2016-2017学年高二数学湘教版选修1-1同步练习：3.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 Word版含解析

3．3导数在研究函数中的应用3．3.1 利用导数研究函数的单调性[读教材·填要点]函数在区间(a ，b )上的单调性与其导函数的正负有如下关系：[小问题·大思维]1．在区间(a ，b )内，若f ′(x )>0，则f(x )在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 提示：不一定成立．比如y ＝x 3在R 上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f ′(x )>0是y ＝f (x)在某个区间上递增的充分不必要条件．2．右图为导函数y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)； 单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．证明：函数f (x )＝ln xx在区间(0,2)上是增函数． [自主解答] f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2. ∵0<x <2，∴ln x <ln 2<1,1－ln x >0. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0.根据导数与函数单调性的关系，可得函数f (x )＝ln xx 在区间(0,2)上是增函数．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f ′(x )>0(f ′(x )<0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f ′(x )；②判断f ′(x )的符号；③给出单调性结论．[注意] 如果出现个别点使f ′(x )＝0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性．1．求证：函数f (x )＝e x －x －1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数． 证明：由f (x )＝e x －x －1，得f ′(x )＝e x －1. 当x ∈(0，＋∞)时，e x －1>0， 即f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)内为增函数． 当x ∈(－∞，0)时，e x －1<0， 即f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)内是减函数.求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝e x x －2.[自主解答] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x . 因为x >0，所以2x ＋1>0. 由f ′(x )>0得x >22， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0得0<x <22， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(1)在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，然后在定义域内通过解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，来确定函数的单调区间．(2)当单调区间有多个时，不要写成并集．2．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3＋3x ；(2)f (x )＝x 2＋cos x .解：(1)f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3⎝⎛⎭⎫x 2－1x 2. 由f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞1； 由f ′(x )＜0，解得－1＜x ＜1，且x ≠0.∴函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； 单调递减区间为(－1,0)，(0,1)．(2)函数的定义域为R ，其导数为f ′(x )＝12－sin x ，令12－sin x >0，解得2k π－7π6<x <2k π＋π6，k ∈Z ； 令12－sin x <0， 解得2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k ∈Z ，因此f (x )在⎝⎛⎭⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)上为减函数， 在⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6(k ∈Z)上为增函数．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． [自主解答] 因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立，所以a ≥G (x )max . 而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1. 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)． 所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .∵x ∈[1,4]，∴h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0，即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，＋∞.若将本例中“单调递减”改为“单调递增”，如何求a 的取值范围？ 解：∵h (x )在[1,4]上单调递增， ∴x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≥0恒成立． 即a ≤1x 2－2x恒成立． 设G (x )＝1x 2－2x ，∴只需a ≤G (x )min . 又G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， ∵x ∈[1,4]， ∴1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1. ∴G (x )min ＝－1.∴a ≤－1.经验证：a ＝－1时，h (x )在[1,4]上单调递增， 综上所述，a 的取值范围为(－∞，－1]．已知f (x )在区间D 上单调，求f (x )中参数的取值范围的方法为分离参数法：通常将f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围．