必4-1三角函数公式及习题类型归纳

1.任意角的三角函数一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边相同的角的集合}{|2,k k z ββπα=+∈ ，弧度制，弧度与角度的换算，弧长l r α=、扇形面积21122s lr r α==，二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是r =(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切xya =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。

三：同角三角函数的关系式与诱导公式：1. 平方关系：22sin cos 1αα+=2. 商数关系：sin tan cos ααα=3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。

4. 两角和与差公式 ：()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧⎪±=±⎪⎪±=⎨⎪±⎪±=⎪⎩5.二倍角公式：22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα⎧⎪=⎪=-=-=-⎨⎪⎪=-⎩余弦二倍角公式变形： 222cos1cos2,2sin 1cos2αααα=+=-2.三角函数图象和性质基础知识:1、三角函数图像和性质2、熟练求函数sin()y A x ωϕ=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作sin()y A x ωϕ=+简图：五点分别为：、 、 、 、 。

3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ϕ=⇒=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ϕωϕ=+⇒=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ωϕωϕ=+⇒=+4、求函数sin()y A x ωϕ=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。

专题四三角函数与解三角形4.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式基础篇考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式考向一任意角与弧度制1.(2022豫北名校大联考,6)密位制是度量角的一种方法,把一周角等分为6000份,每一份叫做1密位的角.在角的密位制中,单位可省去不写,采用四个数码表示角的大小,在百位数与十位数之间画一条短线,如7密位写成“0-07”,478密位写成“4-78”.如果一个半径为4的扇形,其圆心角用密位制表示为12-50,则该扇形的面积为() A.10π3 B.2πC.5π3D.5π6答案A2.(2021广西桂林十八中3月模拟,6)在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动,第12分钟末刚好转动一周,若点M则运动到第3分钟末时,动点M所在位置的坐标为()B.−12C.−D.−−答案C3.(2023届四川蓉城名校联盟入学联考,8)折扇是我国传统文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1),图2为其结构简化图,设扇面A,B间的圆弧长为l,AB间的弦长为d,圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角),则l、d和θ所满足的恒等关系为()图1图2A.2sin2=B.sin2=C.cos2=D.2cos2=答案A考向二任意角的三角函数1.(2020课标Ⅱ,2,5分)若α为第四象限角,则()A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0答案D2.(2021陕西榆林一模,3)如图,角α,β的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆O分别交于A,B两点,则O ·O =()A.cos(α-β)B.cos(α+β)C.sin(α-β)D.sin(α+β)答案A3.(2022河南洛阳统考(二),6)已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(cos15°+sin15°,cos15°-sin15°),则tanα=()A.2-3B.2+3D.3答案C4.(2022山西吕梁模拟,4)若点M sin2021π3,α的终边上,则cos2α=()A.2B.-2C.12D.−12答案C5.(2023届黑龙江省实验中学月考,13)已知点P(-2,y)是角θ终边上一点,且sinθ则y=.答案-4考向三同角三角函数的基本关系和诱导公式1.(2023届黑龙江牡丹江绥芬河高级中学月考,4)已知tanα=cos2−sin,则sinα=()B.12 D.14答案B2.(2022山西二模,3)若sin10°=a sin100°,则sin20°=()A.2+1 B.−2+1C.22+1D.−22+1答案C3.(2023届西南“三省三校”联考一,7)已知cos−=απ,则cos+() A.-13 B.13答案A4.(2022安徽芜湖3月模拟,6)已知函数f(n)+(n∈N*),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 021)=()A.2021B.2021+2C.2022+2D.20222答案B5.(2020浙江,13,6分)已知tanθ=2,则cos2θ=,tan−=.答案-35;13综合篇考法同角三角函数基本关系式的应用1.(2022陕西安康高新中学三模,7)已知tanθ=12,则sin3rsincos3rsinvos2=() A.6 B.16 C.12 D.2答案C2.(2022安徽安庆二模,5)已知cosθ-sinθ=2sin2θ,θ∈π,则sin−()A.-12B.−C.12D.−1答案A3.(2023届黑龙江齐齐哈尔八校联合体期中,6)已知角α满足2sin−=tanπ12cosα,则sin2α+2cos2α的值为() A.45 B.65 C.75 D.85答案B4.(2022兰州、张掖重点中学联考,8)已知θ为第二象限角,sinθ,cosθ是关于x的方程2x2+(3-1)x+m=0(m∈R)的两根,则sinθ-cosθ的值为()22C.3D.−3答案B5.(2022宁夏长庆高级中学月考一,17)已知函数y=sinθ+cosθ+2sinθcosθ.(1)设变量t=sinθ+cosθ,试用t表示y=f(t),并写出t的取值范围;(2)求函数y=f(t)的值域.解析(1)因为t=sinθ+cosθ(θ∈R),sin2θ+cos2θ=1,所以2sinθcosθ=t2-1,故f(t)=t2+t-1,t=sinθ+cosθ=2sin+[-2,2],故t的取值范围为[-2,2].(2)由(1)知y=f(t)=t2+t-1=2−54(t∈[-2,2]),由二次函数的性质可知,y=f(t)的最小值为f−=−54,又f(-2)=1-2,f(2)=1+2,所以y=f(t)的值域为−54,1+2.。

