函数的表示法(学生版)

3.1.2 表示函数的方法课程标准学习目标（1）在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法) 表示函数, 理解函数图象的作用。

（1）会求函数的解析式; （难点)（2）列表法表示函数（3）图象法表示函数。

知识点01 解析法把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式（也叫作函数表达式或函数关系式），解析法就是用解析式来表示函数的方法。

比如正方形周长C 与边长a 间的解析式为C =4a ，圆的面积S 与半径r 的解析式S =πr 2等.求函数解析式的方法① 配凑法 ② 待定系数法③ 换元法④ 构造方程组法 ⑤ 代入法【即学即练1】已知函数f (x )=1x ，则f (x +1)=（ ）A ．f (x +1)=1x+1B ．f (x +1)=1x―1C ．f (x +1)=2x―1D ．f (x +1)=2x+1知识点02 列表法如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.【即学即练2】函数f(x)与g(x)的对应关系如下表．x―101x123f(x)132g(x)0―11则g(f(―1))的值为（）A．0B．3C．1D．―1知识点03 图象法如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.【即学即练3】购买某种饮料x听，所需钱数是y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．【题型一：解析法表示函数】例1．若函数y=f(x)对任意x∈R，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，则下列函数可以为y=f(x)解析式的是（）A．f(x)=x+1B．f(x)=2x―1C．f(x)=2x D．f(x)=x2+x变式1-1．一个等腰三角形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则（）A．y=10―x(0<x≤10)B．y=10―x(0<x<10)C．y=20―2x(5≤x≤10)D．y=20―2x(5<x<10)变式1-2．下列函数中，对任意x，不满足2f(x)=f(2x)的是（）A．f(x)=|x|B．f(x)=―2xC．f(x)=x―|x|D．f(x)=x―1变式1-3．定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(4)=8，则f（）A B．2C．4D．6变式1-4．若函数f(x)满足f(a+b)=f(a)+f(b)1―f(a)f(b)，且f(2)=12，f(3)=13，则f(7)=A．1B．3C．43D．83【方法技巧与总结】理解函数解析式y=f(x)，仅是用一系列运算符号连接起来得到的式子，它对定义域内任何一个值都是成立的；比如①函数f(x)=x2(x>0)，可取任何大于0的值进行赋值；②若函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，则x ,y 取任何实数均可使得等式成立.【题型二：求函数的解析式】方法1 待定系数法例2．若二次函数f(x)满足f(x +1)―f(x)=2x ，且f(0)=1，则f(x)的表达式为（ ）A ．f(x)=―x 2―x ―1B ．f(x)=―x 2+x ―1C ．f(x)=x 2―x ―1D ．f(x)=x 2―x +1变式2-1．已知f(x)是一次函数，且2f(2)―3f(1)=5，2f(0)―f(―1)=3，则f(x)=（ ）A ．3x ―2B ．3x +2C ．92x ―12D ．4x ―1变式2-2．已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)―2x]=3，则f(5)=（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5变式2-3．已知二次函数f (x )满足f(2)=―1,f(1―x)=f(x)，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)=（ ）A ．―4x 2+4x +7B ．4x 2+4x +7C ．―4x 2―4x +7D ．―4x 2+4x ―7方法2 换元法例3．已知函数f 2)=x ―，则f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)=x 2+1(x ≥0)B ．f(x)=x 2+1(x ≥―2)C ．f(x)=x 2(x ≥0)D ．f(x)=x 2(x ≥―2)变式3-1．已知函数f(1―x)=1―x2x2(x≠0)，则f(x)=（）A．1(x―1)2―1(x≠0)B．1(x―1)2―1(x≠1)C．4(x―1)2―1(x≠0)D．4(x―1)2―1(x≠1)变式3-2．设函数f1+=2x+1，则f(x)的表达式为（）A．1+x1―x (x≠1)B．1+xx―1(x≠1)C．1―x1+x (x≠―1)D．2xx+1(x≠―1)变式3-3．已知f1)=x+3，则f(x)=（）A．x2―2x+2(x≥0)B．x2―2x+4(x≥1)C．x2―2x+4(x≥0)D．x2―2x+2(x≥1)方法3 方程组法例4．已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=―15x，则f(2)的值为（）A．152B．154C．174D．172变式4-1．若函数f(x)，g(x)满足f(x)―=3x―4x，且f(x)+g(x)=2x+6，则f(2)+g(―1)=（）A．6B．7C．8D．9变式4-2．已知函数f(x)满足f(x)+2f(2―x)=1x―1，则f(3)的值为（）A．―73B．―109C．―415D．―16变式4-3．已知定义在R上的函数f(x)，满足f(x)+2f(―x)=2x+12.(1)求f(x)的解析式；(2)若点P(a,b)在y=f(x)图像上自由运动，求4a+2b的最小值.【方法技巧与总结】求函数解析式，可视情况而定，1 若已知函数类型，可用待定系数法；2 若求f(g(x))型函数解析式，可用换元法，此时要注意新自变量的取值范围；3 若求满足某函数方程的函数解析式，则用方程组的方法.【题型三：列表法表示函数】例5．设已知函数f(x),g(x)如下表所示：x12345f(x)54321g(x)43215则不等式f(g(x))>g(f(x))的解集为（）A．{1,3}B．{5,3}C．{2,3,4}D．{5}变式5-1．已知函数f(x),g(x)分别由下表给出：则f[g(2)]的值是（）x123f(x)131g(x)321A．1B．2C．3D．1和2变式5-2．观察下表：x―3―2―1123f(x)51―1―335g(x)1423―2―4则f[f(―1)―g(3)]=（）A．―4B．―3C．3D．5变式5-3．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数f(x)由下表给出，则f10f）x x≤11<x<2x≥2y123A．0B．1C．2D．3【方法技巧与总结】表格法表示函数，要注意看清楚变量数值之间的对应关系.【题型四：图象法表示函数】例6．如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序为（）①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度.A．③①②B．③④②C．②①③D．②④③变式6-1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．变式6-2．俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（）A．甲、乙、丙B．丙、甲、乙C．甲、丙、乙D．乙、丙、甲变式6-3．已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间满足关系式t=ax+bx(a∈R,b∈R)，当x=2时，t=100；当x=4时，t=53，且参加此项任务的人数不能超过8．（1）写出t关于x的解析式；（2）用列表法表示此函数；（3）画出此函数的图象．【方法技巧与总结】图象法表示函数，达到“一目了然”的效果，对于函数图象还注意函数的定义域，函数图象的上升下降趋势，增减趋势的缓急等等！一、单选题1．已知定义在[―2,2]上的函数y=f(x)表示为:x[―2,0)0(0,2]y10―2设f(1)=m，f(x)的值域为M，则（）A．m=1,M={―2,0,1}B．m=―2,M={―2,0,1}C．m=1,M={y|―2≤y≤1}D．m=1,M={y|―2≤y≤1}2.函数y=g(x)的对应关系如下表所示，函数y=f(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则g(f(3)―1)的值为（）x123g(x)20230―2023A．2023B．0C．―1D．―20233.设f(x)=xx2+1，则( )A．f(x)B．―f(x)C．1f(x)D．―1f(x)4.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(A→B→O→A)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，且0<f(―1)=f(―2)=f(―3)≤3，则（）A．c≤3B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>96.已知f+1)=x+3，则f(x)的解析式为f(x)=（）A．x2―2x+4B．x2+3C．x2―2x+4(x≥1)D．x2+3(x≥1)7.函数f(x)满足2f(x)―f(1―x)=x，则函数f(x)=（）A．x―2B．x+13C．x―13D．―x+28.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表一市场供给量单价（元/kg）2 2.4 2.8 3.2 3.64供给量（1000kg）506070758090表一市场需求量单价（元/kg）4 3.4 2.9 2.6 2.32需求量（1000kg）506065707580根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（　）A．(2.3,2.6)内B．(2.4,2.6)内C．(2.6,2.8)内D．(2.8,2.9)内二、多选题9．某工厂8年来某产品产量y与时间t的函数关系如图，则以下说法中正确的是（）A．前2年的产品产量增长速度越来越快B．前2年的产品产量增长速度越来越慢C．第2年后，这种产品停止生产D．第2年后，这种产品产量保持不变10.下列说法正确的是（）A．函数f(x+1)的定义域为[―2,2)，则函数f(x)的定义域为[―1,3)B．f(x)=x2x和g(x)=x表示同一个函数C．函数y=1x2+3的值域为0D．定义在R上的函数f(x)满足2f(x)―f(―x)=x+1，则f(x)=x3+111.已知f(0)=12，f(x+y)=f(x)f(1―y)+f(y)f(1―x)，则（）A．f(1)=12B．f(x)=12恒成立C．f(x+y)=2f(x)f(y)D．满足条件的f(x)不止一个三、填空题12．下列表示函数y=f(x)，则f(11)=．x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y234513.已知y=f(x)是二次函数，且f(0)=1，f(x+1)―f(x)=2x，则y=f(x)=．14.若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)=2，φ(7)=6，φ(9)=6，则下列说法正确的序号是．①φ(5)=φ(10)；②φ(2n―1)=1；③φ(32)=16；④φ(2n+2)>φ(2n)，n是正整数．四、解答题15．下图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题.(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0°C？(3)大约在什么时刻内，气温在0°C以上？(4)变量Q是关于变量t的函数吗？16.已知f(x)=1（x∈R，且x≠―1），g(x)=x2+2(x∈R)．1+x(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2))，g(f(2))的值；(3)求f(x)和g(x―1)的值域．17.已知二次函数f(x)满足f(x)=f(2―x)，且f(0)=―3，f(1)=―4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)=x+1，比较f(x)与g(x)的大小.18.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：①a=2；②不等式f(x)>0的解集为{x|―1<x<3 }；③函数f(x)的最大值为4.(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f(x)的解析式；(2)求关于x的不等式f(x)≥(m―1)x2+2(m∈R)的解集.19．已知函数y=f(x)与y=g(x)的定义域均为D，若对任意的x1､x2∈D(x1≠x2)都有|g(x1)―g(x2)|<|f(x1)―f(x2)|成立，则称函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”.(1)若f(x)=3x+1,g(x)=x,D=R，判断函数y=g(x)是否是函数y=f(x)在D上的“L函数”，并说明理由；(2)若f(x)=x2+2,g(x)==[0,+∞)，函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”，求实数a的取值范围；(3)若f(x)=x,D=[0,2]，函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”，且g(0)=g(2)，求证：对任意的x1､x2∈D(x1≠x2)都有|g(x1)―g(x2)|<1.。

