2013年《高考风向标》高考数学(理科)一轮复习课件第三章第4讲幂函数

§2.8幂函数1.幂函数的概念一般地，函数__________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.2.幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝12x、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在__________上都有定义；(2)幂函数的图象都过点__________；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点________与________，且在(0，＋∞)上是单调________；(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是单调________.3.五种幂函数的比较(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较[1.在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.1.当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限.2.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.3.下列函数是幂函数的序号是________.①y ＝2x ；②y ＝2x －1；③y ＝(x ＋2)2；④y ＝3x 2；⑤y ＝1x .4.已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值等于( ) A.16B.116C.2D.12题型一 幂函数的定义及应用例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值.探究提高 (1)判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为1.(2)若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征.已知f (x )＝(m 2＋2m )xm 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数. 题型二 幂函数的图象及性质的简单应用例2 已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14. (1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x ). 探究提高 求幂函数解析式的步骤： (1)设出幂函数的一般形式y ＝x α (α为常数)； (2)根据已知条件求出α的值； (3)写出幂函数的解析式.已知幂函数y ＝243m m x--(m ∈Z )的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m 的值，并作出其图象. 题型三 利用幂函数的性质比较幂值的大小 例3 比较下列各组数的大小： (1)13(0.95)-和13(0.96)-； (2)138--和1319⎛⎫-⎪⎝⎭； (3)0.20.5和0.40.3.探究提高 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题关键.比较下列各组数的大小：(1)30.8,30.7； (2)0.213,0.233； (3)122，131.8； (4)254.1，233.8-和35( 1.9)-.题型四 幂函数的综合应用 例4 已知幂函数f (x )＝223m m x --(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3(1)m a -+<3(32)m a --的a 的取值范围.探究提高 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围.已知幂函数f (x )＝21()m m x-+(m ∈N *).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围.5.利用转化思想求参数范围试题：(12分)若函数f (x )＝324(42)mx x m -+++＋(x 2－mx ＋1)0的定义域为R ，求实数m的取值范围.审题视角 (1)从幂函数的视角看，幂指数为－34.f (x )的定义域为R ，转化为mx 2＋4x ＋m＋2>0恒成立，且x 2－mx ＋1≠0.(2)mx 2＋4x ＋m ＋2>0恒成立转化为y ＝mx 2＋4x ＋m ＋2开口向上，且与x 轴无交点. 规范解答解 设g (x )＝mx 2＋4x ＋m ＋2， ① h (x )＝x 2－mx ＋1，②原题可转化为对一切x ∈R 有g (x )>0且h (x )≠0恒成立.由①得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ1＝42－4m (m ＋2)<0. [3分]即⎩⎪⎨⎪⎧m >0m 2＋2m －4>0⇒⎩⎨⎧m >0，m <－1－5，或m >－1＋5， ∴m >－1＋ 5.[5分] 由②得Δ2＝(－m )2－4<0，即－2<m <2. [10分] 综上可得5－1<m <2.[12分]批阅笔记 (1)有关幂函数y ＝x α的定义域的确定，当α为分数时，可转化为根式考虑，当α＝0时，底是非零的，不可忽视.本题将原题转化为对一切x ∈R 有g (x )>0且h (x )≠0恒成立是解题的关键.(2)不等式恒成立问题，可利用数形结合思想，如g (x )>0和h (x )≠0在R 上恒成立作进一步转化.(3)易错分析：第一，不能将问题转化为mx 2＋4x ＋m ＋2>0恒成立问题，也就是缺乏转化的意识；第二，易忽略x 2－mx ＋1≠0的隐含条件，致使范围扩大.方法与技巧1.幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y ＝x ＋1，y ＝x 2－2x 等都不是幂函数.2.比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.3.幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α>0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0，曲线下凸. 失误与防范1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象.3.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型的问题.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法.答案要点梳理 1.y ＝x α2.(1)(0，＋∞) (2)(1,1) (3)(0,0) (1,1) 递增 (4)递减3.(2)定义域：R R R [0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值域：R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性：奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数单调性：增 x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减 增 增 x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减 基础自测1.二、四2.32 3.④⑤ 4.D题型分类·深度剖析例1 解 ∵y ＝(m 2＋2m －2)·211m x ＋(2n －3)为幂函数．∴m 2＋2m －2＝1且2n －3＝0. ∴m ＝－3，m ＝1且n ＝32.又m 2－1≠0，∴m ＝－3且n ＝32.变式训练1 解 (1)若f (x )是正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，解得m ＝1.∴当m ＝1时，f (x )为正比例函数． (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1. ∴当m ＝－1时，f (x )为反比例函数． (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.∴当m ＝－1±132时，f (x )为二次函数．