最新-高中数学《函数的表示法》同步练习1 北师大版必

课后训练基础巩固1．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图像的是( )．2．函数f (x )＝21,1,2,1,x x x x⎧+≤⎪⎨>⎪⎩则f (f (3))＝( )．A ．15B ．3C ．23D ．1393．已知f (x 3－1)＝x ＋1，则f (7)的值为( )． A1 B1 C ．3 D ．24．已知f (x )＝21,0,(2,)0,x x f x x ⎧-≤⎨->⎩则f [f (1)]的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．25．若11x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝( )． A ．1x B ．11x -C ．11x -D ．11x-6．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )． A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4) 能力提升7．已知f (x )＝kx ＋b (k ＜0)，且f [f (x )]＝4x ＋1，则f (x )＝( )． A ．－2x －1 B ．－2x ＋1 C ．－x ＋1 D ．122x --8．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝,,,.a ab b a b ≥⎧⎨<⎩函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是()．A．0B．12C．32D．39．已知函数f(x)＝2,0,1,0.x xx x>⎧⎨+<⎩若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()．A．－3 B．－1 C．1 D．310．已知函数f(x)＝21,0,2,0.x xx x⎧+≤⎨->⎩若f(x)＝10，则x＝______.11．设函数f(x)＝2,0,2,0,x bx c xx⎧++≤⎨>⎩若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．12．已知函数f(x)在[－1,2]________．13．若定义运算a b＝,,,b aa a b⎧⎨<⎩则函数f(x)＝x(2－x)的值域是______．14．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(x)＝________.15．设f(x)＝11,0,21,0x xxx⎧-≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩若f(x)＞－1，则实数x的取值范围为________．16．当m为怎样的实数时，方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根？17．已知函数f(x)对任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋2y(x＋y)，且f(1)＝1，求f(x)的解析式．参考答案1．B点拨：y＝－|x|＝,02,,20,x xx x-≤≤⎧⎨-≤<⎩注意端点的取舍．2．D点拨：f(3)＝23，f(f(3))＝24131399f⎛⎫=+=⎪⎝⎭.3．C点拨：令x3－1＝7，得x3＝8，∴x＝2，∴f(7)＝2＋1＝3.4．A点拨：∵f(1)＝f(－1)＝(－1)2－1＝0，∴f[f(1)]＝f(0)＝02－1＝－1.5．B点拨：令1x＝t，则1xt=，∴f(t)＝1111 1ttt=--.∴f(x)＝11 x-.6．B点拨：∵f(x)＝2x＋1的定义域为[1,3]，∴f(x－1)＝2(x－1)＋1＝2x－1，且其定义域为[2,4]．7．A点拨：∵f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋1，∴24,1,0.kkb bk⎧=⎪+=⎨⎪<⎩∴2,1.kb=-⎧⎨=-⎩8．C点拨：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图像如图所示(实线部分)，由图像可得，其最小值为32.因此选C.9．A点拨：f(a)＋f(1)＝f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2.结合函数表达式可知a＜0，∴f(a)＝a ＋1＝－2，∴a＝－3.10．－3点拨：分两种情况：当x≤0时，由f(x)＝x2＋1＝10得x＝－3或x＝3(舍去)；当x＞0时，由f(x)＝－2x＝10得x＝－5(舍去)，综上可知x＝－3.11．3点拨：由函数解析式可得f(－4)＝(－4)2＋b×(－4)＋c＝16－4b＋c，f(0)＝02＋b ×0＋c＝c，f(－2)＝(－2)2＋b×(－2)＋c＝4－2b＋c.∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴16－4b＋c＝c，且4－2b＋c＝－2，即b＝4，c＝2.∴f(x)＝242,0, 2,0.x x xx⎧++≤⎨>⎩当x≤0时，由f(x)＝x得x2＋4x＋2＝x，即x2＋3x＋2＝0，∴x＝－1，或x＝－2. 当x＞0时，由f(x)＝x得，x＝2.综上可知，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为3.12．f (x )＝1,10,1,022x x x x +-≤≤⎧⎪⎨-<≤⎪⎩点拨：设y 轴左侧函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ＞0，－1≤x ≤0)，把点(－1,0)，(0,1)的坐标代入上式得0,1,k b b -+=⎧⎨=⎩∴1,1.k b =⎧⎨=⎩∴y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)． 同理可得y 轴右侧函数的解析式为y ＝－12x (0＜x ≤2)． 13．(－∞，1] 点拨：由题意，得f (x )＝,1,2, 1.x x x x <⎧⎨-≥⎩画函数f (x )的图像，如图所示．由图像得函数f (x )的值域是(－∞，1]． 14．233x +点拨：∵2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2①，用－x 替代关系式中的x ， 得2f (－x )＋f (x )＝3(－x )＋2②， ∴①×2－②得f (x )＝233x +. 15．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 点拨：画出函数f (x )的图像，如图中实线部分所示，再作出直线y ＝－1.若f (x )＞－1，则x ＜－1，或x ＞0.16．解：先作出y ＝x 2－4|x |＋5＝2245,0,45,0x x x x x x ⎧-+≥⎨++<⎩的图像(如图所示)．再作出直线y＝m，从图中可以直接看出，当1＜m＜5时，方程有四个互不相等的实根．17．解：∵f(x＋y)＝f(x)＋2y(x＋y)对任意x，y∈R都成立，可令x＝0，y＝1，得f(1)＝f(0)＋2×1×(0＋1)，又f(1)＝1，解得f(0)＝－1，再令x＝0，y＝x，得f(x)＝f(0)＋2x(0＋x)＝－1＋2x2，即f(x)＝2x2－1.。

第二章§2 2.2函数的表示法一、选择题1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是( )[答案] A[解析] 因为汽车先启动、再加速、到匀速、最后减速，s随t的变化是先慢、再快、到匀速、最后慢，故A图比较适合题意．2．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( )A．f(x)＝x2＋2x＋1 B．f(x)＝x2－2x＋1C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2－2x－1[答案] A[解析] 令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}[答案] A[解析] 由对应法则y＝x2－2x，得0→0,1→－1,2→0,3→3，所以值域为{－1,0,3}，故选A.4．若f(1x)＝x1－x，则当x≠0，且x≠1时，f(x)＝( )A.1xB.1x－1C.11－xD.1x－1[答案] B[解析] 令1x＝t，则x＝1t.∵x≠0，且x≠1，∴t≠1，且t≠0.∴f(t)＝1t1－1t＝1t－1.∴f(x)＝1x－1.故选B.5．如图中的图像所表示的函数的解析式为()A．y＝32|x－1|(0≤x≤2)B．y＝32－32|x－1|(0≤x≤2)C．y＝32－|x－1|(0≤x≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2) [答案] B[解析] 可将原点代入，排除选项A ，C ，再将点(1，32)代入，排除选项D ，故选B.6．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x>0－1x ＝02x － 3x<0，则f{f[f(5)]}为( )A ．0B ．－1C ．5D ．－5[答案] D[解析] 根据分段函数解析式可知， f(5)＝0，而f(0)＝－1， f(－1)＝2×(－1)－3＝－5. 故f{f[f(5)]}＝f[f(0)]＝f(－1)＝－5.二、填空题7．已知集合A ＝{x|y ＝x ＋1}，集合B ＝{y|y ＝－x 2＋4x}，则A ∩B ＝________.[答案] {x|－1≤x ≤4}(或写成{y|－1≤y ≤4}) [解析] A 是函数y ＝x ＋1的定义域，则A ＝{x|x ≥－1}．B 是二次函数y ＝－x 2＋4x 的值域，则B ＝{y|y ≤4}．则A ∩B ＝{x|－1≤x ≤4}．8．已知f(x)＝x 2＋1，g(x)＝2x ＋1，则f[g(x)]＝________. [答案] 4x 2＋4x ＋2[解析] ∵f(x)＝x 2＋1，g(x)＝2x ＋1， ∴f[g(x)]＝f(2x ＋1)＝(2x ＋1)2＋1＝4x 2＋4x ＋2. 三、解答题9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 1≤x<0x 20≤x<1x 1≤x ≤2.(1)求f(－8)，f(－23)，f(12)，f(32)的值；(2)作出函数的简图；(3)求函数的值域．