高考数学复习反函数

反函数的八个性质及应用浙江周宇美反函数是函数一章中的重要内容，在历年的高考数学试题和各地的模拟试题中与反函数有关的问题频频出现，且大多是小巧灵活的客观性试题．许多学生在解答这些问题时小题大作，耗时费力，隐含潜在失分的危险．为便于同学们复习、巩固、解决好这类问题，下面给出由反函数的概念得到的几个性质，再举例分类解析，供参考．一、反函数的八个性质⑴原象与象的唯一互对性设函数f(x)存在反函数1f-(x)，若函数f(x)将定义域A中的元素a映射成值域为C中的元素b，则它的反函数f－1(x)恰好将值域C中的元素bf-(b)＝a．唯一还原成A中的元素a，即f(a)＝b⇔1⑵定义域与值域的互换性f-(x)的定义域若函数f(x)的定义域为A，值域为C，则它的反函数1为C，值域为A，即反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域⑶图象的对称性在同一直角坐标系中，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x 对称，反之亦然．⑷奇偶性f-(x)(x∈C)奇函数y＝f(x)(x∈A)若存在反函数，则它的反函数y＝1也是奇函数．定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数．⑸单调性若函数y ＝f (x )(x ∈A )是单调函数，则它的反函数y ＝1f -(x )(x ∈C )也是单调函数，且它们的单调性相同．⑹ 对应法则互逆性即有①1f -[f (x )]＝x ，x ∈A ，A 是f (x )的定义域；②f [1f -(x )]＝x ，x ∈C ，C 是f (x )的值域．⑺ 交点性质函数y ＝f (x )与其反函数y ＝1f -(x )的图象交点，或者在直线y ＝x 上；或者关于直线y ＝x 对称．当函数y ＝f (x )是单调增函数，则函数y ＝f (x )与它的反函数y ＝1f -(x )的图象的交点必定在直线y ＝x 上．⑻ 自反函数性质①函数y ＝f (x )为自反函数的充要条件是f [f (x )]＝x ．②函数y ＝f (x )为自反函数的充要条件是它自身的图象关于直线y ＝x 对称．二、性质的应用举例例1 函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数（ ） (A) ),0(,11+∞∈+-=x e e y x x (B) ),0(,11+∞∈-+=x e e y x x (C) )0,(,11-∞∈+-=x e e y x x (D) )0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 解析：本题无需利用求反函数的三步曲：反解——互换——表定义域，只要利用互为反函数的定义域和值域互换性即可．由x ∈(1，＋∞)，得y ＝ln 11x x +-＝ln(1＋21x -)≥0，得反函数的定义域为(0，＋∞)，排除(C)、(D)，且反函数的值域为(1，＋∞)，故选(B)．例2 若f (x )与其反函数1f -(x )是同一个一次函数y ＝ax ＋b ，求a 和b的值．解：由f (x )为自反函数，据性质有f [f (x )]＝x ，即a 2x ＋ab ＋b ＝x ，得210a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ∈R ．例3 已知点(1，2)在函数f (x )＝的图象上，又在它的反函数图象上，求f (x )的解析式．解：互为反函数的互对性，知点(1，2)，(2，1)都在f (x )的图象上，∴21==，解得a ＝－1，b ＝7．∴ f (x )＝x ≤73)． 例4已知f (x )＝－31x 2＋43(x ≤0)，求函数f (x )与它的反函数1f -(x )的图象的交点．解：∵ f (x ) ＝－31x 2＋43在(－∞，0]上是单调增函数，故f (x )与 1f -(x )的图象交点必在y ＝x 上，即21433y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得(－4，－4)． 例5 已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝1f -(x )的图象是( 解：综合运用上述性质几乎无需动笔即可完成解答：由原函数易知(A)(B)(C)(D)1f -(x )的定义域为R ＋,从而否定(A)、(B)两项．又∵f (0)＝31，∴1f -(31)＝0，故选(D)．。