特别地，若f ′(x )为二次函数，可以由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立求出参数的取值范围．3．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数，若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解：对f (x )求导得f ′(x )＝ex 1＋ax2－2ax(1＋ax 2)2，①若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a >0，知0<a ≤1. 所以a 的取值范围为(0,1]．证明：方程x －12sin x ＝0有唯一解．[巧思] 方程f (x )＝0的解即曲线y ＝f (x )与x 轴交点的横坐标，因此可以通过构造函数来解决．[妙解] 设f (x )＝x －12sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，所以x ＝0是方程x －12sin x ＝0的一个解．因为f ′(x )＝1－12cos x ，当x ∈R 时，f ′(x )>0总成立， 所以函数f (x )在R 上单调递增．所以曲线f (x )＝x －12sin x 与x 轴只有一个交点．所以方程x －12sin x ＝0有唯一解．1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e x C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y ′＜0的情况． 2．函数y ＝x ·cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)解析：f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，当x ∈(π，2π)时，f ′(x )>0. 答案：B3．已知函数f (x )＝x ＋1x (x ＞1)，则有( ) A ．f (2)＜f (e)＜f (3) B ．f (e)＜f (2)＜f (3) C ．f (3)＜f (e)＜f (2)D ．f (e)＜f (3)＜f (2)解析：选A 因为在定义域(1，＋∞)上有f ′(x )＝1－1x 2＞0，所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (2)＜f (e)＜f (3)．故选A.4．函数y ＝2x ＋sin x 的单调递增区间是________． 解析：y ′＝2＋cos x >0，∴函数在R 上单调递增． 答案：(－∞，＋∞)5．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 .解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)6．求函数f (x )＝x ＋1x 在(0,2]上的单调性． 解：∵f (x )＝x ＋1x ，∴f ′(x )＝1－1x 2.令f ′(x )>0得x >1或x <－1， 又0<x ≤2，∴1<x ≤2.令f ′(x )<0，结合0<x ≤2，得0<x <1.∴函数f (x )在(1,2]上为增函数，在(0,1)上为减函数．一、选择题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A．(－∞，2)B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．答案：D2．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有()A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3) C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2)解析：在(0，＋∞)上，f′(x)＝12x＋1x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．答案：A3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()解析：由y＝f′(x)的图象可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0，∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为单调增函数，在(0,2)上为单调减函数．答案：C4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有()A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：由题知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，根据奇偶函数图象的特点知，当x<0时，f(x)的单调性与x>0时相同，g(x)的单调性与x>0时恰好相反，因此，当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.答案：B二、填空题5．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则实数b的取值范围是________．解析：y ′＝2x －2b ≥0在(2,8)内恒成立，即b ≤x 在(2,8)内恒成立，∴b ≤2. 答案：(－∞，2]6．已知函数y ＝f (x )在定义域[－4,6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．解析：f ′(x )≤0的解集，即为函数y ＝f (x )的单调减区间， ∴f ′(x )≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－43，1∪⎣⎡⎦⎤113，6. 答案：⎣⎡⎦⎤－43，1∪⎣⎡⎦⎤113，6 7．设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则f (x )的单调增区间是________，减区间是________．解析：因为f (x )＝x (e x －1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)． 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时， f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x ) 在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． 答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)8．