[分析] 给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式．(1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值．(2)在不同的区间，依次画出函数图像．(3)函数的值域是各段函数值的集合的并集．[解析] 函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]．(1)因为－8∉[－1,2]，所以f(－8)无意义．因为－1≤x<0时，f(x)＝－x，所以f(－23)＝－(－23)＝23.因为0≤x<1时，f(x)＝x2，所以f(12)＝(12)2＝14.因为1≤x≤2时，f(x)＝x，所以f(32)＝32.(2)在同一坐标系中分段画出函数的图像，如图所示：(3)由第(2)问中画出的图像可知，函数的值域为[0,2]．10．求下列函数的解析式．(1)已知f(1－x)＝x2－3x＋2，求f(x)；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(3)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．[解析] (1)∵f(1－x)＝x2－3x＋2＝(1－x)2＋1－x，∴f(x)＝x2＋x.(2)令x＋1＝t，则t≥1.即x＝(t－1)2.则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)∵f(0)＝c ＝0，∴f(x ＋1)＝a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ，f(x)＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f(x)＝12x 2＋12x.一、选择题1．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1x 2＋x －2，x>1，则f(1f 2)的值为( )A.1516B ．4C.89 D ．18[答案] A[解析] f(2)＝22＋2－2＝4，∴1f 2＝14， ∴f(1f2)＝f(14)＝1－(14)2＝1516.2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，且f(m)＝6，则m 等于( )A ．－14B.14C.32 D ．－32[答案] A[解析] 令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x2－1＝12×32－1＝－14.或先求f(x)的解析式，再由f(m)＝6，求m 的值．二、填空题3．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程数x(千米)之间的函数关系式是________．[答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤100，10＋0.4x ，x>100[解析] 根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x>100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x.4．已知f(x)满足f(x)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f(2)＝________.[答案] －1[解析] 设f(x)的定义域为C ，由f(x)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x 知，x ∈C ，1x ∈C ，将原式中的x 换为1x，原式仍成立，即有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11x ＝3x . 与原式联立⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x 3x，f x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，解得f(x)＝2x－x ，∴f(2)＝22－2＝1－2＝－1.三、解答题5．(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x －1，求f(x)； (2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x ＋1)－f(x)＝2x ，求f(x)．[解析] (1)∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)． 则f[f(x)]＝f(ax ＋b)＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b. 又f[f(x)]＝4x －1.∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.∴f(x)＝2x －13或f(x)＝－2x ＋1.(2)∵f(x)是二次函数，设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)． 由f(0)＝1知c ＝1.又f(x ＋1)－f(x)＝2x ， 得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x. 左端展开整理得2ax ＋(a ＋b)＝2x.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x 2－x ＋1. 6．画出下列函数的图像： (1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|； (2)y ＝2x －3，x ∈Z ，且|x|≤2； (3)y ＝x 2－2|x|－1；(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x x ≥0－x 2－2xx<0.[解析] (1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|＝ 图像如图(1)所示．(2)y ＝2x －3，∵x ∈Z ，且|x|≤2.∴x ＝±2，±1,0，图像如图(2)中的五个点．(3)y ＝x 2－2|x|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 x ≥0x 2＋2x －1x<0.图像如图(3)所示．(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x x ≥0－x 2－2xx<0的图像如图(4)所示．7．如图所示，半径为R 的圆的内接等腰梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 之间的关系式，并求出它的定义域．[解析] 设腰长AD ＝BC ＝x ， 作DE ⊥AB 交AE 于点E ，连接BD ， 则∠ADB ＝90°，∴Rt △ADE ∽Rt △ABD.∴AD 2＝AE ·AB ，AE ＝x 22R .∴CD ＝AB －2AE ＝2R －x 2R .∴周长y 满足关系式y ＝2R ＋2x ＋⎝⎛⎭⎪⎫2R －x 2R ＝－x 2R ＋2x ＋4R.即周长y 与腰长x 之间的关系式为y ＝－1R x 2＋2x ＋4R.∵四边形ABCD 为圆内接梯形，∴AD>0，AE>0，CD>0.即⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x>0，x22R >0，2R －x 2R >0，⇒0<x<2R.所以函数的定义域为{x|0<x<2R}.。

第二章函数第2.2节函数的表示方法解析版一．选择题（共12小题）1．国家统计局统计了我国近10年（2009年2018年）的GDP（GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标）增速的情况，并绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下面说法错误的是（）A．这10年中有3年的GDP增速在9.00%以上B．从2010年开始GDP的增速逐年下滑C．这10年GDP仍保持6.5%以上的中高速增长D．2013年﹣2018年GDP的增速相对于2009年﹣2012年，波动性较小【答案】：B【解析】解：由图可知，这10年中有3年的GDP增速在9.00%以上，故A正确，由图可知，从2010年开始GDP的增速逐年下滑，故B错误，由图可知，这10年GDP仍保持6.5%以上的中高速增长，故C正确，由图可知2013年﹣2018年GDP的增速相对于2009年﹣2012年，波动性较小，故D正确，故选：B．2．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）A．支出最高值与支出最低值的比是8：1B．4至6月份的平均收入为50万元C．利润最高的月份是2月份D．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同【答案】：D【解析】解：由图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是5：1，故A错误，由图可知，4至6月份的平均收入为（50+30+40）＝40万元，故B错误，由图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误，由图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D正确，故选：D．3．樟村中学将于近期召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y＝[]B．y＝[]C．y＝D．y＝【答案】：C【解析】解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为6，7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4．因此利用取整函数可表示为y＝[]；故选：C．4．可作为函数y＝f（x）的图象的是（）A．B．C．D．【答案】：D【解析】解：由函数的定义可知：每当给出x的一个值，则f（x）有唯一确定的实数值与之对应，只有D符合．故正确答案为D．故选：D．5．