古典概率与几何概率(教师版.pdf

【答案】 C 【解析】由题意可作出维恩图如图所示：
所以该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人， 则该学校阅读过《西游记》的学生人数与
该学校学生总数比值的估计值为：70 0.7．故选C． 100
7.(2018西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析,利用随机 数表法抽取样本时,先将60个同学按01,02,03,…,60进行编号, 然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个 个体是 ( )
(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4种,
故所求概率P 4 2. 10 5
3.(2018新课标Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为
0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支
第1节 随机事件的概率（古典概型、简单的几何概型、抽样方法）
付的概率为 ( ) 第三组取的数为(10号)36,第四组取的数为(14号)43,
A .2 3
B .3 5
C .2 5
D .1 5
【答案】 B 【解析】由题意，通过列举可知从这5只兔子中随机取出3只的 所有情况数为10， 恰有2只测量过该指标的所有情况数为6．
所以P 6 3．故选B. 10 5
9.(2019新课标Ⅲ卷,文)两位男同学和两位女同学随机排成一列，
则两位女同学相邻的概率是
表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个个体是 ( )
4.取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么所得两
段绳子的长度都不小于2m的概率是
()
A .1 5
B .1 3
C .1 4
D .1 2
【 答 案 】 A 【 解 析 】 记 两 段 绳 子 的 长 度 都 不 小 于 2m为 事 件 A, 则 只 能 在 中 间 1m的 绳 子 上 剪 断 ,所 得 两 段 绳 子 的 长 度 才 都 不 小 于 2m,

N C C C 30!/ 10! 10! 10!
10 30 10 20 10 10
9 9 P(A) 3! C 27 C18 C99 /N 50/ 203
1 7 10 10 P(B) C 3 C 27 C 20 C10 /N
3 C / C
7 27
10 30
a( a b 1 )! a P ( Ak ) ( a b )! ab
解法2 1.把a只黑球和b只白球都看着没有区别.
2. 把a+b只球摸出来依次排在一直线的a+b个位置 上.若把a只黑球的位置固定下来,则其它位置必然 a C 为白球,则黑球在a+b个位置中的放法共有 a b , 3.有利于A的场合是在第k个位置上固定一个黑球, 其余a - 1个黑球被放到其余a+b-1个位置上,共有 a 1 Ca 种放法. 因此 b 1
k n k CM CN M P ， n CN
0 k minn , M n M
超几何分布
例11 30名毕业生中有3名运动员，将他们平均分配 到甲、乙、丙三个城市去工作，求： （1）每市都有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个市里的概率。 解 设A={每市有一名运动员}; B={3名运动员集中在一个市里}
P (e1 ) P (e 2 ) P (e n ) nP (e1 )
P ( e1 ) P ( e 2 ) P ( e n ) 1 / n
因此, 若事件A e i1 , e i2 , , e ik 包含了k个基本事件, 则 事件A发生的概率 P ( A) k / n
使 A 发生的基本事件是第一次抽到合格品 , 且第二次也抽到合格品, 共有mA=8×8=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100 同理B包含的基本事件数mB=2×2=4.所以 P(B)= mB /n=4/100 由于C=A+B,且AB=,所以

P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
三.几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
(1)
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在 何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小) 值是多少？ 解 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A )
i j k
„ ( 1)
n1
P ( A1 A2 „ An )
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能 答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”

54
P( A)
C52 C82

2! 87
5 14
2!
令C=“取到两个白球”，由于有
B A C， AC
故 P(B) P(A C) P(A) P(C)
5 C32 14 C82
53 14 28
13 28
例3某校一年级新生共1000人,设每人的 生日是一年中的任何一天的可能性相同, 问至少有一人的生日是元旦这一天的概 率是多少？(一年以365天计).
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
C: 0.0268 G: 0.0187 K: 0.0060 O: 0.0776 S: 0.0634 W: 0.0214
D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
定义 (统计概率 )
若随着试验次数的增大，事件A
发生的频率在某个常数p 附近摆动， 并且逐渐稳定于p,则称该常数为事
件A的概率 。
在实际应用中，采取用频率来近似代替概率， P(A) fn (A).
f (S) 1 n
非负性 规范性
事件 A, B互斥，则
fn ( A B) fn ( A) fn (B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202