高职高考反函数知识点高职高考数学部分的反函数是一个非常重要的知识点。

在研究函数关系时，我们通常会遇到函数的反关系，即反函数。

掌握反函数的概念以及相关的性质和求解方法，对于解决实际问题和深入理解函数关系有着重要的作用。

一、反函数的概念和性质反函数是指一个函数与其自身的函数关系完全相反的函数。

如果函数f(x)的定义域和值域分别为X和Y，那么反函数g(x)的定义域和值域就分别为Y和X。

也就是说，对于函数f中的每一个元素x，都存在唯一的元素y，使得g(y)=x。

反函数和原函数之间具有一些特殊的性质。

首先，函数f和g互为反函数，当且仅当其对应的关系满足以下条件：f(g(x))=x，g(f(x))=x。

这意味着，反函数和原函数可以相互取消，得到同一个变量的值。

其次，如果函数f是一个连续函数或者严格单调函数，那么它的反函数一定存在。

这是由于连续函数或严格单调函数都具有唯一性，使得反函数可以有明确的定义。

二、反函数的求解方法求解反函数的方法多种多样，需要根据具体的函数类型和条件来确定。

下面介绍几种常见的情况。

对于线性函数y=ax+b，其反函数可以通过将y和x互换位置，并解方程来求解。

即将x=ax+b代入，得到x=(y-b)/a，从而确定了反函数。

对于平方函数y=x^2，其反函数需要注意定义域和值域的限制。

平方函数的定义域是非负实数集合[0,+∞)，而值域是[0,+∞)。

因此，反函数的定义域是[0,+∞)，值域是[0,+∞)。

反函数可以通过解方程x=y^2来求解。

对于三角函数，求解反函数需要根据它们的定义域和值域的限制进行调整。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

通过将x和y互换位置，然后根据函数间的关系式求解反函数。

三、反函数的应用反函数在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，消费函数和储蓄函数之间存在反函数的关系。

消费函数描述了个人或家庭的消费与可支配收入之间的关系，而储蓄函数则描述了个人或家庭的储蓄与可支配收入之间的关系。

高考数学中的反函数与反比例函数在高中数学中，反函数与反比例函数是两个非常重要的概念，也是高考中经常会出现的考点。

这两个概念在实际生活中也有很多应用，比如在金融领域中的薪资水平和经济增长率之间的关系，以及在电路中电流、电压和电阻之间的关系等等。

本文将对这两个概念进行详细描述和解析，希望能为广大学生提供一些帮助。

一、反函数在函数关系中，我们通常用x表示自变量，y表示因变量。

而对于一些特定的函数关系来说，我们也可以用y表示自变量，x表示因变量。

这样的函数关系就是反函数。

如果函数f(x)的自变量和因变量可以互换，也就是f(x)中x和y的角色可以交换，那么这个函数就是可逆函数。

在这个函数中，我们把y表示为x，x表示为y，并把这个新的函数记作f^-1(x)。

这个新的函数就是f(x)的反函数。

反函数的定义如下：如果一个函数f(x)满足以下条件：1.它是一对一函数（在函数的定义域内，不同的输入值对应不同的输出值）2.其图像关于y=x对称那么，它的反函数f^-1(x)为由f(x)换元得到的关于x的函数。

其中，要满足“一对一函数”的条件非常重要。

如果一个函数不是一对一函数，那么它就没有反函数。

比方说，在函数y=x^2中，不同的输入值x对应的输出值y可能是相同的，那么这个函数就不是一对一函数。

有关反函数的公式如下：f(x)=y ⟺ f^-1(y)=x这个公式的意思是，如果f(x)中输入值为 x，输出值为 y，那么f^-1(y)中与之对应的输入值就是 x。

在高考中，我们需要掌握如何求反函数的方法。

下面我们以一元线性函数 y=kx+b 为例：1. 令 y=f(x)，并将输入值x和输出值y互换。

2. 将得到的等式解出x=f^-1(y)。

3. 将x=f^-1(y)代入y=kx+b得到f^-1(x)=(y-b) / k。

这样就求出了反函数f^-1(x)。

二、反比例函数反比例函数指的是y与x成反比例关系的函数，即y=k / x(k为常数)。

反函数常见考点一．利用反函数的概念求函数值例1.若f(2x-1)=x+1，则1(2)f -= 。

分析：令x+1=2，则x=1，则2x-1=1即f(1)=2，因此1(2)f -=1.点评：此题是否不必有求反函数的解析式呢？由上解答看出是不必要的。

充分利用反函数的性质：f(a)=b ⇔1()f b a -=即可解决此类问题。

二．求原函数与其反函数的交点例2.若与1()f x -都过（1，2）点，则f(x)与1()f x -图象交点的个数为 个。

分析：解方程组21⎧=⎪⎨=⎪⎩解得a=-3,b=7，则由f(x)与1()f x -的图象关于直线y=x 对称知f(x)与1()fx -均过（2，1）点，又因为2条曲线与y=x 交点也是同一点，故共有3个交点。

