北师版数学高一北师大版必修一课时作业 函数的表示法

课时作业6 函数概念时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( D )A.1aB.3a C ．aD ．3a解析：∵f (x )＝3x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝31a＝3a .2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( D ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1，或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0⇒0≤x ≤1.3．函数的图像与x ＝1的交点最多有( B ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．以上都不对解析：利用函数的定义，对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，所以函数的图像与x ＝1的交点最多有1个．4．下列四个等式中，能表示y 是x 的函数的是( A ) ①x －2y ＝2；②2x 2－3y ＝1；③x －y 2＝1；④2x 2－y 2＝4. A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①④解析：①可化为y ＝12x －1，表示y 是x 的一次函数； ②可化为y ＝23x 2－13，表示y 是x 的二次函数；③当x ＝5时，y ＝2或y ＝－2，不符合唯一性，故y 不是x 的函数；④当x ＝2时，y ＝±2，故y 不是x 的函数．5．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为( D )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D ．{x |52<x <5}解析：由题意可知0<y <10，即0<10－2x <10，解得0<x <5，又底边长y 与腰长x 应满足2x >y ，即2x >10－2x ，x >52.综上可知52<x <5.6．函数y ＝2x ＋1x －3的值域是( B )A ．(－∞，3)∪(3，＋∞)B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，2)∪(3，＋∞)解析：∵y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，又∵7x －3≠0，∴y ≠2，∴函数y ＝2x ＋1x －3的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 7．下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A ．y ＝x ＋1和y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2解析：只有D 是相等的函数，A 与B 中定义域不同，C 是对应法则不同．8．下列各组中的两个函数为相等函数的是( D ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝(x ＋1)(x －1) B ．f (x )＝(2x －5)2，g (x )＝2x －5C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1D ．f (x )＝(x )4x 与g (t )＝⎝⎛⎭⎪⎫t t 2 解析：A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1，或x ≤－1}，它们的定义域不相同，不是相等函数；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥52，g (x )＝2x －5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数； C 中，f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1的对应关系不同，不是相等函数；D 中，f (x )＝(x )4x ＝x (x >0)与g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫t t 2＝t (t >0)的定义域和对应关系都相同，它们相等．二、填空题9．设集合A ＝[－2,10)，B ＝[5,13)，则∁R (A ∩B )＝(－∞，5)∪[10，＋∞)．(用区间表示)解析：∵A ＝[－2,10)，B ＝[5,13)，∴A ∩B ＝[5,10)， ∴∁R (A ∩B )＝(－∞，5)∪[10，＋∞)．10．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈A 的值域为{－1,1,3}，则定义域A 为{1,2,3}．解析：值域为{－1,1,3}，即令f (x )分别等于－1,1,3求出对应的x ，则由x 组成的集合即为定义域{1,2,3}．11．一个面积为100cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为y ＝50x (x >0)．解析：由梯形面积公式得12(x ＋3x )·y ＝100，所以2xy ＝100，即y ＝50x (x >0)．三、解答题12．求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1＋1； (2)y ＝1－x 21＋x 2.解：(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1， 所以0<21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]．13．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32的定义域和值域都是[1，b ](b >1)，求b 的值．解：f (x )＝12(x －1)2＋1，作出y ＝12(x －1)2＋1的图像，观察图像可知在[1，b ]上，当x ＝1时，f (x )min ＝1；当x ＝b 时，f (x )max ＝12b 2－b ＋32. ∴f (x )的值域是[1，12b 2－b ＋32]． 又∵f (x )的值域是[1，b ]，∴12b 2－b ＋32＝b ，∴b ＝1(舍)或b ＝3.∴b ＝3.——能力提升类——14．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是[0,3)．解析：当a ＝0时，符合题意．当a ≠0时，分母恒不为零，则判别式小于零，即Δ＝4a 2－12a <0,0<a <3.综上，a 的取值范围是[0,3)．15．已知函数f (x )＝11＋x .(1)求f (2)与f (12)，f (3)与f (13)．(2)由 (1)中求出的结果，你能发现f (x )与f (1x )有什么关系？并证明你的发现．(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12 013)． 解：(1)∵f (x )＝11＋x， ∴f (2)＝11＋2＝13，f (12)＝11＋12＝23，f (3)＝11＋3＝14，f (13)＝11＋13＝34.(2)由(1)中求的结果可发现f (x )＋f (1x )＝1，证明如下： f (x )＋f (1x )＝11＋x ＋11＋1x＝11＋x ＋x1＋x ＝1＋x 1＋x＝1.由Ruize收集整理。

