高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解考点04指对幂函数1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn＝a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.5.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nmlog a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).6.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论.4.对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，log a b>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，log a b<0.5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.6.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.指数函数一、单选题1．（2023·江苏·金陵中学模拟预测）已知,a b 是正实数，函数24e x y a b -=+的图象经过点(2,1)，则11a b+的最小值为（ ） A ．3+B ．9 C ．3-D ．2【答案】B【分析】将(2,1)代入24e x y a b -=+，得到a ，b 的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．【详解】由函数24e x y a b -=+的图象经过(2,1)，则2214e a b -=+，即()410,0a b a b +=>>．∴11a b +=()114a b a b ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭44159b a a b ⎛⎫+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当123b a ==时取到等号． 故选：B ．2．（2023·江西上饶·二模（理））函数()22x xxf x -=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案． 【详解】当()22x xxf x -=+，()()22x x x f x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； ()22221022242f -=<=+＜，排除AD ； 故选：B.3．（2023·河北秦皇岛·二模）设ln 2a =，25b =，0.22c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为()ln20,1a =∈，22log 5log 42b =>=，()0.221,2c =∈，所以b c a >>. 故选：B4．（2023·浙江嘉兴·二模）已知集合{}28xA x =≤，{}16B x x =-≤≤，则A B ⋃=（ ）A ．(,6]-∞B ．[1,6]-C ．[1,3]-D ．(0,6]【答案】A【分析】先解出集合A ，再计算A B 即可.【详解】{}{}283xA x x x =≤=≤，故AB ⋃=(,6]-∞.故选：A. 二、多选题5．（2023·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．4949b b a c ⋅=⋅D ．121cba=-【答案】ACD【分析】设469a b c t ===，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．【详解】解：设1469a b c t ==>=，则4log a t =，6log b t =，9log c t =，所以6694lg lg log log lg 6lg 6lg lg log log lg9lg 4t tt t b b t t c a t t+=+=+()2lg 94lg9lg 4lg9lg 4lg 62lg 6lg 6lg 6lg 6lg 6⨯+=+====， 即2b b c a +=，所以112c a b +=，所以121c b a=-，故D 正确； 由2b b ca+=，所以2ab bc ac +=，故A 正确，B 错误； 因为()249444a c a a a ⋅==⋅，()()()22494966bbb b b ⋅=⨯==，又469a b c ==，所以()()2246a b =，即4949b b a c ⋅=⋅，故C 正确；故选：ACD 三、填空题6．（2023·江苏南通·模拟预测）若e e e x y -=,,R x y ∈，则2x y -的最小值为_________． 【答案】12ln 2+【分析】把2e x y -表示成e y 的函数，再借助均值不等式求解作答. 【详解】依题意，e e e xy=+，e 0y>，则2222e (e e )e ee 2e e e e x y x yyy yy -+===++2e 4e ≥=， 当且仅当2e e eyy =，即1y =时取“=”，此时，min (2)12ln 2x y -=+，所以，当1ln 2,1x y =+=时，2x y -取最小值12ln 2+. 故答案为：12ln 2+7．（2023·辽宁锦州·一模）已知函数()11,02,03x x xf x a x -⎧<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为R ，列式求实数a 的取值范围. 【详解】当0x <时，10x<，当0x ≥时，112323x a a -+≥+，因为函数的值域为R ，所以1023a +≤，解得：32a ≤-.故答案为：3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦8．（2023·山西·二模（理））已知函数()322x x x f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0,∞+上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______． 【答案】①③【分析】对于①：利用偶函数的定义进行证明； 对于②：取特殊值：()()2,10f f ，否定结论；对于③：直接表示出点()(),t f t 与原点连线的斜率为222t t t --，并判断2022t t t ->-.