三角函数知识点及题型归纳三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

下面我们来详细归纳一下三角函数的知识点和常见题型。

一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以分为正角、负角和零角。

按旋转方向，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，没有旋转的角为零角。

2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

弧度与角度的换算公式为：180°＝π 弧度。

3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它与原点的距离为 r(r ＝√（x²＋ y²) ＞ 0)，则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r，cosα ＝ x/r，tanα ＝ y/x（x ≠ 0）。

4、三角函数线有正弦线、余弦线、正切线，它们分别是角α的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标、纵坐标与横坐标的比值。

二、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系：tanα ＝sinα/cosα三、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

例如：sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。

四、三角函数的图象和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图象：是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z），对称中心为(kπ, 0)（k∈Z）。

性质：在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。

2、余弦函数 y ＝ cos x图象：也是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ（k∈Z），对称中心为(π/2 ＋kπ, 0)（k∈Z）。

性质：在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。

三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。

三角函数的诱导公式(一)【知识梳理】1. 诱导公式⑴角n+ a与角a的终边关于原点对称. 如图所示.10丿H(2)公式：sin( n+ a = —sin acos( n+ a) =—cos_ a.tan( n+ a = tan_ a2. 诱导公式三(1)角一a与角a的终边关于X轴对称. 如图所示.彳(2)公式：sin( —a = —sin _aCOs(— a) = COs_ atan(— a = —tan_ a3. 诱导公式四(1)角n— a与角a的终边关于y轴对称.如图所示.(2)公式：sin( n— a = sin __ acos( n— a = 一COS_a tan( n— a = —tan_ a.【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】 求下列三角函数值:。

