充分条件与必要条件

§1.4 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念．2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．4.理解充要条件的意义．5.会判断一些简单的充要条件问题．6.能对充要条件进行证明．知识点一 充分条件与必要条件“若p ，则q ”为真命题“若p ，则q ”为假命题推出关系p ⇒q p ⇏q条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件 q 不是p 的必要条件定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考1 若p 是q 的充分条件，这样的条件p 唯一吗？答案 不唯一．例如“x >1”是“x >0”的充分条件，p 可以是“x >2”“x >3”或“2<x <3”等．思考2 p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 答案 相同，都是p ⇒q .思考3 以下五种表述形式：①p ⇒q ；②p 是q 的充分条件；③q 的充分条件是p ；④q 是p 的必要条件；⑤p 的必要条件是q .这五种表述形式等价吗？ 答案 等价． 知识点二 充要条件1．如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．2．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．思考4 若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题．这种说法对吗？答案正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确．思考5“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？答案(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．答案必要解析因为两个三角形全等，所以这两个三角形相似，即q⇒p，所以p是q的必要条件．2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．答案充分解析因为A⊆B，所以x∈A⇒x∈B，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件．3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．答案必要解析∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，∴p是q的必要条件．4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．答案充分解析因为当a＝0时，一定有ab＝0成立，即p⇒q，所以p是q的充分条件．5．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．答案必要不充分解析设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝1 2，故p是q的必要不充分条件．6．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件．答案充分不必要7．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．答案充要解析因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．一、充分条件的判断例1指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；(2)已知x∈R，p：x>1，q：x>2.解(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件．(2)方法一由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件．方法二设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件．反思感悟充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．跟踪训练1“x>2”是“x2>4”的________条件．答案充分解析x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．二、必要条件的判断例2指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(3)p：a>b，q：ac>bc.解(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件．(2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件．(3)因为p⇏q，所以q不是p的必要条件．反思感悟必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件．跟踪训练2 指出下列哪些命题中q 是p 的必要条件？ (1)p ：∠A 和∠B 是对顶角，q ：∠A ＝∠B ； (2)p ：|x |>2，q ：x >2.解 (1)因为对顶角相等，所以p ⇒q ，所以q 是p 的必要条件．(2)因为当|x |>2时，x >2或x <－2，所以p ⇏q ， 所以q 不是p 的必要条件． 三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0. 延伸探究将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }． q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以3a >3，a <－2，a >0⇒a ∈∅.反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练3 已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1≤a ≤5解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以a －4≤1，a ＋4≥3，即a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5. 四、充分、必要、充要条件的判断例4 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p ：x ＝1，q ：x －1＝x －1； (2)p ：－1≤x ≤5，q ：x ≥－1且x ≤5； (3)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2； (4)p ：a 是自然数；q ：a 是正数． 解 (1)当x ＝1时，x －1＝x －1成立；当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2. ∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5， ∴p 是q 的充要条件． (3)由q ：(x ＋2)2≠y 2，得x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，又p ：x ＋2≠y ， 故p 是q 的必要不充分条件．(4)0是自然数，但0不是正数，故p ⇏q ；又12是正数，但12不是自然数，故q ⇏p . 故p 是q 的既不充分又不必要条件．反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．跟踪训练4 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.解(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件．(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．(3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁U B⊆∁U A，∴p是q的充要条件．五、充要条件的证明例5设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.反思感悟充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．跟踪训练5 求证：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 证明 ①充分性：如果b ＝0，那么y ＝kx ，当x ＝0时，y ＝0，函数图象过原点．②必要性：因为y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点， 所以当x ＝0时，y ＝0，得0＝k ·0＋b ，所以b ＝0.综上，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 六、充要条件的应用例6 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m } {x |－2≤x ≤10}，故有1－m ≥－2，1＋m <10或1－m >－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以A B .所以 1－m ≤－2，1＋m >10或1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练6已知当a<0时，设p：3a<x<a，q：x<－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解设A＝{x|3a<x<a，a<0}，B＝{x|x<－4或x≥－2}．因为p是q的充分不必要条件，所以A B，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－2 3.又∵a<0，∴a≤－4或－23≤a<0，即实数a的取值范围为a≤－4或－23≤a<0.1．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的()A．充分条件C．既是充分条件又是必要条件B．必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2．使x>3成立的一个充分条件是()A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 3．“x>0”是“x≠0”的()A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．“a<b”是“a b<1”的()A．必要不充分条件C．充要条件B．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件5．已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的________条件；q 是p的________条件．(用“充分”“必要”填空)6．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．8．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．【答案与解析】 1、答案 B解析 因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件． 2、答案 A解析 只有x >4⇒x >3，其他选项均不可推出x >3. 3、答案 A解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件． 4、答案 D 解析 暂无 5、答案 充分 必要解析 因为p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 6、答案 a ≤1解析 因为x >1⇒x >a ，所以a ≤1. 7、答案 充要解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0， 所以充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，所以必要性成立． 故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件． 8、答案 m ＝－2解析 函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称， 则－m2＝1，即m ＝－2； 反之，若m ＝－2，则y ＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称．1．知识清单：(1)充分条件、必要条件的概念． (2)充要条件概念的理解．(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(4)充分条件、必要条件的判断．(5)充分条件与必要条件的应用．(6)充要条件的证明．(7)充要条件的应用．2．方法归纳：等价转化．3．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值；条件和结论辨别不清．。

