2021-2022年高考数学复习：幂函数高考数学专题辅导

高考数学知识点幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中重要的知识点之一，它在高考数学考试中经常出现。

掌握幂函数的知识点对于顺利解决各类与幂函数相关的数学题目至关重要。

本文将对幂函数的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们理清思路，加强对该知识点的掌握。

一、幂函数的定义幂函数是指函数y = x^n，其中x为自变量，n为常数。

在幂函数中，x的指数是常数，y与x之间存在特定的关系。

二、幂函数的图像特点1. 当n为正整数时，幂函数的图像是以原点为中心的相似变换。

当n为正奇数时，函数具有奇对称性，图像关于坐标原点对称；当n为正偶数时，函数具有偶对称性，图像关于y轴对称，并且右侧都是正数部分；当n为正数时，函数图像都通过第一象限。

2. 当n为负整数时，幂函数的图像将关于x轴对称，并且经过第一象限和第三象限的两点。

3. 当n为0时，幂函数的图像为直线y = 1，是一个常数函数。

三、幂函数的性质1. 定义域：所有实数。

2. 值域：当n为正奇数时，函数的值域为(-∞, +∞)；当n为正偶数时，函数的值域为[0, +∞)；当n为负奇数时，函数的值域为(-∞, 0)；当n为负偶数时，函数的值域为[0, +∞)。

3. 单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增函数；当n为负数时，幂函数在定义域上是递减函数。

4. 对称性：当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当n为正偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当n为负整数时，幂函数的图像关于x轴对称。

5. 渐近线：当n为正数时，幂函数的图像与x轴无交点；当n为负整数时，幂函数的图像与y轴无交点。

四、幂函数的应用幂函数广泛应用于数学中的各种实际问题中，比如面积、体积、变量关系等。

在解决这些问题时，我们可以通过列方程、求导等方法将其转化为幂函数的求解过程。

例如，求解一个正方形的面积与边长之间的关系。

我们可以将正方形的面积设为y，边长设为x，那么根据正方形的性质可得 y = x^2，这就是一个幂函数的表达式，通过对该函数进行数学分析，我们可以得出边长与面积之间的关系，并解决相关的数学问题。

高考数学一轮复习知识点：幂函数把握幂函数的内部规律及本质是学好幂函数的关键所在，查字典数学网整理了2021-2021高考数学一轮复习知识点，关心宽敞高中学生学习数学知识!定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情形如下：假如a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;假如a为负数，则x确信不能为0，只是这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即假如同时q 为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情形如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：关于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情形来讨论各自的特性：第一我们明白假如a=p/q，q和p差不多上整数，则x^(p/q)=q次根号(x 的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。

当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，明显x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此能够看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就能够明白：家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。

排除了为0与负数两种可能，即关于x>0，则a能够是任意实数;家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

第07讲-幂函数与二次函数一、考情分析1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．二、知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a 顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是增函数 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是减函数 [微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎨⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎨⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.三、 经典例题考点一 幂函数的图象和性质【例1-1】（2019·河北省沧州市一中高一月考）已知幂函数()y f x =的图象过点(8,)m 和(9,3)，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．12C ．3D ．22【答案】D 【解析】设()a f x x ，依题意可得93α=，所以12α=.所以12()f x x =.故所求实数12(8)822m f ===.【例1-2】（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））函数43y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】43y x ==∴该函数的定义域为R ，所以排除C ；因为函数为偶函数，所以排除D ； 又413>，43y x ∴=在第一象限内的图像与2y x 的图像类似，排除B.规律方法 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 考点二 二次函数的解析式【例2-1】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.【解析】 法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【例2-2】（2020·四川省泸县第一中学高一期中）已知函数()()220f x ax ax b a =-+>在区间[]1,3-上的最大值为5，最小值为1.（1）求a 、b 的值及()f x 的解析式； （2）设()()f x g x x=，若不等式()330x xg t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解，求实数t 的取值范围. 【解析】()22f x ax ax b =-+对称轴方程为1x =, 因为()f x 在区间[]1,3-上的最大值为5，0a >, 故1x =时,()f x 取得最小值为1,即顶点为(1,1)，1x =-或3x =，()f x 取得最大值5. ()11(1)35f a b f a b ⎧=-+=⎨-=+=⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩, 21,2,()22a b f x x x ∴===-+.（2）()()222,(3)323x x x f x g x x g x x ==+-=+-, ()23332303x x x x x g t t -⋅=+--⋅≥, 即2221(3)3x x t ≤+-在[]0,2x ∈上有解, 令[]11,0,2,[,1]39x m x m =∈∈ 22111()2212(),[,1]229h m m m m m =-+=-+∈max ()1t h m ≤=时，不等式()330x x g t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解. ∴实数t 的取值范围1t ≤.规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：考点三 二次函数的图象及应用【例3-1】（2020·全国高一专题练习）函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝ax ＋b(ab≠0)的图象只可能是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()()()2,0f x ax bx g x ax b ab ==≠＋＋，()f x 的对称轴为2ba-。

2021届高考数学二轮复习函数与导数专题练之幂函数1.已知幂函数()()21m f x m m x =--在(0,)+∞上单调递减，则实数m =( ) A.1-B.2C.1-或2D.122.已知幂函数()y f x =的图象过22,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则下列求解正确的是（ ）A ．()12f x x =B ．()2f x x =C ．()32f x x =D ．()12f x x -=3.若幂函数()f x 的图像过点(16,8)，则2()()f x f x <的解集为( ) A. (,0)(1,)-∞⋃+∞B. (0,1)C. (,0)-∞D. (1,)+∞4.函数()1a f x x =+，若()f x 在区间[],(0)a b a b <<内的值域为[]3,6，则()f x 在[],b a --内的最大值与最小值之和为( ) A.-9B.-7C.-5D.9或-55.已知幂函数()y f x =的图像过点()3,3，则()4log 2f 的值为( ) A ． 2B ．14-C ．14D ．2-6.在同一坐标系内，函数(0)a y x a =≠和1y ax a=-的图像可能是图中的( ) A.B.C.D.7.幂函数()223()1m m f x m m x +-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为( )A. 2或-1B. -1C. 2D. -2或18.设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭,,,，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A.1，3 B.1-，1 C.1-，3 D.1-，1，39.若幂函数()f x 的图象经过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =_________.10.已知幂函数223()mm f x x -++= (Z m ∈)为偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增，则函数()f x 的解析式为 ___________.11.已知幂函数()f x k x α=⋅的图象过点122⎛ ⎝⎭，则k α+=____________12.若幂函数2223(33)mm y m m x +-=++的图像不过原点，且关于原点对称，则m =___________.答案以及解析1.答案：A解析：由于函数()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，舍去；当1m =-时，1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减.故选A. 2.答案：D解析：设幂函数的解析式为a y x =，∵幂函数()y f x =的图象过点222a =， 解得12a =-，∴12()f x x -=，故选D.3.答案：D解析：设幂函数()a f x x =， 图像过点()16,8，所以168a =，即4322a =，所以43a =，解得34a =.所以()3344f x x x =()0,+∞，且()f x 为增函数.由()()2f x f x <得20{ x x x ><，解得1x >.故选D4.答案：D解析：当21(Z)k k α=-∈时，函数()a g x x =是奇函数，()a g x x =在[],a b 上的值域是[]2,5，则()a g x x =在[],b a --上的值域是[]5,2--，所以()f x 在[],b a --上的值域是[]4,1--，()f x 在[],b a --上的最大值与最小值之和等于-5；当2(Z)k k α=∈时，函数()f x 是偶函数，则()f x 在[],b a --上的值域是[]3,6，()f x 在[],b a --上的最大值与最小值之和等于9，故选D. 5.答案：C解析：设幂函数()y f x x α==，图像过点(3，33α=∴，12α=∴， ()12()0f x xx =≥∴，()1224441111log 2log 2log 2224f ===⨯=∴.故选C 6.答案：C解析：当0a <时，函数1y ax a =-是减函数，当0x =时，10y a =->，即函数1y ax a=-的图像与y 轴的交点在正半轴上，a y x =在(0,)+∞上是减函数，所以A ，D 均错误.对于B ，C ，若0a >，则1y ax a=-是增函数，故B 错误，C 正确. 7.答案：B解析：由于幂函数()223()1mm f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，故有221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-，故选B ．8.答案：A解析：由于定义域为R ，排除1-和12，函数3y x y x ==,是奇函数且定义域为R. 9.答案：19解析：设幂函数()y x R αα=∈其函数图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭124α=∴解得2α=-2()y f x x -==∴ 1(3)9f =∴故答案为：1910.答案：4()f x x = 解析：因为幂函数223()m m f x x -++= (Z m ∈)为偶函 数，所以223m m -++为偶数.又()f x 在区间()0,+∞上单调递增，所以2230m m -++>，所以13m -<<. 又Z m ∈，223m m -++ 为偶数，所以1m =，所以4()f x x =.11.答案：32解析：由幂函数的定义得1k =，再将点122⎛ ⎝⎭212α⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12α=，故32k α+=. 故答案为：32. 12.答案：-2解析：根据幂函数的定义得2331m m ++=，解得1m =-或2m =-，所以41y x =或31y x=.又因为函数图像关于原点对称，所以2m =-.。

高考数学幂函数复习指导
定义：
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同状况如下：假设a为恣意实数，那么函数的定义域为大于0的一实在数;假设a为正数，那么x一定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根[据q的奇偶性来确定，即假设同时q为偶数，那么x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的一实在数;假设同时q为奇数，那么函数的定义域为不等于0的一实在数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同状况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，那么只要同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只要a为正数，0才进入函数的值域
性质：
关于a的取值为非零有理数，有必要分红几种状况来讨论各自的特性：
首先我们知道假设a=p/q，q和p都是整数，那么x^(p/q)=q 次根号(x的p次方)，假设q是奇数，函数的定义域是R，假设q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。

当指数n是负整数时，设a=-k，那么x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域
是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所遭到的限制来源于两点，一是有能够作为分母而不能是0，一是有能够在偶数次的根号下而不能为正数，那么我们就可以知道：
扫除了为0与正数两种能够，即关于x0，那么a可以是恣意实数;
扫除了为0这种能够，即关于x0和x0的一实在数，q不能是偶数;
扫除了为正数这种能够，即关于x为大于且等于0的一实在数，a就不能是正数。

考点11：幂函数【思维导图】【常见考法】考法一：幂函数定义辨析1．已知函数22+3()(21)mm f x n x -+=-，其中m N ∈，若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+∞上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n += 。

2．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为 。

3．若幂函数()()223265m f x m m x-=-+没有零点，则()f x 满足 。

A ．在定义域上单调递减 B ．()f x 在(0,)x ∈+∞单调递增 C ．关于y 轴对称 D ．()()0f x f x +-=4．已知幂函数y ＝（m 2﹣3m +3）x m +1是奇函数，则实数m 的值为 。

考法二：幂函数的性质1．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域 。

2．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是 。

3．已知幂函数y x α=的图象过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的单调递减区间为 。

4．若()14f x x =,则不等式816f x f x 的解集是 。

5．已知()()2233132a a --+<-，则a 的取值范围__________.6．已知函数()22k k f x x -++=，且()()23f f >，则实数k 的取值范围是______.7．已知，131344525,,333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 。

考法三：图像问题1．幂函数y =（m 2-m -5）x 241m m -+的图象分布在第一、二象限，则实数m 的值为______.2．上图中曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于曲线1C 、2C 、3C 、4C 的n 依次为（ ）3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）① ② ③ ④ A ．①13y x =，②2y x ，③12y x =，④1y x -= B ．①3y x =，②2y x ，③12y x =，④1y x -=C ．①2yx ，②3y x =3y x =，③1y x -=，④12y x =D ．①13y x =，②12y x =，③2y x ，④1y x -=4．已知幂函数a y x =的图像满足，当(0,1)x ∈时，在直线y x =的上方；当(1,)x ∈+∞时，在直线y x =的下方，则实数a 的取值范围是_______________.解析附后考点10：对数函数【思维导图】。