已知函数y＝，若f（a）＝10，则a的值是（）A．3或﹣3B．﹣3或5C．﹣3D．3或﹣3或5【答案】：B【解析】解：若a≤0，则f（a）＝a2+1＝10∴a＝﹣3（a＝3舍去）若a＞0，则f（a）＝2a＝10∴a＝5综上可得，a＝5或a＝﹣3故选：B．6．若函数f（x）满足f（3x+2）＝9x+8，则f（x）是（）A．f（x）＝9x+8B．f（x）＝3x+2C．f（x）＝﹣3x﹣4D．f（x）＝3x+2或f（x）＝﹣3x﹣4【答案】：B【解析】解：令t＝3x+2，则x＝，所以f（t）＝9×+8＝3t+2．所以f（x）＝3x+2．故选：B．7．若f（2x+1）＝6x+5，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝3x+2B．f（x）＝3x+1C．f（x）＝3x﹣1D．f（x）＝3x+4【答案】：A【解析】解：令2x+1＝t，∴；∴f（t）＝3（t﹣1）+5＝3t+2；∴f（x）＝3x+2．故选：A．8．已知f（x+1）＝x2+6x+5，则f（x）的表达式是（）A．f（x）＝x2+4x B．f（x）＝x2+6x﹣4C．f（x）＝x2+3x﹣8D．f（x）＝x2+4x﹣4【答案】：A【解析】解：∵f（x+1）＝x2+6x+5＝（x+1）2+4（x+1）；∴f（x）＝x2+4x．故选：A．9．已知f（x+2）＝4x+3，则f（x）＝（）A．4x﹣5B．4x+5C．4x+13D．4x﹣13【答案】：A【解析】解：f（x+2）＝4x+3＝4（x+2）﹣5；∴f（x）＝4x﹣5．故选：A．10．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表．规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人．那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y＝[]B．y＝[]C．y＝[]D．y＝[]【答案】：B【解析】解：根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4．因此利用取整函数可表示为y＝[]．故选：B．11．若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，则f（x）等于（）A．x+1B．x﹣1C．2x+1D．3x+3【答案】：A【解析】解：函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，令x＝﹣x，则：f（﹣x）﹣2f（x）＝3（﹣x）﹣1．则：，解方程组得：f（x）＝x+1．故选：A．12．若f（x）满足关系式f（x）+2f（）＝3x，则f（2）的值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．【答案】：B【解析】解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（）＝3x，∴，①﹣②×2得﹣3f（2）＝3，∴f（2）＝﹣1，故选：B．二．填空题（共10小题）13．已知，则函数f（3）＝11．【答案】：11【解析】解：令x﹣＝t，t2＝x2+﹣2，∴f（t）＝t2+2，∴f（3）＝32+2＝11；故答案为11．14．已知，那么f（x）的解析式为（x≠﹣1，x≠0）．【答案】：（x≠﹣1，x≠0）．【解析】解：由可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，取x＝，代入上式得：f（x）＝＝，故答案为：（x≠﹣1，x≠0）．15．已知f（x+1）＝2x2+1，则f（x﹣1）＝．【答案】：2x2﹣8x+9．【解析】解：设x+1＝t，则x＝t﹣1，f（t）＝2（t﹣1）2+1＝2t2﹣4t+3，f（x﹣1）＝2（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+3＝2x2﹣4x+2﹣4x+4+3＝2x2﹣8x+9．故答案：2x2﹣8x+9．16．已知f（x+1）＝x2，则f（x）＝．【答案】：（x﹣1）2【解析】解：由f（x+1）＝x2，得到f（x+1）＝（x+1﹣1）2，故f（x）＝（x﹣1）2．故答案为：f（x）＝（x﹣1）2．17．设函数f（x）＝，若f（x0）＝8，则x0＝．【答案】：4或【解析】解：由题意，得①当x0≤2时，有x02+2＝8，解之得x0＝±，而＞2不符合，所以x0＝﹣；②当x0＞2时，有2x0＝8，解之得x0＝4．综上所述，得x0＝4或．故答案为：4或．18．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝3x+2，则一次函数f（x）的解析式为【答案】：f（x）＝或f（x）＝．．【解析】解：∵函数f（x）是一次函数，∴设f（x）＝kx+b，（k≠0）．∴f（f（x））＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b＝3x+2，∴，解得或，故答案为：f（x）＝或f（x）＝．19．已知f（x+1）＝x2+2x+2，则f（x）的解析式为【答案】：f（x）＝x2+1．【解析】解：f（x+1）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，则f（x）＝x2+1，故答案为：f（x）＝x2+1．20．若f（2x）＝3x2+1，则函数f（x）的解析式是．【答案】：【解析】解：f（2x）＝3x2+1＝，可得．故答案为：．21．已知函数f（x）＝3x+2，则f（x+1）＝．【答案】：3x+5【解析】解：∵函数f（x）＝3x+2，∴将上式中的“x”用“x+1”代入f（x+1）＝3（x+1）+2＝3x+5．故答案为：3x+5．22．已知：f（x﹣）＝x2+，则f（x）＝．【答案】：x2+2【解析】解：∵，∴f（x）＝x2+2．故答案为：x2+2．三．解答题（共1小题）23．已知函数y＝|x+1|+|1﹣x|．（1）用分段函数形式写出函数的解析式；（2）画出该函数的大致图象．【解析】解：（1）函数y＝|x+1|+|1﹣x|＝（2）据（1）的函数的解析式画出图象如图所示：。

第二章 函数 2.2 函数的表示法一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )x 1 2 3 f (x )2 3A ．3 C ．1D ．02．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A ．1xB ．1x －1C ．11－xD ．1x －13．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －34．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋75．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－1，x >0，1，x <0，则(a ＋b )＋(a －b )f (a －b )2(a ≠b )的值为( )A ．aB ．bC ．a ，b 中较小的数D ．a ，b 中较大的数6．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )123A ．C ．3D ．不存在7．函数y ＝|x ＋1|的图象是( )A B C D 8．(多选)设f (x )＝1＋x 21－x 2，则下列结论错误的有( )A ．f (－x )＝－f (x )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝f (x )D ．f (－x )＝f (x )9．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(－∞，4)C ．若f (x )＝3，则x 的值是 3D ．f (x )<1的解集为(－1,1) 二、填空题10．已知函数f (x )对任意正实数a ，b ，都有f (ab )＝f (a )＋f (b )成立． (1)f (1)＝________；(2)若f (2)＝p ，f (3)＝q (p ，q 均为常数)，则f (36)＝________.11．(一题两空)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是______，_______.12．如果一次函数f (x )的图象过点(1,0)及点(0,1)，则f (3)＝________.13．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是________．14．已知函数f (x )由下表给出，则f ( f (3))＝________.x 1 2 3 4 f (x )324115．已知函数f (x )＝x －m x ，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________． 16．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝________.三、解答题17．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．18．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f (x )； (2)画出函数f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．19．已知函数f (x )＝xax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解，求函数y ＝f (x )的解析式和f (f (－3))的值．参考解析1 B [由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f (g (2))＝f (1)＝2.]2 B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则有f (t )＝1t1－1t＝1t －1，即f (x )＝1x －1，∴f (x )＝1x －1，故选B.] 3 B [设f (x )＝ax ＋b ，由题设有{ 2(2a ＋b )－3(a ＋b )＝5，2(0·a ＋b )－(－a ＋b )＝1.解得{ a ＝3，b ＝－2.