【详解】函数()322x x x f x -=-的定义域为()(),00,∞-+∞U .对于①：因为()()332222x x x x x x f x f x ----===--，所以()f x 是偶函数.故①正确；对于②：取特殊值：由()8322211544f ==>-，()1000101110241024f =<-，得到()()210f f >，不符合增函数，可得②错误；对于③：当0t >时，点()(),t f t 与原点连线的斜率为()20022t tf t t t --=--.因为0t >，所以21t >，所以220tt-->，所以()200022t tf t t t --=>--.故③正确； 所以正确结论的序号为①③． 故答案为：①③9．（2023·福建龙岩·一模）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x -+=有解，则实数m 的取值范围是_________．【答案】4,)+∞【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解. 【详解】由题意得：99(33)2120x x x x m m --+-+++=有解 令233(2),992x x x x t t t --+=≥+=-则22100t mt m ∴-++=有解，即2(2)10m t t -=+有解，显然2t =无意义2,2(0)t t y y ∴>-=>令2(2)101444y m y y y++∴==++≥,当且仅当14y y =，即y =4,)m ∴∈+∞故答案为：)4,∞⎡+⎣.10．（2023·海南·模拟预测）已知函数()f x =[)2,+∞，则=a _________． 【答案】4【分析】由已知可得不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，可知2x =为方程20x a -=的根，即可求得实数a 的值.【详解】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =， 当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意. 故答案为：4.对数函数一、单选题1．（2023·辽宁锦州·一模）若453x y ==，log x z y =，则x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．y x z << B ．z x y << C ．x y z << D ．z y x <<【答案】A【分析】首先指对互化得4log 3x =，5log 3y =，再结合对数函数的性质判断,x y 的范围和大小，再结合对数函数的单调性比较x ，y ，z 的大小关系. 【详解】43x =，4log 3x ∴=，53y =，5log 3y ∴=，440log 3log 41<<=，01x ∴<<，550log 3log 51<<=，01y ∴<<，且54log 3log 3<，即y x <，01y x ∴<<<，根据函数的单调性可知，log log 1x x y x >=，即1z >y x z ∴<<.故选：A2．（2023·广东惠州·一模）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3010≈）A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.【详解】将信噪比SN从1000提升至5000时，C 大约增加了()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++ 222lg5000lg1000log 5001log 1001lg51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=.故选：B.3．（2023·北京顺义·二模）函数()()ln 2f x x =-的定义域为（ ） A ．[)0,2 B ．(),2-∞ C ．[)0,∞+ D ．()0,2【答案】A【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解． 【详解】由题意020x x ≥⎧⎨->⎩，解得02x ≤<．故选：A ．4．（2023·河南新乡·二模（文））函数()2ln f x x x =⋅的部分图象大致为（ ）A ． B．C ．D ．【答案】B【分析】先利用定义域和奇偶性排除选项D ，再利用特殊值排除选项A 、C. 【详解】因为()f x 的定义域为{}0x x ≠， 且()()()22ln ln f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=， 所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称， 故排除选项D ；又1ln 2024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以排除选项A ； 又()24ln 20f =>，所以排除选项C. 故选：B ．5．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数()213log 3y x ax a =-+在[)1,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤ B ．2a < C ．122a -<≤ D ．122a -≤≤【答案】C【分析】分析可知内层函数23u x ax a =-+在[)1,+∞上为增函数，且有min 120u a =+>，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】令23u x ax a =-+，因为外层函数13log y u =为减函数，所以内层函数23u x ax a =-+在[)1,+∞上为增函数，则12a≤，得2a ≤， 且有min 120u a =+>，解得12a >-. 综上所述，122a -<≤. 故选：C.6．（2023·山西·二模（理））已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1xg x x =++的一个零点，132log 5c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<或c b a <<【答案】A【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性得()f x 仅有1个零点，且3a <-，结合函数()g x 的单调性与零点的存在性定理得21b -<<-，根据对数运算得3log 25c =-，进而32c -<<-，再根据范围得大小.