1．函数的概念：在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系． 2．函数的三种表示方法：（１）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成表格来表示函数的方法． （２）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． （３）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 3．函数自变量的取值范围的确定：函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： （１）整式：自变量的取值范围是任意实数．（２）分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数． （３）根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． （４）零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类． 4．函数图像：（1）函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．一次函数图像及性质知识回顾（2）函数图象的画法：①列表； ②描点； ③连线． （3）函数解析式与函数图象的关系：由函数图象的定义可知，图象上任意一点(),P x y 中的x ，y 都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．一、一次函数的概念一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数．（1）一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．（2）当，时，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象（1）一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．（2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．（3）由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线． 三、一次函数的性质1．一次函数图象的位置y kx b =+k b 0k ≠y kx b =+0b =0k ≠y kx =y kx b =+0k ≠k b ()00，()1k ，0b ≠()0b ，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，y kx b =+()x y ，l l ()x y ，y kx b =+l y kx b =+y kx b =+l y kx b =+y kx b =+知识讲解一次 函数，符号0b =图象性质 随的增大而增大 随的增大而减小在一次函数中：（1）当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限． （2）当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限． 当0b =时，图象过原点．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．2．一次函数图象的增减性 在一次函数中：（1）当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大； （2）当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．【例1】在下列等式中，y 是x 的函数的有（ ）223201x y x y -=-=，，||||y x y x x y ===，，．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】图中，表示y 是x 的函数图象是（ ）()0k kx b k =+≠k b 0k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <Ox yyx OOx yyx OOx yyxOy x y x y kx b =+0k >0k <0b >y x 0b <y x y kx b =+k b y kx b =+0k >y kx b =+y x 0k <y kx b =+y x 同步练习【例3】已知346=0x y +-，用含x 的代数式表示y 为 ；用含y 的代数式表示x 为 ．【例4】某商店进一批货，每件6元，售出时，每件加利润0.8元，如售出x 件，应收货款y 元，那么y与x 的函数关系式是______________，自变量x 的取值范围是______________．【变式练习】电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次 通话均不超过3分钟，则每月应缴费y （元）与市内电话通话次数x 之间的函数关系式是________________ ．【例5】已知函数223y x =+，当11x =-时，相对应的函数值1y ＝______；当52-=x 时，相对应的函数值2y ＝______； 当3x m =时，相对应的函数值3y ＝______．反过来，当11y =时，自变量x =______．【例6】已知,6xy =根据表中 自变量x 的值，写出相对应的函数值． x … 4-3-2-1-21-0 21 1234… y …【例7】求出下列函数中自变量x 的取值范围．（1）52+-=x x y （2）324-=x xy （3）32+=x y（4）12-=x x y （5）321x y -= （6）23++=x x y（7）10+=x x y （8）|2|23-+=x x y （9）x x y 2332-+-=【例8】写出等腰三角形中一底角的度数y 与顶角的度数x 之间的函数关系．【变式练习】已知：等腰三角形的周长为50cm ，若设底边长为xcm ，腰长为ycm ，求y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围．【变式练习】用40m 长的绳子围成矩形ABCD ，设AB xm =，矩形ABCD 的面积为2Sm ，（1）求S 与x 的函数解析式及x 的取值范围；（2）写出下面表中与x 相对应的S 的值： x (8)99.51010.51112…S…（3）猜一猜，当x 为何值时，S 的值最大？（4）想一想，如果打算用这根绳子围成的面积比（3）中的还大，应围成么样的图形？并算出相应的面积．同步课程˙一次函数图像及性质 【例9】2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离S （千米）与行进时间t （小时）的函数大致图像，你认为正确的是（ ）【变式练习】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车的速度继续匀速行驶，下面是行使路程s （米）关于时间t （分）的函数图象，那么符合这个同学行使情况的图像大致是（ ）【变式练习】如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）【例10】边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为( )OO O Ottt tSSSSDCBADCBAO O O O yyyyx xxx O O O O ttt tSSSSDCBABAO【变式练习】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP ∆的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）【例11】如果 A B 、两人在一次百米赛跑中，路程S (米)与赛跑的时间t (秒)的关系如图所示,则下列说法中正确的是 ( )A ．A 比B 先出发 B ．A B 、两人的速度相同 C ．A 先到达终点 D .B 比A 跑的路程多【变式练习】如下图左，甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到距离A 地18km 的B 地，他们离出发地的距离S （km ）和行驶时间t (h )之间的函数关系的图象如图所示.根据图中提供的信息，符合图象描述的说法是（ ）A ．甲在行驶的过程中休息了一会B ．乙在行驶的过程中没有追上甲C ．乙比甲先到了B 地D .甲的行驶速度比乙的行驶速度大DCBAOOOOtttt SSSSDCBADCBA3311123131yyyyxxxO O O O tSO BA【变式练习】如上图右，某校八年级同学到距学校千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程(千米)与所用时间(分钟)之间的函数图象，则以下判断错误的是( )A ．骑车的同学比步行的同学晚出发分钟B ．步行的速度是千米/时C ．骑车同学从出发到追上步行同学用了分钟D ．骑车的同学和步行的同学同时达到目的地【例12】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1） （2） （3）（4） （5） （6）【变式练习】下列函数中，是正比例函数的是（ ）A ．2y x =B ．x y 21=C ．2y x =D ．