所以选B.]4 B [∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1，即g (x )＝2x －1，故选B.]5 C [若a －b >0，即a >b ，f (a －b )＝－1， 则(a ＋b )＋(a －b )f (a －b )2＝12[(a ＋b )－(a －b )]＝b ，若a －b <0，即a <b ，f (a －b )＝1， 则(a ＋b )＋(a －b )f (a －b )2＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝a .综上所述，(a ＋b )＋(a －b )f (a －b )2为a ，b 中较小的数．]6 [答案] C7 A [y ＝|x ＋1|＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x ＜－1，由解析式可知，A 项符合题意．]8 AC [因为f (x )＝1＋x 21－x 2，所以f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝f (x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1＝－f (x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝x 2＋1x 2－1＝－f (x )，故选AC.] 9 BC [由题意知函数f (x )的定义域为(－∞，2)，故A 错误；当x ≤－1时，f (x )的取值范围是(－∞，1]，当－1<x <2时，f (x )的取值范围是[0,4)，因此f (x )的值域为(－∞，4)，故B 正确；当x ≤－1时，x ＋2＝3，解得x ＝1(舍去)．当－1<x <2时，x 2＝3，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)．故C 正确；当x ≤－1时，x ＋2<1，解得x <－1，当－1<x <2时，x 2<1，解得－1<x <1，因此f (x )<1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，故D 错误．故选BC.]10 (1)0 (2)2p ＋2q [(1)令a ＝1，b ＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. (2)令a ＝b ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2p ， 令a ＝b ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q .令a ＝4，b ＝9，得f (36)＝f (4)＋f (9)＝2p ＋2q .]11 60 16 [因为组装第A 件产品用时15分钟，所以cA＝15. ① 由题意知4<A ，且c 4＝c2＝30.②由①②解得c ＝60，A ＝16.]12 －2 [设一次函数的解析式为f (x )＝kx ＋b ，因为其图象过点(1,0)，(0,1)，所以⎩⎨⎧k ＋b ＝0，b ＝1，解得k ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝－x ＋1， 所以f (3)＝－3＋1＝－2.]13 f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1 [由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎨⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1.∴f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.]14 1 [由题设给出的表知f (3)＝4，则f ( f (3))＝f (4)＝1.] 15 5 [将点(5,4)代入f (x )＝x －mx ，得m ＝5.] 16 4 [∵f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23×2＝43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43＋83＝4.]17[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3 f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝7， ∴f (x )＝2x ＋7.18[解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1， 当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎨⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．19[解] 因为f (2)＝1，所以22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2，①。

2.2 函数的表示法课后训练案巩固提升A组1.导学号91000049已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:x 1 23f(x)2 11x 1 23g(x)3 21则f(g(1))=()A.2B.1C.3D.不确定解析:由已知得g(1)=3,所以f(g(1))=f(3)=1.答案:B2.已知某函数的图像如图所示,则该函数的值域为()A.(0,+∞)B.(-∞,-1]C.(-∞,-1]∪(0,+∞)D.[-1,0)解析:由函数图像易知,当x>0时,y>0;当x≤0时,y≤-1,故该函数的值域为(-∞,-1]∪(0,+∞).答案:C3.若f,则当x≠0,且x≠1时,f(x)=()A. B. C. D.-1解析:设=t,则x=,于是f(t)=,即f(x)=.答案:B4.已知函数f(x)=则f(2)=()A.-1B.0C.1D.2解析:f(2)=f(2-1)=f(1)=1-2=-1.答案:A5.函数y=x+的图像是下图中的()解析:∵y=x+∴选项C中的图像适合此函数解析式.答案:C6.已知函数f(x)=若f(m)=16,则m的值等于.解析:当m≥0时,f(m)=4m=16,得m=4;当m<0时,f(m)=m2=16,得m=-4(m=4舍去),故m的值为4或-4.答案:4或-47.若f(g(x))=6x+3,且g(x)=2x+1,则f(x)等于.解析:由已知,得f(g(x))=6x+3=3(2x+1)=3g(x),所以f(x)=3x.答案:3x8.若f(x)=则函数f(x)的最大值、最小值分别为,.解析:若1≤x≤2,则8≤2x+6≤10;若-1≤x<1,则6≤x+7<8.∴函数的值域为[6,8)∪[8,10]=[6,10].∴f(x)的最大值为10,最小值为6.答案:10 69.已知函数f(x)=(1)求f,f,f的值;(2)作出函数f(x)的图像;(3)求函数f(x)的值域.解:函数的定义域为[-1,0)∪[0,1)∪[1,2]=[-1,2].(1)因为-1≤x<0时,f(x)=-x,所以f=-.因为0≤x<1时,f(x)=x2,所以f.因为1≤x≤2时,f(x)=x,所以f.(2)函数f(x)的图像如图所示.(3)由(2)中函数f(x)的图像可知,函数f(x)的值域为[0,2].10.导学号91000050某市出租车的计价标准是:4 km以内10元(含4 km),超出4 km且不超过18 km的部分1.2元/km;超出18 km的部分1.8元/km.(1)试写出车费与行车里程的函数解析式;(2)如果某人乘车行驶了20 km,试计算他要付的车费是多少?解:(1)设车费为y(元),路程为x(km),则y=即y=(2)y=1.8×20-5.6=30.4(元).故此人要付30.4元的车费.B组1.导学号91000051某汽车司机看见前方约50米处有行人穿过马路,这时司机开始紧急刹车,在刹车过程中,汽车速度v是关于刹车时间t的函数,其图像可能是()解析:刹车过程中,汽车速度呈下降趋势,排除选项C,D;由于是紧急刹车,则汽车速度下降非常快,则图像较陡,排除选项B,故选A.答案:A2.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x解析:A中,若f(x)=|x|,则f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);B中,若f(x)=x-|x|,则f(2x)=2x-2|x|=2(x-|x|)=2f(x);C中,若f(x)=x+1,则f(2x)=2x+1≠2f(x);D中,若f(x)=-x,则f(2x)=-2x=2f(x).因此只有C不满足f(2x)=2f(x),故选C.答案:C3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(3)=()A.-4B.-1C.1D.4解析:f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-4.答案:A4.若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值为()A.2B.1C.-1D.无最大值解析:由题目可获取的信息是:①两个函数一个是二次函数,一个是一次函数;②f(x)是两个函数中的较小者.解答此题可先画出两个函数的图像,然后找出f(x)的图像,再求其最大值.在同一坐标系中画出函数y=2-x2,y=x的图像,如图,根据题意,坐标系中实线部分即为函数f(x)的图像.故x=1时,f(x)max=1,应选B.答案:B5.(信息题)定义两种运算:a b=,a b=,则函数f(x)=的解析式为.解析:依题意:2 x=,x 2==|x-2|,则f(x)=.由得-2≤x≤2且x≠0,∴f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,2].答案:f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2]6.导学号91000052直角梯形ABCD,如图①,动点P从B点出发,沿B→C→D→A运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图像如图②所示,则△ABC的面积为.解析:结合①②可知梯形ABCD中:BC=4,AD=5,DC=5.根据梯形为直角梯形可得AB=3+5=8.∴S△ABC=×8×4=16.答案:167.已知函数y=f(x)的图像如图所示,求f(x)的解析式.解:当x≤-2时,图像为一条射线,过点(-2,0)与(-4,3),设y=ax+b,将两点代入,得-2a+b=0,-4a+b=3,解得a=-,b=-3,所以它的解析式为y=-x-3(x≤-2);当-2<x<2时,图像为一条线段(不包括端点),它的解析式为y=2(-2<x<2);当x≥2时,图像为一条射线,过点(2,2)与(3,3),设y=cx+d,将两点代入,得2c+d=2,3c+d=3,解得c=1,d=0,所以它的解析式为y=x(x≥2).综上可知,f(x)=8.设函数f(x)=|x2-4x-5|.(1)在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像;(2)当m为怎样的实数时,方程|x2-4x-5|=m有四个互不相等的实数根?(3)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[0,4]∪[6,+∞),试判断集合A和B之间的关系,并给出证明.解:(1)f(x)=|x2-4x-5|=其图像如图所示.(2)由图像可知,当0<m<9时,直线y=m与y=|x2-4x-5|的图像有四个不同的交点,因此当0<m<9时,方程|x2-4x-5|=m有四个互不相等的实数根.(3)方程f(x)=5的解分别是x=2-,0,4,2+,观察图像可得f(x)≥5的解是x≤2-,或0≤x≤4,或x≥2+,则A=(-∞,2-)∪[0,4]∪[2+,+∞).∵2+<6,2->-2,∴B⫋A.。