【详解】解：因为()323652f x x x x =--+-，()()()2336321f x x x x x '=--+=-+-，所以()f x 在(),2-∞-上是减函数，在()2,1-上是增函数，在()1,+∞上是减函数， 因为()3102f =-<，所以()f x 仅有1个零点， 因为()19302f -=-<，所以3a <-， 因为()e 1xg x x =++是增函数，且()110eg -=>，()21210e g -=-<， 所以21b -<<-，因为1332log 5log 25c ==-，32log 253<<，所以32c -<<-，所以a c b <<. 故选：A ．二、多选题7．（2021·河北石家庄·模拟预测）已知函数()2e 1ln ex ax f x +=是偶函数，则（ ）A ．1a =-B ．()f x 在()0,∞+上是单调函数C ．()f x 的最小值为1D ．方程()2f x =有两个不相等的实数根【答案】BD【分析】根据偶函数定义求得a ，由复合函数的单调性得出()f x 的单调性，从而可判断各选项．【详解】()f x 是偶函数，则22e 1e 1ln ln e ex x ax ax --++=， 22e 1e 1e e x x ax ax --++=，22e e ax x =，22ax x =恒成立，所以1a =，A 错；2e 1()ln e x xf x +=，由勾形函数性质知1u t t=+在1t ≥时是增函数，又e x t =在0x ≥时有1t ≥且为增函数，所以1()ln(e )e xxf x =+在,()0x ∈+∞上是增函数，B 正确， ()f x 为偶函数，因此()f x 在(,0)-∞上递减，所以min ()ln 2f x =，C 错；易知x →+∞时，()f x →+∞，即()f x 的值域是[ln 2,)+∞， 所以()2f x =有两个不相等的实根．D 正确． 故选：BD ．8．（2020·全国·模拟预测）已知函数()112222,0log ,0x x x f x x x +--⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则（ ）A ．121x x +=-B ．341x x =C341x x ≤<<≤D．123402x x x x ≤<+++ 【答案】BCD【分析】首先根据函数的解析式得到11222x x y +--=+-关于直线1x =-对称，那么函数()f x 图像只取11222x x y +--=+-, 0x ≤的部分图像，()(0)f x x >的图像将对数函数在x 轴下方的图像翻到上方即可，从而得到1234,,,x x x x 的范围，进而判断AB 选项；令()()()()1234f x f x f x f x a ====得到102a <≤，341x x ≤<<又41x <≤12344412x x x x x x +++=-++，再根据基本不等式求解范围即可. 【详解】当0x ≤时，()11222x x f x +--=+-.设函数()222x xg x -=+-，则有()()g x g x -=，()00g =，()22220x x g x -=+-≥=，故()g x 是偶函数，且最小值为0.当0x >时，()()2ln 22ln 222ln 20x x x xg x --'=-=->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又()g x 是偶函数，所以()g x 在(),0-∞上单调递减.把()222x xg x -=+-的图象向左平移一个单位长度，得到函数11222x x y +--=+-的图象，故函数11222x x y +--=+-的图象关于直线1x =-对称， 故可得到函数()f x 在(],0-∞上的图象. 作出函数()f x 的大致图象，如图所示.又()102f =，故函数()f x 的图象与y 轴的交点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.作平行于x 轴的直线y a =，当102a <≤时，直线y a =与函数()f x 的图象有四个交点. 数形结合可知122x x +=-，故A 错误； 由()()34f x f x =，得2324log log x x =， 又根据题意知341x x <<，所以2324log log x x -=，即2423log log 0x x +=， 即()234log 0x x =，所以341x x =，故B 正确； 令23241log log 2x x ==，则231log 2x =-，241log 2x =，得3x =4x341x x ≤<<≤C 正确；又41x <≤12344412x x x x x x +++=-++，且函数12y x x=-++在(上单调递增，所以123402x x x x ≤<+++，故D 正确. 故选：BCD【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 三、双空题9．（2023·河北石家庄·二模）已知函数3log ,03()sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数1234,,,x x x x .满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12x x =___________，()()3433x x --的取值范围是___________. 【答案】 1 (0,27)【分析】作出函数()f x 的图象，结合图象可知1234,,,x x x x 之间的关系，利用此关系直接求出12x x ，再将()()3433x x --转化为关于3x 的二次函数求范围即可. 【详解】作出函数3log ,03()sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的图象，如图，因为()()()()1234f x f x f x f x ===，1234x x x x <<< 所以由图可知，3132log log x x -=，即121=x x ，3492x x +=，且339x <<，()()23434343333333()9(18)451845x x x x x x x x x x ∴--=-++=--=-+-，2331845x y x -+-=在()3,9上单调递增， 027y ∴<<，即()()3433x x --的取值范围是(0,27). 故答案为：1；(0,27) 四、填空题10．