如何通过幂函数解决高考数学中的问题高考数学是很多人认为最难以攻克的科目之一，而幂函数则是高考数学中的一种重要概念。

幂函数不仅是解决高考数学问题的关键，同时也是很多应用领域中得到广泛使用的数学工具。

本文将会介绍幂函数以及如何通过幂函数解决高考数学中的问题。

一、什么是幂函数？幂函数是数学中的一种基本函数类型，其数学表达式为f(x)=ax^n，其中a和n是常数，且a不等于0。

在这里，a表示函数的比例因子，而n则是幂指数。

幂函数的图像通常为从左下方到右上方的单调增函数，也可以是从左上方到右下方的单调减函数，形状类似于斜率为正或负的直线。

二、幂函数在高考数学中的应用1、计算函数极限在高考数学中，幂函数在求极限时经常被使用。

因为幂函数的极限很容易求解，只需要记住当n>0时，ax^n的极限为0，而当n<0时，ax^n的极限为无穷大或无穷小。

因此，在求解一些复杂的函数极限时，我们可以通过将函数化简为幂函数的形式，再通过极限的性质来求解。

2、解方程幂函数在高考数学中还常常用于解方程。

例如，当ax^n=b时，我们可以通过对幂函数进行对数变换，得到x=loga(b/n)，从而求解方程。

在解多项式方程时，幂函数的幂指数为方程度数的情况下也可以通过幂函数来进行求解。

3、求导与积分幂函数在高数中还常常用于求导和积分。

由于幂函数的导数公式极为简单，即幂函数的导数为nax^(n-1)，因此对幂函数求导时只需要对n和比例因子a进行简单的计算即可。

而对幂函数进行积分时，则可以通过求解幂函数的原函数来进行计算。

三、幂函数在日常生活中的应用除了在高考数学中外，幂函数也在很多实际应用中得到了广泛的应用。

例如，信号传输中的功率信号和电路电流的指数关系都可以用幂函数来进行描述。

在生物学和地学中，也常常用到幂函数来描述物种丰度和动态平衡等现象。

除此之外，幂函数还可以用来表示经济中的收入分配和物品销售数量的变化趋势。

四、总结本文介绍了幂函数在高考数学中的应用，幂函数的概念和特点以及如何通过幂函数解决高考数学中的问题。

专题3.4 幂函数1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（ ）A ．幂函数y =x -1是奇函数B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可.【详解】因为11xx -=，11=--xx ，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确；因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确.故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=-B ．23y x=-C ．13y x=-D ．3y x -=【答案】B 【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增；C: 13y x=-为奇函数，故排除；D: 3y x -=为奇函数，故排除.故选:B.练基础3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =.因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =.故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1(42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（ ）A ．4BC ．2D ．12【答案】A 【解析】依题意得1(2α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果.【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（ ）A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x =既是二次函数，也是幂函数【答案】D 【解析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x =可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确.【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x =在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x =是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（ ）A ．[-1，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，+∞)D ．(-∞，0)【答案】B 【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.【详解】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f (3)=3α=123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可.【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误.故选：AB1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D 【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23.∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f (x )=x m的图象过点(2,4)，且a =m 12，b =(13)m，c =―log m 3，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a >c >bB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b 【答案】C练提升【解析】幂函数f (x )=x m 的图象过点(2,4)，∴2m ＝4，m ＝2；∴a =m 12=2>1，b =(13)m =19∈(0,1)，c =―log m 3＝﹣log 23＜0，∴2＞19＞―log 23，∴a >b >c ．故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C 【解析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小.【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=，∴13α=，即()13f x x =.由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e<，于是4log 2ln 2<，12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（ ）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<【答案】A 【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1(2x y =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11()()22mn<，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若，则D ．若，则.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A 正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B 不正确.当，即，所以C 正确.当若时，=..=.即成立，所以D 正确.()f x x α=1x >()1f x >120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x x α=2=4α1=2α12()f x x =()f x [0,)+∞()f x [0,)+∞()f x 1x >1>()1f x >120x x <<()()122212(()22f x f x x x f ++-22-122x x +-0<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数1,0(),0x x e x f x xe x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数解，且幂函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值可能是（ ）A ．1B ．1eC ．2D ．e【答案】AD 【解析】作出()f x 的图象，根据方程根的个数判断参数a 的取值，再结合函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，即可求解出结果．【详解】当0x ≤时，()x f x xe =，()()1xf x e x '=+，当1x <-时()0f x '<，当10x -<<时()0f x '>所以()x f x xe =在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，最小值为1(1)f e --=-；所以()f x 的图象如图所示，因为()f x a =有且仅有一个实数解，即()y f x =的图象与y a =有且只有一个交点，所以[)1,1,0,a e e ⎧⎫∈+∞-⎨⎬⎩⎭，又因为()a g x x =在()0,∞+上单调递增，所以0a >，所以[){},1a e ∈+∞ .故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设α∈12,―1,―2,3，若f (x )=x α为偶函数，则α=______．【答案】―2【解析】由题可知，α=―2时，f (x )=x ―2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；α=13,12,―1,3时，不满足f(-x)=f(x), ∴α=―2．故答案为：―2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x 的增大而减小.（1）求m 值.（2）若满足()()22132mma a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意可知39m -为负偶数，且*N m ∈，即可求得m 值；（2）将所求不等式化为()()22132a a +<-，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.（2）由（1）可知，1m =，所以得()()22132a a +<-，解得4a >或23<a ，即a 的取值范围为()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞ 【解析】（1）由幂函数的定义2(1)1m -=，再结合单调性即得解.（2）求解()f x ，()g x 的值域，得到集合A ，B ，转化命题p 是q 成立的必要条件为B A ⊆，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，根据二次函数的性质，分类讨论02k ≤和12k ≥两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--，由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩，所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2k x =，要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：或即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.所以实数k 的取值范围为：[][)1,02,-+∞ 1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（ ）A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，，知A 错，排除A ；因为，知B 错，排除B ；取，满足，，知D 错，排除D ，因为幂函数是增函数，，所以，故选C ．2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D 【解析】2,1a b ==a b >ln()0a b -=9333a b =>=1,2a b ==-a b >12a b =<=3y x =a b >33a b >练真题注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.3.（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-4. (2018·上海卷)已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ .【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=，解得a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.。

《幂函数》（一）考查内容：幂函数的定义、定义域、值域，函数图像等一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知幂函数()y f x =的图象经过点1,93⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式为（ ） A ．()2f x x -=B ．()2f x x =C ．()2x f x =D ．()2xf x -=2．已知幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)，则f 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．若12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则(3)f =（ ）A ．9B ．19CD 4．已知幂函数()()37m f x x m N -=∈的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，则m 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．25．设函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数，且当(0,)x ∈+∞，()f x 单调递增，则m 的值为（ ） A ．2-B ．2-或1C ．2D ．2或1-6．已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->≠且的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．2±C ．2D ．2±7．5个幂函数：①2y x；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x-=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①②B ．只有②③C ．只有②④D ．只有④⑤8．设11,0,,1,2,32n ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使得()n f x x =的定义域为R 且()f x 为奇函数的所有n 值的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．下列命题中正确的是（ ）A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0),(1,1) 两点C ．幂函数的图象不可能出现在第三象限D ．图象不经过点(1,1)-的幂函数，一定不是偶函数 10．以下函数12y x =，2y x ，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．411．已知幂函数n y x =在第一象限内的图象如图所示．若112,2,,22n ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为（ ）A ．11,2,2,22-- B ．112,,2,22-- C ．112,,,222--D ．11,2,,222--12．若幂函数mn y x =（*,m n ∈N ，且m 、n 互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．m 、n 是奇数且1mn< B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n> C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n< D ．m 、n 是偶数，且1m n> 二．填空题13．若幂函数f (x )的图象经过点(4，14)，则()21log 32f -的值等于________.14．在函数①75y x =；②56y x =；③47y x =；④25y x -=；⑤13y x-=；⑥23y x =中定义域与值域相等的有_________个. 15．对幂函数32()f x x -=有以下结论 （1）()f x 的定义域是{|0,}x x x R ≠∈；（2）()f x 的值域是(0,)+∞； （3）()f x 的图象只在第一象限； （4）()f x 在(0,)+∞上递减； （5）()f x 是奇函数．则所有正确结论的序号是______. 16．若1144(1)(32)a a --+<-,则a 的取值范围是 ______三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知幂函数()y f x =的图象过点(.（1）求函数()f x 的解析式，并求出它的定义域； （2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围.18．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在0,单增函数，函数()22g x kx =+.（1）求m 的值；（2）对任意[]11,2x ∈-总存在[]21,2x ∈使()()12g x f x =，求实数k 的取值范围.19．若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围.20．已知幂函数()223m m y f x x --+==（其中22m -<<，m ∈Z ）满足：①在区间(),0-∞上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.求幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域.21．如图所示的函数()F x 的图象，由指数函数()x f x a =与幂函数()b g x x =“拼接”而成．（1）求()F x 的解析式； （2）比较b a 与a b 的大小；（3）已知(4)(32)b bm m --+<-，求m 的取值范围．22．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为[4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.《幂函数》（一）解析1.【解析】依题意，设()af x x =，则1()93a=，解得2a =-，()2f x x-∴=，故选:A ．2.【解析】∵幂函数y ＝f （x ）＝x a 的图象经过点（2，4），∴2a ＝4，解得a ＝2，∴y ＝x 2，∴f2＝2．故选B ．3.【解析】12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则lg 111m m +=⇒=，则()12f x x =，则(3)f =C4.【解析】由题意可得：370m -<且37m -为偶数，m N ∈， 解得73m <，且37m -为偶数，m N ∈， ∴1m =． 故选：C ． 5.【解析】由题意()f x 是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-， 因为()f x 在()0,x ∈+∞上是增函数，而当2m =时，2330m m +-=>符合题意； 当1m =-时，2330m m +-=-<，所以()f x 在()0,x ∈+∞上是减函数，不符合题意，2m ∴=.故选：C6.【解析】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，函数1()2x bf x m-=-，(0,m >且1)m ≠，当x b =时，11()22b bf b m -=-= ， 故()f x 的图像所经过的定点为1(,)2b ，所以1()2g b =，即212b =，解得：2b =±,故答案选B 7.【解析】①2yx的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，②45y x =的定义域为R ， ③54y x =的定义域为(0,)+∞， ④23y x =的定义域为R ， ⑤45y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C .8.【解析】当1n =-时，1()f x x=定义域为{}0x x ≠，不满足题意 当0n =时，0()f x x =定义域为{}0x x ≠，不满足题意当12n =时，()f x ={}0x x ≥，不满足题意 当1n =时，()f x x =定义域为R ，且为奇函数，满足题意当2n =时，2()f x x =定义域为R ，是偶函数，不满足题意 当3n =时，3()f x x =定义域为R ，且为奇函数，满足题意所以，使得()n f x x =的定义域为R 且()f x 为奇函数的所有n 值的个数为2故选：B9.【解析】A ，错误，因为函数y x α=的的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ ，故图像为是一条直线除去点()0,1 B 错误，当幂函数,0y x αα=<时图象不经过()0,0, C ，错误，如幂函数1y x -=图象在第三象限和第一象限D ，正确，故选D 10.【解析】函数12y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞；函数2yx 的定义域为R ，值域为[0,)+∞；函数23y x ==20x ≥，∴函数值域为[0,)+∞；函数331y xx-==，值域为(,0)(0,)-∞+∞． ∴值域为[0,)+∞的函数共3个．故选：C.11.【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象， 图象由下至上，幂指数依次增大，曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为：112,,,222--，故选：C.12.【解析】将分数指数式化为根式，mn y x ==由定义域为R ，值域为[)0,+∞知n 为奇数，m 为偶数，故排除A 、D ， 又由幂函数y x α=，当1α>时，图像在第一象限的部分下凸，当01α<<时，图像在第一象限的部分上凸.故选：C13.【解析】因为f (x )为幂函数，所以设()f x x α=，因为f (x )的图象经过点(4，14)，所以14=14αα∴=-， 因此()2221log 31log 3111log 32232(2)()()232f -----====，故答案为：3214.【解析】①75y x =的定义域为R ，值域为R .②56y x =的定义域为[)0+∞，，值域为[)0+∞，. ③47y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. ④25y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(0+)∞，.⑤13y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.⑥23y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. 故定义域与值域相等的有①, ②和⑤，故答案为：3 15.【解析】对幂函数()32f x x-=，以下结论（1）()f x 的定义域是{}0,x x x R ∈，因此不正确； （2）()f x 的值域是()0,+∞，正确； （3）()f x 的图象只在第一象限，正确； （4）()f x 在()0,+∞上递减，正确； （5）()f x 是非奇非偶函数，因此不正确． 则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）． 16.【解析】幂函数yx α=，当0α<时是减函数，函数 14y x -=的定义域为()0,∞+，所以有1320a a +>->， 解得2332a <<，故答案为 23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.17.【解析】（1）设()f x x α=，代入点(得2α=，解得12α=， 即()12f x x ==.故函数()f x 的定义域为[)0,+∞.（2）由于()f x 的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞上递增，由已知()()13f a f a +>-可得103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩，a 的范围是(]1,3.18.【解析】（1）由题：()2211420m m m ⎧-=⎪⎨-+>⎪⎩解得0m = ；（2）由（1）()2f x x =，记()[]{},1,2A y y f x x ==∈，()[]{},1,2B y g x x ==∈-，由题意B A ⊆，容易求得[]1,4A =.由B A ⊆得12241424k k ≤-+≤⎧⎨≤+≤⎩，解得1142k -≤≤，即k 的取值范围是11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 19.【解析】∵()()11132a a --+<-，∴10,320,132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,320,132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或320,10,a a ->⎧⎨+<⎩解得2332a <<或1a <-.故a 的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.20.【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②；当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256.21.【解析】（1）由题意得14b 12,1142a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,16{1,2a b ==∴x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩（2）因为3211()22<，所以1116321611()()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b aa b <． （3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，所以40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<，所以m 的取值范围是12(,)33-． 22.【解析】（1）因为幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去），所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立； 当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立.。