2.2 函数的表示法A ．(1)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(3)D ．(3)(4)解析：在图像(2)中，对于定义域中的某些x 存在两个y 值和它对应，故(2)不是函数图像．答案：B解技巧 如何检验一个图像是否是一个函数的图像？方法1：看对于定义域中的任何一个自变量x ，是否对应唯一的函数值y ，若是，则此图像是一个函数的图像；若不是，则此图像不是一个函数的图像．方法2：在定义域表示的范围内，作垂直于x 轴的直线，若此时直线与图像有唯一交点，则此图像即为定义域内函数的图像，若有两个或两个以上的交点，则这个图像必定不是函数的图像．【例1－2】下列表格中的x 与y 能构成函数的是( )． A ．B ．C ．D ．y1 0 － 1解析：选项A ，当x ＝0时，y ＝±1；选项B ，当x 是偶数时，y ＝±1；选项C ，任意一个x ，都有唯一的y 与之对应，故C 项正确；选项D ，当x ＝1时，y ＝1或0或－1.答案：C解技巧 如何判断两个变量是否构成函数判断一个表格中的两个变量能否构成函数关系的方法：一看表格中两个变量组成的集合是否都是数集，二看对于其中一个变量的每一个取值是否都有唯一的另一个变量值和它对应．【例1－3】已知函数f (x )＝ax 3＋bx －2，且f (－2)＝10，则f (2)＝( )． A ．－14 B ．－12 C ．－10 D ．10 解析：当一个函数的解析式确定时，通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值．此题中函数f (x )含有两个参数a ，b ，由条件f (－2)＝10可得－8a －2b －2＝10，即8a ＋2b ＝－12，而f (2)＝8a ＋2b －2，所以利用整体代入思想就可求出f (2)＝－12－2＝－14.答案：A 2．分段函数(1)分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数．谈重点 分段函数的理解1．分段函数在其解析式形式上尽管会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成几个函数的合并，它的连续与间断完全由对应关系来确定．2．分段函数的标准形式是()[]()(]()(]123,,,,,,(),,,f x x a b f x x b c f x f x x c d ⎧∈⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪⎩……写分段函数时，注意其定义域的端点应不重不漏.3．分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集，这一点与函数y ＝x －1＋1＋x 的定义域的求法不相同，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x <1，x ，x ≥1的定义域为{x |0＜x ＜1}∪{x |x ≥1}＝{x |x ＞0}．分段函数的值域也是各段上的函数值组成的集合的并集．4．分段函数的图像由几部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等．5．求分段函数的某些函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式，一定要坚持定义域优先的原则．(2)分段函数图像的画法画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，x ∈D 1，f 2x ，x ∈D 2，……(D 1，D 2，…是非空集合且两两交集都是空集)的图像的步骤是：①画函数y ＝f 1(x )的图像，再取其在集合D 1上的图像，其他部分删去不要； ②画函数y ＝f 2(x )的图像，再取其在集合D 2上的图像，其他部分删去不要； ③依次画下去；④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像．例如：画函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤0，－x ，x >0的图像的步骤是：第一，画二次函数y ＝(x ＋1)2的图像，再取其在区间(－∞，0]上的图像，其他部分删去不要；第二，画一次函数y ＝－x 的图像，再取其在区间(0，＋∞)上的图像，其他部分删去不要；第三，这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像(如图所示)．画分段函数的图像时，要注意每一段上端点的取舍，属于这一段的端点用实心点表示，不属于这一段的端点用空心点表示．本题中，当x ＝0时，(x ＋1)2≠－x ，故左边一段函数图像的右端点为实心点，右边一段函数图像的左端点为空心点．【例2－1】已知函数22,1,(),12,2, 2.x x f x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩(1)求f {f [f (3)]}的值； (2)若f (a )＝3，求a 的值； (3)画出函数的图像． 分析：本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x 属于哪一个区间，所以，求分段函数的函数值时，首先应确定自变量所在的取值范围，然后按相应的对应关系求值．要求f {f [f (3)]}的值，需要确定f [f (3)]的取值范围，为此又需确定f (3)的取值范围，可根据由内到外的顺序，依次求出各函数值f (3)，f [f (3)]，f {f [f (3)]}．若f (a )＝3，因为在各段上，函数值都有可能为3，所以应分三种情况进行讨论．解：(1)∵－1＜3＜2，∴f (3)＝(3)2＝3.又∵3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.又∵6≥2，∴f {f [f (3)]}＝f (6)＝2×6＝12.(2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2.若f (a )＝3，则a ＋2＝3， ∴a ＝1.当－1＜a ＜2时，f (a )＝a 2.若f (a )＝3，则a 2＝3， ∴3a =3a =舍去)．当a ≥2时，f (a )＝2a .若f (a )＝3，则2a ＝3，∴32a =(舍去)．综上可知，3a =(3)函数f (x )的图像如图所示．警误区 对于分段函数来说，给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围利用相应的解析式直接求值；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意要检验该值是否在相应自变量的取值范围内．【例2－2】目前，某市B 档出租车的计价标准是：路程2km 以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km 后的路程按1.9元/km 收取，但超过10 km 后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)(1)将乘客搭乘一次B 档出租车的费用f (x )(元)表示为行程x (0＜x ≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客行程为16 km ，他准备先乘一辆B 档出租车行驶8 km ，然后再换乘另一辆B 档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B 档出租车完成全部行程更省钱？解：(1)由题意得，出租车的费用f (x )(元)与行程x (0＜x ≤60，单位：km)的函数关系为f (x )＝8028 1.9(2)2108 1.98 2.85(10)1060x x x x x <≤⎧⎪+⨯-<≤⎨⎪+⨯+⨯-<≤⎩，，，，，，即f (x )＝8021.9 4.22102.85 5.31060.x x x x x <≤⎧⎪+<≤⎨⎪-<≤⎩，，，，， (2)只乘一辆车的费用为f (16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，换乘另一辆车的总费用为2f (8)＝2×(1.9×8＋4.2)＝38.8(元)， ∴该乘客换乘车比只乘一辆车完成全部行程更省钱．(1)待定系数法 若已知函数的类型，则可设出函数的解析式，由题设条件列出方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数，从而得到所求函数的解析式，此种方法称为待定系数法．例如：已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0.∴f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)配凑法对于形如y ＝f [g(x )]的函数，可将右边配成或凑成g(x )的多项式，最后将g(x )都换成x ，从而求出解析式，这种方法称为配凑法．