（2023·海南·模拟预测）若对任意的0a >且1a ≠，函数()log (1)1a f x x =-+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为___________. 【答案】（2，1）【分析】根据对数函数的图象和性质，令log (1)0a x -=，解得2x =，进而得出点P 坐标. 【详解】令log (1)0a x -=，解得2x =， 则(2)log 111a f =+=， 所以点P 的坐标为（2，1）. 故答案为：（2，1）.11．（2023·江西赣州·二模（理））若函数())log 2a f x x ⎡⎤=⎣⎦在(,0)-∞上是减函数，则a 的取值范围是___________. 【答案】(1,4)【分析】20<，根据2)t x =是减函数，且()f x 在(,0)-∞上是减函数，可得1a >，从而可得14a <<. 【详解】由题意可得0a >且1a ≠，因为函数())log 2a f x x ⎡⎤=⎣⎦在(,0)-∞上是减函数，所以(,0)x ∈-∞，20<，即04a <<，2)t x =是减函数，由于()f x 在(,0)-∞上是减函数，所以1a >， 所以a 的取值范围是(1,4). 故答案为：(1,4) 五、解答题12．（2020·全国·一模（文））（1）已知0x >，0y >，0z >，证明：222111y z x x y z x y z++≥++； （2）已知1a >，1b >，1c >，且8abc =，若222log log log log log log a a b b c c b c a k ⋅+⋅+⋅≥恒成立，求实数k 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）由基本不等式可得212y x x x+≥=，同理可得21z y z +，21x z x +的范围，化简整理即可得证.（2）利用换底公式可得22log log log a abb =，同理可将log ,log b cc a 化简，代入原式，可得222222222log log log log log log b c aa b c ++，又221log log a a =同理可将22log ,log b c 变形，代入，结合（1）结论，即可求得结果.【详解】（1）证明：由0x >，0y >，得212y x y x+≥=，即212y x x x +≥， 同理212z y z y +≥，212x z x z+≥， 以上三式相加，得222111222y z x x y z y z x y z x+++++≥++ （当且仅当x y z ==时取等号）， 故222111y z x x y z x y z++≥++成立.（2）解：222log log log log log log aabbccb c a ⋅+⋅+⋅=222222222log log log log log log b c aa b c ++ =222222log log log log 2log 2log 2b c a a b c ++， 根据（1），得222222222log log log 111log 2log 2log 2log log log b c a a b c a b c ++≥++ =2222log log log log a b c abc ++=82log 3== 所以，3k ≤，故实数k 的最大值为3.【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，对数的计算与化简，考查计算化简，分析求值的能力，属中档题.幂函数一、单选题1．（2023·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R 的是（ ） A ．ln y x = B ．x y e = C ．3y x =D ．1y x =【答案】C【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断. 【详解】A. 函数ln y x =的定义域为()0,∞+，值域为R ； B. 函数x y e =的定义域为R ，值域为()0,∞+； C. 函数3y x =的定义域为R ，值域为R ；D. 函数1y x =的定义域为{}|0x x ≠，值域为{}|0y y ≠， 故选：C2．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知幂函数2()m f x x +=是定义在区间[1,]m -上的奇函数，则(1)f m +=（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】A【分析】由奇函数定义域的对称性得1m =，然后可得函数解析式，计算函数值． 【详解】因为幂函数在[1,]m -上是奇函数，所以1m =，所以23()m f x x x +==，所以(1)(11)(2)f m f f +=+=328==，故选：A ．3．（2021·江西·模拟预测）已知幂函数()f x mx α=的图象过点()2,8，则m α+=（ ） A ．0 B ．2C ．4D ．5【答案】C【分析】根据幂函数的形式及过定点即可求解. 【详解】解：因为()f x mx α=为幂函数 所以1m =又()f x mx α=的图象过点()2,8 即82α= 解得3α= 所以4m α+= 故选：C.4．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ②()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；③在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ；④在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④【答案】A【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可 【详解】幂函数的图象过定点(1,1)，①正确，在区间[1,)+∞上，α越大y x α=增长速度更快，③正确， 故选：A.5．（2023·全国·贵阳一中二模（文））下列函数中是减函数的为（ ）A ．()f x x =B ．3()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2()f x x -=D ．()f x =【答案】D【分析】依次判断4个函数的单调性即可.【详解】A 选项为增函数，错误；B 选项312>，为增函数，错误；C 选项221()f x x x -==在(),0∞-为增函数，在()0,∞+为减函数，错误；D 选项13()f x x =-为减函数，正确.