古典概率模型和几何概率模型共34页

第一章 §1.3 古典概型和几何概型
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§1.3 古典概率和几何概型
1.3.1 古典概型
1.3.2 几何概型
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
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1.3.1 古典概型
1. 古典概型 若试验E具有以下两个特征： (1) 所有可能的试验结果(基本事件)为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性相同， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）。 ２. 古典概型中事件概率的计算公式 设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
10 1 P ( A) 40 4
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
例2 在110这10个自然数中任取一数，求： （1）取到的数能被2或3整除的概率，
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（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。 解: 设 A =“取到的数能被2整除”; B =“取到的数能被3整除” 1 3 1 P ( A) P(B) P ( AB ) 2 10 10 故 (1) P ( A
(2) P( A B) 1 P( A B)
7 B) P( A) P( B) P ( AB) 10
3 10
2 (3) P ( A B) P ( A) P ( AB) 5
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
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例3 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间的任意 一间去住（n≤N），求下列事件的概率． （1）指定的n个房间各住1人； （2）恰好有n个房间，其中各住1人 解 因为每一个人有N个房间可供选择，所以n个人住在N个房 间的方式共有Nn种，它们是等可能的． （1）指定的n个房间各住1人，其可能总数为n的全排列n!，于 是，所求概率为 P n! 1 Nn n （2）n个房间可以在N个房间中任意选取，其选法总数有 C N 种， 对每一选定的n个房间，按（1）的讨论可知又有n!种分配方式， n 所以恰有n个房间其中各住1人的住法数为 C N n!， 故所求概率 n CN n! 为 P2 Nn 这个例子常称为“分房问题”．

设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 N 种, n
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
D N D 种, k n k D N D N . 于是所求的概率为 p k n k n
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
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2005
. (1) 设事件 A1 为“恰有一 练习1 将一枚硬币抛掷三次 次出现正面” , 求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 “至少有一 次出现正面” , 求 P ( A2 ).
解 (1) 设 H 为出现正面, T 为出现反面.
则 S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
S {HH, HT, TT}
他计算得
P( A) 1 3
3
这不是 等可能概型！
2005
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
袋中有 a 只白球， b只红球. 从袋中任取 n 只球， 求取到 k ( min(n, a) ) 只白球的概率. 从 a b 只球中任取 n 只，样本点总数为
nk k C C 取到 k 只白球的有利场合数为 a b
概率非常小的事件，称为小概率事件
小概率事件在大量重复试验中几乎是必然 发生的.
下面的例题是利用统计推断原理对某种假设作
出判断（接受或拒绝），这在数理统计的假设检验 中是非常有用的。
例：某接待站在某一周内接待了12次来访者,已知
所有这些来访都是在星期二与星期四进行的,问能否由此 推断该接待站的接待时间是有规定的? 〖解〗若接待时间没有规定,且来 抽象:模型化 人=“球”

19世纪法国著名数学家拉普拉斯说：“对于生活中的大 部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几 乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分 我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推 法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上。 因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……”
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题型一 古典概型问题
设计游戏1：
一个不透明的箱子中有6个除了颜色不同无其他区别的小球， 其中4个蓝球，2位红球。
试设计一时训练 1：
9.在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于 1 的概率为（ ） 2
A、 1 B、 1 C、 3 D、 7
题型三 古典概型与几何概型的综合问题
已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R. (1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数 中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任 取的一个数，求已知方程有实数根的概率.
第 36 练 概率的两类模型
火眼真睛（区分古典概型和几何概型）
1、古典概型（classical probability model)
一次试验中可能出现的每一 个基本结果称为基本事件
(elementary event).
（1）所有基本事件只有有限个； （2）每个基本事件的发生都是等可能的。
满足上面两个条件的随机实验的概率模 型称为古典概型
2、古典概型的概率计算公式
P( A) m n
其中n是试验中所有基本事件的个数，m是事件A 包含的基本事件的个数（m n).
利用几何概型求概率:
1.几何概型适用条件： (1)基本事件有无限多个（无限性）； (2)事件都是等可能发生的（等可能性）. 2.适用情况：

N C C C 30!/ 10! 10! 10!
10 30 10 20 10 10
9 9 P(A) 3! C 27 C18 C99 /N 50/ 203
1 7 10 10 P(B) C 3 C 27 C 20 C10 /N
3 C / C
7 27
10 30
a( a b 1 )! a P ( Ak ) ( a b )! ab
解法2 1.把a只黑球和b只白球都看着没有区别.
2. 把a+b只球摸出来依次排在一直线的a+b个位置 上.若把a只黑球的位置固定下来,则其它位置必然 a C 为白球,则黑球在a+b个位置中的放法共有 a b , 3.有利于A的场合是在第k个位置上固定一个黑球, 其余a - 1个黑球被放到其余a+b-1个位置上,共有 a 1 Ca 种放法. 因此 b 1
k n k CM CN M P ， n CN
0 k minn , M n M
超几何分布
例11 30名毕业生中有3名运动员，将他们平均分配 到甲、乙、丙三个城市去工作，求： （1）每市都有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个市里的概率。 解 设A={每市有一名运动员}; B={3名运动员集中在一个市里}
P (e1 ) P (e 2 ) P (e n ) nP (e1 )
P ( e1 ) P ( e 2 ) P ( e n ) 1 / n
因此, 若事件A e i1 , e i2 , , e ik 包含了k个基本事件, 则 事件A发生的概率 P ( A) k / n
使 A 发生的基本事件是第一次抽到合格品 , 且第二次也抽到合格品, 共有mA=8×8=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100 同理B包含的基本事件数mB=2×2=4.所以 P(B)= mB /n=4/100 由于C=A+B,且AB=,所以