由y ＝f [g(x )]的解析式，求出函数y ＝f (x )后，应注意函数的定义域，f (x )的定义域就是g(x )的值域．例如：已知f (2x ＋1)＝4x 2＋2x ＋1，求f (x )．可将右边“4x 2＋2x ＋1”变为含“2x ＋1”的表达式，得到f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋1，再将“2x ＋1”都换成x ，则f (x )＝x 2－x ＋1.这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求．(3)换元法对于形如y ＝f [g(x )]的函数，也可将“g(x )”换成另一个字母“t”，然后从中解出x 与t 的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为函数的解析式，这种方法称为换元法．利用这种方法时要正确写出新元“t ”的取值范围，也就是g(x )的值域．例如：已知f (2x ＋1)＝4x 2＋2x ＋1，求f (x )．可令t ＝2x ＋1，则x ＝12t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －12＋1，即f (t )＝t 2－t ＋1，再将f (t )＝t 2－t ＋1中所有的t 换成x ，得出f (x )＝x 2－x ＋1(因为f (t )和f (x )的定义域和对应关系是相同的，所以f (t )和f (x )是同一函数)．(4)消元法当在已知式中出现含有两个不同变量的函数关系式时，常常采用“消元法”，即依据两个变量的关系，重新产生一个关于两个变量的不同等式，再联立方程组消去其一，得到所求函数的解析式．例如：设f (x )是定义在(0，＋∞)上的一个函数，且有f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，求f (x )．欲求f (x )，必须消去关系式中的f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，由于x ，1x 互为倒数，所以可用1x替换关系式中的x ，得到另一个关于f (x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的方程f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )1x－1，将其代入原关系式f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，即可消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ， 得到f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2fx1x －1x －1＝4f (x )－2x －1，从而f (x )＝23x ＋13.于是所求函数的解析式为f (x )＝23x ＋13，x ∈(0，＋∞)．这种解法基于这样一种认识：函数定义域中的每一个元素都应满足函数表达式．在已知条件下，x 满足已知的式子，那么1x在定义域内也满足这个式子，这样就得到两个关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的方程，从而能解出f (x )．【例3－1】已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝2x ＋17，则f (x )＝( )． A ．253x + B ．213x + C ．2x －3 D ．2x ＋5解析：(方法1：待定系数法)已知f (x )是一次函数，所以可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．则f (x ＋1)＝k (x ＋1)＋b ＝kx ＋k ＋b .又因为3f (x ＋1)＝2x ＋17，于是可得方程组32,3()17,k k b =⎧⎨+=⎩解得2,35,k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩故所求函数的解析式为f (x )＝253x +. (方法2：换元法)∵3f (x ＋1)＝2x ＋17，∴f (x ＋1)＝21733x +.令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，代入上式得f (t )＝2172(1)5333t t -+=+.∴所求函数的解析式为f (x )＝253x +.(方法3：配凑法)∵3f (x ＋1)＝2x ＋17，∴f (x ＋1)＝2172(1)5333x x +=++，将“x ＋1”都换成“x ”得f (x )＝253x +，∴所求函数的解析式为f (x )＝253x +.答案：A【例3－2】已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝9x ＋4，求f (x )的解析式． 分析：因为f (x )是一次函数，所以可利用待定系数法，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．则f [f (x )]＝kf (x )＋b ＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，再根据题设条件即可得到关于k ，b 的方程组，解方程组求出k ，b 就可确定函数f (x )的解析式．解：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b .又∵f [f (x )]＝9x＋4，∴29,4.k kb b ⎧=⎨+=⎩解得=3=1k b ⎧⎨⎩，，或3,2.k b =-⎧⎨=-⎩∴函数f (x )的解析式为f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. 析规律 待定系数法求解析式本题以f (x )为一次函数作为切入点，运用待定系数法，构建所设参数的方程组从而解决问题，这是一种常用的解题方法，已知函数类型求函数解析式常用此方法．【例3－3】已知(1)f x x x =+，求f (x )．分析：本题实际上是寻找对应关系f 怎样对自变量起作用．解答本题可在“2x x +”1x 1x ”整体换元来求解． 解：(方法1：配凑法)∵f 1x )＝2x x +＝21)1x -11x ≥，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (方法2：换元法)x t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，∴f (t )＝(t －1)2＋22(1)t -t 2－1(t ≥1)．∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．警误区 利用配凑法和换元法求解析式的误区 配凑法和换元法是求解函数解析式的基本方法，在不清楚函数类型的情况下往往运用此法，但要注意自变量取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式．【例3－4】已知f (x )－12f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝3x ＋2，求f (x )．分析：观察条件可以看出，欲求f(x)，必须消去关系式中的1fx⎛⎫⎪⎝⎭，由于x和1x互为倒数，故可在题中等式里令x取1x的值，得到关于f(x)，1fx⎛⎫⎪⎝⎭的另一个等式，把f(x)与1fx⎛⎫⎪⎝⎭看成未知数，通过解方程组可求得f(x)．解：∵f(x)－12fx⎛⎫⎪⎝⎭＝3x＋2，∴令x取1x的值，得1fx⎛⎫⎪⎝⎭－2f(x)＝3x＋2.于是得到关于f(x)与1fx⎛⎫⎪⎝⎭的方程组()()1232,132 2.f x f xxf f xx x⎧⎛⎫-=+⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+⎪⎪⎝⎭⎩①②①＋②×2消去1fx⎛⎫⎪⎝⎭得，f(x)＝－x－2x－2即为所求．解技巧消元法求解析式对于已知等式中出现含有两个不同变量的函数关系式，常用消元法求函数的解析式．具体做法是依据这两个变量的关系，重新建立关于这两个变量的不同等式，利用整体思想把f(x)和另一个函数看成未知数，用消元法解方程组得函数f(x)的解析式．4．函数图像的作法图像法是表示函数的方法之一，为了直观地了解函数的性质，常常作出函数的草图或较为精确的图像，便于数形结合讨论问题．画函数图像时，常以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像帮助作图．同时还应注意抓住函数的特征，如定义域的分界点、图像上的特殊点(与x轴、y 轴的交点，最高点与最低点，转折点等)、图像随x变化而变化的趋势等来辅助作图．另外，还可利用对称、平移、伸缩、翻折等方法作图．①函数y＝f(－x)的图像与y＝f(x)的图像关于y轴对称；②函数y＝－f(x)的图像与y＝f(x)的图像关于x轴对称；【例4－1】作出下列函数的图像．(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)1yx=(x＞1)．解：(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图(1)所示为函数图像的一部分．(2)当x＝1时，y＝1，所画函数图像如图(2)．图(1) 图(2)解技巧画图的一个技巧画某些函数的图像时，可以先不考虑其定义域，把使解析式本身有意义的整个基本函数的图像画出来，然后再标出定义域内的部分图像．③函数y＝－f(－x)的图像与y＝f(x)的图像关于坐标原点对称；④函数y＝|f(x)|的图像由y＝f(x)的图像保留x轴上方部分，下方部分翻折到上方得到；⑤函数y＝f(|x|)的图像由y＝f(x)的图像保留y轴右方部分，并作关于y轴的对称图像得到；⑥函数y＝f(x＋a)(a＞0)的图像由y＝f(x)的图像向左平移a个单位长度得到；⑦函数y＝f(x)＋b(b＞0)的图像由y＝f(x)的图像向上平移b个单位长度得到．【例4－2】求作y＝|x2＋3x－4|的图像．分析：函数y＝|f(x)|的图像由y＝f(x)的图像保留x轴上方部分，下方部分翻折到x 轴上方得到．解：作出二次函数y＝x2＋3x－4的图像如图(1)，将x轴下方的部分翻折到x轴上方即得所求函数图像如图(2)．谈重点画二次函数图像的几个突破口画二次函数的图像时，要确定其开口方向、对称轴位置、顶点坐标、与坐标轴的交点几个方面．5．