以想想其他方法.）（做选择题也可以用代入法，将平面上点的坐标逐个代入四个选项检验。
必修2一、平面几何 （一）直线1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率①两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -=≠-②斜率的范围：k R ∈(2)直线的倾斜角范围：)0,180⎡⎣o o（3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠o注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；（2）特别地，倾斜角为0o的直线斜率为0；倾斜角为90o的直线斜率不存在。
2、直线方程(1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线 （2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：1112122121(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：1x ya b+=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） （6）特殊直线方程①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y = ③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx =在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 （1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+①平行：12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠） ②重合：12k k =且12b b = ③相交：12k k ≠特别地，垂直：121k k =-（2）11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++= ①平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠（验证） ②重合：1221A B A B =且1221A C A C = ③相交：1221A B A B ≠特别地，垂直：12120A A B B +=（3）与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为：0Ax By m ++=与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为：0Bx Ay n -+= 4、其他公式（1）平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)A x y B x y，则AB =（2）线段中点坐标公式：1122(,),(,)A x y B x y ，则,A B 中点的坐标为1212(,)22x x y y ++ （3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心坐标公式为：123123(,)33x x x y y y ++++ （4）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式：d =（5）两平行线112212:0;:0()l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠间的距离：d =（用此公式前要将两直线中,x y 的系数统一）（6）点A 关于点P 的对称点B 的求法：点P 为,A B 中点（7）点A 关于直线l 的对称点B 的求法：利用直线AB 与直线l 垂直以及AB 的中点在直线l 上，列出方程组，求出点B 的坐标。
1、求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程（1）通过点)1,1,3(1M 和)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面； （3）已知四点A （5，1，3），B （1，6，2），C （5，0，4），D （4，0，6），求通过直线AB 且平行直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与△ABC 所在平面垂直的平面 2、求下列平面的一般方程（1）过点M （3，2，-4）且在X 轴和Y 轴上截距分另为-2和-3的平面（2）已知两点M 1（3，-1，2），M 2（4，-2，-1），通过M 1且垂直于M 1M 2的平面 （3）过点M 1（3，-5，1）和M 2（4，1，2）且垂直于平面x-8y+3z-1=0的平面 3、将下列平面的一般方程化为法式方程 (1)x-2y+5z-3=0(2) x+2=04、求自坐标原点向平面2x+3y+6z-35=0所引垂线的长和批向平面的单位法矢量的方向余弦5、已知三角形顶点为A(0,-7,0),B(2,-1,1),C(2,2,2),求平面于△ABC 所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程6、求在X 轴上且到平面12x-16y+15z+1=0和2x+2y-z-1=0距离相等的点7、已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(-2,11,-5),C(1,-1,4),计算从顶点S 向底面ABC所引的高8、求中心在C3，-5，-2）且与平面2x-y-3z+11=0相切的球面方程。
9、求与9x-y+2z-14=0和9x-y+2z+6=0平面距离相等的点的轨迹10、判别点M(2,-1,1)和N(1,2,-3)在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是分别在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？（1）0323:1=-+-z y x π与042:2=+--z y x π（2）0152:1=-+-z y x π与01623:2=-+-z y x π11、分别在下列条件下确定l,m,n 的值使lx+y-3z+1=0与7x-2y-z=0表示二平行平面 12、求下列两平行平面19x-4y+8z+21=0和19x-4y+8z+42=0间的距离 13、求两平面2x-3y+6z-12=0和x+2y+2z-7=0所成的角14、求过Z 轴且与平面0752=--+z y x 成 60角的平面15、 求下列各直线的方程（1）通过点),,(0000z y x M 且平行于两相交平面0:1=+++i i i i D z C y B x A π)2,1(=i 的直线（2）通过点M （1,0,-2）且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线 16、求下列各平面的方程：（1） （1） 通过点P （2，0，1），且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面 （2） （2） 通过直线113312-+=-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=--+=-+-052032z y x z y x 平行的平面（3） （3） 通过直线223221-=-+=-z y x 且与平面3x+2y-z-5=0垂直的平面 （4） （4） 通过直线⎩⎨⎧=-+-=+-+014209385z y x z y x 向三坐标面引的三个射影平面17、化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦（1）⎩⎨⎧=---=+-+0323012z y x z y x18、判别直线⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与平面010743=-+-z y x 的相关位置19、确定l,m 的值使直线13241zy x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行20、求与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且与其中之一相切于点M(5,-1,-1)的球面 21、判别直线131833-=--=-z y x 与462733-=+=-+z y x 的相互位置，如果是相交的或平行的两直线它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离22、给定两异面直线01123-==-z y x 与10211zy x =-=+试求它们的公垂线的方程23、求直线⎩⎨⎧=-+=--0220243z y x z y x 与⎩⎨⎧=+-=--+0230264z y z y x 间的角24、求通过点P （1，0，-2）而与平面0123=-+-z y x 平行且与直线12341zy x =--=-相交的直线方程25、求与直线1371821-=-=+z y x 平行且和下列给定两直线相交的直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=tz t y t x 5332与⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=t z t y t x 74105 26、求点P （2，3，-1）到直线⎩⎨⎧=++-=++-017223032z y x z y x 的距离27、求平面束0)42()53(=+--+-+z y x y x λ中在x,y 两轴上截距相等的平面 28、求与平面0432=-+-z y x 平行，且满足下列条件之一的平面： （1）通过点(1,-2,3) (2)在y 轴上截距离等于-3 (3)与原点距离等于129、设一平面与平面023=++z y x 平行，且与三坐标平面围成的四面体体积为6，求这平面的方程。