o 119 n⑴sin( — 1 200 °; (2)tan 945 ; (3)cos_^.［解］(1)si n( — 1 200 )=— sin 1 200 =—°si n(3 x 360 牛 120 ) =— sin 120 =— sin(180 — 60 )3=—sin 60 =——; 2(2)tan 945 =tan(2 x 360 °+ 225 °= tan 225 = tan( 180 4 45 °)= tan 45 = 1;【类题通法】【对点训练】求 sin 585 cos 1 290 4 cos( — 30°)sin 210 4 tan 135 的值.解：sin 585 °s 1 290 C cos(— 30°)sin 210 ° tan 135 = sin(360 ° 225°)cos(3x 360° 4 210) 4 cos 30 gin 210 半 tan(180 —45 ° = sin 225 c6s 210 半 cos 30 s °n 210 — tan 45 = sin( 180 半 45 °)cos(180 4 30 °)4 cos 30 sin(180 4 30 °— tan 45 =sin 45 cbs 30 — cos 30 s i n 30 — tan 45 = 返 x ©_ ?/3x 1—1 乎-也-42 2 2 2 4题型二、化简求值问题cos — a tan 7 n4 asin n — a(2)化简曲:豊4 " * "—1需°cos — 180 — a sin — a — 180 (3)cos 譽 =cos 20 n — n = cos 6 6n =cos ：= 6 【例2】 (1)化简:cos — a tan 7 n4 a 解析］sin n— a cos d an n4 asin acos a tan asin a心=1sin a［答案］1•••a+ 125°= 180°+ ( a — 55°),sin 4X 360 °+ a c os 3 x 360 °— a sin a c os — a (2)［解］原式=—— cos 180 + a ［ — sin 180 + a ］ COS a = =—1. —cos a sin a — COs a 【类题通法】 利用诱导公式一〜四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的;(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变;(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切. 化简： tan 2 n — 0 sin 2 n — 0 cos 6 n —tan — 0s in — 0cos — 0—cos 0sin n+ 0 tan Osin 0cos 0cos 0sin 0 =tan 0 题型三、给角(或式)求值冋题【例3】 1 (1)已知 sin 3= 3, cos(a+ 3=— 1,贝U sin( a+ 2 3)的值为( ) 3 A . 1 B . — 11 Ci 1D 「11⑵已知cos( a — 55 °)=— 3，且a 为第四象限角，求 sin( a+ 125°)的值.(1)［解析］ **cos( a+ 3) = — 1 ,• '•a+ 3= T H- 2k n, k , 1 •'sin( a+ 2 3) = sin ［(a+ 3］ = sin( n+ 3 = — sin 3= — 3.3［答案］D(2)［解］・.cos( a — 55 °)=— ］0,且a 是第四象限角.• a — 55°是第三象限角.sin( a — 55 °)= — i ： 1 — COS ? a — 55 =— 2.23【对点训练】解：原式=••sin( a- 125° = sin[180 — (a — 55°)] = — sin( a — 55°)=警.【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间 的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.【对点训练】1 、sin( n+ a=— 3,求 cos(5n+ a 的值. 3由诱导公式得，sin( n- a = — sin a,当a 是第一象限角时，cos a= - ；1 — Sin 2 a=彳^2 2A /2 此时，cos(5 n — %)= cos( n+ a = —cos a=— 3 . 3当 a 是第二象限角时，cos a=— • ：1— sin 2 a=— ^^2 ,2占 此时，cos(5 n — %)= cos( n+ a = — cos a= 3 .3 【练习反馈】1.如图所示，角0的终边与单位圆交于点 P ，晋，则cos(n — 的值为(B . — -5 52*5D. 50-五—5，送•'cos( n — ® = — cos 0= 5 .已知 解: 所以sin a= 3，所以a 是第一象限或第二象限角.解析: 选 C 行=1 ,「.cos答案：2 — 2n5.已知 cos 6"coS a+于的值.n —cos 6— a 2. 4 _ 已知 sin( n+%)= 5，且 a 是第四象限角，贝U COS （ a — 2冗）的值是（ ） 3 B.5D.5 4 解析：选 B sin a =-4, 又a 是第四象限角, • 'COS ( a — 2 n )= COS a= \ -1- Sin 2 a= 5. sin a — 3 n + COS n — a 3.设 tan(5 n+ a) = m ,贝U sin — a — COS n+ a 解析： '•ta n(5n+ a = tan a= m , —sin a — cos a — tan a — 1 — m — 1 m + 1 • • •原式= = = = —sin a+ cos a — tan a+ 1 — m + 1 m — 1 答案:cos — 585 ° sin 495 + sin — 570的值是解析: 原式= cos 360 °+ 225 ° sin 360 °+ 135 ° — sin 210 °+ 360 cos 225 cos 180 °+ 45 ° sin 135 — sin 210 °sin 180 °— 45° — sin 180 ° + 30° —cos 45sin 45 + sin 30 —2 .2 1 + _ 2 2 2 — 2.解：cos n+ =— cos n —6 5 n a+E。