课时作业函数的表示法基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．设函数()＝＋，(＋)＝()，则()的解析式是( )．()＝＋．()＝－．()＝－．()＝＋【解析】因为(＋)＝()＝＋，所以令＋＝，则＝－，()＝(－)＋＝－.所以()＝－.【答案】．函数()＝－的图象是( )【解析】由绝对值的意义可知当≥时＝－，当<时，＝－，选.【答案】．已知函数()＝(\\(，>，＋，≤，))且()＋()＝，则等于( )．－．－．．【解析】当>时，()＋()＝＋＝⇒＝－，与>矛盾；当≤时，()＋()＝＋＋＝⇒＝－，适合题意．【答案】．已知函数＝(\\(＋，≤，－，>，))则使函数值为的的值是( )．－．或－．或－．或－或－【解析】当≤时，＋＝，＝－.当>时，－<，不合题意．【答案】．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度和时间之间的关系，其中不正确的有( )．个．个．个．个【解析】对于第一幅图，水面的高度的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．【答案】二、填空题(每小题分，共分)．已知函数()在[－]上的图像如图所示，则()的解析式为．【解析】当∈[－]时，＝＋；当∈(]时，＝－，故()的解析式为()＝(\\(＋，－≤≤，－()，<≤.))【答案】()＝(\\(＋，－≤≤，－()，<≤.))．如图，函数()的图象是折线段，其中，，的坐标分别为()，()，()，则[()]＝.【解析】由图象可知()＝，()＝，[()]＝.【答案】．已知≠，函数()满足＝＋，则()＝.【解析】＝＋＝＋，所以()＝＋.【答案】＋三、解答题(每小题分，共分)．() 已知函数()＝，求(－)；()已知函数(－)＝，求()；。

2．2函数的表示方法时间： 45 分钟满分： 80 分班级 ________姓名 ________分数 ________一、选择题： ( 每题 5 分，共 5×6＝ 30 分)1．函数y＝f ( x) 的图像与直线x＝a 的公共点共有()A．0 个B． 1 个C．0 个或 1 个 D ．可能多于 1 个答案： C分析：设函数的定义域是，由函数的定义知，当∈D时，则仅有一个函数值f() ，D a a也就是在函数y＝ f ( x)图像上横坐标为 a 的点仅有点( a，f ( a))，即此时函数的图像与直线x ＝a 有1个公共点；当 a 不在函数 y＝ f ( x)的定义域中时，则函数图像上不存在横坐标为a 的点，则此时函数的图像与直线x＝ a 无公共点，应选 C.| x|2．函数f ( x) ＝x＋x的图象是 ()答案： Cx＋1， x>0分析：因为 f ( x)＝，因此选 C.x－1， x<0x＋x＞，3．已知f ( x) ＝πx＝，则f{f[f(－1)]}等于()0x＜，A．π－ 1 B ．πC．π＋ 1 D ． 0答案： C分析：因为－ 1＜ 0，因此f ( － 1) ＝0，又f (0) ＝π，π ＞ 0，故f ( π ) ＝π ＋ 1.4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通拥堵逗留了一段时间，后为了赶时间不停地加快速度行驶．与以上事件切合得最好的图象是()答案： C分析：小明一开始匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校愈来愈近，故消除A；而后因交通拥堵逗留了一段时间，此时小明与学校的距离不变，故消除D；最后为了赶时间不停地加快速度行驶，故消除 B. 应选 C.－x ．设函数 f ( x ) ＝x ＝ ，则f ( f ( f ( a )))(a <0) ＝()5xA ．0B ．1C ．－ 1D ． a 答案： B 分析： ∵ <0，∴ f ( a ) ＝1， ( f ( ))＝ (1) ＝－1. ∴ ( f ( f ( ))) ＝ (－1)＝1. 应选 B.a 1－ xfa ffaf－ x 21＋ x ＝1 6．已知 f 1＋ x 2，则函数 f ( x ) 的分析式是 ( )x 2xA. 1＋ x 2 B ．－ 1＋ x 2 2x x C. 1＋ x 2 D ．－ 1＋ x 2答案： C1－x1－ t2t 2x分析： 由题意，令 t ＝ 1＋x ，则 x ＝ 1＋ t ，则 f ( t ) ＝ 1＋t 2，即 f ( x ) ＝ 1＋ x 2，应选 C. 二、填空题： ( 每题 5 分，共 5×3＝ 15 分)7．已知 A ＝ {1,2,3,4,5} ，对应法规 f ：x →(x － 3) 2＋ 1，设 B 为 A 中元素在 f 作用下的像集，则 B ＝ ________.答案： {1,2,5}分析： 1→(1 － 3) 2＋ 1＝5,2 →(2 － 3) 2＋ 1＝2,3 →(3 － 3) 2＋ 1＝1,4 →(4 － 3) 2＋ 1 ＝ 2,5 →(5 － 3) 2＋ 1＝ 5.∴ B ＝ {1,2,5} ．18．已知函数 f ( x ) 的图象是两条线段 ( 如图，不含端点 ) ，则 f f 3 ＝ ________.1答案： 3x ＋ 1，－ 1<x <0 分析： 由图象，可得函数f ( x ) ＝.x － 1， 0<x <1112221∴ f 3 ＝ 3－ 1＝－ 3， f － 3 ＝－ 3＋1＝ 3.1 2 1 ∴ f f 3 ＝ f －3 ＝3.19．若函数 f ( x ) 满足 2f ( x ) ＋ fx ＝3x ( x ≠0) ，则 f ( x ) ＝ ________.答案： 2 1x －x1 11 3分析： 函数 f ( x ) 满足 2f ( x ) ＋ f x ＝ 3x ，用 x 替代表达式中的x ，获得 2fx ＋ f ( x ) ＝ x ，11联立两个方程消去f x ，可得 f ( x ) ＝ 2 x －x .三、解答题：( 共 35 分， 11＋ 12＋12) 10．画出以下函数的图像．① y＝2x－3， x∈ z 且| x|≤2②y＝| x－5|＋| x＋3|③ y＝ x2－2| x|－1x2＋ 2xx④＝2－ 2x xy－ x解：①＝2－ 3x ＝± 2，± 1,0 ，图示为 5 个点 ( －2，－ 7)( － 1，－ 5)(0 ，－ 3)(1 ，y x－1)(2,1)②y＝| x－5|＋| x＋3|－2x＋2x<－＝8－3≤ x2x－ 2x③y＝ x2－2| x|－1x2－2x－1＝x2＋2x－1x xx2＋2x x④y＝－ x2－2x x＜11．求以下函数的分析式：(1)已知 f ( x)是一次函数，且满足2f ( x＋3)－ f ( x－2)＝2x＋21，求 f ( x)；(2)已知 f ( x)满足3f ( x)＋2f (－ x)＝4x，求 f ( x)．解： (1) 设f ( x) ＝ax＋b( a≠ 0) ，则 2f ( x＋ 3) －f ( x－ 2)＝2[ a( x＋ 3) ＋b] － [ a( x－ 2) ＋b]＝2ax＋ 6a＋ 2b－ax＋ 2a－b＝ax＋8a＋ b＝2x＋21，∴a＝2,8 a＋ b＝21，∴a＝2， b＝5，∴ f ( x ) ＝ 2x ＋ 5.