高三数学《幂函数》知识梳理与题型战法第二章 函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一 幂函数的概念一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二 幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像： 如右图所示（2）五个常见幂函数的性质： 函数 性质 y ＝x12y x =y ＝x 2 y ＝x 3 1y x −=定义域 R [)0+∞， R R ()(),00,−∞+∞U 值域 R [)0+∞， [)0+∞， R ()(),00,−∞+∞U奇偶性奇非奇非偶偶奇奇单调性 R 上增[)0+∞，上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增R 上增(－∞，0)上减 (0，＋∞)上减公共点（1）所有的幂函数在区间()0+∞，上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点()1,1.（2）如果0α>，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是增函数 （3）如果0α<，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是减函数 题型战法题型战法一 幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（ ） A ．2y x = B ．21y x =− C ．3y x = D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数定义可直接得到结果. 【详解】形如y x α=的函数为幂函数，则3y x =为幂函数. 故选：C.变式1-1．下列函数是幂函数的是（ ） A ．22y x = B ．1y x −=− C ．31y x =D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义判断. 【详解】形如y x α=（α为常数且R α∈）为幂函数， 所以，函数331=xy x −=为幂函数，函数22y x =、1y x −=−、2x y =均不是幂函数. 故选：C.变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f −的值为（ ） A ．8 B ．8− C ．4 D ．4−【答案】B 【解析】 【分析】设()af x x =，由已知条件求出a 的值，可得出函数()f x 的解析式，由此可求得()2f −的值. 【详解】设()a f x x =，由()228a f ==，可得3a =，则()3f x x =，因此，()()3228f −=−=−.故选：B.变式1-3．已知幂函数()22233m m y m m x −−=−+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．1或2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知系数为1，指数应小于0，由此列出不等式组，解得答案. 【详解】由题意可知：2233120m m m m ⎧−+=⎨−−<⎩， 解得1m = ,经经验，符合题意， 故选：A.变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1(2，则k α+等于（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以1k =，又因为函数()f x 的图象过点1(2，所以1211()2222ααα−==⇒=−，因此12k α+=，故选：A题型战法二 幂函数的图像典例2．函数y = ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象. 【详解】由0y =≥，排除B 、D ，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C. 故选：A.变式2-1．已知幂函数()f x ()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】设出函数的解析式，根据幂函数()y f x =的图象过点(9,3)，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象． 【详解】设幂函数的解析式为()f x x α=， ∵幂函数()y f x =的图象过点(9,3)， ∴39α=， 解得12α=∴()y f x ==[0,)+∞，且是增函数，当01x <<时，其图象在直线y x =的上方．对照选项可知C 满足题意． 故选:C ．变式2-2．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =D ．58y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案. 【详解】根据函数图象可得：①对应的幂函数y x α=在[)0,∞+上单调递增，且增长速度越来越慢，故()0,1α∈，故D 选项符合要求. 故选：D变式2-3．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1− B ．1−、3、12C ．12、1−、3D ．1−、12、3【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数y x α=在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数α的可能取值． 【详解】由幂函数y x α=在第一象限内的图象，结合幂函数的性质， 可得：图中C 1对应的0α<，C 2对应的01α<<，C 3对应的1α>， 结合选项知，指数α的值依次可以是11,,32−． 故选：D.变式2-4．已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ②()f x 和()g x 图象都过点(1,1)−；③在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ； ④在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可 【详解】幂函数的图象过定点(1,1)，①正确，在区间[1,)+∞上，α越大y x α=增长速度更快，③正确， 故选：A.题型战法三 幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x −= B ．12y x −=C ．13y x =D ．12y x =【答案】C 【解析】 【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0 【详解】对选项A ，则有：0x ≠ 对选项B ，则有：0x > 对选项C ，定义域为：R 对选项D ，则有：0x ≥故答案选：C变式3-1．若()342x −−有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(],2−∞C ．()2,+∞D ．(),2−∞【答案】C 【解析】 【分析】将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数x 的不等式，即可解得实数x 的取值范围. 【详解】由负分数指数幂的意义可知，()342x −−所以20x −>，即2x >，因此x 的取值范围是()2,+∞． 故选：C.变式3-2．函数()()()102121f x x x −=−+−的定义域是（ ）A ．(],1−∞B ．11,,122⎛⎫⎛⎫−∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1−∞−D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域. 【详解】因为()()()()1212121f x x x x −=−+−−， 则有10210x x −>⎧⎨−≠⎩，解得1x <且12x ≠，因此()f x 的定义域是11,,122⎛⎫⎛⎫−∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B.变式3-3．5个幂函数：①2y x -=；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x −=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①② B ．只有②③ C ．只有②④ D ．只有④⑤【答案】C 【解析】 【分析】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可. 【详解】①2y x -=的定义域为(,0)(0,)−∞+∞， ②45y x =的定义域为R ， ③54y x =的定义域为(0,)+∞， ④23y x =的定义域为R ，⑤45y x −=的定义域为(,0)(0,)−∞+∞，故选：C . 【点睛】本题考查幂函数的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 变式3-4．若函数()12f x x −=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．3,4⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 先求出()43f x −=，根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】 幂函数()12f x x−==()43y f x =−=, 所以430x −>，所以34x >，所以函数()43y f x =−的定义域是3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故选D.【点睛】本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.题型战法四 幂函数的值域典例4．函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14−C ．4D ．4−【答案】A 【解析】 【分析】由于函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，从而可求出其最小值【详解】∵函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，∴2min 124y −==，故选：A. 【点睛】此题考查由函数的单调性求最值，属于基础题变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A ．13y x = B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =【答案】D 【解析】 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由13y x ==x ∈R ,y R ∈，定义域、值域相同； 由12y x ==[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞，定义域、值域相同； 由53y x ==x ∈R ,，定义域、值域相同y R ∈； 由23y x ==x ∈R ，[0,)y ∈+∞，定义域、值域不相同. 故选：D变式4-2．幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =−的值域是（ ） A ．(),−∞+∞ B ．1,4⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()af x x =，带点计算可得()12f x x =，得到12y x x =−，令12t x =转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设()af x x =，代入点(得2a =12a ∴=， ()12f x x ∴=则12y x x =−，令12t x =，0t ≥22111244t t t y ⎛⎫=−−≥− ⎪⎝⎭∴=−函数()y x f x =−的值域是1,4⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：C.变式4-3．已知函数f (x )={3x −2,x ⩽1,x 12,1<x ⩽4,则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2−∞B ．(]2,2−C ．(]1,4D ．(],4∞−【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域. 【详解】当1x …吋，32x y =−单调递增，值域为(]2,1−；当14x <…时，12y x =单调递增，值域为(]1,2，故函数值域为(]2,2−. 故选：B变式4-4．已知幂函数()f x x α=的图象过点1(2,)2，则函数()f x 的值域为 A ．(,0)−∞ B ．(0,)+∞ C ．(,0)(0,)−∞⋃+∞ D ．(,)−∞+∞【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：()f x x α=的图象过点1(2,)2()11212a a f x x −∴=∴=−∴=，值域为(,0)(0,)−∞⋃+∞考点：幂函数值域题型战法五 幂函数的单调性典例5．下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（ ）A ．yB ．1y x=C ．2y x =D ．y x =【答案】B 【解析】 【分析】依据幂函数的性质去判断各选项的单调性即可解决. 【详解】选项A ：由12>可得12y x =(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除；选项B ：由10−<可得11y x x−==在(0,)+∞上单调递减.符合要求，可选；选项C ：由20>可得2y x =在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除； 选项D ：由10>可得y x =在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除. 故选：B变式5-1．已知函数()122()43f x x x =−+的增区间为（ ） A ．(3,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,2)−∞ D ．(,1)−∞【答案】A 【解析】先求得函数的定义域，再令243t x x =−+，结合12y t =的单调性，利用复合函数的单调性求解. 【详解】 由2430x x −+≥， 解得3x ≥或1x ≤，因为243t x x =−+在(,1]−∞递减，在[3,)+∞递增， 又因为12y t =在[0,)+∞递增， 所以()f x 增区间为(3,)+∞ 故选：A变式5-2．已知函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨−>⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)7,2−− B ．(),2−∞−C ．(),7−∞−D ．()7,2−−【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数()f x 是减函数及幂函数的单调性，可得()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪−≤+⨯⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨−>⎩）是减函数，所以()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪−≤+⨯⎩，解得72a −≤<−，所以实数a 的取值范围是[)7,2−−， 故选：A.变式5-3．已知幂函数()()22244m mf x m m x −=−+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（ ） A ．1或3− B ．3 C ．1− D ．1−或3【答案】B 【解析】 【分析】由函数是幂函数，解得3m =或1m =，再代入原函数，由函数在()0,∞+上是增函数确定最后的m 值. 【详解】∵函数是幂函数，则2441m m −+=，∴3m =或1m =.当3m =时()3f x x =在()0,∞+上是增函数，符合题意；当1m =时()1f x x −=在()0,∞+上是减函数，不合题意.故选：B.变式5-4．已知幂函数()()282mf x m m x =−在()0,∞+上为增函数，则()4f =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由于幂函数在在()0,∞+上为增函数，所以可得282100m m m ⎧−−=⎨>⎩，求出m 的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求得答案 【详解】由题意得282100m m m ⎧−−=⎨>⎩，得12m =，则()12f x x ==()42f =． 故选：A题型战法六 幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（ ） A ．2x y = B ．1y x −= C ．12log y x =D ．2y x =【答案】B 【解析】 【分析】奇函数应该满足()()f x f x =−−，且定义域关于原点对称，对选项一一判断即可． 【详解】奇函数应该满足()()f x f x =−−，22x x −≠−，12log y x=的定义域为()0,∞+显然A,C,不成立，当0x ≠时，有()11x x −−=−−，所以1y x −=为奇函数， 由()22x x −=可知，2y x =为偶函数. 故选：B ．变式6-1．下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（ ）A ．2y x -=B ．e e x x y −=+C ．lg y x =D ．23y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和值域确定正确选项. 【详解】2y x -=的值域为()0,∞+，不符合题意，A 选项错误.e e 2x x y −=≥=+，当0x =时等号成立，不符合题意，B 选项错误.lg y x =的定义域为()0,∞+，是非奇非偶函数，不符合题意，C 选项错误.令()23f x x =，其定义域为R ，()()()2233f x x x f x =−=−=，所以()f x 是偶函数， 且230x ≥，即()f x 的值域为[)0,∞+，符合题意，D 选项正确. 故选：D变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A ．tan y x = B ．2log y x = C ．2y x= D ．3y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A ，tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，而233ππ>，但2tan tan 33ππ=，故tan y x =在定义域上不是增函数，故A 错误.对于B ，2log y x =的定义域为()0,+∞，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数， 故B 错误.对于C ，因为21>时，2221<，故2y x=在定义域上不是增函数，故C 错误. 对于D ，因为3y x =为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R ，且为增函数，而()33−=−x x ，故3y x =为奇函数，符合. 故选：D.变式6-3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ） A ．2 B ．1，2 C ．12，2 D ．12，1，2【答案】A 【解析】 【分析】把1,1,22α=分别代入验证即可. 【详解】当12α=时，y x α==[)0,∞+，故12α≠； 当1α=时，y x x α==，定义域为R ，但是为奇函数，故1α≠； 当2α=时，2y x x α==，定义域为R ，为偶函数，故2α=. 故选：A变式6-4．已知幂函数()()2133a f x a a x +=−+为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1或2【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论． 【详解】幂函数()()2133a f x a a x +=−+为偶函数，2331a a ∴−+=，且1a +为偶数，则实数1a =， 故选：C题型战法七 比较大小与解不等式典例7．设0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c −===，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得a ，b ，c 的范围即可得答案． 【详解】200. 1.211.2a >==， 1.200.90.91b =<=，b a ∴<，又0.2y x =在(0,)+∞上单调递增，0.20.20.2101 1.20.3()3a −∴<=<=，b ac ∴<<，故选：C ．变式7-1．0.20.21210.5,log ,0.43a b c ===，则（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．c a b >>【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性判断a b >，再利用对数函数的单调性、对数的换底公式即可求解． 【详解】幂函数0.2y x =在(0,)+∞上单调递增，00.20.20.50.50.4∴>>，1a c ∴>>，1221log log 313b ==>， b ac ∴>>，故选：C ．变式7-2．设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B【分析】根据函数单调性和中间值比较函数值大小. 【详解】因为12y x =在[)0,∞+上单调递增，0.70.8<，所以121200780..b a <=<=，而331log log 102c =<=，故c a b <<. 故选：B变式7-3．已知1122(52)(1)m m −<−，则m 的取值范围是（ ） A ．(2,+∞) B ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．(),2−∞D ．[)1,2【答案】B 【解析】由幂函数的性质，可得0521m m ≤−<−，解不等式组可得答案 【详解】解：因为1122(52)(1)m m −<−， 所以0521m m ≤−<−， 解得522m <≤， 故选：B变式7-4．若1122(1)(32)a a +<−，则实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦B ．21,3⎡⎫−⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】首先利用幂函数的单调性得到10320132a a a a +≥⎧⎪−≥⎨⎪+<−⎩，再解不等式组即可.【详解】因为1122(1)(32)a a +<−，所以10320132a a a a+≥⎧⎪−≥⎨⎪+<−⎩，解得213a −≤<.。

