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B A B B A B A A B A A B B A B A A x B x B x A x B A B x A x B A ⊆⇔=⋃⊆⇔=⋂⊆⊆⇔=∉∈∃∈∈∀⇔⊂∈∈∀⇔⊆且且、,,,10ax b b x a a b b x a x g x f x g x f x g x f a x a x a x x g x f x g x g x f a x a a x -<<-<<⇔>><<-<>⇔><>⇔><<-⇔<<<-⇔<或或，或、)0()()()()()()()()()()()(,2?)()()()())(()()()()())(()(5?)(04?)(00003?)(0002?)(013max min 2”呢”改为“若将“恒成立恒成立（先分离变量））一般的恒成立问题：（”呢”改为“若将“恒成立）（”呢”、“”、“”改为“若将“或恒成立）（”呢”、“”、“”改为“若将“且恒成立）（”呢”改为“若将“恒成立）（、不等式恒成立问题≥>⎩⎨⎧∈>⇔∈>∈<⇔∈>≥>-<⇔>-+-≤<≥>⎩⎨⎧<∆>==⇔>++≤<≥>>=⇔>+≥><⇔>N m m g x f N m m g x f M x x f m g M x m g x f b a k b x a x a b a c bx ax b a b ax a a x [][]满足一一对应函数有反函数、函数上是减函数在区间函数上是增函数在区间、函数为非零常数）（是周期函数、函数分条件）为奇函数的必要不充（定义域为是函数是偶函数函数是奇函数函数定义域关于原点对称、函数)()(70)()()()(,,)(0)()()()(,,)(6)()()(5)(0)0()()()()0)()(()()()()(42121212*********x f x f x x x f x f x f x f b x x a b a x f x x x f x f x f x f b x x a b a x f T x f T x f x f R xf f x f x f x f x f x f x f x f x f x f ⇔<-<⇔>≤<≤∀⇔>-<⇔<≤<≤∀⇔=+⇔==-⇔=+--=-⇔）对称；，函数关于点（满足：函数对称；函数关于直线满足：、函数02)()()(2)()()(8b a x b f x a f x f b a x x b f x a f x f +⇔+-=-+=⇔+=-{}{})()(911*+*+∈>⇔∈<⇔N n a a a N n a a a n n n n n n 为单调递减的数列数列为单调递增的数列、数列{}{})()(101111*-+*-+∈⎩⎨⎧≤≤⇔∈⎩⎨⎧≥≥⇔N n a a a a a a N n a a a a a a n n n n n n n n n n n n 的最小项为数列的最大项为数列、高中充分必要条件归纳杨金煜咸丰一中{}(){}00)()(2)(1111121112111≠∙=⇔≠==⇔+=⇔+=⇔+=⇔=-⇔+-+++-+a a a a a qa a q q a a a n Bn An S n b an a a a a d d a a a n n n n n nn n n n n n n n n n 且）且（或者写成为非零常数为等比数列数列数项的二次表达式且不含常关于的一次表达式关于为常数为等差数列、数列{}{}{})0()10010(10010)0(0121111为摆动数列时，注：等比数列公比或单调递减或单调递减等差数列单调递减单调递增、等差数列n n n a q q a q a q a q a a d d a <⎩⎨⎧<<>⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<<<⎩⎨⎧>>⇔<>⇔{}{}AB B A ABC B A A B B A ABC B A B A B A B A B A ABC a c b A A ABC a c b A A ABC a c b A A ABC A ABC a c b c b a x A x f Zk k x A x f Z k k x A x f a a a a a a a a a a a a a a a a c b a c a b c a b c b a d a n S n a d a n S n a n n n n cos sin ,cos sin cos sin ,cos sin )cos (cos cos cos sin sin 180cos 20cos 20cos 217016)cos()(,)sin()(,2)sin()(15,,,,,,,,2,,1400100113222222222224321324143213241211<<⇒∆>>⇒∆>>⇔<⇔<∆<+⇔<⇔>⇔∆=+⇔=⇔=⇔∆>+⇔>⇔<⇔∆∆>+⇔>≥≥+=∈=⇔+=∈+=⇔+=∙=∙+=+∙=+=⇔><⇔≠<>⇔≠的两个锐角为钝角、的两个锐角为锐角、中：、在为钝角三角形为直角三角形为锐角三角形为最大角：中、在能构成三角形、呢？）（若为奇函数函数为偶函数、函数等比的必要不充分条件是等差的必要不充分条件是等比的必要不充分条件是等差、且）有最小值（项和的前等差数列且）有最大值（项和的前、等差数列πππϕωπϕϕωππϕϕω)),(),,((000,cos ,)),(),,((000,cos ,1922112121y x b y x a y y x x b a b a b a b a y x b y x a y y x x b a b a b a ===+⇔=∙⇔=⇔⊥==>+⇔>∙⇔>⇔）为直角（即为锐角、()()()030201)(26<∆⇔>⇔=∆⇔=⇔>∆⇔<⇔∆r d O l r d O l r d O l y x O r l O d 相离与圆、相切与圆、相交与圆、判别式得到的一元二次方程的或的方程消去为联立直线与圆的半径；圆的距离，到直线为圆心：、直线与圆的位置关系()()()())(04)(3)(2)()(310121222点即三条内角平分线的交的内心是内切圆的圆心注：的内心是、三边中垂线的交点的外心是外接圆圆心即注：）（或的外心是、的垂心是三边高的交点注：的垂心是、点的重心是三边中线的交注：的重心是为平面内任意一点，则若的重心是、形式的充要条件、三角形“四心”向量ABC CB CB CA CA GC BC BC BA BA GB AC AC AB AB GA ABC G ABC GC GB GA GC GB GA ABC G ABC GAGC GC GB GB GA ABC G ABC PC PB PA PG ABC G P GC GB GA ABC G ∆=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⇔∆∆====⇔∆∆∙=∙=∙⇔∆∆++=⇔∆=++⇔∆210sin sin sin 22=∙=∙⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔==⇔∙=∙=∙⇔∆AC AC AB AB BC AC AC AB AB A C C b B a CB CA CA BC BC AB ABC 且为正三角形、为空间中任意一点）（且四点共面、、、为平面内任意一点）（且斜率存在三点共线、、、O z y x OD z OC y OB x OA ACAB AB D C B A O OC OB OA k k AC AB C B A AC AB 11)(23=++++=+=⇔=++=⇔=⇔=⇔μλμλμλλ)),(),,((000,cos ,22112121y x b y x a y y x x b a b a b a ==<+⇔<∙⇔<⇔为钝角()()()122112212122221111212122211121212122211121//,0:,02//,:,//,:,1//24C B C B B A B A l l C y B x A l C y B x A l l l k k b x k y l b x k y l b b k k l l b x k y l b x k y l l l ≠=⇔=++=++=+=+=≠=⇔+=+=且则：、若的必要不充分条件是则：若且则：、若的充要条件：、直线)),(),,((0//2022111221y x b y x a y x y x b a b b a b a ===⇔≠=⇔中至少有个零向量、）或（、λ()()0,0:,021,:,12521212122221111212122211121=+⇔⊥=++=++-=∙⇔⊥+=+=⊥B B A A l l C y B x A l C y B x A l k k l l b x k y l b x k y l l l 则：、若则：、若的充要条件：、直线()()()()()()()()()()()面面平行、垂直线面平行、垂直线线平行、垂直要包括以下几种：件即为各判定定理，主、立体几何中的充要条）互斥的充分不必要条件、对立是、（对立、事件互斥、、事件。
高考数学复习知识点：充要条件充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件，是高考数学的重要知识点，一起来复习下吧：（1）先看“充分条件和必要条件”当命题“若p则q”为真时，可表示为p=>q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。