函数图像的应用问题(1)利用函数图像解方程或判断方程解的个数求关于x的方程f(x)＝g(x)的实数解或判断其解的个数时，可以构造两个函数y＝f(x)与y＝g(x)，并作出它们的图像，由图像可知原方程实数解即为两个函数图像交点的横坐标，方程的解的个数等于两个函数图像交点的个数．例如：讨论关于x的方程|x2－4x＋3|＝a(a∈R)的实数解的个数．可构造两个函数y＝|x2－4x＋3|及y＝a，并作出它们的图像(如图所示)，方程|x2－4x ＋3|＝a的实数解就是两个函数图像交点(纵坐标相等)的横坐标x的值，原方程解的个数就是两个函数图像的交点个数，由图可知：①当a∈(－∞，0)②当a ＝0或a ∈(1，＋∞)时，原方程有两个实数解； ③当a ＝1时，原方程有三个实数解； ④当0＜a ＜1时，原方程有四个实数解． (2)利用函数图像解不等式，不等式f (x )＜g (x )的解集⇔函数y ＝g (x )的图像在y ＝f (x )图像上方的点的横坐标的取值集合．例如：解不等式|2x －1|＞x ＋2时，就可用数形结合的方法求解，即先作出y ＝|2x －1|及y ＝x ＋2的图像．由图像可知原不等式的解集为⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－13，或x >3.(3)例如：求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x <1，x ，x >1的值域．可以看出，所给函数解析式是分段函数，它的图像由y ＝1x，0＜x ＜1和y ＝x ，x ＞1两部分组成(如图所示)，观察图像可得此函数的值域为(1，＋∞)．解技巧 利用图像求分段函数的值域 利用图像法求函数值域，关键是准确作出函数的图像．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图像时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．(4)根据函数的图像求其解析式．例如，下图中的图像所表示的函数的解析式为( )．A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)解析：函数的图像由两条线段组成，若直接求其解析式，则较麻烦．可采用特殊值代入法验证选项，将原点(0,0)代入，可排除选项A ，C ；再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，又可排除D ，故选B.答案：B【例5－1】若x ∈R ，f (x )是y ＝2－x 2与y ＝x 这两个函数的较小者，则f (x )的最大值为( )．A ．2B ．1C ．－1D ．无最大值解析：两个函数一个是二次函数，一个是一次函数，f (x )是两个函数的较小者．可先画出两个函数的图像，然后找出f (x )的图像再求其最大值．在同一坐标系中画出函数y ＝2－x 2，y ＝x 的图像，如图所示，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f (x )的图像．∴x ＝1时，f (x )max ＝1.选B.答案：B谈重点 函数图像的功能函数图像可以形象地反映函数的性质，通过观察图像可以确定图像的变化趋势、对称性、分布情况等．应用函数图像解题体现了数形结合的思想方法．【例5－2】设函数f (x )＝21,1,22,11,11,1,x x x x x x⎧⎪(+)≤-⎪+-<<⎨⎪⎪-≥⎩已知f (a )＞1，求a 的取值范围．分析：所给函数是分段函数，其图像很容易作出，所以可以利用图像解不等式；另外，也可以对a 分三种情况：a ≤－1，－1＜a ＜1，a ≥1，通过解不等式得出a 的取值范围．解法一：(数形结合)画出f (x )的图像，如图所示，作出直线y ＝1，由图可见，符合f (a )＞1的a 的值为(－∞，－2)∪1,12⎛⎫-⎪⎝⎭.解法二：(分类讨论)(1)当a≤－1时，由(a＋1)2＞1得a＋1＞1，或a＋1＜－1，a＞0，或a＜－2，又a≤－1，∴a＜－2；(2)当－1＜a＜1时，由2a＋2＞1得，12 a>-，又－1＜a＜1，∴11 2a-<<；(3)当a≥1时，由111a->得0＜a＜12，又a≥1，∴此时a不存在．综上可知，a＜－2，或11 2a-<<.【例5－3】求函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域．分析：函数解析式中含有绝对值符号，直接求其值域难度较大．可根据绝对值的意义，分情况去掉绝对值符号，再研究其值域．解：当x≤－1时，y＝－(x＋1)－(x－2)＝－2x＋1；当－1＜x＜2时，y＝(x＋1)－(x－2)＝3；当x≥2时，y＝(x＋1)＋(x－2)＝2x－1，∴函数y＝|x＋1|＋|x－2|可化为分段函数y＝21,1, 3,12, 21, 2.x xxx x-+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩它的图像如图所示．∴函数的值域为[3，＋∞)．【例5－4】已知函数y＝f(x)求函数的解析式．分析：图中给定的图像实际上是一个分段函数的图像，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．解：根据图像，设左侧的射线对应的解析式为y＝kx＋b(k≠0，x＜1)，将点(1,1)，(0,2)的坐标代入得1,2,k bb+=⎧⎨=⎩解得1,2.k b =-⎧⎨=⎩∴左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x ＜1)；同理，x ＞3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ＞3)．再设抛物线对应的二次函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1.∴抛物线对应的函数的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上可知，函数的解析式为y ＝22,1,42,13,2, 3.x x x x x x x -+<⎧⎪-+-≤≤⎨⎪->⎩解技巧 由图像求解析式的基本要求由图像求函数的解析式的基本要求是充分挖掘图中所提供的图像形状以及特殊点的坐标，如本例中点(1,1)，(0,2)，(2,2)，(3,1)，(4,2)的信息，可利用待定系数法求解析式．。

第1课时 函数的表示法必备知识基础练知识点一 函数的表示法1.下表是某工厂产品的销售价格表． 一次购 买件数 1～ 10件 11～ 50件 51～ 100件 101～ 300件 300件 以上 单价(元) 37 32 30 27 25某人现有现金2 900元，则他一次最多可以购买这种产品( ) A ．96件 B ．97件 C ．107件 D ．108件2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )3．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x (x >0)知识点二 函数的图象4.已知，值域为________．5．作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．知识点三 求函数的解析式6.(1)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式；(2)已知函数f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1，求f (x )的解析式；(3)已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式．关键能力综合练1．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 C ．(－1,3) D ．(－2,1)2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f [g (2)]的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．03．已知f (1－2x )＝1x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A ．4 B.14 C ．16 D.1164．函数y ＝x1＋x的大致图象是( )5．(易错题)已知函数f (x ＋1)＝x ＋1，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－2x ＋2B ．f (x )＝x 2＋1(x ≥1)C ．f (x )＝x 2－2x (x ≥1)D ．f (x )＝x 2－2x ＋2(x ≥1)6．从甲城市到乙城市t min 的电话费由函数g (t )＝1.06×(0.75[t ]＋1)给出，其中t >0，[t ]为t 的整数部分，则从甲城市到乙城市5.5 min 的电话费为( )A ．5.04元B ．5.56元C ．5.84元D ．5.38元7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f [g (1)]的值为_____；当g [f (x )]＝2时，x ＝______.8．已知f (x )是一次函数，若f [f (x )]＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________．9．(探究题)已知函数y ＝f (x )满足f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，则f (x )的解析式为________________．10．作出下列函数的图象，并指出其值域． (1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)；(2)y ＝2x (－2≤x ≤1，且x ≠0)；(3)y ＝2x ＋1x －1；(4)y ＝|x 2－2x |＋1.1．(多选题)定义域和值域均为[－a ，a ]的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，其中a ＞c ＞b ＞0，给出下列四个结论正确结论的是( )A．方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解B．方程g[f(x)]＝0有且仅有三个解C．方程f[f(x)]＝0有且仅有九个解D．方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解2．