专题12 幂函数精讲温故知新1.概念：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图像及性质1y x=12y x =2y x =3y x =y x =y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x y ＝x －1 定义域RRR[0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性 增 x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增 增 x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减3. 幂值的大小比较（1）直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较.（2）转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小.（3）中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时,可选取适当的中间值与两数分别比较,从而达到比较大小的目的. 4.幂函数性质的应用利用幂函数的性质解不等式,实际上就是利用幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系,解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的应用。

题型一：幂函数的定义例1：（2021·江西·模拟预测）已知幂函数()f x mx α=的图象过点()2,8，则m α+=（ ） A ．0B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的形式及过定点即可求解. 【详解】解：因为()f x mx α=为幂函数 所以1m =又()f x mx α=的图象过点()2,8 即82α= 解得3α= 所以4m α+= 故选：C.举一反三（2022·四川达州·二模（文））已知幂函数()f x 的图象经过点()2,4，则()3f =______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意设()f x x α=，进而待定系数得2α=，再求函数值即可.【详解】解：设()f x x α=，则24α=，解得2α=，所以()2f x x = 所以()2393f ==．故答案为：9题型二：幂函数的定义域例2：（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =【答案】C 【解析】【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0 【详解】对选项A ，则有：0x ≠ 对选项B ，则有：0x > 对选项C ，定义域为：R 对选项D ，则有：0x ≥ 故答案选：C举一反三（2021·上海市控江中学三模）函数()12f x x -=的定义域为_______． 【答案】()0,∞+ 【解析】将函数解析式变形为()f x=，即可求得原函数的定义域. 【详解】 ()12f x x-==0x >. 因此，函数()12f x x -=的定义域为()0,∞+. 故答案为：()0,∞+.题型三：幂函数的值域例3：（2020·江苏·高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】 【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f - 【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.举一反三（2015·湖北·高考真题（理））设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得， 由得，所以， 所以，由得， 所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．题型四：幂函数的单调性例4：（2011·上海·高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．2yxB ．1y x -=C ．2y xD ．13y x =【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C. 2y x 在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质． 点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．举一反三（2022·北京房山·二模）已知函数()3,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩，若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为___________.【答案】-2(答案不唯一，满足1a <-或01a <<即可) 【解析】 【分析】作出y =x 和y =3x 的图象，数形结合即可得a 的范围，从而得到a 的可能取值． 【详解】y =x 和y =3x 的图象如图所示：∴当1a <-或01a <<时，y =3x 有部分函数值比y =x 的函数值小，故当1a <-或01a <<时，函数()f x 在R 上不是增函数． 故答案为：-2．题型五：幂函数的奇偶性例5：（2022·吉林吉林·模拟预测（文））设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ） A ．2 B ．1，2 C ．12，2D ．12，1，2【答案】A 【解析】 【分析】把1,1,22α=分别代入验证即可.【详解】 当12α=时，y x x α==[)0,∞+，故12α≠；当1α=时，y x x α==，定义域为R ，但是为奇函数，故1α≠； 当2α=时，2y x x α==，定义域为R ，为偶函数，故2α=.故选：A举一反三（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.【答案】14【解析】 【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x x =-为减函数， 不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意题型六：幂函数的图像判断与应用例6：（2021·河北石家庄·模拟预测）已知幂函数a y x =与b y x =的部分图象如图所示，直线14x =，12x =与a y x =，b y x =的图象分别交于A ､B ､C ､D 四点，且AB CD =，则1122a b +=（ ）A ．12 B ．1 C 2D ．2【答案】B 【解析】 【分析】把AB CD =用函数值表示后变形可得． 【详解】由AB CD =得11114422a b a b⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1111110222222a b a b a b⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-≠⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以11122a b⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B ．举一反三（2021·江西·模拟预测）函数43()f x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】从函数()f x 的定义域、奇偶性及在第一象限的变化快慢三个方面逐一分析各选项即可判断作答. 【详解】幂函数()f x 定义域为R ，选项C 不满足；()f x =()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，选项B 不满足；因413>，则函数43()f x x =在第一象限单调递增，且增长趋势越来越快，选项A 不满足， 显然选项D 满足幂函数()f x 的上述特点，即大致图象是D. 故选：D题型七：幂函数过定点问题例7：（2021·浙江浙江·高一期末）以下结论正确的是（ ） A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过()0,0、()1,1两点C ．若幂函数y x α=的图象关于原点对称，则y x α=在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 【答案】D【解析】对于A 选项，当0α=时，函数01y x ==的定义域为{}0x x ≠，所以，函数0y x =的图象是两条射线，A 选项错误；对于B 选项，幂函数1y x -=不经过原点，B 选项错误；对于C 选项，幂函数1y x -=的图象关于原点对称，但函数1y x -=在定义域内不单调，C 选项错误；对于D 选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D 选项正确.故选：D.举一反三以下命题正确的是（ ） ①幂函数的图像都经过()0,0②幂函数的图像不可能出现在第四象限③当0n =时，函数n y x =的图像是两条射线（不含端点）④()3f x x -=是奇函数，且()3f x x -=在定义域内为减函数A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③【答案】C【解析】①幂函数1y x -=不经过原点，所以①不正确；②形如y x α=，α∈R 的函数是幂函数，当0x >时，0y >，所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确；③0y x =的定义域是{}0x x ≠，1y =，所以0n =时，n y x =的图象是两条射线（不含端点），所以③正确；④()3f x x -=是奇函数，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞，函数在(),0-∞是减函数，在()0,∞+也是减函数，但在定义域内不是减函数，所以④不正确.故选：C题型八：幂函数中的参数问题例8：（2021·福建·漳州三中高一期中）已知函数()2222()1m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)+∞上递增，则实数m =（ ）A ．2B ．1-C ．4D ．2或1-【答案】B【解析】因函数()2222()1mm f x m m x--=--是幂函数，则211m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =，当1m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上递增，则1m =-，当2m =时，函数2()f x x -=在(0,)+∞上递减，不符合要求，实数1m =-.故选：B 。