这里由p=>q，得出p为q的充分条件是容易理解的。
但为什么说q是p的必要条件呢?事实上，与“p=>q”等价的逆否命题是“非q=>非p”。
它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。
这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。
（2）再看“充要条件”若有p=>q，同时q=>p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。
简称为p是q的充要条件。
记作p<=>q回忆一下初中学过的“等价于”这一概念；如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B。
“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。
也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立；同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。
（3）定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。
如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。
显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。
“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。
“仅当”表示“必要”。
（4）一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，*质定理中的“结论”都可作为必要条件。
1. A= “三角形等边”；B=“三角形等角”。
2. A= “某人触犯了刑律”；B= “应当依照刑法对他处以刑罚”。
3. A= “付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。
例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B;其二，A是B 发生必需的。
若A推B,则A是B的充分条件若B推A,则A是B的必要条件编辑本段生活中的充分必要条件生活中表达充分必要条件的情况不太常见。
在逻辑学和数学中一般用“当且仅当”来表示充分必要条件。
例如：1. 当且仅当竞争对手甲退出投标时，乙才会报一个较高的价位。
2. a、b为任意实数时，a A2+b A2 > 2ab成立，当且仅当a=b时取等号。
（aA2表示a的平方）其他常见的表示充分必要条件的说法还有：“需要且只需要”、“唯一条件”和例7的情况。
例如：3. 任何两个端节点之间的转发需要且只需要经过三次交换。
4. 为了防止圆管内流动的水发生结冰，则需要且只需要保持圆管内壁面的最低温度在某一温度以上。
5. 俄军逼近格首都称停火唯一条件是格军放弃武力。
6. 法院判决离婚的唯一条件是夫妻感情破裂。
7. 人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。
编辑本段唯一条件唯一条件（或唯一的条件）：即充分必要条件。
例句：1. 中国各类兴奋剂出口的唯一条件是有合法用途。
2. 小张同意离婚的唯一条件就是付给自己至少7万元的初婚费，否则她就不同意。
3. 参加这个俱乐部的唯一条件是你的姓氏是史密斯。
4. 邪恶盛行的唯一条件是善良者的沉默。
5. 伊朗同意在俄提炼浓缩铀的唯一条件是要中国参与。
6. 进入这个学校读书的唯一条件是一次性交纳两万元赞助费。
句1可以这样分析：满足“有合法用途”，必然“兴奋剂能出口”；不满足“有合法用途”，必然“兴奋剂不能出口”，所以“唯一条件”就是充分必要条件的意思。
对其他句子可作相同的分析。
生活中，人们不常使用准确的语言来表述充分必要条件，而是只强调充分必要条件的充分性，或者只强调充分必要条件的必要性。
充分条件与必要条件编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件；③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =；(2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点(3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【解析】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件；(2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠，q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）:1p x =，2:1q x =；【答案】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/， ∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p :0a >且0b >, q :0ab >（2）p :1>yx , q : x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件 ∵1>yx 在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【解析】q ：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q ：如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)， 从图中看P Q ， p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以选择（A ）.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【答案】A【变式2】（2015 天津文）设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】由|x －2|＜1⇒ －1＜x －2＜1⇒－1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】 (2015 福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B ．类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x 、y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy ≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y ≠0；②x ≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy ＞0，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，当x ＞0，y ＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x ＜0，y ＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy ≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2，|xy|=xy ，∴xy ≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy ≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2, ∵ac<0, ∴x 1·x 2=ac <0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0， 则x 1·x 2=ac <0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a ≠0时，显然方程没有零根， 若方程有两异号的实根，则必须满足100440a a a ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩； 若方程有两个负的实根，则必须满足102001440a a a a ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1类型三：充要条件的应用例4. 已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴p q ⇒，即A B ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