(情境命题—生活情境)一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是()A．0 B．1C．2 D．33．已知函数f(x)＝xax＋b(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值．2．2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法 必备知识基础练1．解析：若按单价25元，则不够300件，故这不可能．若按单价27元购买，可买107件，符合101～300件的范围．答案：C2．解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.答案：C3．解析：由x ＋3x 2·y ＝100，得2xy ＝100，∴y ＝50x (x >0)． 答案：C4．解析：函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．答案：[－2,4]∪[5,8] [－4,3] 5．解析：(1)列表：x 2 3 4 5… y 1 23 12 25… 画图象，当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x 的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．(2)x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．6．解析：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1.∴f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b .又f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)解法一：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)2， ∴f (x )＝x 2.又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2(x ≥1)． 解法二：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2. 由于x ≥0，所以t ≥1.代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＋1＝t 2， 所以f (x )＝x 2(x ≥1)．(3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①∴将x 用1x 替换，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x，解得f (x )＝2x －1x (x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x (x ≠0)． 关键能力综合练1．解析：设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由该函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A 选项中点的坐标符合此函数的解析式．故选A.答案：A2．解析：由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f [g (2)]＝f (1)＝2. 答案：B3．解析：令1－2x ＝12可得x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝16，故选C.答案：C4．解析：解法一 y ＝x1＋x的定义域为{x |x ≠－1}，排除C ，D ，当x ＝0时，y ＝0，排除B.解法二 y ＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，由函数的平移性质可知A 正确． 答案：A5．易错分析：本题易忽视x ＋1整体的取值范围而忘记f (x )的定义域要求，从而错选了A.解析：令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2＋1＝t 2－2t ＋2，∴f (x )＝x 2－2x ＋2(x ≥1)．答案：D6．解析：g (5.5)＝1.06(0.75×5＋1)＝5.035≈5.04. 答案：A 7．解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1. 答案：1 18．解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8. 所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.答案：f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －89．解析：由条件知，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2， 则⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，f (－x )－2f (x )＝－9x ＋2，解得f (x )＝3x －2. 答案：f (x )＝3x －210．解析：(1)用描点法可以作出函数的图象如图(1)．由图可知y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.(2)用描点法可以作出函数的图象如图(2)，由图可知y ＝2x (－2≤x ≤1，且x ≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．(3)∵y ＝2x ＋1x －1＝2＋3x －1，∴先作函数y ＝3x 的图象，把它向右平移一个单位得到函数y ＝3x －1的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数y ＝2x ＋1x －1的图象，如图(3)所示．由图可知值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)先作y ＝x 2－2x 的图象，保留x 轴上方图象，再把x 轴下方图象对称翻到x 轴上方，得到y ＝|x 2－2x |的图象，再把它向上平移1个单位，即得到y ＝|x 2－2x |＋1的图象，如图(4)所示．由图可知值域为[1，＋∞)．学科素养升级练1．解析：由图象可知对于函数y ＝f (x )，当－a ≤y <－c 时，方程有一解，当y ＝－c 时，方程有两解，当－c <y <c 时方程有三解，当y ＝c 时，方程有两解，当c <y ≤a 时，方程有一解，对于函数y ＝g (x )，由图象可知，函数g (x )为单调递减函数，当－a ≤y ≤a ，方程有唯一解．对于A 中，设t ＝g (x )，则由f [g (x )]＝0，即f (t )＝0，此时方程有三个t 的值，即t ＝g (x )有三个不同的值，又由函数g (x )为单调递减函数，所以方程f [g (x )]＝0有三个不同的解，所以是正确的；对于B 中，设t ＝f (x )，则由g [f (x )]＝0，即g (t )＝0，此时只有唯一的解t ＝b ，即方程b ＝f (x )，此时可能有一解、两解或三解，所以不正确；对于C 中，设t ＝f (x )，则由f [f (x )]＝0，即f (t )＝0，此时t ＝－b 或t ＝0或t ＝b ，则方程t ＝f (x )可能有5个解或7个解，或9个解，所以不正确；对于D 中，设t ＝g (x )，则由g [g (x )]＝0，即g (t )＝0，此时t ＝b ，对于方程b ＝g (x )，只有唯一的解，所以是正确的．故选AD.答案：AD2．解析：由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中“至少打开一个水口”知③错．答案：B3．解析：因为f (2)＝1，所以22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2，①又因为f (x )＝x 有唯一解，即xax ＋b＝x 有唯一解，所以ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1.代入①得a ＝12.所以f (x )＝x 12x ＋1＝2xx ＋2.所以f [f (－3)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6－1＝f (6)＝2×66＋2＝32.。

课时作业函数的表示法基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．设函数()＝＋，(＋)＝()，则()的解析式是( )．()＝＋．()＝－．()＝－．()＝＋【解析】因为(＋)＝()＝＋，所以令＋＝，则＝－，()＝(－)＋＝－.所以()＝－.【答案】．函数()＝－的图象是( )【解析】由绝对值的意义可知当≥时＝－，当<时，＝－，选.【答案】．已知函数()＝(\\(，>，＋，≤，))且()＋()＝，则等于( )．－．－．．【解析】当>时，()＋()＝＋＝⇒＝－，与>矛盾；当≤时，()＋()＝＋＋＝⇒＝－，适合题意．【答案】．已知函数＝(\\(＋，≤，－，>，))则使函数值为的的值是( )．－．或－．或－．或－或－【解析】当≤时，＋＝，＝－.当>时，－<，不合题意．【答案】．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度和时间之间的关系，其中不正确的有( )．个．个．个．个【解析】对于第一幅图，水面的高度的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．【答案】二、填空题(每小题分，共分)．已知函数()在[－]上的图像如图所示，则()的解析式为．【解析】当∈[－]时，＝＋；当∈(]时，＝－，故()的解析式为()＝(\\(＋，－≤≤，－()，<≤.))【答案】()＝(\\(＋，－≤≤，－()，<≤.))．如图，函数()的图象是折线段，其中，，的坐标分别为()，()，()，则[()]＝.【解析】由图象可知()＝，()＝，[()]＝.【答案】．已知≠，函数()满足＝＋，则()＝.【解析】＝＋＝＋，所以()＝＋.【答案】＋三、解答题(每小题分，共分)．() 已知函数()＝，求(－)；()已知函数(－)＝，求()；。