第六节 充分条件与必要条件一、基础知识（一）充分条件、必要条件和充要条件1．充分条件：如果A 成立那么B 成立，则条件A 是B 成立的充分条件。

2．必要条件：如果A 成立那么B 成立，这时B 是A 的必然结果，则条件B 是A 成立的必要条件。

B A ⇒3．充要条件：如果A 既是B 成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A 是B 成立的充要条件；同时B 也是A 成立的充要条件。

（二）充要条件的判断1若B A ⇒成立则A 是B 成立的充分条件，B 是A 成立的必要条件。

2．若B A ⇒且B A ，则A 是B 成立的充分且不必要条件，B 是A 成立必要且非充分条件。

3．若B A ⇔成立则A 、B 互为充要条件。

证明A 是B 的充要条件，分两步：（1）充分性：把A 当作已知条件，结合命题的前提条件推出B ；（2）必要性：把B 当作已知条件，结合命题的前提条件推出A 。

（三）反证法运用的两个难点：1）何时使用反证法 2）如何得到矛盾。

二、范例选讲例1．（04重庆）一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ C ）（A ）0a < （B ）0a > （C ）1a <- （D ）1a > 练习1设f(x)=x 2-4x(x ∈R)，则f(x)>0的一个必要而不充分条件是（ C ）A 、x<0B 、x<0或x>4C 、│x-1│>1D 、│x-2│>3例2．填空题;______)1(条件的是则若p q q p ⌝⌝⇒;______00,_______00)2(条件的是条件的是≥≥>>ba ab b a ab (3)若A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要条件，则A 是D 的 条件. 答案：(1)充分条件 (2)充要、必要不充分 (3)A ＝> B <＝> C ＝> D 故填充分。

充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。

简单地说，满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。

（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。

2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。

3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。

例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B；其二，A是B发生必需的。

区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件）由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论。

此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。

此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。

2.必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件。

我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了。

我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果。

充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的哲学内涵。

如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗答必然属于。

2. 必要性条件。

事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。

如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不能推倒出亲情关系属于父子关系。

充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B,A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。

简单地说,满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。

（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如：1。

A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。

2。

A=“某人触犯了刑律"；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”. 3。

A=“付了足够的钱”;B=“能买到商店里的东西”. 例子中A都是B的充分必要条件:其一、A必然导致B；其二，A是B发生必需的。

区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A～～则A是B的充要条件(充分且必要条件)由A可以推出B~由B不可以推出A～~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B～由B不可以推出A~～则A是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件,但由条件推不出结论。

此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。

此条件为充要条件例子:1。

充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a,天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。

2。

必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件.我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了.我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果.充分条件是事物运行发展的必然性条件,体现必然性的哲学内涵.如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必然属于。

2. 必要性条件。

事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。

如亲情关系和父子关系,亲情关系符合父子关系的一种现象表达,但不能推倒出亲情关系属于父子关系.集合表示：设A、B是两个集合，A是B的充分条件，即满足A的必然满足B，表示为A包含于B；A是B的必要条件,即满足B的必然满足A，表示为A包含B,或B包含于A;A是B的充分不必要条件，即A是B的真子集，表示为A真包含于B；A是B的必要不充分条件，即B是A的真子集，表示为A真包含B，或者B真包含于A; A是B的充分必要条件，即A、B等价，表示为A=B。

充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。

简单地说，满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。

（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。

2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。

3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。

例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B；其二，A是B发生必需的。

区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件）由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论。

此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。

此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。

2.必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件。

我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了。

我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果。

充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的哲学内涵。

如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必然属于。

2. 必要性条件。

事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。

如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不能推倒出亲情关系属于父子关系。

充分条件与必要条件
充分条件与必要条件知识点包括充分条件与必要条件、命题、四种命题及其相互关系等部分，有关充分条件与必要条件的详情如下：
充分条件与必要条件
(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p→q，并且说p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)．
如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p→q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
(2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.。

一、充分条件、必要条件、充要条件的定义
1．若p 则q 为真，q p ⇒；若p 则q 为假，q p ⇒
条件 结论
2．定义
（1）若q p ⇒，则p 是q 的充分条件
（2）若p q ⇒，则p 是q 的必要条件
（3）若q p ⇒且p q ⇒，则q 是p 的充要条件
二、充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断断
步骤： ①分清条件、结论
②
技巧：①可先化简命题再进行判断；②否定一个命题只需举出一个反例即可。

（2）集合法：集合A ，B 分别是使命题p ，q 为真命题的对象所组成的集合.
⎩
⎨⎧⇒⇒p q q p 充分不必要条件 A B 必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
三、充分条件与必要条件的应用
例：已知p ：，q ：{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0}，若p 是q 的充分不
必要条件，求实数m的取值范围．
令A＝，
……………………………………………………2分
B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m>0}
＝{x|[x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0，m>0}，
∴B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}.………………4分
∵p是q的充分不必要条件，
∴A B.……………………………………………6分
四、证明充要条件
步骤：①分清条件、结论；
②证明充分性：条件⇒结论；
③证明必要性：结论⇒条件；
④下结论。

技巧：证明充要条件，即证明命题的原命题和逆命题都成立．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．。