专题2.9 幂函数与二次函数-重难点题型精讲1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数 y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象性质定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 RR值域[4ac −b 24a，+∞)(−∞，4ac −b 24a]单调性在x ∈(−∞，−b 2a]上单调递减；在x ∈[−b2a，+∞)上单调递增 在x ∈(−∞，−b 2a]上单调递增；在x ∈[−b 2a，+∞)上单调递减对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称【题型1 求幂函数的解析式】(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.(2)对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y ＝x α(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式.【例1】（2021秋•临渭区期末）已知幂函数y ＝f （x ）的图像过点（2，8），则f （﹣2）的值为（ ） A ．8B ．﹣8C ．4D ．﹣4【解题思路】设所求的幂函数为f （x ）＝x a ，由幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，8），解得f （x ）＝x 3，由此能求出f （﹣2）的值． 【解答过程】解：设所求的幂函数为f （x ）＝x a ， ∵幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，8）， ∴f （2）＝2a ＝8，解得a ＝3， ∴f （x ）＝x 3，∴f （﹣2）＝（﹣2）3＝﹣8， 故选：B ．【变式1-1】（2021秋•阳春市校级月考）已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点(3，√3)，则f （4）的值为（ ） A ．﹣2B ．1C ．2D ．4【解题思路】设幂函数的解析式为f （x ）＝x α，代入点可求α的值，从而可求f （4）的值．【解答过程】解：设幂函数的解析式为f （x ）＝x α，因为幂函数y ＝f （x ）的图象过点(3，√3)，所以3α=√3，解得α=12． 所以f （x ）=√x ，f （4）=√4=2． 故选：C ．【变式1-2】（2022春•无锡期末）已知幂函数y ＝f （x ）的图像过点(2，√22)，则f （16）＝（ ）A ．−14B ．14C ．﹣4D ．4【解题思路】设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数f （x ）的解析式，求出函数值即可．【解答过程】解：令f （x ）＝x α， 将点(2，√22)代入函数的解析式得：2α=√22=2−12，解得α=−12，故f （x ）=x −12，f （16）=14， 故选：B ．【变式1-3】（2022春•广陵区校级月考）若幂函数f （x ）＝x a 的图象经过点(2，√163)，则函数f （x ）的解析式是（ ） A ．f(x)=x 43B ．f(x)=x 13C ．f(x)=x−43D ．f(x)=x 23【解题思路】由题意，利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出它的解析式． 【解答过程】解：∵幂函数f （x ）＝x a 的图象经过点(2，√163)，∴2a=√163=234，解得a=43，∴f(x)=x 43，故选：A ．【题型2 幂函数的图象和性质】(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【例2】（2022春•德州期末）幂函数f(x)=(m 2+m −5)x m2+2m−5在区间（0，+∞）上单调递增，则f （3）＝（ ） A ．27B ．9C ．19D ．127【解题思路】根据幂函数的概念及性质，求出实数m 的值，得到幂函数的解析式，由此能求出结果．【解答过程】解：∵幂函数f(x)=(m 2+m −5)x m2+2m−5在区间（0，+∞）上单调递增，∴{m2+m−5=1m2+2m−5是正数，解得m＝2，∴f（x）＝x3，∴f（3）＝33＝27．故选：A．【变式2-1】（2022春•玉林期末）幂函数y=x m2+m−2（0≤m≤3，m∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是增函数，则m的值为（）A．0B．2C．3D．2和3【解题思路】由题意可得m2+m﹣2＞0，且m2+m﹣2为偶数，结合0≤m≤3，m∈Z，求出m的值．【解答过程】解：由题意，可得m2+m﹣2＞0，且m2+m﹣2为偶数，∵0≤m≤3，m∈Z，∴m＝2或3．故选：D．【变式2-2】（2021秋•鹿城区校级期中）已知幂函数f（x）的图象过点(√2，√22)，若x1＞x2＞1，则（）A．f（x1）＞f（x2）＞1B．f（x1）＞1＞f（x2）C．f（x1）＜f（x2）＜1D．f（x1）＜1＞f（x2）【解题思路】求出幂函数的解析式，根据幂函数的单调性，判断f（x1），1，f（x2）的大小即可．【解答过程】解：幂函数f（x）的图象过点(√2，√22)，所以√22=(√2)α，所以α＝﹣1，所以幂函数为y＝x﹣1，幂函数在x＞0时是减函数，因为x1＞x2＞1，所以f（x1）＜f（x2）＜1．故选：C．【变式2-3】（2021秋•黟县校级期中）设α∈{﹣3，﹣2，﹣1，−12，12，1，2，3}，则使y＝xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】利用幂函数的性质、奇函数的定义、函数的单调性即可得出．【解答过程】解：只有当α＝﹣3，﹣1时，满足幂函数y＝x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减．故选：B．【题型3 求二次函数的解析式】 求二次函数解析式的方法： (1)已知三点坐标，选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大（小）值等条件，选用顶点式； (3)已知与x 轴两交点坐标，选用零点式.【例3】已知二次函数f （x ）的图象经过两点（0，3），（2，3），且最大值是5，则该函数的解析式是（ ） A ．f （x ）＝2x 2﹣8x +11 B ．f （x ）＝﹣2x 2﹣8x ﹣1C ．f （x ）＝2x 2﹣4x +3D ．f （x ）＝﹣2x 2+4x +3【解题思路】由题意可得对称轴x ＝1，最大值是5，故可设f （x ）＝a （x ﹣1）2+5，代入其中一个点的坐标即可求出a 的值，问题得以解决．【解答过程】解：二次函数f （x ）的图象经过两点（0，3），（2，3），则对称轴x ＝1，最大值是5，可设f （x ）＝a （x ﹣1）2+5， 于是3＝a +5，解得a ＝﹣2，故f （x ）＝﹣2（x ﹣1）2+5＝﹣2x 2+4x +3， 故选：D ．【变式3-1】 二次函数y ＝ax 2+bx +c ，当y ＜0时，x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞3，则二次函数的解析式是（ ） A ．y ＝x 2﹣x ﹣6B ．y ＝x 2+x ﹣5C ．y ＝﹣x 2+x +6D ．y ＝﹣2x 2+3x【解题思路】根据题意得出a ＜0，x ＝﹣2，x ＝3是ax 2+bx +c ＝0的根，判断即可得出答案．【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c ，当y ＜0时，x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞3， ∴a ＜0，x ＝﹣2，x ＝3是ax 2+bx +c ＝0的根， A ，B 的开口向上，故不正确， D 的零点为0，32，故不正确，故选：C ．【变式3-2】（2021秋•增城市校级期中）已知二次函数的图象与x 轴交于点（﹣1，0）和（2，0），且与y 轴交于（0，﹣2），那么此函数的解析式是（ ） A ．y ＝﹣x 2+x +2B ．y ＝x 2﹣x ﹣2C ．y ＝x 2+x ﹣2D ．y ＝2x 2﹣2x ﹣4【解题思路】由题意知，可用两根式设抛物线的解析式，然后将三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．【解答过程】解：由于二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（2，0），故可设这个二次函数的解析式是y＝a（x+1）（x﹣2）（a≠0），又由二次函数的图象与y轴交于（0，﹣2），则﹣2＝a（0+1）（0﹣2）解之得a＝1；所以该函数的解析式为：y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2故选：B．【变式3-3】（2022•山东模拟）二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3）且最大值是5，则该函数的解析式是（）A．f（x）＝2x2﹣8x+11B．f（x）＝﹣2x2+8x﹣1C．f（x）＝2x2﹣4x+3D．f（x）＝﹣2x2+4x+3【解题思路】由题意可得对称轴x＝1，最大值是5，故可设f（x）＝a（x﹣1）2+5，代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决【解答过程】解：二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3），则对称轴x＝1，最大值是5，可设f（x）＝a（x﹣1）2+5，于是3＝a+5，解得a＝﹣2，故f（x）＝﹣2（x﹣1）2+5＝﹣2x2+4x+3，故选：D．【题型4 二次函数的图象】(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析；(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【例4】（2021秋•衢州期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b＝0B．a+b+c＜0C．a﹣b+c＜0D．abc＞0【解题思路】由已知结合二次函数的图象及性质分析各选项即可判断．【解答过程】解：由图象可知，a＜0，c＞0，−b2a=1，所以b＝﹣2a，A错误；因为f（﹣1）＝a﹣b+c＜0，C正确，f（1）＝a+b+c＞0，B错误；所以abc＜0，D错误．故选：C．【变式4-1】（2021秋•三元区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③【解题思路】结合函数的图象以及二次函数的性质判断即可．【解答过程】解：y＝ax2+bx+c有2个零点，故Δ＝b2﹣4ac＞0，故①正确，结合图象f（﹣1）＜0，故a﹣b+c＜0，故②错误，函数对称轴是x=−b2a＞1，（a＜0），故2a+b＞0，故③正确，故选：B．【变式4-2】（2021秋•上蔡县校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）①b＝﹣2a；②a+b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④abc＜0．A．①③B．②③C．②④D．①④【解题思路】结合图像，根据二次函数的性质分别判断即可．【解答过程】解：结合图像，对称轴x=−b2a=1，故b＝﹣2a，故①正确；f（1）＝a+b+b＞0，故②错误；f（﹣1）＝a﹣b+c＜0，故③错误；a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故④正确；故选：D．【变式4-3】（2020春•霍邱县校级期末）二次函数f（x）的图象如图所示，则f（x﹣1）＜0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（0，3）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）【解题思路】由图象知，当﹣1＜x＜2时，则f（x）＜0，再列出不等式即可．【解答过程】解：由图象知，当﹣1＜x＜2时，则f（x）＜0，∵f（x﹣1）＜0，∴﹣1＜x﹣1＜2，∴0＜x＜3，∴不等式的解集为（0，3）．故选：B．【题型5 二次函数的单调性与最值】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．【例5】（2022春•兴庆区校级期末）函数y＝x2﹣x+1，x∈[﹣1，1]的最大值与最小值之和为（）A．1.75B．3.75C．4D．5【解题思路】数y＝x2﹣x+1，对称轴为x=12，y min=f(12)=34，f（﹣1）＝3，f（1）＝1，故最大值为3，最小值为0.75，求出即可．【解答过程】解：函数y＝x2﹣x+1，对称轴为x=1 2，y min=f(12)=34，f（﹣1）＝3，f（1）＝1，故最大值为3，最小值为0.75所以最大值和最小值的和为3.75，故选：B．【变式5-1】（2021秋•靖远县期中）已知函数f（x）＝x2﹣4x在区间[﹣1，m]上的最大值为5，则实数m的取值范围是（）A．（2，5]B．（﹣1，5]C．[2，5]D．（1，5]【解题思路】根据题意，f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4的对称轴为x＝2，且当x＝2时，函数有最小值f（2）＝﹣4，且f（﹣1）＝f（5）＝5，又函数f（x）＝x2﹣4x在区间[﹣1，m]上的最大值为5，从而可得﹣1＜m≤5．【解答过程】解：根据题意，f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4的对称轴为x＝2，且当x＝2时，函数有最小值f（2）＝﹣4，令f（x）＝5，得x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∵函数f（x）＝x2﹣4x在区间[﹣1，m]上的最大值为5，∴﹣1＜m≤5，即m的取值范围是（﹣1，5]．故选：B．【变式5-2】（2021•天心区校级开学）二次函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），且f（x）在[0，2]上是减函数，若f（a）≤f（0），则实数a的取值范围为（）A．[0，4]B．（﹣∞，0]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）【解题思路】根据题意知f（x）的对称轴为x＝2，由f（a）≤f（0）得出|a﹣2|≤2，从而求得a的取值范围．【解答过程】解：函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），则f（x）的对称轴为x＝2；又f（x）在[0，2]上是减函数，则f（x）在[2，4]上是增函数；如图所示，若f（a）≤f（0），则有|a﹣2|≤2，解得：0≤a≤4，即a的取值范围是[0，4]．故选：A．【变式5-3】（2022•东湖区校级模拟）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+5，若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，则实数a的取值范围是（）A．[2，3]B．[1，2]C．[﹣1，3]D．[2，+∞）【解题思路】先由函数的解析式求出其对称轴及单调区间；然后根据f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，得出a的一个取值范围；再对任意的x1，x2∈[1，a+1]，|f（x1）﹣f（x2）|max＝|f（a）﹣f（1）|≤4，又可求出a的一个取值范围；最后两者取交集，则问题解决．【解答过程】解：函数f（x）＝x2﹣2ax+5的对称轴是x＝a，则其单调减区间为（﹣∞，a]，因为f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，所以2≤a，即a≥2．则|a﹣1|≥|（a+1）﹣a|＝1，因此任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，只需|f（a）﹣f（1）|≤4即可，即|（a2﹣2a2+5）﹣（1﹣2a+5）|＝|a2﹣2a+1|＝（a﹣1）2≤4，亦即﹣2≤a﹣1≤2，解得﹣1≤a≤3，又a≥2，因此a∈[2，3]．故选：A．【题型6 二次函数的恒成立问题】【方法点拨】(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【例6】（2020秋•宁波期末）已知函数f （x ）＝4ax 2+4x ﹣1，∀x ∈（﹣1，1），f （x ）＜0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤−34B ．a ＜﹣1C ．−1＜a ≤34D ．a ≤﹣1【解题思路】对二次项系数a 的取值进行分类讨论，分a ＝0，a ＞0，a ＜0三种情况分别求解，即可得到答案．【解答过程】解：当a ＝0时，f （x ）＝4x ﹣1＜0，解得x ＜14，故当x =34时，f （x ）＞0，故不符合题意；当a ＞0时，则有{f(−1)=4a −4−1≤0f(1)=4a +4−1≤0，无解； 当a ＜0时，则有{△≥0−42⋅4a ≤−1f(−1)≤0①，或{△≥0−42⋅4a ≥1f(1)≤0②，或Δ＝16+16a ＜0③， 解得①无解，②无解，③a ＜﹣1，故a ＜﹣1，综上所述，实数a 的取值范围是a ＜﹣1．故选：B ．【变式6-1】（2020春•玉林期末）已知函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，72）B ．（72，+∞）C ．（﹣∞，143）D ．（143，+∞）【解题思路】由题意可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，结合y ＝g （x ）的图象，只需g （1）＜0，且g （2）＜0，解不等式可得所求范围．【解答过程】解：函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立， 可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，由于y ＝g （x ）的图象为开口向上的抛物线，只需g （1）＜0且g （2）＜0，所以{1+4−k −k +2＜04+2(4−k)−k +2＜0，即{k ＞72k ＞143， 可得k ＞143．故选：D ．【变式6-2】（2020秋•湖北期中）已知f （x ）＝x 2+4x +1+a ，∀x ∈R ，f （f （x ））≥0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[√5−12，+∞)B．[2，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[3，+∞）【解题思路】换元，令t＝f（x），则t≥a﹣3，所以f（t）≥0对任意t≥a﹣3恒成立，再求出f（t）的最小值后，解不等式即可．【解答过程】解：设t＝f（x）＝（x+2）2+a﹣3≥a﹣3，∴f（t）≥0对任意t≥a﹣3恒成立，即（t+2）2+a﹣3≥0对任意t∈[a﹣3，+∞）都成立，①当a﹣3≤﹣2，即a≤1时，f（t）min＝f（﹣2）＝a﹣3，则a﹣3≥0，即a≥3，与讨论a≤1矛盾，②当a﹣3＞﹣2，即a＞1时，f（t）min＝f（a﹣3）＝a2﹣a﹣2≥0，解得a≥2或a≤﹣1，∵a＞1，∴a≥2，∴实数a的取值范围为[2，+∞）．故选：B．【变式6-3】（2021秋•上高县校级月考）已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝x2﹣x+2，若f（x）＞3x+m在区间[﹣1，3]上恒成立，则实数m的范围是（）A．m＜﹣5B．m＞﹣5C．m＜11D．m＞11【解题思路】先令t＝x+，则x＝t﹣1，然后用换元法求出f（x）的解析式，再根据f（x）＞3x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，转化为m＜x2﹣6x+4对x∈[﹣1，3]恒成立，再确定g（x）＝x2﹣6x+4的最小值即可．【解答过程】解：令t＝x+1，则x＝t﹣1．所以f（t）＝（t﹣1）2﹣（t﹣1）+2＝t2﹣3t+4，所以f（x）＝x2﹣3x+4，因为f（x）＞3x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，所以m＜x2﹣6x+4对x∈[﹣1，3]恒成立，设g（x）＝x2﹣6x+4，对g（x）配方得，g（x）＝（x﹣3）2﹣5，当x＝3时，g（x）有最小值﹣5，所以m＜﹣5，故选：A．。