点评：函数f(x)与1()f x -的交点若为（a,b ），则点（b,a ）也为它们的交点；三．利用函数与其反函数的图象的对称性解决函数性质问题例3.函数f(x)=12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12(4)f x --的单调减区间是 。

分析：（1）设u=4-x 2，1()fx -=12log x ，令u>0，4- x 2>0，得-2<x<2。

当x ∈(-2,0)时，u 是增函数，而1()f x -=12log x 为减函数，则12(4)fx --是单调递减函数。

即（-2，0）。

（2）f(x)在定义域内为减函数，由于原函数与其反函数的图象关于y=x 对称，单调性不变，则其反函数在定义域内也为减函数；因此只需考虑4- x 2的增区间，由复合函数“同增异减”可得4- x 2的增区间即为12(4)f x --的减区间。

解法同上。

点评：（1）函数y=f(g(x))，若y=f(x)是递减的，则u=g(x)的增区间就是y=f(g(x))的减区间，u=g(x)的减区间就是y=f(g(x))的增区间；（2）互为反函数的两个函数在对应的区间内的单调性相同（对应区间指原函数的定义域区间对应为反函数的值域区间）。

高考数学中的三角函数反函数高考数学中，三角函数是一个非常重要的知识点。

而三角函数反函数是三角函数的一种重要衍生形式，也是近几年高考数学中的一个新热点。

一、什么是三角函数反函数三角函数反函数是指，对于三角函数y = f(x)，存在另一函数x = f(y)，且在两个函数的定义区间内互为反函数，我们就称x = f(y)为y = f(x)的反函数。

以正弦函数为例，y = sin(x)的定义域是(-∞, ∞)，而值域是[-1, 1]。

而sin(x)的反函数，我们通常用arcsin(x)来表示，其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。

二、怎样使用三角函数反函数1. 求反函数的基本步骤要求一函数的反函数，我们需要遵循下列基本步骤：(1) 确定函数的定义域和值域。

(2) 将y = f(x)中的y换成x，写成x = f(y)。

(3) 对x = f(y)两边同时求导，即得到dx/dy = 1/f'(y)。

(4) 通过对第二步的式子，用y表示x，即可得到y = f^(-1)(x)。

2. 求反函数的值在具体运用中，我们需要掌握一些计算技巧，以求得函数的反函数值：(1) 计算反函数的值时，一定要严格遵守反函数的定义域和值域。

(2) 对于三角函数反函数，我们通常使用计算器来辅助计算结果。

(3) 在使用计算器时，一定要保留尽可能多的小数位，以避免舍入误差。

三、三角函数反函数的基本性质1. 定义域和值域对于正弦函数的反函数arcsin(x)，其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。

而余弦函数的反函数arccos(x)的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。

而正切函数的反函数arctan(x)的定义域为(-∞, ∞)，值域为(-π/2, π/2)。

2. 反函数的奇偶性对于正弦函数反函数arcsin(x)和正切函数反函数arctan(x)，其定义域在0时值域等于x，因此它们是奇函数；而余弦函数反函数arccos(x)的值域在0时等于x，因此其是偶函数。

高考数学必学反函数的性质数学是人类智慧的结晶，高考数学更是考验青年才华的阶梯。

其中，反函数是必须掌握的知识。

反函数的性质是高考数学中重要的一块。

本文将从反函数的定义、性质等方面对此进行解析。

一、反函数的定义反函数，顾名思义，是数学中的一种特殊函数。

它是一种将原有函数的定义域和值域互换并且有映射关系的函数。

换言之，如果一个函数f(x)与另一个函数g(x)满足以下条件，那么g(x)就是f(x)的反函数：1. f(x)是单调函数；2. f(x)的定义域和值域分别为[A,B]和[C,D]；3. g(x)与f(x)的定义域和值域互换，也就是说，g(x)的定义域为[C,D]，值域为[A,B]。