推广1. n个元素分成 ( r1 rk n) k组，每组有 rk 个元素， n! rk r1 r2 分法有 C n 种 C n r1 C rk r1 ! rk !
2. n个元素有2类，每类分别有m , ( n m )个，每
r1 r2 类分别取r1 , r2个， 取法有C m Cn m种
3. n个元素有k类，每类分别有n1 ,, nk 个，每类
rk r1 r2 分别取r1 , , rk 个， 取法有C n C C n2 nk 种 1
例1 袋中有外形相同的5个白球，3个黑球，一次任取两个， 求取出两个都是白球的概率
解 设A {取出两个都是白球}
2 n C8 2 0 m C5 C3
基本计数原理
3.基本计数原理： (1) 加法原理 设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 则完成这件事总共有 第二种方式有n2种方法, …, n1 + n2 + … + nm 种方法 . 第m种方式有nm种方法, 无论通过哪种方法都可以完成这件事，
(2) 乘法原理 设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, n
6 A6 例5 6人排成一排，有多少种排法? 6! 若某人必须排在排尾 ( 排除法 ) 5! (捆绑法 ) 5! 2! 若甲乙必须在一起 2 若甲乙必须不在一起 ( 插空法 ) 4! A5 6! 若甲乙必须从左到右排 ( 去序法 ) 2! （去序） 5.组合： 从n个不同元素取 r 个组成一组 （ 从n个不同元素一次取 r 个） r A n! r n 不同取法有 C n 种 r! r !( n r )! (相当于将n个元素分成两组 )
解 设Ak {抽到k件一等品 } k 0,1,2 2 2 k k 59 n C100 C 40 m C 60 1 1 0 2 2 165 C C C 60 C 40 C 26 60 40 16 60 P ( A ) P ( A ) P ( A0 ) 1 2 2 2 2 165 33 C100 C100 C100 例3 若上例改为依次抽取2件,求抽到2件等级相同的产品的概率 排列 解 设A {2件等级相同} (1)不放回( 不重复抽样) 5 2 2 2 2 n P100 100 99 m A60 A30 A10 P ( A) 11 ( 2)有放回(重复抽样) n 1002 m 602 302 102

所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放

19
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率

P1
Cma Cbn Cmn
ab
(2)抽取与次序有关。每次取一只，取后不放回，一共取k次，每种
取法即是从 a b 个不同元素中任取k 个不同元素的一个排列，每种
取法是一个基本事件，共有Akab个基本事件，且由于对称性知每个
基本事件发生的可能性相同。前 k 1 次都取到黑球，从b 只黑球
中任取 k 1只的排法种数，有Abk1种，第k 次抽取的白球可为a 只白
件，可能的抽法有CkM种，又要从 N M 件正品中抽取 n k 件，同
理有
Cnk N M
种取法，从而随机地抽取n
件中恰好有k
件次品的取法共
有CkM CnNkM 种，因此所求概率为
P
A
C C k nk M NM CNn
k
0，1，
，min Μ，N
例1.7 一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球。从袋中 取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式: (a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再任取一 球。这种取球方式叫做有放回抽取。 (b)第一次取一球后不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。 这种取球方式叫做不放回抽取。
P A k 5 0.5
n 10
例1.6 某批产品共N 件，其中有M 件次品，无放回任取 nn N 件产品，问其中恰好有 kk n 件次品的概率是多少?
解
将从N 件产品中任意抽取 n 件产品的所有可能的结果取作样本
空间，总的抽法有 CnN 种。以A 记抽取的 n 件产品中恰有 k 件次品 的事件，计算A 所包含的样本点数时，先考虑从M件次品中抽取k
(1)样本空间 Ω 可表示为一个几何区域，这个区域大小可以度 量(如可计算长度、面积、体积等)，并把 Ω 的度量记作m (Ω )。 (2)向区域 Ω 内任意投掷一个点，落在区域内任一个点处都是 “等可能的”，或者设落在 Ω 中的区域 A 内的可能性与 A 的 度量m (A)成正比，而与 A 的位置和形状无关。

定义： 设随机试验E的样本空间为 定义： 设随机试验 的样本空间为 = {ω1 , ω2 ,L , ωn } n为有限正整数，且每个基本事件 ωi 发生的可能性 为有限正整数， 为有限正整数 相等（ ），若 下 相等（即 P{ω1} = P{ω2} =L= P{ωn} =1/ n, ），若E下 的事件A是由 个不同的基本事件组成，即 的事件 是由m个不同的基本事件组成， 是由 个不同的基本事件组成
2n n! P= (2n)!
一袋中装有N-1只黑球及 只白球 每次从袋中 只黑球及1只白球 例1.4.7 一袋中装有 只黑球及 只白球,每次从袋中 随机地摸出一球,并换入一只黑球 这样继续下去 随机地摸出一球 并换入一只黑球.这样继续下去 问第 并换入一只黑球 这样继续下去,问第 k次摸到黑球的概率是多少 次摸到黑球的概率是多少? 次摸到黑球的概率是多少 表示“ 次摸到黑球” A 解 A表示“第k次摸到黑球”，则 表示 次摸到黑球 到 表示“ 表示“第k次摸 次摸
n! C m! m n! C m! Cn+1 P( A) = = m (n + m)! Cn+m
m n+ n+1 m n+1
若这n+m个孩子不是排成一直线 而是排在一个圆圈 个孩子不是排成一直线,而是排在一个圆圈 若这 个孩子不是排成一直线 则事件A有概率是多少 上,则事件 有概率是多少 则事件 有概率是多少?
P( A)
(N 1) P( A) = k N
k 1
白球” 等价于“ . 次均摸到黑球,第 次摸到白球” 白球”，先求 “前k-1次均摸到黑球 第k次摸到白球” A 等价于 次均摸到黑球 次摸到白球
1 1 = 1 N
k 1
1 N