故选：D.6．（2023·陕西宝鸡·三模（理））若a b <，则下列结论正确的是（ ） A ．330a b -> B ．22a b < C ．()ln 0a b -> D ．a b <【答案】B【分析】对于A 、B ，构造函数，借助函数单调性比大小； 对于C ， ()ln a b -没有意义；对于D ，取特值判断.【详解】对于A ，构造函数3()f x x =，因为3()f x x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，33a b ∴<，330a b ∴-<，故A 答案不对；对于B ，构造函数()2x f x =，因为()2x f x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，22a b ∴<，故B 答案正确；对于C ，a b <，()ln a b ∴-没有意义，故C 答案不对； 对于D ，取=11a b ，-=时，=a b ，故D 答案不对； 故选：B. 二、多选题7．（2023·全国·模拟预测）已知实数0,0,a b c R >>∈,且1a b +=,则下列判断正确的是（ ） A ．2212a b +≥ B ．22ac bc < C ．()2bb a a >- D ．2111b a -<+ 【答案】AD【分析】利用均值不等式可判断A ；取0c =可判断B ；借助幂函数b y x =的单调性，结合0,1a b <<可判断C ；作差法可判断D 【详解】由于0,0a b >>，由均值不等式114a b ab +=≥≤，当且仅当12a b ==时等号成立选项A ，22211()2121242a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，当且仅当12a b ==时等号成立，故A正确；选项B ，由于R c ∈，当0c =时，22ac bc =，故B 错误；选项C ，由于0,0a b >>，1a b +=，故01,122a a <<<-<，即2a a <-由于01b b y x <<∴=在(0,)+∞单调递增，故()2bb a a <-，故C 错误； 选项D ，2122111b b a a a ----=++，由于0,1220,10a b b a a <<∴--<+>，故21101b a --<+，2111b a -∴<+，故D 正确 故选：AD8．（2021·山东·模拟预测）已知实数m ，n 满足22m n >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．cos cos m n <B ．若0m >，0n >，则1133log log m n <C ．3232m n e e ++>D ．若0m >，0n >>【答案】BCD【分析】由22m n >，根据2x y =为R 上的增函数，所以m n >，再逐项分析判断即可得解. 【详解】因为2x y =为R 上的增函数，所以m n >.因为函数cos y x =在R 上有增有减，所以A 中的不等式不恒成立，A 错误；因为函数13log y x =在(0,)+∞上单调递减， 所以当0m >，0n >，m n >时，1133log log m n <，故B 正确； 因为x y e =在R 上单调递增，所以当m n >时，3232>m n e e ++，故C 正确；因为函数y =(0,)+∞上单调递增， 所以当0m >，0n >，m n >D 正确.故选：BCD.9．（2021·全国·模拟预测）已知e 为自然对数的底数，则下列判断正确的是（ ） A ．3e ﹣2π＜3πe ﹣2B ．πlog 3e ＞3log πeC ．log πe eπ>D ．πe ＜e π【答案】BCD【分析】由幂函数3e y x -=在()0,∞+上递减，即可判断A ；根据对数性质有3log log 0e e π>>，即可判断B ；构造函数ln xy x=，求导判断单调性即可判断C ；根据C 中的结论可判断D ．【详解】对于A ，因为3e y x -=在()0,∞+上递减，则333e e π-->，所以2233e e ππ-->，故A 错； 对于B ，由于3log log 0e e π>>，则3log log 3log e e e ππππ>>，故B 正确；对于C ，设ln x y x =，则2ln 1ln x x y x x '-⎛⎫'== ⎪⎝⎭当0x e <<时，0y '>，当e x <时，0y '<， 所以函数ln x y x =在(),e +∞单调递减，则ln ln ee ππ<，得ln log ln e e e πππ<=，故C 正确； 对于D ，由C 项知ln ln e eππ<，则ln ln e e ππ<，即ln ln e e ππ<，所以e e ππ<，故D 正确． 故选：BCD.10．（2021·山东潍坊·三模）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【分析】由函数图象过点()1,2可得a 的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.【详解】由图可得12a =，即2a =，12xxy a-⎛⎫== ⎪⎝⎭单调递减过点()1,2-，故A 正确； 2a y x x --==为偶函数，在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增，故B 正确；2,022,0x xxx x y a x -⎧≥===⎨<⎩为偶函数，结合指数函数图象可知C 错误；2log log a y x x ==，根据““上不动、下翻上”可知D 正确；故选：ABD. 三、填空题11．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()f x f x -=；②当()0,x ∞∈+时，()0f x >； ③()()()1212f x x f x f x =⋅； 【答案】2x （答案不唯一）；【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式. 【详解】由所给性质：()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上恒正的偶函数，且()()()1212f x x f x f x =⋅，结合偶数次幂函数的性质，如：2()f x x =满足条件. 故答案为：2x （答案不唯一）12．（2023·四川泸州·模拟预测（文））已知当[]1,4x ∈时，函数()1f x mx =-的图象与()g x =的图象有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围是________.