新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题3.4 幂函数【考纲解读与核心素养】1.了解幂函数的概念．掌握幂函数2,y x y x ==31,y x y x -==，121,y y x x==的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.4.高考预测：（1）与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；（2）幂函数的图象与性质的应用.（3）在分段函数中考查幂函数的图象和性质. 5.备考重点：（1）“三个二次”的结合问题； （2）幂函数图象和性质.【知识清单】1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a 对称【典例剖析】高频考点一 ：幂函数的概念【典例1】已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.【答案】(1) m ＝1.(2) m ＝－1.(3) －1±132.(4)－1± 2. 【解析】 (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2. 【总结提升】形如y ＝x α的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y ＝3x 、y ＝x x ＋1、y ＝x 2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y ＝x 2是幂函数，y ＝2x 是指数函数．【变式探究】 有下列函数：①y ＝3x 2；②y ＝x 2＋1；③y ＝－1x ；④y ＝1x ； ⑤y ＝x 23 ；⑥y ＝2x .其中，是幂函数的有__ __(只填序号)． 【答案】④⑤【解析】①中，x 2的系数为3，故不是幂函数；②中，y ＝x 2＋1不是x α的形式，故不是幂函数；③中，y ＝－1x ＝－(x －1)，系数是－1，故不是幂函数；④中，y ＝1x ＝x －1是幂函数；⑤中，y ＝x 23 是幂函数；⑥中，y ＝2x 是指数函数．高频考点二 ：幂函数的图象【典例2】（2020·四川省高一期末）若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，dy x =在同一坐标系中的部分图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系正确的是（ ）A ．1a b >>B ．1a b >>C ．0b c >>D ．0d c >>【答案】B 【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得100a b c d >>>>>>.故选：B.【典例3】【2018届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上期中】若幂函数1,m y x y x -==与n y x =在第一象限的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为 （ ）A. 101m n -<<<<B. 10n m -<<<C. 10m n -<<<D.101n m -<<<<【答案】D【解析】在第一象限作出幂函数1m n y x y x y x y ====，，， 的图象，在01（，） 内取同一值0x ，作直线0x x = ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知如图， 0110m n -＜＜，＜＜， 故选D ．【典例4】（2019·江西高三期中（文））幂函数的图象经过点，则( )A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】设幂函数的解析式为，∵点在函数的图象上，∴，即，解得，∴，∴．故选B．【总结提升】1.函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.【变式探究】1．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数43的图像大致是（）y xA ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】4343y x x ==，∴该函数的定义域为R ，所以排除C ；因为函数为偶函数，所以排除D ； 又413>，43y x ∴=在第一象限内的图像与2y x 的图像类似，排除B.故选A ．9．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数n y x =的部分图像,已知n 取11,2,2,22--这四个值,则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为( )A ．112,,,222--B ．112,,,222--C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--【答案】A 【解析】方法一 曲线12,C C 过点()()0,01,1,，且在第一象限单调递增，0n ∴>，n 为1,22.显然1C 对应2yx ，2C 对应12y x =.曲线34,C C 过点()1,1，且在第一象限单调递减，0n ∴<，n 为1,22--.显然3C 对应12y x -=，4C 对应2yx .方法二 令2x =，分别代入1122221234,,,y x y x y x y x --====，得123414,24y y y y ====，1234y y y y ∴>>>， 所以曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为112,,,222--.故选：A .3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ）A ．幂函数的图像过(0,0) 和(1,1)两点B ．幂函数的图像不可能出现在第四象限C ．当0n >时，()*n y x n N =∈是增函数 D ．0y x =的图像是一条直线【答案】B 【解析】幂函数的图像都过点(1,1),但不一定过点(0,0) ，如1y x -=，所以A 错；因为当0x >时0y x α=>，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即B 对；当0n >时，()*n y x n N =∈不一是增函数，如2yx 在(,0]-∞上单调递减，所以C错；0y x =的图像是一条去掉一点(0,1) 的直线，所以D 错.故选:B高频考点三 ：幂函数的性质【典例5】【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数()f x x α=得：2=4α，则1=2α.所以12()f x x =，显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确.()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确.当若120x x <<时，()()122212()()22f x f x x x f ++-=22-.122x x +-.=0<.即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以D 正确.故选：ACD.【典例6】（2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数f （x ）＝x n +1的图象上，设a f =⎝⎭，b ＝f （ln π），c f =⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】D 【解析】根据题意，点（3，28）在函数f （x ）＝x n +1的图象上，则有28＝3n +1，解可得n ＝3；则f （x ）＝x 3+1，易得f （x ）在R 上为增函数，又由412123==1＜ln π，则有c ＜a ＜b .故选：D.【典例7】（2019·上海高考模拟）设，若为偶函数，则______．【答案】【解析】由题可知，时，，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；时，不满足f(-x)=f(x),．故答案为：．【方法技巧】1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.【变式探究】1.（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数的图象过点，且，，，则、、的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 幂函数的图象过点，∴＝4，m ＝2；∴， ，＝﹣log 23＜0，∴log 23， ∴．故选：C ．2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数a y x =的图像满足，当(0,1)x ∈时，在直线y x =的上方；当(1,)x ∈+∞时，在直线y x =的下方，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】1α< 【解析】当1a >时，幂函数a y x =和直线y x =第一象限的图像如下由图可知，不满足题意当1a =时，幂函数a y x x ==和直线y x =重合，不满足题意 当01a <<时，幂函数a y x =和直线y x =第一象限的图像如下由图可知，满足题意当0a =时，幂函数a y x =和直线y x =第一象限的图像如下由图可知，满足题意当0a <时，幂函数a y x =和直线y x =第一象限的图像如下由图可知，满足题意 综上，1α< 故答案为1α<3．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文）） 已知函数2()(1)m f x m m x =--是幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则实数m =________.【答案】2 【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在区间（0，+∞）上单调递增，∴2110m m m ⎧--=⎨⎩＞， 解得m ＝2或-1（舍）．故答案为2．高频考点四：幂函数综合问题【典例8】（2013·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为实数a 的所有值为________．【答案】－1 【解析】设点1,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时g t 取得最小值()22g a a =-，=a =（2）当2a <时，g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.【典例9】（2020·上海高一课时练习）若2233(1)(32)a a --+>-，求实数a 的取值范围．【答案】2,(4,)3a ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】由幂函数()23f x x-==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足()()f x f x -===，所以函数()f x 为偶函数，又由幂函数的性质，可得函数()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)+∞单调递减，又由2233(1)(32)a a --+>-，则满足13210320a a a a ⎧-<-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得23<a 或4a >，所以实数a 的取值范围2(,)(4,)3-∞⋃+∞． 【典例10】（2020·江西省南康中学高一月考）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+满足()()24f f <．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()()[]2,1,9g x f x mf x x =+∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()12f x x =；（2）存在1m =-使得()g x 的最小值为0；（3）9,24n ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．【解析】（1）∵()f x 为幂函数，∴2331p p -+=，∴1p =或2p =．当1p =时，()1f x x -=在()0,+∞上单调递减，故()()24f f >不符合题意．当2p =时，()12f x x ==在()0,+∞上单调递增，故()()24f f <，符合题意．∴()f x =（2）()g x x =+令t =．∵[]1,9x ∈，∴[]1,3t ∈，∴()2g x t mt =+，[]1,3t ∈．当12m-≤时，1t =时，()g x 有最小值， ∴10m +=，1m =-．②当132m <-<时，2m t =-时，()g x 有最小值．∴204m -=，0m =（舍）．③当32m-≥时，3t =时，()g x 有最小值， ∴930m +=，3m =-（舍）．∴综上1m =-．（3）()h x n =易知()h x 在定义域上单调递减，∴()()h a bh b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即n b h a⎧=⎪⎨=⎪⎩，S =t =，则23a S =-，23b t =-，∴2233n S t n t S ⎧-=-⎨-=-⎩，∴22t S S t +=+， ∴()()10t S t S -+-=． ∵a b <，∴S t <，∴10t S +-=，∴1t S =-，1=．∵a b <，∴1134a -≤<-，∴10,2S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， ∴23n t S =+- 22S S =-- 21924S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．∴9,24n ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．【变式探究】1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()21f x f x --的最大值为（ ）A ．12B ．12-C ．34-D ．-1【答案】C 【解析】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα故()f x =()()21f x f x x --=t =，则()21y t t =-+，0t ≥，∴12t =时，max 34y =-.故选：C2.（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））若()()1122132a a +<-，则实数a 的取值范围是________．【答案】21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】令f(x)=12x 的定义域是{x|0x ≥},且在(0,+∞)上单调递增,则原不等式等价于10,{320,132,a a a a +≥-≥+>-解得21,3a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.。