已知f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在区间(6，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令g (x )＝f ′(x )，要满足函数f (x )在(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≤0，g (4)≤0，g (6)≥0，解得5≤a ≤7.答案：[5,7] 三、解答题9．讨论下列函数的单调性： (1)y ＝x 3－x ；(2)y ＝e x ＋e －x (x ∈[0，＋∞))．解：(1)∵y ＝x 3－x ， ∴y ′＝3x 2－1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋33⎝⎛⎭⎫x －33. ∵当x ＜－33或x ＞33时，y ′＞0，当－33＜x ＜33时，y ′＜0， ∴y ＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上是增函数，在⎝⎛⎭⎫－33，33上是减函数． (2)f ′(x )＝(e x)′＋⎝⎛⎭⎫1e x ′＝e x ＋⎝⎛⎭⎫－1e x ＝e x －e －x ＝(e x )2－1e x ， ∵当x ∈[0，＋∞)时，e x ≥1，∴f ′(x )≥0. ∴f (x )＝e x ＋e －x 在[0，＋∞)上为增函数．10．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋2>0. 解：(1)根据题意知，f ′(x )＝a (1－x )x (x >0)，当a >0时，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；同理，当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )＝－3，不是单调函数，无单调区间． (2)证明：当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3， 所以f (1)＝－2，由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)． 即f (x )>－2，所以f (x )＋2>0.。

►基础梳理1．函数的最大值与最小值．一般地，假如在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤：(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．极值与最值的区分与联系：(1)极值与最值是不同的，极值只是相对一点四周的局部性质，而最值是相对于整个定义域或所争辩问题的整体性质；(2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值；(3)求函数的最值一般需要先确定函数的极值．因此函数极值的推断是关键，假如仅仅是求最值，可将导数值为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较，也可以依据函数的单调性求最值．,►自测自评1．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(C)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C.无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值解析：f′(x)＝3x2－3.当|x|＜1，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－1，1)上单调递减，故选C.2．函数f(x)＝－x2＋4x＋1在区间[3，5]上的最大值和最小值分别是4，－4．解析：令f′(x)＝－2x＋4＝0，则x＝2，f(x)在[3，5]上是单调函数，排解f(2)，比较f(3)，f(5)，即得．3．函数y＝x ln x在[1，3]内的最小值为0．解析：y′＝ln x＋1，∵x∈[1，3]，∴y′＞0，∴函数y＝x ln x在[1，3]内是递增函数，∴当x＝1时，y min＝0.1. 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(C)A．1，－1B．1，－17C．3，－17 D．9，－19解析：依据求最值的步骤，直接计算即可得答案为C.2．已知f(x)＝12x2－cos x，x∈[－1，1]，则导函数f′(x)是(D)A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的奇函数解析：求导可得f′(x)＝x＋sin x，明显f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sin x，求导得h′(x)＝1＋cos x，当x∈[－1，1]时，h′(x)＞0，所以h(x)在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．故选D.3．函数f(x)＝x2＋ax＋1在点[0，1]上的最大值为f(0)，则实数a的取值范围是________．解析：依题意有：f(0)≥f(1)，即1≥2＋a，所以a≤－1.答案：(－∞，－1]4．求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3＋2x，x∈[－1，1]；(2)f(x)＝(x－1)(x－2)2，x∈[0，3]，解析：(1)当x∈[－1，1]时，f′(x)＝3x2＋2＞0，则f(x)＝x3＋2x在x∈[－1，1]上单调递增．因而f(x)的最小值时f(－1)＝－3，最大值是f(1)＝3.(2)由于f(x)＝(x－1)(x－2)2＝x3－5x2＋8x－4，所以f′(x)＝(3x－4)(x－2)令f′(x)＝(3x－4)(x－2)＝0，得x＝43或x＝2，∵f(0)＝－4，f⎝⎛⎭⎫43＝427，f(2)＝0，f(3)＝2，∴f(x)的最大值是2，最小值时－4.5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，求f(m)＋f′(n)的最小值．解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1.∴当n∈[－1，1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.1．函数f(x)＝x3＋3x在(0，＋∞)上的最小值是(A)A．4 B．5。