21y x =-【例13】若23y x b =+-是正比例函数，则的值是（ ）A ．0B ．23-C ．23 D ．【变式练习】已知，当m 取何值时，y 是x 的正比例函数？乙甲2.520.5O tS60545030y （千米）x （分钟）l2l1O 61l 2l y x 3062015x y +=-5xy =-21y x =--35x y =--()()212y x x x =---21x y -=b 32-2(1)1y m x m =-+-【变式练习】已知函数(为常数)是正比例函数，则_________．【例14】函数2y x =-的图象一定经过下列四个点中的（ ）A ．点()12，B ．点()21-，C ．点1(1)2-， D ．点1(1)2-，【变式练习】已知正比例函数(，为常数)，经过点(24)，，以下哪个点不在该正比例函数图图象上( )A ．点(24)--，B ．点(00)，C ．点(12)，D ．点(12)-，【例15】一次函数y x =-的图象平分（ ）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限【例16】若直线y kx =经过点()53A -，，则k ＝______．如果这条直线上点A 的横坐标A x =13-，那么它的纵坐标A y ＝______．【例17】已知与x 成正比例，当时，，求与x 之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函数．【变式练习】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当2x =时，1z =；当3x =时，1z =-，求z 与x 的函数关系．【变式练习】已知与（m n ，为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？1(2)k y k x -=-k k =y kx =0k ≠k 2y -3x =1y =y y m +x n +【例18】下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限（ ）A ．B ．C ．D ．【变式练习】如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（ ）A ．B ．C ．D ．【例19】已知一次函数(为常数)的图象经过一、二、三象限，求取值范围 ．【变式练习】已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是__________．【例20】如果直线不经过第四象限，那么 （填“”、“”、“”）．【变式练习】若一次函数2(1)12ky k x =-+-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是_______．【例21】一次函数21y x =--的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式练习】若，，则经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限()23y x =-()3.14πy x =-π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()526y x =-y kx b =+y 00k b >>，00k b ><，00k b <>，00k b <<，(3)(2)y k x k =-+-k k (5)1y a x a =-+-a yxO y ax b =+ab 0≥≤=0ab >0bc <a ay x b c=-+【变式练习】直线1y kx b =+过第一、二、四象限，则直线2y bx k =-不经过第____象限．【例22】关于x 的一次函数21y kx k =++的图像可能正确的是（ ）【例23】函数y ax b =+和y bx a =+在同一坐标系中的可能是（ ）【变式练习】如图所示，直线l 1：y ax b =+和l 2：-y bx a =在同一坐标系中的图象大致是（ ）【例24】下列表示一次函数与正比例函数图象中，一 定不正确的是（ ）A BC D DCBAy yyyxxxxDCBAO O OO y yyyxxxxy mx n =-y mnx =(m n 、为常数，0mn ≠且）OxyOxyOxyOxy【例25】已知函数y kx b =+的函数图像如左图，则2y kx b =+的图像可能是（ ）【例26】已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【例27】已知点都在直线上，则大小关系是（ ） A ． B ．C ．D ．不能比较【变式练习】已知一次函数的图象过点()03，与()21，，则这个一次函数随的增大而 ．【例28】已知一次函数()122y m x m =-+-，函数随的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m 的取值范围是___________．【例29】下列说法正确的是（ ）A ．若一次函数()212y m x m =-++的图象与y 轴交点纵坐标是3，则1m =±B ．若点()()111222P x y P x y ，、，在直线y kx b =+()0k <上，且12x x >，那么12y y >C ．若直线y kx b =+经过点()()11A m B m -，，，，当1m <-时，该直线不经过第二象限D ．直线y kx k =+必经过点()10-，【例30】一次函数321+-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是______． 一般的，一次函数y kx b =+与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是______．y kx k =+y x ()()1242y y -，，，122y x =-+12y y ，12y y >12y y =12y y <y x y x 11-1-1-1-1O O O DCBA1111yxO yyyyxxxx同步课程˙一次函数图像及性质【变式练习】一次函数21)2y m x m =-++（的图像与y 轴的交点坐标是3，则m 的值是_______．【例31】已知一次函数y ax b =+的图像经过点()01，，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a的值为_________．【例32】函数2y x =的图象与y 轴交于______，而函数23y x =-的图象与y 轴交于______点．因此，函数23y x =-的图象可以看作由直线2y x =向______平移______个单位长度而得到． 当0b ＞时，直线y kx b =+可由直线y kx =向________平移______而得到； 当0b ＜时，直线y kx b =+可由直线y kx =向________平移______而得到．【变式练习】（1）将直线向右平移2个单位所得的直线的解析式是______________．（2）直线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，求所得到的直线的解析式．【习题1】正比例函数y kx =的图象是经过原点的一条（ ）A ．射线B ．双曲线C ．线段D ．直线【习题2】函数在________条件下，是的一次函数；在_________条件下，与成正比例函数．【习题3】已知是一次函数，求它的解析式．【习题4】已知函数)2()12(232+--=-n xm y m ．（1）当m n 、为何值时，其图象是过原点的直线；2y x =22y x =+()2211m y m xmn -=-+y x y x 1(2)2m y m x m -=-++课后练习同步课程˙一次函数图像及性质（2）当m n 、为何值时，其图象是过()04，点的直线； （3）当m n 、为何值时，其图象是一条直线且y 随x 的增大而减小．【习题5】（1）如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么( )A ．，B ．，C ．，D ．，（2）已知一次函数的图象经过(，)和(，)两点，且,，则( )A ．B ．，C ．，D ．（3）已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限（4）如图，一次函数的图象大致是( )【习题6】如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，，，的图像分别是，，，；那么，，，的大小关系是_________________．y kx b =+y 0k >0b >0k >0b <0k <0b >0k <0b <y kx b =+1x 1y 2x 2y 12x x <12y y <0k >0k <0b >0k <0b <0k <y kx k =+y x 1y ax a=+DC B A OO O O yyyyxxxx 1y k x =2y k x =3y k x =4y k x =1l 2l 3l 4l 1k 2k 3k 4k同步课程˙一次函数图像及性质【习题7】将32y x =-先向左平移3个单位，在向上平移2个单位得到函数解析式为 ；将2433y x =-+先向下平移1个单位，在向右平移2个单位得到的函数解析式为 ．【习题8】点()()P a b Q c d ，、，在一次函数5y x =+的函数图像上，则()()a c d b c d ---的值为______．O yxl 4l 3l 2l 1。