二、反函数的性质1.反函数性质的定义在反函数的定义中，已经提到了反函数的主要性质：反函数与原函数的定义域和值域互换。

因此，反函数的主要性质可以总结如下：（1）反函数存在的必要条件是原函数必须是一一映射函数；（2）反函数的定义域和值域与原函数的定义域和值域互换；（3）反函数的导函数等于原函数的导函数的倒数，即f'(g(x))=1/g'(x)。

2.反函数的可导性反函数的可导性也是一个非常重要的性质。

通常情况下，如果一个函数是连续函数且可导，那么它的反函数也应该是连续可导的。

但是，这个性质在较少的情况下不成立，因而反函数的可导性需要我们单独来探讨。

举个例子，如果将y=x^3的图形按y=x的直线做对称，产生的函数是y=x^(1/3)。

由于y=x^3是连续可导的函数，在其定义域上一定是单调递增的函数，因此它的反函数y=x^(1/3)也是单调递增的，且在x≠0处也是连续可导的。

但是，在x=0处，y=x^(1/3)的导数不存在。

这就意味着，反函数的可导性不仅仅取决于原函数的可导性，还受到其定义域和取值范围的影响。

三、反函数的应用反函数的应用非常广泛。

例如，在统计学中，反函数可以用来研究概率分布，因为大多数的概率分布函数具有单调性。

反函数在高考数学中的应用数学中反函数是一个非常重要的概念，它在数学的不同分支领域都有着广泛的应用。

在高考数学中，反函数的应用也尤为重要。

它不仅可以帮助学生看待和解决某些问题，而且也可以让学生更好地理解和运用一些数学概念和公式。

一、反函数的定义和性质反函数是函数中的一种特殊函数。

当一个函数通过某种方式将一个集合中的每个元素都映射到了另一个集合的每个元素上时，这个函数就是一个映射函数。

而当这个函数恰好可以被另一个函数完全的逆转时，这个函数就是反函数。

具体来说，当函数$f(x)$满足对于任何$x$和$y$，如果$f(x)=y$，那么$f^{-1}(y)=x$，其中$f^{-1}(y)$就是$f(x)$的反函数。

当$y=x$时，$f(x)=f^{-1}(x)=x$。

反函数有两个很重要的性质。

首先，对于任何一个函数$f(x)$，若它存在反函数$f^{-1}(x)$，那么$f^{-1}(x)$一定唯一。

其次，当$y=x$时，有$f^{-1}(f(x))=x$和$f(f^{-1}(x))=x$。

二、反函数在解方程中的应用在初中数学中，我们学习了不少一元一次方程和二元一次方程的解法。

在高中数学中，我们仍需要解一些方程，但是这些方程所使用的解法变得更加复杂并细致。

反函数解法便是其中之一。

举个例子，对于二次函数$f(x)=x^2-2x+1$，如何求$f(x)=5$的解？我们可以通过将等式两边进行平方，得到$x^2-2x-4=0$，然后使用求根公式求得方程的解$x=1\pm\sqrt5$。