【答案】3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦##324m ≤≤【分析】根据题意画出图象，结合图象即可求解结论． 【详解】函数()1f x mx =-过定点(0,1)A -，如图：结合图象可得：，故答案为：3[4，2]．13．（2023·北京通州·一模）幂函数()m f x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________． 【答案】1，1-（答案不唯一）【分析】根据幂函数在(0,)+∞上的单调性得到0,0m n ><，再根据()()y f x g x =-是奇函数可以得到幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，从而可得,m n 的很多组值.【详解】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）.一、单选题1．（2021·全国·高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【详解】5881log 2log log log 32a b =<===，即a c b <<. 故选：C.2．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ） 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6【答案】C【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解. 【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-， 则10.110110100.81.259V --===≈≈.故选：C.3．（2020·天津·高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等.4．（2020·全国·高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+< C ．ln ||0x y -> D ．ln ||0x y -<【答案】A【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.5．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b【答案】A【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg 241log 5lg5lg522lg5lg 25lg5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.6．（2020·全国·高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I Kt --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69【答案】C【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 7．（2020·全国·高考真题（文））设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<. 故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 8．（2020·全国·高考真题（文））设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =， 所以有149a -=， 故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9．（2020·全国·高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 二、多选题10．（2020·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（ ）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n ==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y ) 【答案】AC【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出 ()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且 ()21j m jP Y j p p +-==+（ 1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m mm m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m i p p p +->+，所以 222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m i p p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题. 三、填空题11．（2020·山东·高考真题）若212log log 40x -=，则实数x 的值是______.【答案】14【分析】根据对数运算化简为2log 2x =-，求解x 的值.【详解】21222log log 40log log 40x x -=⇔+=， 即2log 2x =-，解得：14x =.故答案为：1412．（2020·北京·高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.13．（2020·江苏·高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4-【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.一、单选题1. （2023·全国·模拟预测）开普勒（JohannesKepler ，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a ，则金星运行轨道的半长轴约为（） A. 0.66a B. 0.70aC. 0.76aD. 0.96a【答案】C【分析】设金星运行轨道的半长轴为1a ，金星和地球的公转周期分别为1t ，2t ，根据题。
