阶段有三种定义：一种是古典概率,一种是几何概率,另一

概率论abc概率论是一门研究随机现象规律的数学学科。

其研究内容涉及到随机事件的概率、随机变量及其分布、极限理论等方面。

A-随机事件和概率随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

例如：掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上都是可能事件，因为在掷的过程中，无法确定它将会朝哪个方向翻转。

概率是对随机事件发生的可能性进行度量的数学方法。

概率有三种定义方式：经典概率、几何概率和古典概率。

经典概率是指在随机试验中，每个基本事件出现的次数都是有限的，且每个基本事件出现的可能性相等的情况下，某一事件发生的可能性等于该事件发生的基本事件数与样本空间中基本事件数的比值。

几何概率是指在某些特殊情况下，概率可以用几何图形的面积、长度、体积等形式表示。

例如：掷一枚均匀的硬币，正反面出现的概率相等，可以通过在平面上绘制一个1:1的正方形来表示。

古典概率是指在随机试验中，基本事件出现的可能性不一定相等，但是我们可以通过历史数据或经验得到每种基本事件出现的概率，从而计算某一事件发生的概率。

B-随机变量和分布随机变量是指随机现象中用数值来表示其结果的变量。

例如：掷一枚硬币，正面朝上为1，反面朝上为0，我们可以将这个随机过程用随机变量X=1表示。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。

离散型随机变量的取值为有限个或可数个；连续型随机变量的取值可以是任意实数。

概率分布是指随机变量在各个取值点上的概率。

离散型随机变量的概率分布可以表示为概率质量函数（Probability Mass Function，PMF），连续型随机变量的概率分布可以表示为概率密度函数（Probability Density Function，PDF）。

C-极限理论极限理论是概率论中的重要内容，它涉及到许多基本概念和定理，如大数定律、中心极限定理等。

大数定律是指在随机试验中，当试验次数增加时，随机事件发生的频率趋近于该事件的概率。

例如：我们多次掷硬币，当投掷的次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将逐渐趋近于0.5。

高中概率论中的一个易错概念摘要：在教学中经常碰到不可能事件和必然事件，我们都知道其相应的概率分别是0和1；但概率是0和1时，常有人相应地误以为它们一定对应着不可能事件和必然事件。

本文讨论的就是这种错误思想的成因，和用具体例子来正确认识这个问题。

关键字：概率的统计定义概率的古典定义概率的公里化定义测度概率论是研究自然界、人类社会及技术过程中大量随机现象规律性的一门数学分支。

随着现代科学技术迅速发展，这门学科得到蓬勃发展，在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有越来越多的应用。

但在我们高中阶段引入概率知识后，本人发现很多学生在学习了概率的初步知识后认为“概率是0相应的事件就不发生”，在本人的教学学习活动中也发现不少教师在这一概念上不甚清楚，甚至给出“概率值是1相应的事件必然发生”这样犯了科学性错误的结论。

下面我们先来看两个例子。

例1．抛掷一颗骰子（假设骰子的质地是均匀的），它落地时向上的数可能是1，2，3，4，5，6中六个数字之一，求结果是3的平方的概率。

例2．在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取6件，求取得的6件产品都是次品的概率。

如以上这样的例子，其所求中的事件都是不可能事件，不可能发生的，相应的概率值都是0，因此造成很多人认为“概率是0相应的事件就不发生”。

接下来我们再看两个例子。

例3．在自然数集里任取一个数，求取到的数恰好是2的概率。

例4．在闭区间上任取一个数，求取到的数恰好是的概率。

在这两个例子中，我们很容易得到所求事件的概率都是0。

但是我们也很显然的知道，在例3和例4当中的事件并不是不可能发生的，不是不可能事件，在这两个例题中的事件都有可能发生！“概率是0相应的事件就不发生”这个结论在这两个例题中是错误的！是什么原因造成这种结果呢·其实是我们在教学过程中没有很好的把握概率学中的基本概念，没有深刻理解概率的定义。