►基础梳理1．函数的单调性与其导数的正负的关系．在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．根据导数与函数单调性的关系，求函数单调区间的一般程序．(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；(4)写单调区间．3．利用导数判断函数单调性和确定单调区间的注意事项．(1)必须首先确定函数的定义域，在具体的解决问题过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)了解在某一区间内f′(x)＞0[或f′(x)＜0]是函数f(x)在该区间为增(或减)函数的充分不必要条件；(3)函数的单调区间可以都用开区间表示，如果一个函数具有相同单调性的单调区间有几个，它们不能用并集符号“∪”连接，要用逗号或文字“和”、“及”等隔开；(4)若函数中含有参数，必须根据具体问题，对参数进行分类讨论，然后分别求出单调区间；(5)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数图象就比较“陡峭”(向上或向下)，反之，函数的图象就“平缓”一些．,►自测自评1．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内恒有(A)A．f(x)＞0B．f(x)＜0C．f(x)＝0D．不能确定解析：由f′(x)＞0知，f(x)在(a，b)上单调递增，∴f(x)＞f(a)≥0，即f(x)＞0，故选A.2．函数y＝x3－3x的单调增区间是________________________________________________________________________ ____________．答案：解析：y′＝3x2－3，令y′＞0，即3x2－3＞0，解得x＞1，或x＜－1，∴函数y＝x3－3x的单调增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)，(1，＋∞)3．函数y ＝x ln x 的单调递减区间是________．解析：y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋1，令y ′＜0，∴ln x ＋1＜0，∴0＜x ＜1e，∴函数y ＝x ln x 的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e .1．f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间为(A) A.⎝⎛⎭⎫15，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，15 C.⎝⎛⎭⎫－15，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－15 2.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数(B) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)解析：y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于等于0即可．只有当x ∈(π，2π)时，y ′＞0恒成立，∴只有B 符合题意．3．已知导函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，请根据图象写出原函数y ＝f (x )的递增区间是________．解析：从图象可知f ′(x )＞0的解为－1＜x ＜2或x ＞5，∴f (x )的递增区间为(－1，2)，(5，＋∞)．答案：(－1，2)，(5，＋∞)4.设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． 求g (x )的单调区间．解析：由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，故(0，1)是g (x )的单调减区间． 当x ∈(1，＋∞]时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间． 5.若f (x )＝ax 3＋x 在区间[－1，1]上单调递增，求a 的取值范围． 分析：利用不等式f ′(x )≥0在[－1，1]上恒成立，确定a 的取值范围． 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1，∵f (x )在区间[－1，1]上单调递增，∴f ′(x )＝3ax 2＋1≥0在[－1，1]上恒成立． 当x ＝0时，显然成立，当x ≠0时，a ≥－13x2，∵13x 2在x ∈[－1，0)∪(0，1]的最大值为－13， ∴a ≥－13.故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－13，＋∞.1．若f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，且x ∈(a ，b )时，f ′(x )＞0，又f (a )＜0，则(D ) A ．f (x )在[a ，b ]上单调递增，且f (b )＞0 B ．f (x )在[a ，b ]上单调递增，且f (b )＜0 C ．f (x )在[a ，b ]上单调递减，且f (b )＜0D ．f (x )在[a ，b ]上单调递增，但f (b )的符号无法判断 2．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数(B ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)解析：y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于等于0即可，只有当x ∈(π，2π)时，y ′＞0恒成立，∴只有B 符合题意．3．下列函数在区间(－1，1)内不是增函数的是(D )A ．y ＝e x ＋xB ．y ＝sin xC ．y ＝x 3－6x 2＋9x ＋2D ．y ＝x 2＋x ＋1解析：A 中y ＝e x ＋x ，y ′＝e x ＋1＞0在(－1，1)上成立；B 中y ＝sin x ，y ′＝cos x ＞0在(－1，1)上成立；C 中y ＝x 3－6x 2＋9x ＋2，y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －2)2－3≥0在(－1，1)上成立；D中y ＝x 2＋x ＋1，y ′＝2x ＋1，在⎝⎛⎭⎫－12，1上y ′＞0，在⎝⎛⎭⎫－1，－12上，y ′＜0. 4．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0，2)内单调递减，则实数a 的值是(C )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：依题意，x ＝0或x ＝2是方程f ′(x )＝6x 2＋2ax ＝0的两个实数根，解得a ＝－6. 5．如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是(A )解析：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有答案A 满足．6．已知函数y ＝x 3－ax 在[1，＋∞)内是单调增函数，则实数a 的最大值为(D) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：∵f ′(x )＝3x 2－a 在[1，＋∞)上有3x 2－a ≥0恒成立，∴a ≤(3x 2)min ＝3. 7．下列命题中正确的是________．