(2)3 f ( x ) ＋ 2f ( － x ) ＝ 4x ， ①用－ x 替代 x ，得 3f ( － x ) ＋ 2f ( x ) ＝－ 4x ， ② ①× 3－②×2 得 5f ( x ) ＝20x ， ∴ f ( x ) ＝ 4x .12．以以下图，等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD ＝ 2a ，BC ＝ a ，∠ BAD ＝45°，作直线 MN ⊥AD 交 AD 于 M ，交折线 ABCD 于 N ，设 AM ＝x ，试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左边的面积 y 表示成 x 的函数，并写出函数的定义域．解： 作 BH ⊥ AD ， H 为垂足， CG ⊥ AD ， G 为垂足，依题意，a 3则有 AH ＝ 2， AG ＝ 2a ，①当 M 位于点 H 的左边时，点 N 在 AB 上，因为 AM ＝ x ，∠ A ＝45°，∴ MN ＝x .△AMN12a∴ y ＝ S ＝ 2x (0 ≤ x ≤ 2) ．②当 M 位于 HG 之间时，因为 AM ＝x ，MN ＝ a ， BN ＝ x －a，221 aa∴ y ＝S 直角梯形 AMNB ＝ 2· 2[ x ＋ ( x － 2)]1 a2 a3 ＝ 2ax － 8 ( 2＜ x ≤2a ) ．③当 M 位于点 G 的右边时，因为 AM ＝ x ， MN ＝MD ＝ 2a － x ， ∴ y ＝S 梯形 ABCD － S △MDN1 a 12＝ 2·2(2 a ＋ a ) －2(2 a － x ) 23a122＝－ (4 a － 4ax ＋ x )125a 2 3＝－ 2x ＋2ax － 4 ( 2a ＜ x ≤2a ) ． 综上，1 2a2x ， x ∈ [0 ， 2] ，y ＝1 a 2a3ax － ，x ∈2， a ] ，2821 25a 23－ 2x ＋ 2ax － 4 ，x ∈ 2a ， 2a ].。

2.2 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．1．函数的三种表示法(1)列表法——用________的形式表示两个变量之间函数关系的方法． (2)图像法——用________把两个变量间的函数关系表示出来的方法．(3)解析法——一个函数的对应关系可以用________的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．2．分段函数：对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．一、选择题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x(x >0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋75．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5x f x ＋x，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图像上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为_________________________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________．9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 x f [fx ＋x，则f (7)＝______________.三、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图像过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图像，并根据图像回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x 10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图像一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等． 2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．2．2 函数的表示法知识梳理1．(1)表格 (2)图像 (3)自变量 作业设计1．C [由x ＋3x2·y＝100，得2xy ＝100.∴y＝50x(x>0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x1－x ，则有f(t)＝1t 1－1t＝1t －1，故选B .]4．B [由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2， 代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1， 故选B .]5．A [∵3<6，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.]6．B [当t<0时，S ＝12－t 22，所以图像是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t>0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f(x)＝－x 2＋23x(x≠0)解析 ∵f(x)＝2f(1x)＋x ，①∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x .②由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x3，即f(x)＝－x 2＋23x(x≠0)．9．6解析 ∵7<9，∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.10．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝f(4)知⎩⎪⎨⎪⎧＝c ，＝16a ＋4b ＋c ，＝，得4a ＋b ＝0.①又图像过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca.所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解 2连线，描点，得函数图像如图： (1)根据图像，容易发现f (0)＝3， f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图像，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]， 当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1，所以选B.]13．解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。