(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1±2.∴当m ＝－1±2时，f (x )为幂函数． 例2 解 (1)设f (x )＝x α，∵其图象过点(2，2)，故2＝(2)α， 解得α＝2，∴f (x )＝x 2.设g (x )＝x β， ∵其图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴14＝2β， 解得β＝－2，∴g (x )＝x －2.(2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x－2的图象，如图所示．由图象可知：f (x )，g (x )的图象均过点(－1,1)与(1,1)．∴①当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．变式训练2 解 依题意，其图象与y 轴有公共点，则4－3m －m 2>0，即m 2＋3m －4<0， 解得－4<m <1.又∵m ∈Z ， ∴m ＝－3，－2，－1,0.当m ＝－3或m ＝0时，函数可化为y ＝x 4，符合题意，其图象如图①. 当m ＝－2或m ＝－1时，函数可化为y ＝x 6，符合题意，其图象如图②.图① 图②综上所述，m 的值为－3，－2，－1,0.例3 解 (1)∵函数y ＝13x 在(0，＋∞)上是递增函数，且0.95<0.96. ∴130.95<130.96， ∴130.95>130.96.(2)131()9-＝139--，由于函数y ＝13x -在(0，＋∞)上是减函数，∴138->139-，∴－138-<－139-， 即－138-<－139-.(3)由于函数y ＝0.2x 在R 上是减函数，∴0.20.5<0.20.3，又函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，∴0.20.3<0.40.3， 故0.20.5<0.40.3.变式训练3 解 (1)函数y ＝3x 是增函数，∴30.8>30.7. (2)函数y ＝x 3是增函数，∴0.213<0.233. (3)∵122>121.8>131.8， ∴122>131.8.(4)254.1>251＝1；0<233.8-<231-＝1；35( 1.9)-<0，∴35( 1.9)-<233.8-<254.1.例4 解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.而f (x )＝13x -在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴13(1)a -+<1(32)a --等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a . 解得a <－1或23<a <32.故a 的取值范围为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a <－1或23<a <32.变式训练4 解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝21()2m m -+，即122＝21()2m m -+.∴m 2＋m ＝2. 解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥02－a >a －1.解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，32)．高(考;试γ题∠库。

第4讲 幂函数1．下列结论中正确的个数有( )①幂函数的图象不可能过第四象限； ②幂函数的图象过定点(0,1)和(1,1)；③幂函数y ＝x α，当α>0时，幂函数是增函数；当α<0时，幂函数是减函数；④当α＝0时，y ＝x α的图象是一条直线． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,33．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是 ( )4．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．05．已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝x a，h (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，在同一直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是( )6．(2010年安徽)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a7．(2011年广东揭阳一模)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，则使函数y ＝x α在[0，＋∞)上单调递增的所有α值为_______________________________________________．8．请把图K3－4－1所示幂函数图象的代号填入表格内．图K3－4－1①y ＝x 23；②y ＝x －2；③y ＝x 12；④y ＝x －1；⑤y ＝x 134312-539．将下列各数从小到大排列起来：⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，323，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512， ⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，⎝ ⎛⎭⎪⎫560，(－2)3，⎝ ⎛⎭⎪⎫5313-.10．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是： (1)幂函数；(2)幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数； (3)正比例函数； (4)反比例函数； (5)二次函数．第4讲 幂函数1．B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.A 7.12，1,28.9.解：其中(－2)3<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-＞1,323＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223>1， 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜1,0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜1,0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫5313-<1. 又∵2323332⎛⎫ ⎪⎝⎭＝223>1，∴323>⎝ ⎛⎭⎪⎫3223>⎝ ⎛⎭⎪⎫3213＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<323. 同理可得到⎝ ⎛⎭⎪⎫2512<⎝ ⎛⎭⎪⎫3512<⎝ ⎛⎭⎪⎫5313-.∴(－2)3<⎝ ⎛⎭⎪⎫2512<⎝ ⎛⎭⎪⎫3512<⎝ ⎛⎭⎪⎫5313-<⎝ ⎛⎭⎪⎫560<⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<323. 10．解：(1)因f (x )是幂函数， 故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0. 解得m ＝2或m ＝－1.(2)若f (x )是幂函数且又是(0，＋∞)上的增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3>0.∴m ＝－1. (3)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(4)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(5)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.综上所述，当m ＝2或m ＝－1时，f (x )是幂函数．当m ＝－1时，f (x )既是幂函数，又是(0，＋∞)上的增函数．当m ＝－45时，f (x )是正比例函数．当m ＝－25时，f (x )是反比例函数．当m＝－1时，f(x)是二次函数．。