高中数学必修四——三角函数（知识点总结及经典例题）1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：siny x=cosy x=tany x=图象图象定义域定义域 R R,2x x k kppìü¹+ÎZíýîþ值域值域 []1,1-[]1,1-R最值最值当22x kpp=+()kÎZ时，max1y=；当()22x k kpp=-ÎZ时，min1y=-．当()2x k kp=ÎZ时，时，max1y=；当()2x k kp p=+ÎZ时，min1y=-．既无最大值也无最小值既无最大值也无最小值 周期性周期性 2p2p p奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数单调性单调性在2,222k kp pp péù-+êúëû()kÎZ上是增函数；在上是增函数；在32,222k kp pp péù++êúëû()kÎZ上是减函数．上是减函数．在[]()2,2k k kp p p-ÎZ上是增函数；在[]2,2k kp p p+()kÎZ上是减函数．上是减函数．在,22k kp pp pæö-+ç÷èø()kÎZ上是增函数．上是增函数． 对称性对称性对称中心()(),0k kpÎZ对称轴对称轴()2x k kpp=+ÎZ对称中心对称中心(),02k kppæö+ÎZç÷èø对称轴()x k kp=ÎZ对称中心对称中心(),02kkpæöÎZç÷èø无对称轴无对称轴 函数性质2.正、余弦定理：在ABC D 中有:①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C ===（R 为ABC D 外接圆半径）外接圆半径）2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =ìï=íï=î Þ s i n 2s i n 2s i n 2a A R b B R c C R ì=ïïï=íïï=î注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABCSabs Cac Bbc AD ===③余弦定理：③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ì=+-ï=+-íï=+-îÞ 222222222c o s 2c o s 2c o s 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ì+-=ïï+-ï=íï+-=ïî3.三角函数恒等变形的基本策略。