2.1.2 函数的表示方法(一)【学习要求】1.会用列表法、图象法、解析法表示一些具体的函数；2.会根据具体条件求函数的解析式；3.会在不同情境中用不同形式表示函数．【学法指导】学习函数的表示方法，不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深函数概念的理解．通过根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，感受函数与生活实际联系的密切性，通过求函数解析式加深对数学思想方法的理解，提高分析问题、解决问题的能力.填一填：知识要点、记下疑难点1.列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．2.图象法：如果图形F是函数y＝f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)，反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．3.解析法：如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式) 来表达的，这种方法叫做解析法.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！…，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？探究点一函数的表示方法问题1 在初中学习的函数有哪几种常用的表示法？问题2列表法是如何定义的？问题4 图象法是如何定义的？问题5我们在作函数y＝2x＋1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y＝2x＋1这种表示方法叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？问题6 三种表示函数的方法各有哪些优缺点？例1某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．跟踪训练1 用列表法画出函数y＝x的图象．例2：设x是任意一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象．跟踪训练2 已知函数y＝f(n)，满足f(0)＝1，且f(n)＝nf(n－1)，n∈N＋，求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)．探究点二换元法求函数的解析式问题已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式通常用什么方法？这种方法的具体做法是怎样的？例3 已知f(x2－1)＝x4－x2＋1，求f(x)．跟踪训练3 已知f(x－1)＝3－x，求f(x)的解析式．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.函数y ＝f(x)的图象与一直线x ＝a 的交点个数为 ( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上2.已知f(1＋1x )＝1x－1，则f(x)＝__________.3.已知f(x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f(x)．课堂小结：1.如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2.如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法， 与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法．。