①若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对于任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )＞0； ②若在(a ，b )内f ′(x )存在，则f (x )必为单调函数；③若在(a ，b )内的任意x 都有f ′(x )＞0，则f (x )在(a ，b )内是增函数； ④若x ∈(a ，b )，总有f ′(x )＜0，则在(a ，b )内f (x )＜0.解析：①y ＝x 3在x ∈(－∞，＋∞)为增函数，而y ′＝2x 2≥0，故①错．②错．③正确．④由f ′(x )＜0能判断f (x )为减函数，但不能判定f (x )＜0. 答案：③8．函数f (x )＝lnx－12x 2的单调增区间是________________________________________________________________________．解析：函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x，令f ′(x )＞0，即1－x 2x＞0，解得0＜x ＜1，∴f (x )在(0，1)上为增函数． 答案：(0，1)9．函数f (x )＝x ln x (x ＞0)的单调递增区间是__________________．解析：令f ′(x )＝ln x ＋1≥0，得x ≥1e，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 10．函数f (x )在其定义域(－1，1)上的导数满足f ′(x )＜0，当a ，b ∈(－1，1)，且a ＋b ＝0时，f (a )＋f (b )＝0.则不等式f (1－m )＋f (1－m 2)＞0的解集是________．解析：根据已知，得知f (x )是定义在(－1，1)上的单调递减的奇函数． 所以f (1－m )＋f (1－m 2)＞0 ⇔f (1－m )＞－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－m ＜1，－1＜m 2－1＜1，1－m ＜m 2－1，解得1＜m ＜2，即原不等式的解集为(1，2)． 答案：(1，2)11．(2013·茂名一模)已知函数g (x )＝13ax 3＋2x 2－2x ，若a ＝1，求g (x )的单调减区间．解析：当a ＝1时，g (x )＝13x 3＋2x 2－2x ，g ′(x )＝x 2＋4x －2.由g ′(x )＜0解得：－2－6＜x ＜－2＋ 6. ∴当a ＝1时，函数g (x )的单调递减区间为(－2－6，－2＋6)． ►体验高考 1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是(D )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0＜1x＜1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．2．(2014·湖南卷)若0<x 1<x 2<1，则(C )A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 2＜x 1e x 1解析：令f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x （x －1）x 2.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0，1)上单调递减， 因为0＜x 1＜x 2＜1，所以f (x 2)＜f (x 1)，即e x 2x 2＜e x 1x 1，所以x 2e x 1＞x 1e x 2. 3．(2013·浙江卷)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是(B )解析：在(－1，0)上，f ′(x )单调递增，所以f (x )图象的切线斜率呈递增趋势；在(0，1)上，f ′(x )单调递减，所以f ′(x )图象的切线斜率呈递减趋势．故选B.4．(2014·全国卷)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围． 解析：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＝0的判别式Δ＝36(1－a )． ①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R 上是增函数． ②由于a ≠0，故当a ＜1时f ′(x )＝0有两个根：x 1＝－1＋1－a a，x 2＝－1－1－aa，若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(x 2，x 1)上是减函数；(2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＞0，所以当a ＞0时，f (x )在区间(1，2)是增函数．若a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－54，0∪(0，＋∞)． 5．已知a ∈R ，函数f (x )＝4x 3－2ax ＋a .(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0. 解析：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a ，当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a >0时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫x －a 6⎝⎛⎭⎫x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a6， a 6；单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 6，⎝⎛⎭⎫ a 6，＋∞. (2)由于0≤x ≤1，当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2. 当a >2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1，0≤x ≤1，则 g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33. 于是g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫33＝1－439>0.当0≤x ≤1时， 2x 3－2x ＋1>0. 故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2>0.。