但是这样的解法只能适用于特定的方程和函数。

如果我们使用反函数解法，我们可以得到一种通用的解法。

由于$f(x)$是一个二次函数，我们可以先求出$f^{-1}(x)$，然后再用它来求解$f(x)=5$的解。

我们有$f(x)=y=x^2-2x+1$，则$x=\frac{y+1-\sqrt{y-3}}{2}$或$x=\frac{y+1+\sqrt{y-3}}{2}$。

【关键字】关系g3.1010反函数一、知识回顾：1、反函数的定义设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成2、函数y=f（x）有反函数的条件是__________________________.3、求反函数的步骤：①. ②. ③.4、互为反函数间的关系：①从函数角度看：②从函数图象看：单调性的关系：2、基本训练：1、给出下列几个函数：①；②③④⑤其中不存在反函数的函数序号是变题：函数在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是（）A、B、C、D、2、函数的反函数是（）A．B．C．D．3．（05江苏卷）函数的反函数的解析表达式为( )（A）（B）（C）（D）4. （05全国卷Ⅰ）反函数是（）（A）（B）（C）（D）5. （05天津卷）设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（）A．B．C．D．6. （05湖南卷）设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f－1(x)，f (4)＝0，则f－1(4)＝.7、已知函数的图象过点（１，７），又其反函数的图象经过点（４，０），则的表达式为_____________.三、例题分析：１、①若函数是函数的反函数，则的图象为（）A B C D②已知函数的图象过点（0，1），则函数的反函数的图象必过定点（）A 、（1，－4）B 、（1，4）C 、（1，0）D 、（4，1）③ 若函数f （x ）的图象与的图象关于直线y=x 对称，则函数的单调减区间是 （ ）A 、（1，+∞）B 、（-∞，1]C 、（0，1]D 、[1，2）２、①函数的反函数是②、已知，则___ .③、已知函数的反函数是,且 ,则函数的值域为______________.3、已知函数，若函数y=g （x ）与的图象关于直线对称，求g （3）的值．４、给定实数a ，a≠0且a≠1，设函数，证明这个函数的图象关于直线y=x 对称。

高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数一、函数的单调性：1、定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间上的增函数，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间上的减函数。

如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f(x)的单调区间。

()()()()121200f x f x x x -><→-增减 任意x 1,x 2∈D 2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 2）作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形，（4）判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， 4）根据定义作出结论。

有时也根据导数。

()()()()//,0D 0D x D f x f x f x f x ∈>⇒<⇒在上递增，在上递减。

（注：逆命题不成立）3、常见函数的单调性：（1） 一次函数y=kx+b （k ≠0） 1）当k>0时，f(x)在R 上是增函数。

2）当k<0时，f(x)在R 上是减函数。

（2） 二次函数y=ax 2+bx+c 1）当a>o 时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－a b 2）上是减函数，在[－ab 2，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－a b 2）上是增函数，在[－ab 2，＋∞）是减函数。

（3） 反比例函数y=()0≠k xk 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。

高考数学反函数思想总结数学中的函数是指两个集合之间的一种对应关系，它将第一个集合中的每个元素都对应到第二个集合中的唯一元素。

数学中的反函数是指通过交换原函数的定义域和值域，得到一个新的函数。

在高考中，对于反函数的讨论主要集中在反函数的性质、求法以及应用等方面。

首先，反函数具有一些特殊的性质。

首先，对于一个函数，如果它有反函数，那么这个函数一定是一一对应的。

这是因为如果存在两个不同的自变量对应到同一个因变量，那么在反函数中就会存在一个因变量对应多个自变量，不符合函数的定义。

其次，反函数的定义域和值域与原函数的定义域和值域完全相反。

这是因为反函数是通过交换原函数的定义域和值域得到的。

另外，反函数与原函数图像关于直线 y=x 对称，这是因为原函数中的每一个点 (x,y) 的对称点就是反函数中的点 (y,x)。

其次，求反函数的方法有多种。

一般来说，求反函数的步骤主要包括确定反函数的定义域和值域，并建立反函数的表达式。

对于一元函数来说，可以通过以下步骤求反函数。

首先，求出原函数的解析式；然后，交换自变量和因变量，得到反函数的解析式；最后，确定反函数的定义域和值域。

对于一些特殊的函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，可以通过变量代换或解方程等方法求反函数。

对于多元函数来说，可以通过求解方程组的方法来求反函数。

最后，反函数在数学中有着广泛的应用。

在几何中，反函数可以用来求解两个函数之间的关系。

比如，给定一个函数和它的反函数，可以通过求出两个函数的交点来求解方程的解。

在概率与统计学中，反函数可以用来求解分布函数的反函数。

在微积分中，反函数可以用来求解应用题，比如求函数的最值、函数的增减性等。

在数学建模中，反函数可以用来求解实际问题，如人口增长模型、物种繁殖模型等。

总结起来，高考数学中的反函数是一个重要的概念和方法。

通过对反函数的性质、求法以及应用的研究，可以更深入地理解函数的特点和作用，并应用于实际问题的解决中。