所以
P(e ) 1 ,i 1,2,,n
i
n
若事件 A 包含 k 个基本事件 ,即
A ei1 ei2 eik
则有
P(A) P ei1 P ei2 P eik
k n
A包含的基本事件数 S中的基本事件总数
例1 将一枚硬币抛掷三次.
i 设事件 A1 为 "恰有一次出现正面 " ,求 PA1 . ii 设事件 A2 为 "至少有一次出现正面 " ,求 PA2 .
因为抽取时这些球是完
10个球中的任一个被取 出的机会都是1/10
全平等的，我们没有理由认
为10个球中的某一个会比另
一个更容易取得 . 也就是说，
10个球中的任一个被取出的
机会是相等的，均为1/10.
85 1946 7 2 3 10
二、古典概型中事件概率的计算
记 A={摸到2号球}
2
P(A)=?
P(A)=1/10
2
1 7
98345106
定义 1 若随机试验满足下述两个条件 (1) 它的样本空间只有有限多个样本点
(2) 每个样本点出现的可能性相同 称这种试验为等可能随机试验或古典概型.
记 B={摸到红球} , P(B)=6/10
静态
这里实际上是从“比例” 转化为“概率” 动态
当我们要求“摸到红球”的概 率时，只要找出它在静态时相应的 比例.
Ca1 Ca1b
a
a b
（2）作不放回抽样
k个人各人取一只球，每种取法是一个基本事件.
由乘法原理知，k个人各人取一只球有
(a
b)(a
b
1)
(a
b
k
1)

54
P( A)
C52 C82

2! 87
5 14
2!
令C=“取到两个白球”，由于有
B A C， AC
故 P(B) P(A C) P(A) P(C)
5 C32 14 C82
53 14 28
13 28
例3某校一年级新生共1000人,设每人的 生日是一年中的任何一天的可能性相同, 问至少有一人的生日是元旦这一天的概 率是多少？(一年以365天计).
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
C: 0.0268 G: 0.0187 K: 0.0060 O: 0.0776 S: 0.0634 W: 0.0214
D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
定义 (统计概率 )
若随着试验次数的增大，事件A
发生的频率在某个常数p 附近摆动， 并且逐渐稳定于p,则称该常数为事
件A的概率 。
在实际应用中，采取用频率来近似代替概率， P(A) fn (A).
f (S) 1 n
非负性 规范性
事件 A, B互斥，则
fn ( A B) fn ( A) fn (B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202

所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放

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概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
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概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
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02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
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02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
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02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
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02 古典概率

解题心得:1.由向量的数量积公式,得出两向量夹角的余弦值的表 达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n和 m>n对应的事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n 组成的点的坐标数.
2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此 得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了.
中任取两个元素a,b,且a·b≠0,则方程
双曲线的概率为
.
������2 ������2
+
������������22=1表示焦点在x轴上的
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5 知识方法 易错易混
(2)(2015江西南昌一模)将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D
4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中a没有放入A中的概
率是
.
关闭
将四封不同的信随机放入 4 个不同的信封中,每个信封至少有一封
信的放法有A44=24 种,其中信 a 放入 A 中的结果有A33=6 种,故“信 a
;a⊥b的
概率为
.
关闭
由题意,得(x,y)所有的基本事件共有C31 ·C31=9 个.
设“a∥b”为事件 A,则 xy=-3.事件 A 包含的基本事件有(-1,3),故 a∥b
的概率为 P(A)=1;
9
设“a⊥b”为事件 B,则 y=3x.事件 B 包含的基本事件有(1,3),(3,9),故 a
⊥1 b
.
关闭
设圆的半径为 R,由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,其直角
边长为√2R,则所求事件的概率为
1
P=������������阴 圆

定义： 设随机试验E的样本空间为 定义： 设随机试验 的样本空间为 = {ω1 , ω2 ,L , ωn } n为有限正整数，且每个基本事件 ωi 发生的可能性 为有限正整数， 为有限正整数 相等（ ），若 下 相等（即 P{ω1} = P{ω2} =L= P{ωn} =1/ n, ），若E下 的事件A是由 个不同的基本事件组成，即 的事件 是由m个不同的基本事件组成， 是由 个不同的基本事件组成
2n n! P= (2n)!
一袋中装有N-1只黑球及 只白球 每次从袋中 只黑球及1只白球 例1.4.7 一袋中装有 只黑球及 只白球,每次从袋中 随机地摸出一球,并换入一只黑球 这样继续下去 随机地摸出一球 并换入一只黑球.这样继续下去 问第 并换入一只黑球 这样继续下去,问第 k次摸到黑球的概率是多少 次摸到黑球的概率是多少? 次摸到黑球的概率是多少 表示“ 次摸到黑球” A 解 A表示“第k次摸到黑球”，则 表示 次摸到黑球 到 表示“ 表示“第k次摸 次摸
n! C m! m n! C m! Cn+1 P( A) = = m (n + m)! Cn+m
m n+ n+1 m n+1
若这n+m个孩子不是排成一直线 而是排在一个圆圈 个孩子不是排成一直线,而是排在一个圆圈 若这 个孩子不是排成一直线 则事件A有概率是多少 上,则事件 有概率是多少 则事件 有概率是多少?
P( A)
(N 1) P( A) = k N
k 1
白球” 等价于“ . 次均摸到黑球,第 次摸到白球” 白球”，先求 “前k-1次均摸到黑球 第k次摸到白球” A 等价于 次均摸到黑球 次摸到白球
1 1 = 1 N
k 1
1 N