函数的表示方法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。

例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2(2)y x x =-≥等等都是用解析式表示函数关系的。

特别提醒：解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。

中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。

解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。

2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。

例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。

我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

这种表格常常应用到实际生产和生活中。

列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。

3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。

例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。

编号：025 课题:函数的表示方法——第1课时函数的表示方法目标要求1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象发、列表法、解析法）表示函数；2.理解函数图象的作用；3.会求函数的解析式.重点难点重点：函数的图象及其应用；难点：函数的解析式的求法．教学过程基础知识点1.表示函数的三种方法2.本质:两个变量对应关系的三种不同方式的表示.【思考】函数的三种表示方法各有哪些优缺点?提示:【基础小测】1.下列命题中正确的是（）A.任何一个函数都可以用解析法表示出来.B.任何一个函数都可以用图象法表示出来.C.函数的图象一定是连续不断的曲线.D.有的函数的图象可以是一些孤立的点.2.已知函数f(x)的图象如图所示,其中点A,B的坐标分别为(0,3),(3,0),则f(f(3))= ( )A.2B.4C.0D.33.某电脑城新进了100台笔记本电脑,每台售价4 000元,试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系,用解析法表示y=________.关键能力·合作学习类型一函数的表示方法(数学建模)【题组训练】1.已知x∈Q时,f(x)=1;x为无理数时,f(x)=0,我们知道函数表示法有三种:①列表法,②图象法,③解析法,那么该函数y=f(x)应用________表示(填序号).2.做数学选择题游戏的规则是:共5道选择题,基础分为5分,每答错一道题扣1分,答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系.【解题策略】关于函数的三种表示方法三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系,各有优缺点,在解题的过程中,可以选取最适合的方法表示函数.【补偿训练】我市公共汽车,行进的站数与票价关系如下表:行进的站数1 2 3 4 5 6 7 8 9 票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3 此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?类型二函数的图象及其应用(直观想象)【典例】1.函数21||xyx=-的图象的大致形状是 ( )A B C D2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).(1)画出f(x)图象的简图.(2)根据图象写出f(x)的值域.【解题策略】画函数图象的两种常见方法(1)描点法:一般步骤:①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来;②描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点;③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.(2)变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.【跟踪训练】作出下列函数的图象并写出其值域.(1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}.(2)2,[2,) y xx=∈+∞.【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些?提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称.(4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象沿y轴对折而成.(5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉x轴下方的图象而成.【拓展训练】已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(|x|)的图象为 ( )类型三 求函数的解析式(逻辑推理、数学运算) 角度1 待定系数法【典例】一辆出租车的营运总利润y (单位:万元)与营运年数x (x ∈N )的变化关系如表所示,要使总利润达到最大值,则该出租车的营运年数是________,营运10年的总利润是________万元.x /年 4 6 8 … y 是x 的二次函数 7117…角度2 代入法 【典例】若211(1)1f x x-=+，则f (x )=________.【变式探究】本例中若已知2211()(0)f x x x xx+=+>,试求函数的解析式及定义域.角度3 解方程组法【典例】已知2()()3f x f x x +-=,求()f x .【解题策略】 1.待定系数法求解析式根据已知的函数类型,设出函数的解析式,再根据条件求系数,常见的函数设法:2.换元法求函数的解析式已知复合函数f (g (x ))的解析式,令t =g (x ), 当x 比较容易解出时,可以解出x 换元代入; 当x 不容易解出时,可以考虑先构造, 如222111()()2f x x x xx x +=+=+-,令1t x x=+,换元代入.换元法还要注意换元t 的范围. 3.解方程组法求函数的解析式方程组法(消去法),适用于自变量具有对称规律的函数表达式,如互为相反数的f (-x ),f (x )的函数方程,通过对称规律再构造一个关于f (-x ),f (x )的方程,联立解出f (x ).【题组训练】1. 若函数()()()h x f x g x =+，其中()f x 是x 的正比例函数，()g x 是x 的反比例函数，且13(),(1)822f h ==，则函数()h x 的解析式为__________.2.已知11()1f x x =+,那么f (x )=________,定义域为________.3.已知12()2()f x f x x+=,求f (x ).【补偿训练】已知f (x )满足1()2()f x f x x=+,则f (x )的解析式为________. 课堂检测·素养达标1.（多选．．）如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中正确的是 ( ) A .这天15时的温度最高 B .这天3时的温度最低C .这天的最高温度与最低温度相差13℃D .这天21时的温度是30℃2.已知函数f(x)满足:2821f x x=--，则()f x=（）A.2x4+3x2B.2x4-3x2C.4x4+x2D.4x4-x23.已知函数()2mf x xx=-,且此函数的图象过点(5,4),则实数m的值为________.4.已知一次函数f(x)满足条件f(x+1)+f(x)=2x,则函数f(x)的解析式为f(x)=________.5.作出下列函数的图象,并求其值域:(1)y=1-x(x∈Z,且|x|≤2).(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).编号：025 课题:函数的表示方法——第1课时函数的表示方法目标要求1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象发、列表法、解析法）表示函数；2.理解函数图象的作用；3.会求函数的解析式.重点难点重点：函数的图象及其应用；难点：函数的解析式的求法．教学过程基础知识点1.表示函数的三种方法2.本质:两个变量对应关系的三种不同方式的表示.【思考】函数的三种表示方法各有哪些优缺点?提示:【基础小测】1.下列命题中正确的是 （ ） A .任何一个函数都可以用解析法表示出来. B .任何一个函数都可以用图象法表示出来. C .函数的图象一定是连续不断的曲线. D .有的函数的图象可以是一些孤立的点.【解析】选D :A 中×.如时间与空气质量指数的函数关系就无法用解析法表示.B 中×.如函数1,,()1,,x f x x ∈⎧=⎨-∉⎩Q Q 就不能画出函数的图象.C 中×.如1y x=的图象就是不连续的曲线. D 中√.有的函数的图象可以是一些孤立的点，如函数(),{2,1,0,1,2,3}f x x x =∈--的图象就是一些孤立的点.2.已知函数f (x )的图象如图所示,其中点A ,B 的坐标分别为(0,3),(3,0),则f (f (3))= ( )A .2B .4C .0D .3【解析】选D .结合题图可得f (3)=0,则f (f (3))=f (0)=3.3.某电脑城新进了100台笔记本电脑,每台售价4 000元,试求售出台数x (x 为正整数)与收款数y 之间的函数关系,用解析法表示y=________.【解析】用解析法表示y =4 000x ,x ∈{1,2,3,...,100}. 答案:4 000x ,x ∈{1,2,3, (100)关键能力·合作学习类型一函数的表示方法(数学建模)【题组训练】1.已知x∈Q时,f(x)=1;x为无理数时,f(x)=0,我们知道函数表示法有三种:①列表法,②图象法,③解析法,那么该函数y=f(x)应用________表示(填序号).【解析】1.因为Q和无理数的元素无法具体表示,所以①列表法,②图象法,都无法建立x和y之间的对应关系,所以不能表示函数y=f(x).③利用解析法表示为1,,()0,xf xx∈⎧=⎨⎩Q为无理数.答案:③2.做数学选择题游戏的规则是:共5道选择题,基础分为5分,每答错一道题扣1分,答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系.【解析】 (1)列表法,列出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为:x0 1 2 3 4 5 y 5 4 3 2 1 0 (2)图象法,画出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系如图:(3)解析法,参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为:y=5 - x,x∈{0,1,2,3,4,5}.