其实概率的定义有多种形式,如以下三种定义形式：1.概率的统计定义：在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n( )之比，称为这个事件在这n 次试验中出现的频率。

高三概率知识点总结聪明出于勤奋，天才在于积累。

我们要振作精神，下苦功学习。

小编准备了高三概率知识点总结法，希望能帮助到大家。

古典概率与几何概率1、基本事件特点：任何两个基本事件是互斥的;任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

2、古典概率：具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.P(A)A中所含样本点的个数nA中所含样本点的个数n.3、几何概率：如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的`区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件A的概率为几何概率.几何概率具有无限性和等可能性。

4、古典概率和几何概率的基本事件都是等可能的;但古典概率基本事件的个数是有限的，几何概率的是无限个的.计数与概率问题在近几年的高考中都加大了考查的力度，每年都以解答题的形式出现。

在复习过程中，由于知识抽象性强，学习中要注重基础知识和基本方法，不可过深，过难。

复习时可从最基本的公式，定理，题型入手，恰当选取典型例题，构建思维模式，造成思维依托和思维的合理定势。

另外，要加强数学思想方法的训练，这部分所涉及的数学思想主要有：分类讨论思想、等价转化思想、整体思想、数形结合思想，在概率和概率与统计中又体现了概率思想、统计思想、数学建模的思想等。

在复习中应有意识用数学思想方法指导解题，不可就题论题，将问题孤立，片面强调单一知识和题型。

能力方面主要考查：运算能力、逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题和解决实际问题的能力。

在高考中本部分以考查实际问题为主，解决它不能机械地套用模式，而要认真分析，抽象出其中的数量关系，转化为数学问题，再利用有关的数学知识加以解决。

例1. 一次掷两颗骰子，求点数和恰为8这一事件A的概率。

分析：这实际上是一个等可能事件的概率。

掷两个骰子出现的基本结果如下表：解：表中基本结果36个，而点数为8的有5个，故：P(A)=-评述：本题可归结为掷骰子问题，通过对掷骰子情况的研究得出各种概率数学模型，体现了数学建模的思想：(1)、投掷一颗均匀的骰子，研究出现各种点的情况，这是等可能事件的概率，各点出现的概率为1/6。

高中数学中几种常见的概率模型高中数学中几种常见的概率模型：古典概型、几何概型、贝努利概型、超几何分布概型1、古典概型：也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。

如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。

在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的；古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。

2、几何概型：是概率模型之一，别名几何概率模型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。

在这个模型下，随机实验所有可能的结果都是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。

一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征，无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。

3、贝努利模型：为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利而命名。

对随机试验中某事件是否发生，实验的可能结果只有两个，这个只有两个可能结果的实验被称为贝努利实验；重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变。