第一章《三角函数》期末复习教案一、网络构建二、要点归纳1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y . (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x . (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0)． 2．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z )；对称中心：(k π，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π(k ∈Z )；对称中心：⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称中心：⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )， 无对称轴奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性最小正周期：2π 最小正周期：2π 最小正周期：π 单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上单调递增；在[－π＋2k π，2k π] (k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π]在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )上单调递增在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上单调递减(k ∈Z )上单调递减最值当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值题型一 三角函数的化简与求值例1 已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值．考点 综合运用诱导公式化简、求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 解 (1)f (α)＝sin α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f ⎝⎛⎭⎫－47π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎫－47π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋π4 cos π4·sin π4＝22×22＝12.反思感悟 解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α，注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. 跟踪训练1 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值； (2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 (1)由sin α＋cos α＝15，得1＋2sin αcos α＝125，所以sin αcos α＝－1225，因为α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0， 所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2 ＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α ＝⎝⎛⎭⎫152＋4825＝75， 故得sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α， 又tan α＝－43，所以1cos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－257. 题型二 三角函数的图象与性质例2 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦、余弦函数的最大(小)值 解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0， 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.反思感悟 研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性、最值问题，把ωx ＋φ看作一个整体来解决．跟踪训练2 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，且A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B (π，－1)，则φ的值为 ．考点 求三角函数解析式 题点 根据三角函数图象求解析式 答案 －5π6解析 根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象，且A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B (π，－1)，可得从点A 到点B 正好经过了半个周期，即12·2πω＝π－π2，所以ω＝2.再把点A ，B 的坐标代入可得2sin ⎝⎛⎭⎫2×π2＋φ＝－2sin φ＝1,2sin(2×π＋φ)＝2sin φ＝－1， 所以sin φ＝－12，所以φ＝2k π－π6，或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .又|φ|<π，所以φ＝－π6或－5π6.当φ＝－π6时不合题意，所以φ＝－5π6.题型三 三角函数的最值或值域命题角度1 可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 型例3 求函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋3，x ∈[0，π]的最大值和最小值． 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦、余弦函数的最大(小)值 解 ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤1.当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，即x ＝π3时，y 取得最小值1. 当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，即x ＝π时，y 取得最大值4. ∴函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋3，x ∈[0，π]的最大值为4，最小值为1. 反思感悟 利用y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响． 跟踪训练3 (2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.15考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦、余弦函数的最大(小)值 答案 A解析 ∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65.故选A.命题角度2 可化为二次函数型例4 函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为 ． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 答案 [－4,4]解析 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]， ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．反思感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．跟踪训练4 (2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是 ． 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 余弦函数的最大(小)值 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 题型四 数形结合思想在三角函数中的应用例5 如果关于x 的方程sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有两个实数根，求实数a 的取值范围．考点 三角函数中的数学思想 题点 三角函数中的数形结合思想 解 sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0， 即(sin x －2)(sin x －a )＝0. ∵sin x －2≠0，∴sin x ＝a ，∴此题转化为求在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上，sin x ＝a 有两个实数根时a 的取值范围． 由y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6与y ＝a 的图象(图略)知12≤a <1. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.反思感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想． 跟踪训练5 方程lg|x |＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的实数根的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 考点 三角函数的数学思想 题点 三角函数中的数形结合思想 答案 C解析 由⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1得－1≤lg|x |≤1，即110≤|x |≤10， 方程lg|x |＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3实根的个数就是函数y ＝lg|x |与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象公共点的个数， 当x >0时，两函数图象如图所示，两图象有3个公共点，同理，当x <0时，两图象也有3个公共点， 故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根， 故选C.1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 答案 A解析 从图象可得34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4， ∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.又∵f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝2， 且－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.3．函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A ．－π4B ．0 C.π4 D.3π4考点 三角函数图象的平移、伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C解析 平移后的图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ. 因为此函数为偶函数，中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网() 所以π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )， 所以φ的一个可能值为π4. 4．y ＝2sin x sin x ＋2的最小值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦函数的最大(小)值答案 B解析 由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2， 当sin x ＝－1时，y ＝2sin x sin x ＋2取得最小值－2. 5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ，a 为常数． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值． 考点 正弦、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦、余弦函数性质的综合应用解 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.。

第一章 三角函数 知识点详列一、角的概念及其推广 正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角 零角：射线不做任何旋转形成的角 负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切 记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一 象所在象限的判断 例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

三角函数公式汇总1. 扇形弧长和面积公式 180rr l απα=⋅'=弧360212r lr s απ==2. 角度与弧度的转换παααπαααππ180)(180)(180180⨯'=−−→−'⨯='−−→−⨯⨯（角度）弧度（弧度）角度3. 终边相同的角(1)βπαβαβα+=+=k k 2360,或是终边相同的角，则 . (2)第一限象角: 第二限象角: 第三限象角: 第四限象角: (3) 坐标轴上的角i) 终边在x 轴上的角:x 正半轴{}{}Z k k x x Z k k x x ∈=∈=,2,360π或x 负半轴{}{}Z k k x x Z k k x x ∈+=∈+=,2,180360ππ或x 轴{}{}Z k k x x Z k k x x ∈=∈=,,180π或ii) 终边在y 轴上的角y 正半轴{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=∈+=Z k k x x Z k k x x ,22,90360ππ或y 负半轴{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=∈+=Z k k x x Z k k x x ,232,270360ππ或y 轴{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=∈+=Z k k x x Z k k x x ,2,90180ππ或4. 三角函数的定义设角 终边上异于原点的任意一点 , 记 , 如图, 则三角函数定义如下:显然, 由三角函数的定义知, 各种三角函数值在平面直角坐标系中符号如下:特殊角的三角函数值表(2) 平方关系 1cos sin 22=+αα(3) αααcos sin tan =两角和差公式:βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅±=±5. 诱导公式（奇变偶不变符号看限象）6. 设 是任意弧度制的角, 则必存在 满足: , 即任何角都具有可转换为该形式。