【解题策略】关于函数的三种表示方法三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系,各有优缺点,在解题的过程中,可以选取最适合的方法表示函数.【补偿训练】我市公共汽车,行进的站数与票价关系如下表:行进的站数1 2 3 4 5 6 7 8 9 票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3 此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?【解析】设票价为y元,行进的站数为x,解析法:1,1,2,3,2,4,5,6,3,7,8,9,xy xx=⎧⎪==⎨⎪=⎩图象法:类型二函数的图象及其应用(直观想象)【典例】1.函数21||xyx=-的图象的大致形状是 ( )A B C D 【思路导引】分x>0,x<0两种情况作出判断.【解析】选C.函数的定义域为{x|x≠0},当x>0时,211xy xx=- =- ;当x<0时,211xy xx=- =+-,则对应的图象为C.2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).(1)画出f(x)图象的简图.(2)根据图象写出f(x)的值域.【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断.2.先作出图象,再根据图象写值域.【解析】 (1)f(x)图象的简图如图所示.(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3], 即f(x)的值域是[-1,3].【解题策略】画函数图象的两种常见方法(1)描点法:一般步骤:①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来;②描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点;③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.(2)变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.【跟踪训练】作出下列函数的图象并写出其值域.(1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}.(2)2,[2,) y xx=∈+∞.【解析】(1)列表x-2 0 1 3 y 2 0 -1 -3 函数图象只是四个点(-2,2),(0,0),(1,-1),(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.(2)列表x 2 3 4 …y 1 2312…当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数yx=的一部分,观察图象可知其值域为(0,1].【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些?提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称.(4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象沿y轴对折而成.(5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉x轴下方的图象而成.【拓展训练】已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(|x|)的图象为 ( )【解析】选B.函数(),0,(||)(),0,f x xy f xf x x⎧==⎨-<⎩≥x≥时,函数y=f(|x|)的图象与函数y=f(x)的图象相同,当x <0时,f (x )的图象与x >0时的图象关于y 轴对称.所以函数y =f (|x |)的图象为: .【说明】若结论变为求函数|()|y f x =的图象，则选A .类型三 求函数的解析式(逻辑推理、数学运算) 角度1 待定系数法【典例】一辆出租车的营运总利润y (单位:万元)与营运年数x (x ∈N )的变化关系如表所示,要使总利润达到最大值,则该出租车的营运年数是________,营运10年的总利润是________万元.x /年 4 6 8 … y 是x 的二次函数7117…【思路导引】由一元二次函数的对称性可得最大值时的年数;求出函数的解析式,计算营运10年的总利润.【解析】由表格数据可知,f (4)=f (8)=7.f (6)>f (8),则二次函数开口向下,且对称轴为x =6,根据二次函数的性质可知,当x =6时,营运总利润y 最大为11;设y =a (x -6)2+11,则a (4-6)2+11=7,解得a = -1,所以当x =10时,y = -5. 答案:6 -5 角度2 代入法 【典例】若211(1)1f x x-=+，则f (x )=________. 【思路导引】令11t x=-,换元求解析式. 【解析】设11t x =-,则11,1t t x≠-=+,因为211(1)1f x x-=+，所以22()(1)122,1f t t t t t =++=++≠-t , 所以2()22,1f x x x x =++≠-.答案: 222,1x x x ++≠-【变式探究】本例中若已知2211()(0)f x x x xx+=+>,试求函数的解析式及定义域. 【解析】因为222111()()2f x x x x xx x+=+=+-, 令1t x x=+,所以2()2f t t =-,因为0x >,所以12t x x =+=≥, 当且仅当1x =时等号成立,所以2()2,2f x x x =-≥.角度3 解方程组法【典例】已知2()()3f x f x x +-=,求()f x .【思路导引】用x -替换x ,代入后消去()f x -.【解析】因为2()()3f x f x x +-=,用x -替换x ，得2()()3f x f x x -+=-,消去()f x -得3()6(3)9f x x x x =--=,所以()3f x x =.【解题策略】 1.待定系数法求解析式根据已知的函数类型,设出函数的解析式,再根据条件求系数,常见的函数设法:2.换元法求函数的解析式已知复合函数f (g (x ))的解析式,令t =g (x ), 当x 比较容易解出时,可以解出x 换元代入; 当x 不容易解出时,可以考虑先构造, 如222111()()2f x x x xx x +=+=+-,令1t x x=+,换元代入. 换元法还要注意换元t 的范围. 3.解方程组法求函数的解析式方程组法(消去法),适用于自变量具有对称规律的函数表达式,如互为相反数的f (-x ),f (x )的函数方程,通过对称规律再构造一个关于f (-x ),f (x )的方程,联立解出f (x ).【题组训练】1. 若函数()()()h x f x g x =+，其中()f x 是x 的正比例函数，()g x 是x 的反比例函数，且13(),(1)822f h ==，则函数()h x 的解析式为__________. 【思路导引】利用待定系数法及已知条件求函数的解析式.【答案】5()3h x x x=+. 【解析】（1）因为,用x -替换x ，得2()()3f x f x x -+=-,消去()f x -得3()6(3)9f x x x x =--=,所以()3f x x =.（2）由题意，可设函数1()f x k x =，2()k g x x =,∵13()22f =，∴1322k =，解得13k =， 又∵(1)8h =，∴3181k ⨯+=，解得5k =，即5()3h x x x=+. 2.已知11()1f x x =+,那么f (x )=________,定义域为________. 【解析】由11()1f xx =+可知,函数的定义域为{x |x ≠0,且x ≠-1}, 用1x 替换x ,代入上式得: 11()11x f x x=+，得()1x f x x =+答案:1xx +，{x |x ≠0,x ≠-1} 3.已知12()2()f x f xx +=,求f (x ). 【解析】因为12()2()f x f xx+=,① 用1x 替换x 得1()2()2f f x x x+=,② ②×2 - ①得23()4f x x x =-,所以42()(0)33f x x x x=-≠.【补偿训练】已知f (x )满足1()2()f x f x x=+,则f (x )的解析式为________.【解析】因为1()2()f x f x x =+,用1x 替换x 得11()2()f f x x x=+, 代入上式得1()2[2()]f x f x x x=++，解得2()33xf x x =--. 答案: 2()33x f x x =--课堂检测·素养达标1.（多选．．）如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中正确的是 ( ) A .这天15时的温度最高 B .这天3时的温度最低C .这天的最高温度与最低温度相差13℃D .这天21时的温度是30℃【解析】选ABD .这天的最高温度与最低 温度相差为36-22=14(℃)，其余均是正确的.2.已知函数f (x )满足:2(21)821f x x x -=--，则()f x = （ ）A .2x 4+3x 2B .2x 4-3x 2C .4x 4+x 2D .4x 4-x 2【解析】选A .令21t x =-,t ≥0,得212t x +=,故有2222(1)1()82122x t f t ++=⨯-⨯-, 整理得f (t )=2t 4+3t 2,即f (x )=2x 4+3x 2,x ≥0.3.已知函数()2m f x x x =-,且此函数的图象过点(5,4),则实数m 的值为________. 【解析】因为函数()2m f x x x =-的图象过点(5,4),所以2545m ⨯-=,解得30m =. 答案:304.已知一次函数f (x )满足条件f (x +1)+f (x )=2x ,则函数f (x )的解析式为f (x )=________.【解析】设f (x )=kx +b ,k ≠0,因为f (x +1)+f (x )=2x ,所以k (x +1)+b +kx +b =2x ,即2kx +k +2b =2x ，所以2k =2,k +2b =0，解得11,2k b ==-,所以1()2f x x =-. 答案:12x -5.作出下列函数的图象,并求其值域:(1)y =1-x (x ∈Z ,且|x |≤2).(2)y =2x 2-4x -3(0≤x <3).【解析】(1)因为x ∈Z ,且|x |≤2,所以x ∈{-2,-1,0,1,2},所以该函数图象为直线y =1-x 上的孤立点(如图①).由图象知,y ∈{-1,0,1,2,3}.(2)因为y =2(x -1)2-5,所以当x =0时,y = - 3;当x =3时,y =3;当x =1时,y = - 5.因为x∈[0,3),故图象是一段抛物线(如图②). 由图象可知,y∈[-5,3).。