2021年高考数学一轮复习专题2.9幂函数指数函数与对数函数讲【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 如果3x＝4，则x ＝________．【解析】 由指数式与对数式的互化规则，得x ＝log 34. 2．[教材改编] 2log 510＋log 50.25＝________．【解析】 2log 510＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 3．[教材改编] 函数y ＝log 2(x 2－1)的单调递增区间是________．【解析】 由x 2－1>0得x <－1或x >1.又函数y ＝log 2x 在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(1，＋∞)． 题组二 常错题4．函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的单调递减区间为________．【解析】 由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＞1或x＜12，易知u ＝2x 2－3x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >1或x <12在(1，＋∞)上是增函数，所以原函数的单调递减区间为(1，＋∞)．5．设a ＝14，b ＝log 985，c ＝log 83，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝14＝log 949＝log 93<log 83＝c ，a ＝log 93>log 985＝b ，所以c >a >b .题组三 常考题6． lg 52＋2lg 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－1＝________． 【解析】 原式＝lg 5－lg 2＋2lg 2＋5＝lg 5＋lg 2＋5＝1＋5＝6.7．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是________________．8． 设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1x 2＋2，若f (x )>f (2x －1)，则x 的取值范围为________． 【解析】 由f (x )＝ln(1＋|x |)－12＋x2可知f(x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1)，即f (|x |)>f (|2x －1|)，即|x |>|2x －1|，解得13<x <1.【知识清单】1 幂函数的概念、图象与性质 常用幂函数的图象与性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝ y ＝x －1图象定义域RRR[0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减2指数函数的概念、图象与性质y＝a x a>10<a<1 图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【考点深度剖析】1.与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．2.关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．3.从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质．【重点难点突破】考点1 幂函数的概念、图象与性质【1-1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？【答案】【1-2】若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)的图象不经过原点，则实数m 的值为________． 【答案】 1或2【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合.【1-3】设424999244(),(),()999a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】【解析】∵函数是增函数，∴，又∵函数是减函数，∴，∴. 【思想方法】1.判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）幂系数为1.2..幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． 【温馨提醒】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键. 考点2 指数函数的概念、图象与性质【2-1】若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 【答案】 3【2-2】设f (x )＝|3x－1|，c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )，由在关系式①3c>3b ；②3b >3a ；③3c＋3a>2；④3c＋3a<2中一定成立的是.【答案】④【解析】作f(x)＝|3x－1|的图象如图所示，由图可知，要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，需有c<0且a>0，所以3c<1<3a，所以f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.又f(c)>f(a)，所以1－3c>3a－1，即3a＋3c<2，故填④.【思想方法】指数函数的底数中若含有参数，一般需分类讨论．指数函数与其他函数构成的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．【温馨提醒】一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解．考点3 对数函数的概念、图象与性质【3-1】已知f(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)，若当x∈(－1，0)时，f(x)<0，则f(x)在定义域上单调性是.【答案】增函数【解析】由于，即时，所以，因而在上是增函数．【3-2】已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性．【答案】（1）时，定义域为，时，定义域为；（2）时，增函数，时，减函数．【解析】(1)由a x－1>0得a x>1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，故0<ax1－1<ax2－1，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)．∴f(x1)<f(x2)．故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．【3-3】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)；（2）存在，．【基础知识】a>10<a<1图像定义域 (0，＋∞)值域 R 定点 过点(1,0)单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值正负当x >1时，y >0； 当0<x <1，y <0当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0【思想方法】利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决． 【温馨提醒】解决对数型函数、对数型不等式问题,一定要注意定义域优先原则.【易错试题常警惕】由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到． 如：若，则的取值范围是 ．【分析】由的图象关于轴对称知，函数在上是减函数，在上是增函数．因为，所以32010321a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩或32010321a a a a -<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩或 ()32010321a a a a ⎧->⎪+<⎨⎪->-+⎩或()32010321a a a a ⎧-<⎪+>⎨⎪-->+⎩，解得或或或，所以的取值范围是()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．【易错点】本题容易只考虑到，在同一单调区间的情况，不全面而致误． 【练一练】已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)，经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围。