1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )．A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝17，则|PF 2|的值是( )．A ．33B ．16C ．10D ．83．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm ，灯深是40 cm ，则光源到反光镜顶点的距离是( )．A ．11.25 cmB ．5.625 cmC ．20 cmD ．10 cm4．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2＝2y (0≤y ≤20)，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的范围为( )．A ．0＜r ≤1B ．0＜r ＜1C ．0＜r ≤2D ．0＜r ＜25．如图，南北方向的公路l ，A 地在公路的正东2 km 处，B 地在A 地东偏北30°方向23km 处，河流沿岸PQ (曲线)上任一点到公路l 和到A 地的距离相等，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向A ，B 两地转运货物，经测算从M 到A ，M 到B 修建公路的费用均为a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是( )．A ．(2＋3)a 万元B ．2(3＋1)a 万元C ．5a 万元D ．6a 万元6．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为__________m ．(精确到1 m)7．如图，已知椭圆x2＋2y2＝98及点P(0, 5)，则点P到椭圆的最大距离及最小距离的和是__________．参考答案1．C (数形结合)由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为4a ＝43，所以选C.2．A 在双曲线x 264－y 236＝1中，a ＝8，b ＝6，故c ＝10. 由P 是双曲线上一点，得||PF 1|－|PF 2||＝16.∴|PF 2|＝1，或|PF 2|＝33.由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得|PF 2|＝33.3．B 建立如图所示的坐标系，设y 2＝2px (p ＞0)，由题意，得点A (40,30)在抛物线上，代入，得p ＝11.25.故|OF |＝2p ＝5.625(cm)，故光源到反光镜顶点的距离即为5.625(cm)． 4．A 设玻璃球的球心O ′(0，r )，O (x ，y )为抛物线上一点，则|OO ′|＝x 2＋(y －r )2＝2y ＋y 2－2ry ＋r 2＝[y －(r －1)]2＋2r －1.∵y ≥0，∴当y ＝0时，|OO ′|为最小，故r －1≤0，∴0＜r ≤1.5．C 建立如图所示的直角坐标系，连接AB ，分别过点M ，B ，A 作直线MM ′⊥l ，BB ′⊥l ，AA ′⊥l ，垂足分别为M ′，B ′，A ′，过点B 作BB 1⊥AA′，垂足为B 1.由已知，可得|AB1|＝|AB|·cos 30°＝＝3(km)．又|AA′|＝2 km，可得|BB′|＝3＋2＝5(km)．由抛物线的定义，可得|AM|＝|MM′|.∴修路费用为(|AM|＋|MB|)a＝(|MM′|＋|MB|)a≥|BB′|a＝5a(万元)，故选C.6．5如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，依题意，有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝12，故得抛物线的方程为x2＝－y.又B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线的方程，得x即|AB||AB|＋1 1.因此所求水池的直径为2(1，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m. 7．2(1＋37)解析一：∵02＋2×52＜98，∴点P(0,5)在椭圆内部．设以P(0,5)为圆心和椭圆相切的圆的方程为x2＋(y－5)2＝r2.①把椭圆方程x2＋2y2＝98代入①，得r2＝－(y＋5)2＋148(－7≤y≤7)．∴当y＝－5时，r max2＝148，即r max＝237，当y＝7时，r min2＝4，即r min＝2.故点P到椭圆的最大距离为237，最小距离为2.∴其和为2(1＋37)．解析二：设点M(x，y)为椭圆上任一点，则x2＋2y2＝98，可得|PM|＝x2＋(y－5)2＝98－2y2＋(y－5)2＝－y2－10y＋123＝－(y＋5)2＋148. 又∵－7≤y≤7，∴y＝－5时，有|PM|max＝148＝237，y＝7时，有|PM|min＝－(7＋5)2＋148＝2.故点P到椭圆的最大距离为237，最小距离为2.其和为2(1＋37)．。

导数的概念和几何意义1．质点的运动规律为s ＝2t 2＋1，其中s 表示路程，t 表示时间，则在某时间段中，质点运动的路程s 对时间t 的平均变化率为( )．A ．4B ．dC ．4＋dD ．4＋2d2．函数y ＝f (x )＝x ＋1在x ＝1处的导数是( )．A ．12B ．1C ．32D ．4 3．函数y ＝f (x )＝x 2的导函数是( )．A ．xB ．2xC ．x 2D ．2x 24．曲线f (x )＝x 3＋2x ＋1在点P (1,4)处的切线方程是( )．A ．5x －y ＋1＝0B ．x －5y －1＝0C ．5x －y －1＝0D ．x －5y ＋1＝05．函数f (x )＝x 3＋4x ＋1，则f ′(x )＝( )．A ．3x 2＋4B ．4x 2＋3C ．x 3＋4xD ．x 2＋46．对于函数y ＝x 2，在x ＝__________处的导数值等于其函数值．7．曲线y ＝f (x )＝2x －x 3在点(1,1)处的切线方程为__________．8．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝__________. 9．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，求a 的值及切点的坐标．10．已知直线l 1为曲线y ＝f (x )＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．参考答案1．D 平均变化率为s (1＋d )－s (1)d ＝2(1＋d )2＋1－(2×12＋1)d＝4＋2d .2．Af (1＋d )－f (1)d ＝1＋d ＋1－(1＋1)d ＝1＋d －1d ＝11＋d ＋1， 当d 趋于0时，11＋d ＋1趋于12.∴f ′(1)＝12. 3．B f (x ＋d )－f (x )d ＝(x ＋d )2－x 2d＝2x ＋d ，当d 趋于0时，2x ＋d 趋于2x ，∴f ′(x )＝2x .4．C 因为P (1,4)在曲线上，所以在曲线上取另一点Q (1＋d ，f (1＋d ))，计算PQ 的斜率为k (1，d )＝f (1＋d )－f (1)d＝(1＋d )3＋2(1＋d )＋1－(13＋2×1＋1)d＝d 3＋3d 2＋5d d＝d 2＋3d ＋5. 当d 趋于0时，d 2＋3d ＋5趋于5，所以所求切线的斜率为5，∴切线方程为y －4＝5(x －1)，即5x －y －1＝0.5．A f (x ＋d )－f (x )d＝(x ＋d )3＋4(x ＋d )＋1－(x 3＋4x ＋1)d＝3x 2＋4＋3xd ＋d 2.