“独立是指是指各次试验的结果是相互独立的。

基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型。

4、超几何分布：是统计学上一种离散概率分布。

它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。

称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。

超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。

概率的定义与发展史2019-10-27初中阶段我们学习的概率内容⽐较基础，到了⾼中和⼤学阶段，概率内容将进⼀步丰富和深化，为了让同学们对概率知识板块有个全⾯的了解，下⾯就概率的定义和发展史作⼀个简单的介绍.概率论起源于17世纪中叶，但是它的严格化却是在20世纪完成的.在⼏百年的时间⾥，⼈们对概率意义的认识不断深化，下⾯⼏个定义就反映了这种认识的发展.1.古典定义古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古⽼.在数学史上，概率源于赌博.概率论的创⽴正是从研究赌博等问题⼊⼿，建⽴相关的数学模型，并从中逐步抽象出有关概率的⼀些初始概念.17 世纪有个叫保罗的⼈，⼀天他与梅累两个⼈⼀起赌钱，赌注是每⼈拿出6枚⾦币，通过掷骰⼦，先胜三局者得到12枚⾦币.刚赌完三局时，赌博因故不能进⾏，此时保罗胜⼀局，精通赌博的梅累胜了两局.因此，他们对赌注如何分配产⽣了争吵.保罗认为，根据胜的局数，他应得总数的[13]，即4枚⾦币，梅累得总数的[23]，即8枚⾦币.可是梅累却不这样想.于是他们⼀起去请教法国数学家帕斯卡.“赌⾦分配”问题在⼏年⾥⼀直困扰着帕斯卡.经过反复研究，1654年帕斯卡终于取得了令⼈满意的答案，于是他写信把⾃⼰的⼼得告诉了好友（法国数学家费马），从此⼀场更深⼊的讨论在两⼈之间展开了.荷兰数学家惠更斯也对他们研究的问题很感兴趣，他潜⼼研究，于1657年出版了《论赌博中的计算》，该书塑造了概率论的雏形.帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩⼤应⽤等⽅⾯做出了重⼤的贡献.但直到1812年，法国数学家拉普拉斯才在《概率的分析理论》中给出了概率的古典定义：如果试验的全部可能结果只有n（有限数）个，每个结果发⽣的可能性⼤⼩相等，其中 m个结果发⽣时必然导致事件A发⽣，那么分数[mn]叫做事件 A 发⽣的概率，记作P（A）=[mn].古典定义通过简单明了的⽅式定义了事件的概率，并给出了简单可⾏的算法.2 .⼏何定义概率的⼏何定义提供了某种特殊类型的随机试验：试验的⼀切可能结果是⽆限的且等可能的情形.1777 年，法国数学家布丰发表了《或然性算术试验》，⾸先提出并且解决了著名的“布丰投针问题”，开始了⼏何概率的早期研究，形成概率的⼏何定义.试验如下：事先准备⼀组相距为l的平⾏线，⼀根长为[l2]的针，将针随机地投到画了线的平⾯上，假如针与平⾏线相交，则称“扔出有利”.这样随机投若⼲次，此时令⼈惊奇的结果出现了，“扔出有利”的概率为[1π]，如果反复进⾏的次数越多，得到的[π]的值越精确.在数学发展的过程中，圆周率的计算有着举⾜轻重的地位，它曾经是体现⼀个国家数学发展⽔平的重要标志.⽽概率知识可以计算圆周率，对我们⼼灵是⼀个不⼩的震撼.此实验拓宽了⼈们运⽤数学知识解决复杂问题的渠道，它已发展为⼀种新的数学⽅法――统计实验法，也就是著名的蒙特卡罗法.3.统计定义概率的古典定义和⼏何定义都要求在随机实验中基本事件发⽣的可能性相等，但⼈们发现在相同的条件下做⼤量重复试验，⼀个事件发⽣的次数和总的试验次数N之⽐，在试验次数N很⼤时，它的值将稳定在⼀个常数附近.N越⼤，这个⽐值“远离”这个常数的可能性越⼩，这个常数就称为这个事件的概率.这个定义与统计有密切的关系，它建⽴在频率稳定性的基础上，所以称为概率的统计定义.这种概率讨论的对象不再限于随机试验所有可能的结果为等可能的情形，因⽽更具⼀般性.1919年德国数学家冯·⽶塞斯在《概率论基础研究》⼀书中提出了此定义：在相同的条件下，做⼤量重复试验，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在⼀个固定数值的附近摆动，显⽰出⼀定的稳定性，把这个固定的数值定义为这⼀事件的概率.3.公理化定义概率的前三种定义属于“描述性”定义，在叙述中都⽤了“可能性”⼀词，⽽概率恰是关于“可能性”的概念，所以这些定义从理论上看是不严格的，有循环定义之嫌.由于缺乏严格的理论基础，常常被⼈找到⼀些可钻的空⼦，其中最为典型的要算1889年法国数学家贝特兰提出的概率悖论：在半径为1的圆上随机地取⼀条弦，问所取的弦其长超过圆内接等边三⾓形边长的概率是多少？这个提问者给出了三个不同的答案，产⽣的根本原因是三种解法所作的等可能假设是不同的，所对应的样本空间是不同的，它们是三个不同的随机试验. 因此，在样本点为⽆限的情况下，必须对样本空间及样本点作具体限定，概率的公理化定义由此应运⽽⽣.1900年，38岁的希尔伯特在世界数学家⼤会上提出了建⽴概率公理系统的问题，这就是著名的“希尔伯特的23个问题”中的第6个问题，从⽽引导了⼀批数学家投⼊这⽅⾯的⼯作.在概率公理化的研究道路上，苏联数学家柯尔莫哥洛夫的成绩最为显著，1933年他在《概率论基础》中，运⽤集合论和测度论表⽰概率论的⽅法赋予了概率论以严密性.当然理解这个定义，需要⼀定的预备知识，故此处不再赘述.公理化定义作为⼀个数学平台，让⼈们在此基础上进⾏演绎，得到系统的概率论知识体系.这个定义的产⽣是概率论发展史上的⼀座⾥程碑.总之，“概率”概念的建构，经历了古典概率、⼏何概率、统计定义再到公理化定义，体现了概率定义“从简单到复杂、从特殊到⼀般、从具体到抽象”的逐步变化，反映了⼈们对概率的认识所经历的过程.各种定义产⽣的过程，也体现了⼈类认识随机现象所⾛过的艰难曲折的道路，折射着概率发展的不同阶段和⽔平，渗透着丰富的数学化、模型化思想⽅法，蕴含了深刻的辩证哲理.（作者单位：江苏省⽆锡市新安中学）注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。