第三章《函数概念与性质》3.1函数的概念及其表示【知识梳理】知识点一函数的有关概念函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A定义域x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间概念(a ，b 为实数，且a<b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ]2．其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )知识点四函数的表示方法知识点五分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【基础自测】1．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()A．1B．0C．－1D．22．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x＋2B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x－1D．f(x)＝3x＋43．函数y＝x1＋x的大致图象是()4．函数y＝6－x|x|－4的定义域用区间表示为________．5．已知f (n )－3，n ≥10，n ＋5)，n <10，则f (8)＝________.【例题详解】一、函数关系的判断例1(1)下列各式中，表示y 是x 的函数的有（）①()3y x x =--；②y =；③1,01,0x x y x x -≤⎧=⎨+≥⎩；④1,0,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(2)设{|04}M x x =≤≤，{|40}N y y =-≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则()f x 的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．跟踪训练1下列对应中：（1）x y →，其中{}21,1,2,3,4y x x =+∈，{}10,y x x x N ∈<∈；（2）x y →，其中2y x =，[)0,x ∈+∞，R y ∈；（3）x y →，其中y 为不大于x 的最大整数，x R ∈，y Z ∈；（4）x y →，其中1y x =-，*x ∈N ，*y N ∈.其中，是函数的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（3）（4）二、求函数的定义域、函数值命题角度1求函数的定义域例2(1)函数y =）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．][(),31,-∞-⋃+∞D ．][(),13,∞∞--⋃+(2)已知函数()1f x +的定义域为[1,7]，则函数()(2)h x f x =）A ．[4,16]B ．(,1][3,)-∞⋃+∞C ．[1,3]D ．[3,4]跟踪训练2(1)函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞B ．(,3)(3,3)-∞--C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞(2)已知函数()f x ，则函数()()13y f x f x =--的定义域为（）A ．()2,11B ．()2,13C ．()2,15D ．()4,11命题角度2求函数值例3(1)已知函数()1f x x x=+，则()()1010f f -+的值是（）．A ．20-B ．0C ．1D ．20(2)已知2211x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则(3)f =_________．跟踪训练3(1)已知定义域为R 的函数()23f x x =-，()3g x x =，则()()1f g -=________.(2)已知函数3()3=+++cf x ax bx x，若()4f t =，则()f t -=（）A ．4-B ．2-C ．2D ．0三、同一个函数的判定例4(1)下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩B ．()f x =()g x x=C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()f x =，()g x 跟踪训练4和函数2()f x x =是同一函数的是（）A ．2()(1)f x x =+B ．()f x x =C ．3()x f x x=D ．(){,0,(0)()x x x x x x f x -≤>=四、求函数解析式命题角度1换元法例5(1)已知1111f x x⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()f x =________________．(2)若函数11x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x =____________．跟踪训练5(1)已知21,1x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭求()f x =____________．(2)已知()21232f x x x +=++，求()f x 的解析式．命题角度2配凑法例6(1)若1)f x +=+，则()f x 的解析式为（）A ．2()f x x x =-B ．2()1(0)f x x x =-≥C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()f x x x=+(2)已知3311()f x x x x+=+，则()f x =_____.(3)已知f (x －1x )＝x 2＋21x ，则f （x +1x）＝________.跟踪训练6(1)已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x .(2)已知22111(x x f x x x++=+，求()f x 的解析式.命题角度3待定系数法例7(1)已知f （x ）是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+，求f （x ）.(2)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 解析式.跟踪训练7(1)已知()f x 是一次函数，且()332f x x -=-，求()f x ．(2)已知一次函数()f x 满足()()312237f x f x x =+--+，求函数()f x 的解析式．(3)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+=+，求函数()f x 的解析式．命题角度4构造方程组法例8(1)若函数()f x 满足()1221f x f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()2f =（）A ．13-B ．23C ．83D ．12(2)已知()f x 满足()()23f x f x x +-=，求()f x 的解析式.跟踪训练8(1)已知()1221f x f x x ⎛⎫⎪⎝=⎭+-+，求函数()f x 的解析式．(2)已知2()2()f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式.五、函数的图象例9作出下列函数的图象.(1)1({21012})y x x =-∈--,,,,；(2)211x y x +=-；(3)2|2|1y x x =-+．(4)已知函数()22,23,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩.(i)在所给坐标系中作出()y f x =的简图；(ii)解不等式()12f x <.跟踪训练9作出函数()|2||5|f x x x =+--的图像．六、分段函数求值例10(1)已知函数()21,0x x f x x ⎧-≤⎪=>，若()3f a =，则a 的值为（）AB ．2C ．9D ．-2或9(2)已知函数()f x 的解析式22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，(i)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(ii)若()2f a =，求a 的值；跟踪训练10(1)已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （）A ．12-B ．0C ．1D ．2(2)已知函数()223,11,1111,1x x f x x x x x⎧⎪+<-⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩.(i)求((2))f f -的值；(ii)若()032f x =，求0x 的值.七、解分段函数不等式例11(1)已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()()2,00,2-⋃D ．()()2,02,-+∞ (2)设函数()22,,,.x x a f x x x a ⎧<=⎨≥⎩若()11>f ，则a 的取值范围为______．跟踪训练11(1)已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩,则使得()1f x ≥的x 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞(2)已知函数242,1()23,1x x x f x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则满足不等式()()21f a f a <+的a 的取值范围是___________.八、分段函数的实际应用例12某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产()*Nx x ∈百台，需另投入生产成本()R x 万元．当年产量不足46百台时，()23260R x x x =+；当年产量不小于46百台时，()4900501483020R x x x =+-+．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．跟踪训练12电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产x 万件该电子元件，需另投入成本()f x 万元，且2132,04,4()64938,420.x x x f x x x x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完．(1)求该电子厂这种电子元件的利润y （万元）与生产量x （万件）的函数关系式；(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值．【课堂巩固】1．（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是（）A ．B ．C ．D ．2．（多选）下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（）A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数3．若函数()f x =()21f x -的定义域为（）A ．()0,2B ．[)(]2,00,2-U C ．[]22-,D ．[]0,24．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．()f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与()211x g x x -=-C ．()xfx x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()1f t t =-与()1g x x =-5．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞ D ．()(),31,3-∞- 6．（多选）下列选项中正确的有（）A ．2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数B ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-≤⎩表示同一函数C ．函数()y f x =的图象与直线2x =的交点最多有1个D ．若()|||1|f x x x =--，则102f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7．（多选）已知函数25,1(),12x x f x x x +<-⎧=⎨-<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．()11f -=D ．若()3f x =，则x8．（多选）已知函数()35,0,1,0,x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若()()2f f a =，则实数a 的值为（）A ．2-B ．43-C ．-1D ．19．求函数()f x +=______________________10．已知函数()f x 是一次函数且(())2()2f f x f x x +=--，则函数()f x 的解析式为_________．11．若()211f x x -=+，则()0f =____________，()f x =_____________.12．已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.13．设函数21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩，则(3)f -=________.14．已知函数()(4),f x x x x R =-∈.（1）把函数()f x 写成分段函数的形式；（2）在给定的坐标系内作函数()f x 的图象.15．已知函数()2,0,2,0,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩解不等式2()f x x ≤16．已知函数f (x )＝222x x x +⎧⎪⎨⎪⎩(1)(12)(2)x x x ≤--<<≥(1)求{}f f f ⎡⎤⎣⎦的值；(2)求()3f a =，求a 的值；(3)画出函数的图像．【课时作业】1．下列函数中，相同的一组是（）A．y =2y =B．y =，y =C ．21y x =+，4211x y x -=-D ．21y x =-，4211x y x -=+2．已知函数)22f x +=+，则()f x 的最小值是（）A ．1-B ．2C ．1D ．03．设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（）A ．()111x xx +-≠B ．()111x xx +-≠C ．()111xxx +≠--D ．()211xx x ≠-+4．已知一次函数()f x 满足(2)2(21)94f x f x x +-+=--，则()f x 解折式为（）A ．()24f x x =--B ．()23f x x =-+C ．()34=+f x x D ．()32f x x =-+5．一次函数()f x 满足：()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=，则()1f =()A ．1B ．2C ．3D ．56．设22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.若()3f x =，则x 的值为（）.A ．1BC．D ．327．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为（）A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝213x －4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋38．已知函数2,(){2,0x x f x x x +≤=-+>，则不等式2()f x x ≥的解集是（）A ．[1,1]-B ．[2,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]-9．（多选）若函数()()221120x f x x x--=≠，则下列结论正确的是（）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()()()2411f x x x =≠-D ．()221411x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-（0x ≠且1x ≠）10．（多选）已知函数2+2,<1()=+3,1x x f x x x -≥⎧⎨⎩，则（）A ．3f f ⎡⎤=⎣⎦B ．若()1f x =-，则=2x 或3x =-C ．()2f x <的解集为()(),01,-∞⋃+∞D ．x ∀∈R ，()a f x >，则3a ≥11．若函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则函数()()g x f x =______．12．已知集合0|A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，2|0,1x B x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，则A B = ________.13．已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________14．若一次函数()f x 满足：对任意x 都有()()221221xf x f x x x ++=++，则()f x 的解析式为______________．15．已知函数24,0(),0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，若()4f m =，则m =___________．16．设1,()2(1),1,x f x x x <<=-≥⎪⎩若()(1)f a f a =+，则()f a =________．17．设定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()g x =___________.18．已知()1,11x x f xx +≤⎧⎪=>，若()()1f x f x >+，则x 的取值范围是___________.19．求下列函数的定义域(1)y ；(2)y =(3)y x x=-（0a >）.20．根据下列条件，求()f x 的解析式.(1)已知)225fx =+(2)已知()()2232f x f x x x+-=-(3)已知()f x 是二次函数，且满足()()()01,12f f x f x x=+-=21．已知函数()()211x x f x x -=-；(1)作出该函数的图象；(2)写出该函数的值域．22．已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩(1)求()()1f f 的值；(2)若()2f a =，求a 的值；(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数()f x 的定义域和值域．。

