结论: 具有包含关系的两个集合: “小”范围是“大”范围的充分条件; “大”范围是“小”范围的必要条件.
例 1 已知 p: －2≤x≤10，q: 1－m≤x≤1＋m (m＞0),若 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 m 的取值范围为_______.
解：因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 p⇒q 且 q p.
解: 因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 q⇒p,且 p q.
则 {x|1－m≤x≤1＋m，m>0} {x|－2≤x≤10}，
m>0， 所以 1－m≥－2
1＋m≤10，
，解得 0<m≤3.
即 m 的取值范围是{m|0＜m≤3}．
例2已知P {x a 4 x a 4},Q {x 1 x 3}, ?x P” 是“x Q”的必要条件,求实数a的取值范围.
解: 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以 Q⊆P.
a－4≤1，
所以
解得－1 ≤ a ≤ 5，
a＋4≥3，
即 a 的取值范围是{a|－1 ≤ a ≤ 5}．
变式: 已知 p: 实数 x 满足 3a<x<a,其中 a<0; q: 实数 x 满足 －2≤x≤3.若 p 是 q 的充分条件, 求实数 a 的取值范围.
如果“若 p, 则q”和它的逆命题“若 q, 则 p”均 是真命题,即既有 p q, 又有 q p, 记作 p q. 此时,就说 p 是 q的充分必要条件,简称充要条件.
注意 : (1) 如果 p q,那么 p 与q 互为充要条件; (2) '' p 是 q的充要条件''也说成'' p 等价于 q ''或
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