当d 趋于0时，3x 2＋4＋3xd ＋d 2趋于3x 2＋4，∴f ′(x )＝3x 2＋4.6．0或2 设x ＝x 0，则 f (x 0＋d )－f (x 0)d ＝(x 0＋d )2－x 20d＝d ＋2x 0. 当d 趋于0时，d ＋2x 0趋于2x 0. 由题意得：2x 0＝x 02.∴x 0＝0或x 0＝2.7．x ＋y －2＝0 f (1＋d )－f (1)d ＝2(1＋d )－(1＋d )3－(2×1－13)d＝－1－3d －d 2.当d 趋于0时，－1－3d －d 2趋于－1，∴f ′(1)＝－1，即所求切线的斜率为－1.∴所求切线的方程为y －1＝－1×(x －1)，即x ＋y －2＝0.8．±1 f (a ＋d )－f (a )d ＝(a ＋d )3－a 3d＝3a 2＋3ad ＋d 2，当d 趋于0时，3a 2＋3ad ＋d 2趋于3a 2. ∴曲线在点(a ，a 3)处的切线的斜率为3a 2.∴曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．∴切线与x 轴的交点为(23a,0)． ∴12|a －23a |·|a 3|＝16，解得a ＝±1. 9．解：设直线l 和曲线C 相切于点P (x 0，y 0)．令f (x )＝x 3－x 2＋1，则f (x 0＋d )－f (x 0)d＝(x 0＋d )3－(x 0＋d )2＋1－(x 03－x 02＋1)d＝d 2＋3x 0d ＋3x 02－2x 0－d .当d 趋于0时，有f ′(x 0)＝3x 02－2x 0.由题意知3x 02－2x 0＝1，解得x 0＝－13或1. 于是切点坐标为(－13，2327)或(1,1)． 当切点为(－13，2327)时，2327＝－13＋a ，∴a ＝3227. 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，∴a ＝0(舍去)．∴a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)． 10．解：(1)由导数的概念，得k 1＝f ′(1)＝3， ∴直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2的切点为B (b ，b 2＋b －2)，则k 2＝f ′(b )＝2b ＋1，∵l 1⊥l 2，∴(2b ＋1)×3＝－1，解得b ＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.∴直线l 1与l 2的交点坐标为(16，－52)．又∵l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.。

本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题. 满分150分，考试时间100分钟.参考公式：（为实数）；；；； .第一部分（选择题，共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“对任意，都有”的否定为A．存在，使得B．对任意，都有C．存在，使得D．不存在，使得2．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．函数的导数为A．B．C．D．4．已知曲线在点处的切线经过点，则的值为A．B．C．D．5．双曲线虚轴上的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为A．B．C．D．6．已知函数的导函数为，且满足，则A．B．C．D．7．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是A．B．C．D．8．函数的极值点为A．B．C．或D．9．设是椭圆的长轴，点在椭圆上，且．若，，则椭圆的焦距为A．B．C．D．10．若在区间上是单调递增的，则的取值范围为A．B．C．D．第二部分（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.11．命题“若，则”的否命题是．12. 若抛物线方程为，则它的准线方程为．13. 双曲线的离心率大于的充分必要条件是．14. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是．15. 以椭圆短轴的两个顶点为焦点，且过点的双曲线的标准方程是．三、解答题：本大题共4小题，共60分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分15分）已知命题：，：，若“且”与“非”同时为假命题，求的取值.17.（本小题满分15分）设函数，求的单调区间与极值.18.（本小题满分15分）已知，函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求在闭区间上的最小值.19.（本小题满分15分）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. 直线与椭圆交于不同的两点、.（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为时，求的值.。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 3.3.3 函数的最值同步练习题【基础演练】题型一：极值与最值的区别与联系 极值是一个局部概念，最值可以看作整体概念，一般情况下，二者有区别，极值不一定是最值，最值也不一定是极值；但如果在连续开区间上只有一极值，则极大值为最大值，极小值为最小值，请根据以上知识解决以下1~3题。

1. 设()x f 在[]b ,a 上的函数，则下述命题正确的是A. 若()x f 在[]b ,a 上连续，则()x f 在[]b ,a 上存在最大值和最小值B. 若()x f 在[]b ,a 上有极大值，则极大值一定是[]b ,a 上的最大值C. 若()x f 在[]b ,a 上有极小值，则极小值一定是[]b ,a 上的最小值D. 若()x f 在[]b ,a 上有极大值和极小值，则极大值必大于极小值2. 下列说法正确的是 A. 函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B. 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C. 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值则一定是最值D. 若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值3. 函数|1x |y -=，下列结论中正确的是A. y 有极小值0，且0也是最小值B. y 有最小值0，但0不是极小值C. y 有极小值0，但0不是最小值D. 因为y 在1x =处不可导，所以0既非最小也非极值题型二：求函数的最值一般地，求()x f 在[]b ,a 上的最大值与最小值的步骤如下：①求()x f 在()b ,a 内的极值；②将()x f '的各极值与端点值()a f ，()b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值，请根据以上知识解决以下4~7题。