1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．2．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(k∈Z)；(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋π2(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)映射是特殊的函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()1．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为()A ．[32，＋∞)B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．[32，3)∪(3，＋∞)D ．(3，＋∞)2．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是()A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x3＋1C ．y ＝x2x＋1D ．y ＝x2＋14．已知f (1x)＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________．题型一函数的概念例1有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝1(x ≥0)－1(x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则0))21((=f f 其中正确判断的序号是________．(1)下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例2(1)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是________引申探究本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域为________________．命题点2已知函数的定义域求参数范围例3(1)若函数f (x )＝2221x ax a +--的定义域为R ，则a 的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．(1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1,1)B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)(2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)题型三求函数解析式例4(1)已知函数f (x －1)＝11x ，则函数f (x )的解析式为.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )；(3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )．2．分类讨论思想在函数中的应用典例(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________．(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.1．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝2x－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z2．(2015·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为() A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x4．(2015·陕西)设f (x )＝1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于()A ．－1 B.14C.12D.325．(2016·安徽六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为()A ．－2B ．2C ．－2或2D.2*6.(2016·唐山期末)已知f (x )＝(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)7．(2016·济南模拟)已知函数f(1－x1＋x)＝x，则f(2)＝________.8．设函数f(x)＝113e,1,,1,x xx x-⎧<⎪⎨⎪⎩≥则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________________．9．(2015·浙江)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg(x2＋1)，x＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．*10.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________．①[－x ]＝－[x ]；②x －1<[x ]≤x ；③∀x ，y ∈R ，[x ]＋[y ]≤[x ＋y ]；④∀x ≥0，y ≥0，[xy ]≤[x ][y ]；⑤离实数x 最近的整数是－[－x ＋12]．11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．12．已知f(x)＝f(x＋1)，－2<x<0，2x＋1，0≤x＜2，x2－1，x≥2.(1)求f(－32)的值；(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．。