2．3．2 圆的一般方程圆的一般方程1．若圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋10y ＋23＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，5)， 3 B ．(1，－5)， 3 C ．(－1，5)，3 D ．(1，－5)，3 答案 B解析 解法一(化为标准方程)：(x －1)2＋(y ＋5)2＝3；解法二(利用一般方程)：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2，－D 2＝1，－E 2＝－5，r ＝3．2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋54a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a<1B ．a>1C ．－2<a<23 D ．－2<a<0答案 A解析 当a 2＋4a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＋a －1>0时表示圆的方程，故－a ＋1>0，解得a<1．求圆的一般方程A ．x 2＋y 2＋8x ＋6y ＝0 B ．x 2＋y 2－8x －6y ＝0 C ．x 2＋y 2＋8x －6y ＝0 D ．x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0答案 D解析 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0，于是所求圆的一般方程是x2＋y 2－8x ＋6y ＝0．4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0 答案 D解析 设圆心为(a ，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3a ＋4|32＋42＝3a ＋45＝r ＝2，解得a ＝2，所以圆心坐标为(2，0)，则圆C 的方程为：(x －2)2＋y 2＝4，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，所以D 正确．轨迹问题包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π 答案 B解析 设点P 的坐标为(x ，y)，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，故面积为π×22＝4π．6．已知等腰三角形ABC 的顶点为A(3，20)，一底角顶点为B(3，5)，求另一底角顶点C 的轨迹方程．解 设另一底角顶点为C(x ，y)，则由等腰三角形的性质可知|AC|＝|AB|，即－2＋－2＝－2＋－202，整理得(x －3)2＋(y －20)2＝225．当x ＝3时，A ，B ，C 三点共线，不符合题意，故舍去．综上可知，另一底角顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x≠3)．一、选择题1．方程x 2＋y 2－2x ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＜2 C ．m≤12 D ．m≤1答案 A解析 由圆的一般式方程可知(－2)2－4m ＞0，∴m＜1． 2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0 D ．－2或0答案 C解析 将圆的一般方程化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以圆心(1，2)到直线的距离d ＝|1－2＋a|2＝22，解得a ＝0或a ＝2．3．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点为Q(x 0，y 0)，PQ 中点为M(x ，y)，根据中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为Q(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A ．4．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2答案 C解析 已知圆的圆心为(1，0)，半径等于2，圆心关于直线2x －y ＋3＝0对称的点为(－3，2)，此点即为对称圆的圆心，两圆的半径相等，故选C ．5．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同心，且过点(1，－1)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0 D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0 答案 B解析 设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0．二、填空题6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，则圆心坐标为________；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________．答案 (－1，－3) x ＋3y ＝0解析 将圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9，故圆心为C(－1，－3)．因为k CO ＝3，所以所求直线的斜率为k ＝－33，直线的方程为y ＝－33x ，即x ＋3y ＝0． 7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．答案 －10解析 由题意知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D2＋E 2－4F>0的条件．8．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于________．答案 －3解析 设A(0，y 1)，B(0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m>0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，而∠ACB＝90°，知C(2，－1)，AC⊥BC，即得k AC ·k BC ＝－1，即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4代入上面的结果得m －2＋1＝－4，∴m＝－3，符合m<1的条件． 三、解答题9．试判断A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)四点是否在同一个圆上． 解 解法一：线段AB ，BC 的斜率分别是k AB ＝1，k BC ＝－1，得k AB ≠k BC ，则A ，B ，C 三点不共线，设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．因为A ，B ，C 三点在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＋2E ＋F ＋5＝0，E ＋F ＋1＝0，7D －6E ＋F ＋85＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝4，F ＝－5，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋4y －5＝0，将点D的坐标(4，3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D 在圆上，故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．解法二：因为k AB ·k BC ＝2－11－0×1＋60－7＝－1，所以AB⊥BC，所以AC 是过A ，B ，C 三点的圆的直径，|AC|＝－2＋＋2＝10，线段AC 的中点M 即为圆心M(4，－2)．因为|DM|＝－2＋＋2＝5＝12|AC|，所以点D 在圆M 上，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．10．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 解 (1)设AP 中点为M(x ，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标(2x －2，2y)． 因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y)2＝4．故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1． (2)设PQ 的中点为N(x ，y)． 在Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|， 设O 为坐标原点，连接ON ，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4．故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0．。
专题十七基础知识（1）平面的点法式方程：通过点),,(0000z y x M ，法向量为),,(C B A n =→的平面方程为 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A（2）平面的一般式方程0=+++D Cz By Ax （C B A ,,不全为零）其中000Cz By Ax D ---=（),,(C B A n =→为该平面的法向量）对于一般式方程，当0=D 时，该平面经过原点；当C B A ,,中有一个为零时，该平面垂直于某坐标平面；当C B A ,,中有俩个为零时，该平面垂直于某坐标轴；xy 平面、yz 平面、zx 平面的方程分别为0=z 、0=x 、0=y 。
（3）平面的截距式方程：在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为a 、b 、c （0≠abc ）的平面方程为 1=++cz b y a x （4）两平面的夹角：平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的夹角θ的余弦为222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ（5）点到平面的距离公式：点),,(000z y x 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离为222000||C B A D Cz By Ax d +++++=（6）平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 垂直的充要条件是0212121=++C C B B A A平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 平行的充要条件是212121C C B B A A == （7）两点的中垂面：空间中两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 的中垂面方程为0)(2)(2)(2222122212221121212=-+-+-+-+-+-z z y y x x z z z y y y x x x 推导依据： 222222212121)()()()()()(z z y y x x z z y y x x -+-+-=-+-+-注：平面中两点),(111y x M 和),(222y x M 的中垂线方程为0)(2)(2222122211212=-+-+-+-y y x x y y y x x x推导依据： 22222121)()()()(y y x x y y x x -+-=-+-总结：空间中的平面和平面中的直线在很多点上是相似的，可以相互参照记忆。