4. 给出下面四个命题：①函数4x 5x y 2+-=（1x 1≤≤-）的最大值为10，最小值为49-； ②函数()4x 21x 4x 2y 2<<-+-=的最大值为17，最小值为-1； ③函数()3x 3x 12x y 3<<--=的最大值为16，最小值为-16； ④函数()2x 2x 12x y 3<<--=既无最大值，也无最小值其中正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知()m x 6x 2x f 23+-=（m 为常数），在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为 A. –37B. –29C. –5D. –116. 函数()2x x 4y 2-=在[]2,2x -∈上的最大值为_________，最小值为________。

1．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到．其中正确命题的序号是( )．A ．①④ B．②④ C．①② D．③④ 2．函数f (x )＝x 3＋x 在区间上( )． A ．最小值为－1，最大值为2 B ．最小值为－2，最大值为2 C ．最小值为－1，最大值为1 D ．最小值为0，最大值为13．函数f (x )＝2－x 2－x 3的极值情况是( )． A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值，也无极小值 D ．既有极大值又有极小值4．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间上的最大值是( )． A ．－2 B ．0 C ．2 D ．45．若f (x )＝x 3＋mx 2＋5x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________．6．函数f (x )＝9＋3x －x 3的极小值为__________．7．函数f (x )＝4x 2(x －2)在x ∈上的最大值和最小值分别为__________，__________. 8．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3. (1)设a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若a ＞14，且当x ∈时，|f ′(x )|≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间(－23，－13)内是减函数，求a 的取值范围．参考答案1．B2．B ∵f ′(x )＝3x 2＋1＞0，∴f (x )为增函数．∴f (x )的最小值为f (－1)＝－2，f (x )的最大值为f (1)＝2. 3．D f ′(x )＝－3x 2－2x ＝－3x (x ＋23)．令f ′(x )＝0，则x ＝0或－23.当x ∈(－∞，－23)时，f ′(x )＜0；当x ∈(－23，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在x ＝－23处取得极小值，f (x )在x ＝0处取得极大值．4．C f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或2(舍去)． ∵f (0)＝2，f (1)＝0，f (－1)＝－2， ∴f (x )最大值＝2.5． f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋5.由题意，知(2m )2－4×3×5≤0，得－15≤m ≤15. 6．7 f ′(x )＝3－3x 2＝－3(x －1)(x ＋1)， 当x ＜－1时，f ′(x )＜0， 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＞0， 当x ＞1时，f ′(x )＜0，∴f (x )在x ＝－1处取得极小值，f (－1)＝9－3＋1＝7. 7．0 －64 令f ′(x )＝12x 2－16x ＝0，∴x ＝0或x ＝43.当x ∈(－2,0)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(0，43)时，f ′(x )＜0；当x ∈(43，2)时，f ′(x )＞0.故f (x )在x ＝0时取得极大值，在x ＝43时取得极小值．又∵f (0)＝0，f (－2)＝－64，f (2)＝0，f (43)＝－12827， ∴函数的最大值为0，最小值为－64.8．解：(1)当a ＝1时，对函数f (x )求导数，得f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 列表讨论f (x )，f ′(x )的变化情况：(2)f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x ＝a 对称． 若14＜a ≤1，则f ′(x )在上是增函数， 从而f ′(x )在上的最小值是f ′(1)＝3－6a －9a 2，最大值是f ′(4a )＝15a 2.由|f ′(x )|≤12a ，得－12a ≤3x 2－6ax －9a 2≤12a ，于是有f ′(1)＝3－6a －9a 2≥－12a ，且f ′(4a )＝15a 2≤12a .由f ′(1)≥－12a ，得－13≤a ≤1，由f ′(4a )≤12a ，得0≤a ≤45.所以a ∈(14，1]∩∩，即a ∈(14，45]．若a ＞1，则|f ′(a )|＝12a 2＞12a . 故当x ∈时，|f ′(x )|≤12a 不恒成立．所以使|f ′(x )|≤12a (x ∈)恒成立的a 的取值范围是(14，45]．9．解：(1)f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，当Δ＝(2a )2－3×4＝4a 2－12≤0，即－3≤a ≤3时，f ′(x )≥0恒成立， 此时f (x )为单调递增函数，单调区间为(－∞，＋∞)．当Δ＝(2a )2－3×4＝4a 2－12＞0，即a ＞3或a ＜－3时，函数f ′(x )存在零解， 此时，当x ＜－a －a 2－33时，f ′(x )＞0，当x ＞－a －a 2－33时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当－a －a 2－33＜x ＜－a ＋a 2－33时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上，若－3≤a ≤3，则函数f (x )在x ∈R 时，单调递增；若a ＞3或a ＜－3，当x ＜－a －a 2－33或x ＞－a ＋a 2－33时，函数f (x )单调递增；当－a －a 2－33＜x ＜－a ＋a 2－33时，函数f (x )单调递减．(2)若函数在区间(－23，－13)内是减函数，则说明f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0的两根在区间(－23，－13)外，因此f ′(－23)≤0，且f ′(－13)≤0，由此可以解得a ≥2.因此a 的取值范围是[2，＋∞)．。