新高考数学复习基础知识专题讲义知识点33 幂函数知识理解一．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数(2)xα的系数为1(3)只有一项二．五种常见幂函数的图象与性质考向一 幂函数的定义【例1】（2021·四川资阳市）已知幂函数()()f x x αα=∈R 的图象过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则α=（ ）A ．14-B ．12-C ．12D ．14【答案】B【解析】幂函数()()f x x αα=∈R 的图象过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则142α=，解得：12α=-，故选：B.【举一反三】1．（2021·四川达州市）如果幂函数()af x x =的图象经过点()9,3，那么a 的值是（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】D【解析】将点()9,3代入()af x x =可得39a =，即233a =，可得：21a =，解得：12a =，故选：D 2．（2021·福建三明市）若幂函数()f x 的图象过点()2,4，则()3f 的值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．9 【答案】D【解析】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()f x 的图象过点()2,4，所以24α=，解得2α=，所以()2f x x =，所以()2339f ==，故选：D3．（2021·浙江丽水市）已知幂函数(),ny mx m n R =∈的图象经过点()2,8，则m n -=_______.【答案】2-【解析】由函数(),ny mxm n R =∈为幂函数，可知1m =，故n y x =，考向分析由函数图象经过点()2,8，所以28n =，即3n =，故132m n -=-=-，故答案为：2-考向二 幂函数的定义域值域【例2】（2021·全国课时练习）（1）函数45y x =的定义域是_____，值域是_____； （2）函数45y x-=的定义域是____，值域是_____；（3）函数54y x =的定义域是______，值域是_____； （4）函数54y x -=的定义域是_____，值域是______.【答案】R [0,)+∞{|0}x x ≠(0,)+∞[0,)+∞[0,)+∞(0,)+∞(0,)+∞ 【解析】（1）45y x =的定义域是R ，值域是[0,)+∞； （2）45451xy x-==的定义域是{|0}x x ≠，值域是(0,)+∞；（3）54y x =的定义域是[0,)+∞，值域是[0,)+∞； （4）54541xy x-==的定义域是(0,)+∞，值域是(0,)+∞；故答案为：R ；[0,)+∞；{|0}x x ≠；(0,)+∞；[0,)+∞；[0,)+∞；(0,)+∞；(0,)+∞． 【举一反三】1．（2021·全国课时练习）在函数①75y x =；②56y x =；③47y x =；④25y x -=；⑤13y x-=；⑥23y x=中定义域与值域相等的有_________个. 【答案】3【解析】①75y x =的定义域为R ，值域为R .②56y x =的定义域为[)0+∞，，值域为[)0+∞，. ③47y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. ④25y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(0+)∞，.⑤13y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.⑥23y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. 故定义域与值域相等的有①, ②和⑤ 故答案为：32．（2021·全国课时练习）已知幂函数212a y ax -=，该函数的值域为_________.【答案】[)0,+∞【解析】根据幂函数的定义，得1a =，函数为12y x =，由图象得函数的值域为[)0,+∞，故答案为：[)0,+∞．3．（2021·全国高一课时练习）5个幂函数：①2y x ；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x -=.其中定义域为R 的是（ ）A ．只有①②B ．只有②③C ．只有②④D ．只有④⑤ 【答案】C 【解析】①2yx 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，②45y x =的定义域为R ， ③54y x =的定义域为(0,)+∞， ④23y x =的定义域为R ， ⑤45y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C .考向三 幂函数的性质【例3-1】（2021·河北邯郸市）已知幂函数()221()1m f x m m x+=+-在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2-或1 【答案】A【解析】由于()f x 为幂函数，所以2112m m m +-=⇔=-或1m =；又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，故当2m =-时符合条件，故选：A【例3-2】．（2021·河南高三期中）已知幂函数()()2157m f x m m x+=-+为奇函数，则实数m 的值为（ ）A ．4或3B ．2或3C ．3D ．2 【答案】D 【解析】()f x 是幂函数，∴2571m m -+=，解得2m =或3，当2m =时，3()f x x =为奇函数；当3m =时，4()f x x =为偶函数，∴2m =.故选：D.【例3-3】．（2021·江苏南通市·海门市第一中学）已知2225351,3,(3)2a b c -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >>B ．a c b >> C ．c a b >>D ．b c a >> 【答案】D【解析】()21122555522124a -=⎛⎫= ==⎪⎝⎭，()1122333339b===，()()2511255393c ⎡⎤=-=⎣⎦=-，因为15y x =在()0,∞+单调递增，所以115549<，即a c <，因为9xy =在R 上单调递增，1153<，所以115399<，即c b <， 所以a c b <<，即b c a >>故选：D. 【举一反三】1．（2021·繁昌县第一中学）已知幂函数()()233mf x m m x =-+是偶函数，则()2f =________.【答案】4【解析】因为函数()f x 为幂函数，所以2331m m -+=，解得1m =或2m =.当1m =时，()f x x =，函数()f x 为奇函数，不合题意； 当2m =时，()2f x x =，函数()f x 为偶函数，所以()24f =.故答案为：4.2．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学）已知幂函数()232()1m f x m m x +=-+为定义在R 上的偶函数，则实数m =___________. 【答案】0 【解析】()f x 为幂函数， 211m m ∴-+=，解得：0m =或1m =；当0m =时，2()f x x =，是偶函数，满足题意； 当1m =时，5()f x x =，是奇函数，不满足题意； 综上所述：0m =；故答案为：0.3．（多选）（2021·全国课时练习）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（ ）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数 E.m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误 当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误； 当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.4．（2021·江西景德镇市·景德镇一中）已知0.31()2a =，12log 0.3b =，0.30.3c =，则a b c ，，的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a << 【答案】B【解析】∵0.31()2a =，12log 0.3b =0.30.3c =∴10.3111112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11221log 0.3log 12b =>=，0.30.310.32c ⎛⎫=<⎪⎝⎭,∴c a b <<故选：B 5．（2021·重庆九龙坡区·高一期末）已知1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1223b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1334c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22log 3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）A ．a b c d >>>B ．c a b d >>>C ．d c a b >>>D ．b a c d >>> 【答案】B【解析】因为23xy ⎛⎫=⎪⎝⎭为R 上的减函数，故113222303⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝>⎭，故0a b >>， 又13y x =为()0,∞+上的增函数，故11333243>⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故c a >，而2log y x =为()0,∞+上的增函数，故222log log 103<=，故0d <，故c a b d >>>，故选：B.考向四 幂函数的图像【例4】（2021·山东滨州市）已知幂函数1234,,,a b c dy x y x y x y x ==== 在第一象限的图象如图所示，则（ ）A ．a b c d >>>B ．>>>b c d aC ．>>>d b c aD ．>>>c b d a 【答案】B【解析】由图象可知，当2x =时，2222d a c b <<<，则a d c b <<<故选：B 【举一反三】1．（2021·浙江）幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数a y x =，xy b =，log c y x =的图像如图所示，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a << 【答案】A【解析】由图象可得曲线①为对数函数log c y x =，在定义域为为增函数，则1c >， 曲线②为指数函数xy b =，为减函数，则01b <<曲线③为幂函数a y x =，在()0+∞，上为减函数，则0a < 所以01a b c <<<<故选：A2．（2021·福建宁德市）已知函数：①2xy =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③1y x -=；④12y x =；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（ ）A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①② 【答案】D【解析】①：函数2xy =是实数集上的增函数，且图象过点(0,1)，因此从左到右第三个图象符合；②：函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，且图象过点(0,1)，因此从左到右第四个图象符合； ③：函数1y x -=在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合； ④：函数12y x =在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合， 故选：D3．（2021·西安高新唐南中学）在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =>=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数()0ay xx =>，与()log 0a y x x =>，选项A ：没有幂函数图像； 选项B ：()0ay x x =>中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合； 选项C ：()0ay x x =>中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合； 选项D ：()0ay x x =>中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合.故选：D.4．（2021·威海市文登区教育教学研究培训中心高三期中）函数(0,1)xy a a a =>≠与by x =的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0a b >B ．0a b +>C ．log 2a b >D ．1b a >【解析】由图可知，xy a =单调递增，则1a >；b y x =单调递减，则0b <，A ：a b >0不一定成立，如3,1a b ==-；B ：0a b +>不一定成立，如2,3a b ==-；C ：log 20a b >>，成立；D ：1b a >不成立，1a >，0b <，01b a <<. 故选：C.1．（2021·湖北鄂州市）“函数2()(33)mf x m m x =-+是幂函数”是“函数22()2g x mx m x m=-+值域为[)0，+∞”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】“函数2()(33)mf x m m x =-+是幂函数”等价于：2331m m -+=，即2320m m -+=，故1m =或2m =，即取值集合为{}1,2A =；“函数22()2g x mx m x m =-+值域为[)0，+∞”等价于：()2223()2g x mx m x m m x m m m =-+=-+-中，0m >且30m m -=，即()()110m m m +-=，故1m =，即取值集合为{}1B =.故B 是A 的真子集，“1m =或2m =”是“1m =”的必要不充分条件，即“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”是“函数22()2g x mx m x m =-+值域为[)0，+∞”的必要不充分条件.强化练习2．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知幂函数()()231mf x m m x =--在其定义域内不单调，则实数m =（ ） A ．23-B ．1C ．23D ．1- 【答案】A【解析】由幂函数定义，2311m m --=， 解得：23m =-或1m =，又()f x 在定义域内不单调，所以23m =-，故选：A ． 3．（2021·陕西榆林市·高三一模）下列四个函数：①23y x =+；②1y x=；③2xy =；④12y x =，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】①函数23y x =+的定义域为R ，值域也为R ；即定义域和值域相同； ②函数1y x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，值域也为()(),00,-∞⋃+∞；即定义域和值域相同； ③指数函数2xy =的定义域为R ，值域为()0,∞+，即定义域和值域不同； ④幂函数12y x =的定义域为[)0,+∞，值域也为[)0,+∞，即定义域和值域相同； 故选：C.4．（2021·全国课时练习）设11,2,3,,12a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且函数a y x =为奇函数的所有a 的值为（ ） A ．1,3-B ．1,1- C ．1,3D ．1,1,3- 【答案】C【解析】1a =时，函数解析式为y x =满足题意；2a =时，函数解析式为2yx ，偶函数，不符合题意；3a =时，函数解析式为3y x =满足题意；12a =时，函数解析式为12y x =，定义域为[)0,+∞，不符合题意；1a =-时，函数解析式为1y x -=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，不符合题意.故选：C.5．（2021·全国课时练习）已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α= 的值域是（ ） A ．(),0-∞B ．()(),00,-∞⋃+∞ C ．()0,∞+D ．[)0,+∞ 【答案】D【解析】幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，84α∴=，解得23α=，23(0)f x x ∴==≥， ∴()f x 的值域是[)0,+∞.故选：D.6．（2021·内蒙古包头市）已知函数41x y a-=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，若点P 在幂函数()f x 的图象上，则幂函数()f x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由40x -=得4x =，2y =，即定点为(4,2)，设()f x x α=，则42α=，12α=，所以12()f x x =，图象为B ．故选：B ．7．（2021·浙江温州市·温州中学高三开学考试）在同一个直角坐标系下，函数a y x =，xy a =，(log 0y x a =>且1a ≠）图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据指数函数、对数函数与幂函数的性质，可得：当01a <<时，函数,log xa y a y x ==为定义域上的单调的递减函数，函数a y x =为定义域上的单调递增函数且上凸，所以ACD 项不符合，B 项符合；当1a >时，函数,log xa y a y x ==为定义域上的单调的递增函数，函数a y x =为定义域上的单调递增函数且下凸，所以ABCD 项都不符合. 故选：B.8．（2021·湖北高三学业考试）已知函数()y f x =，()y g x =，()y h x =的图像如图所示，则（ ）A ．12()f x x =，2()g x x =，3()h x x =B ．12()f x x =，3()g x x =，2()h x x = C ．3()f x x =，12()g x x =，2()h x x =D ．2()f x x =，3()g x x =，12()h x x =【答案】D【解析】由()f x 的图象关于y 轴对称可知()f x 为偶函数，故2()f x x =，由()h x 的图象可知，()h x 为非奇非偶函数，故12()h x x =， 由()g x 的图象关于原点对称可知()g x 为奇函数，故3()g x x =.故选：D9.（2021·全国高一）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）A ．①13y x =，②2y x ，③12y x =，④1y x -=B ．①3y x =，②2yx ，③12y x =，④1y x -=C ．①2yx ，②3y x =，③12y x =，④1y x -=D ．①3y x =，②12y x =，③2yx ，④1y x -=【答案】B【解析】对于图①，函数图象关于原点对称，为奇函数，且在()0,∞+上递增，故只有3y x =符合； 对于图②，函数图象关于y 轴对称，为偶函数，且在()0,∞+上递增，故只有2y x 符合；对于图③，函数的定义域为[)0,+∞，且为增函数，故12y x =符合；对于图④，函数的定义域为{}|0x x ≠，且为奇函数，并且在()0,∞+上递减，故1y x -=符合.故选：B ．10．（2021·湖北武汉市·高三月考）设0.53a =，0.44b =，0.35c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b << 【答案】C 【解析】1051041033243,4256,5125ab c ======，所以101010c a b <<，故有c a b <<.故选：C11．（2021·江苏南通市·高三期末）已知0.20.3a =，0.30.2b =，0.3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b << 【答案】B【解析】00.20.30.310.30.30.30.20=>>>>，01b a ∴<<<，0.30.3log 0.2log 0.31>=，1c ∴>，b a c ∴<<.故选：B.12．（2021·江西宜春市·高安中学）设实数,a b 满足11331a b -->>， 则,,baba b b 的大小关系是（ ） A ．b a b a b b <<B ．b b a a b b << C ．b b a b a b <<D ．a b b b b a << 【答案】B 【解析】解：因为1113331a b--->>，函数13y x -=在(0,)+∞上为减函数，所以01a b <<<，因为b y x =在(0,)+∞上为增函数，所以b b a b <，因为xy b =在(0,)+∞上为减函数，所以a b b b >，所以b b a a b b <<，故选：B 13．（2021·四川凉山彝族自治州）已知幂函数()()22222aa f x a a x+=--，满足()f x 在()0,x ∈+∞为减函数，则a 的值为（ ） A ．3或1-B ．3C ．1-D ．3- 【答案】C【解析】由于幂函数()()22222aa f x a a x+=--在()0,x ∈+∞为减函数，所以，2222120a a a a ⎧--=⎨+<⎩，解得1a =-.故选：C.14．（2021·云南玉溪市）已知幂函数()()22344nn f x n n x-=+-，n Z ∈在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（ ） A ．1B ．2C ．5-D ．1或5- 【答案】A【解析】因为幂函数()()22344nn f x n n x-=+-，n Z ∈在()0,∞+上是减函数，所以，2244130n n n n n Z ⎧+-=⎪-<⎨⎪∈⎩，解得1n =.故选：A.15．（2021·江西赣州市·高三期末（理））若3e a =，3b e =，3c =π，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a << 【答案】A【解析】因为函数3y x =在R 上单调递增，所以b c <；2ln 1ln ,x x y y x x -'==，由x e ≥时，0y '≤，即ln x y x =在[),e +∞单调递减，故ln 3ln 3e e<，即33e e <，从而得a b <故a b c <<.故选：A16．（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一开学考试）若幂函数()f x x α=的图象经过点(2,8)，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】127【解析】由题知：(2)28f α==，3α=，所以3()f x x =.3111=3327f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：127. 17．（2021·新疆乌苏市第一中学）若函数()()2a f x m x =+是幂函数，且其图象过点()2,4，则函数()()log a gx x m =+的单调增区间为________.【答案】()1,+∞ 【解析】函数()()2a f x m x =+是幂函数，则21+=m ，解得1m =-，()a f x x =又()24f =，则24a =，解得2a =，即()()2log 1g x x =- 令10x ->，解得1x >，则()g x 的单调增区间为()1,+∞ 故答案为：()1,+∞18．（2021·重庆高一期末）已知函数21()(3)m f x m x -=-是幂函数，则实数m =___________.【答案】2±【解析】因为21()(3)m f x m x-=-是幂函数，所以231m -=，解得2m =±，故答案为：2±19．（2021·上海上外浦东附中）已知幂函数()223()mm f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，与x 轴及y 轴均无交点，则由m 的值构成的集合是__________． 【答案】{}1,1,3-【解析】由幂函数()f x 与x 轴及y 轴均无交点，得2230m m -≤-，解得13m -≤≤， 又m Z ∈，即{}1,0,1,2,3m ∈-，()223()mm f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，即函数为偶函数，故223m m --为偶数，所以{}1,1,3m ∈-，故答案为：{}1,1,3-. 20．（2021·山东济宁市）已知函数1()2x a f x ax -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为____________.【答案】()1,4【解析】1x =时，(1)1124f =++=，所以函数图象恒过定点(1,4)． 故答案为：(1,4)．21．（2021·沙坪坝区·重庆一中）已知幂函数()21()5m f x m m x -=--在区间(0,)+∞上单调递减，则m =___________. 【答案】2-【解析】由题意251m m --=，解得2m =-或3m =，又函数在区间(0,)+∞上单调递减，则10m -<，∴2m =-．故答案为：2-．22．（2021·湖南衡阳市八中高一期末）若幂函数()()222m f x m m x =--在0,单调递减，则m =___________ 【答案】1-【解析】()()222mf x m m x =--为幂函数故2221m m --=，故3m =或1m =-()3f x x =或()1f x x -=()f x 在0,单调递减，故1m =-故答案为：1-23．（2021·贵溪市实验中学高三一模）函数()2357m y m m x +=-+是幂函数且为奇函数，则m 的值为________． 【答案】2m =【解析】因为函数()2357m y m m x+=-+是幂函数，所以2571m m -+=，即2560m m -+=，解得2m =或3m =， 当2m =时，5y x =，是奇函数，满足条件；当3m =时，6y x =，是偶函数，不满足条件； 故2m =. 故答案为：2m =24．（2021·湖南娄底市）已知幂函数()21()33m f x m m x+=-+的图象关于原点对称，则满足33(1)(32)m m a a +>-的实数a 的值构成的集合为_________.【答案】2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】根据幂函数的定义，可得2331m m -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，函数2()f x x =，此时函数为()f x 为偶函数，不符合题意； 当2m =时，函数3()f x x =，此时函数()f x 为奇函数，符合题意，又由不等式可转化为()()2233132a a +>-等价于22(1)(32)a a +>-，解得243a <<. 即实数a 的值构成的集合为2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭.259．（2021·上海高一课时练习）研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像． （1）2yx ；（2）53y x-=；（3）13y x =； （4）32y x =．【答案】（1）定义域：(,0)(0,)-∞+∞；值域：(0,)+∞；偶函数；在[,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；图像见解析； （2）定义域：(,0)(0,)-∞+∞；值域：(,0)(0,)-∞+∞；奇函数：在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减；图像见解析；（3）定义域；R ；值域：R ；奇函数；在(,)-∞+∞上单调递增；图像见解析；（4）定义域：[0,)+∞值域：[0,)+∞；非奇非偶函数；在[0,)+∞上单调递增；图像见解析【解析】（1）2y x ，设()221f x x x -==，()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 因为210x>，所以值域为：(0,)+∞ 显然()()f x f x =-，()f x 为偶函数，在2y x 中，20-<，()f x 为偶函数，所以在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减.（2）53y x -=，设53351g x x x ，定义域：(,0)(0,)-∞+∞，0，所以值域：(,0)(0,)-∞+∞，由()()g x g x =--，所以()g x 奇函数， 在53y x -=中，503-<，()g x 为奇函数，所以在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减.（3）13y x =，设()13x h x ==R ；值域：R ；由()()h x h x =--，所以()h x 奇函数，在13y x =中，103>，在(,)-∞+∞上单调递增.（4）32y x =，设()32x x ϕ==30x ≥得定义域：[0,)+∞值域：[0,)+∞因为定义域：[0,)+∞，所以()x ϕ非奇非偶函数；在32y x =中，302>，定义域为[0,)+∞，所以()x ϕ在[0,)+∞上单调递增；。