概率论思想的历史演变一、概述概率论，作为研究随机现象的数学学科，其思想的历史演变跨越了数千年，从古希腊和罗马时期的哲学思考，到中世纪文艺复兴时期的理论探索，再到19世纪的数学化进程，直至20和21世纪的科技应用，逐步形成了现代意义上的完整理论体系。

概率论的起源可以追溯到古希腊和罗马时期，当时哲学家们开始从哲学的角度探讨可能性和偶然性的问题。

例如，亚里士多德提出了两种判断事件可能性的方法：一是基于结论的推导，二是基于实验观测。

在罗马时期，概率理论被应用于实际工程中，如托勒密在巨大工程中应用概率理论进行估算。

进入中世纪，文艺复兴时期的哲学家们将概率的概念引入了哲学论点中，如但丁对可能事件发生概率的探讨，以及随机离散数组的建立。

这一时期，概率理论还发展到了骰子投掷和算术遗传学等领域。

18世纪，概率论的发展进入了一个新的阶段，罗伯特李和耶稣等学者提出了主观概率论和超确定性等思想，为研究不同可能性的情况提供了新的视角。

19世纪，概率论得到了更大的发展，统计学家和数学家如费马、贝尔、马克斯及高斯等人，将概率理论的概念分解为可能性、随机估计及测度论三个基本层次。

这一时期，概率论逐渐形成了完整的理论体系，并被广泛应用于各个领域。

进入20世纪后半叶，随着科技的飞速发展，概率论与统计学的结合越来越紧密，被广泛应用于模拟计算、逻辑思维等领域，实现了高效率的实证分析及预测性研究。

这使得概率论在解决实际问题中发挥了越来越重要的作用，成为了现代科学研究中不可或缺的一部分。

概率论思想的历史演变是一个漫长而不断深化的过程，从早期的哲学思考到现代的数学化、科技化应用，逐步形成了现代意义上的完整理论体系。

这一过程不仅展现了人类对于随机现象认识的不断深化，也体现了科学技术的发展对于概率论思想的推动和影响。

1. 概率论思想的起源和背景概率论，作为数学的一个分支，其思想的形成和演变跨越了数百年，与人类对随机现象的探索和理解紧密相连。

其起源可以追溯到古希腊和古罗马时期，当时机会主义盛行，但由于数字系统和科学思想的限制，概率论并未得到显著发展。

古典概型和几何概型的意义和主要区别在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。

几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。

一、古典概型和几何概型的意义（一）.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.1.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2.几何概型求事件A的概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍1. 古典概型的特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2. 古典概型求事件A的概率公式：P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。

三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模题组一：情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？情景4、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？说明：第一组题是古典概型，（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；（2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。