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3.3实对称矩阵的特征值和特征向量

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实对称矩阵特征值与特征向量的性质

实对称矩阵特征值与特征向量的性质
实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
设是n阶实对称矩阵A的特征值, (a1, a2 ,, an )T
是对应的特征向量,即A 两边取共轭，得
A (1)
A (aij )nn
A,
(a , 1
a 2
,
,
an
)T
,由于A为实对称阵，故
AT
AT
A,
（1）两端取转置，得：
2 4 2
1 2
2
A E 2 2 4 ( 2)2 ( 7)
2
4 2
1 2 2,3 7.
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T为属于特征值2的线性无关的特
征向量.
3 7的特征向量为3 (1，2， 2)T .
2 2 1
2
P 1
2
3
1
0
0 1
2 , 2
1 1 0
B 4 3 0 1 2 1,3 2.
1 0 2
对1 2 1,
2 1 0 1 0 1
B
E
4
1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 , 1 (1,2, 1)T .
0
线性无关 的特征向 量只有一个
1 2 2 例：设A 2 2 4 ，求可逆阵P，使P1AP为对角阵。
1T A 11T .
1T A2 11T2.
21T2 11T2. (2 1)1T2 0.
1T2 0.
例：设1，1，1是三阶实对称方阵A的3个特征值，
1 （1，1，1）T,2 （2，2，1）T是A的属于特征值1的特
征向量，求A的属于特征值1的特征向量。
设A的属于特征值 1的特征向量为3 （x1，x2，x3）T ,

第三节实对称矩阵的特征值与特征向量

第三节实对称矩阵的特征值与特征向量

证明定理3： 设实对称阵 A 的互不相等的特征值为 1,2, ,s
它们的重数依次为 r1,r2, ,rs 则 r 1 r 2 rs n
由定理，特征值 特征向量为 r i 个。
A 11
1 2
11
r2 r1
1 0
1 3
10
1 0
0 1
1 0
x1 x3, x2 0.
令 x3 1 ，得基础解系
1
取
a3
0
1
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即可.
1
0 .
1
2. Schmidt正交化、单位化法。
定义5：
正交向量组：非零实向量 1,2, ,s两两正交。
A
2 1
1 1 22 10
1
2
是正交矩阵.
0
2 2
0
0
1 1 2 2
解： ∵A 的每个列向量都是单位向量,且两两正交,
∴A是正交矩阵.
定义： 若 P 为正交矩阵，则线性变换 yP称x为正交变换. 设y Px为正交变换，则有： y yT y xTPTPx xT x x .
正交变换不改变线段的长度.
称为向量的长度（或模，或范数）
若 1 , 称 为单位向量。
当前您浏览到是第二页，共三十八页。
把向量单位化： 若 0, 则 0
考虑 ( , )12(,)1221
即 的模为1，为单位向量，称为把 单位化。
向量长度的性质：
（1）非负性： 当 0 时， 0 当 0时， 0
（2）齐次性： k k
正交化 : 1 ( 1 ,令 1 ,0 a) 2 T ,2 1 , ( a1 3,0 ,1 ) 2 T [1,122]1,

实对称矩阵的特征值和特征向量

实对称矩阵的特征值和特征向量

A (aij )nn A (aij )nn
实对称矩阵的性质:
1.(定理4.12)实对称矩阵的特征值都是实数.
推论 实对称矩阵的特征向量都是实向量.
2.(定理4.13)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.
定理4.4 矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 定理2.15 正交向量组必线性无关.
推论 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 3.实对称矩阵的属于ni重特征值的线性无关的特征向量恰有ni个. 4. n 阶实对称矩阵恰有n个线性无关的特征向量, 进而有n个单 位正交的特征向量. 5. 实对称矩阵必可对角化, 即 若A为实对称矩阵 , 则可逆矩阵P, 使P1 AP为对角矩阵 .
7.(定理4.14)若A为实对称矩阵 , 则正交矩阵Q, 使1.求A的所有互异的特征值 1 , 2 ,, m , 其中i的重数为ni , i 1,2,, m. 2.i , 解方程组(i E A) x 0, 求A的属于i的线性无关的特征向量 i1 , i 2 ,, ini . 3.利用Schmidt正交化方法将 i1 , i 2 , , ini 正交化, 再单位化, i 1,2, , m. 设所得的单位正交向量 组为1 , 2 , , n . 4.令Q ( 1 , 2 , , n ), 则Q为正交矩阵, 且 1 1 2 Q 1 AQ 2 m m
§4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 实对称矩阵: 对称的实矩阵. 共轭矩阵: 性质:
(1) A为实对称矩阵 A A AT . (2) AB A B , kB k B (k C ). (3)若A为实对称矩阵, 则 , R n , 有( A , ) ( , A ).

求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量

求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量

求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）摘要在特征值计算问题上，QR方法具有里程碑意义。

QR 方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。

QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。

特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解。

关键词：特征值；特征向量；QR分解Solve Real Symmetry Three Diagonal Matrix Eigenvalue AndEigenvectorABSTRACTValues in the feature, the QR method has milepost sense. QR method is a transformation method, is the calculation of the general matrix ( small and medium-sized matrix ) one of the most effective methods of eigenvalue problems. The QR method has fast convergence, algorithm stability. Because the eigenvalues and eigenvectors can reveal some important properties of matrix from the nature, and thus obtain their exact solutions is very important, but the calculation is very complicated mathematical problems. Especially when the high rank of matrix, the calculation is very large, and is not easy to find the exact solution.Key words:eigenvalue; eigenvector; QR decomposition目录1 绪论 (1)1.1 问题重述 (1)1.2研究方法 (1)2 QR方法 (3)2.1 QR分解的概念 (3)2.2 Givens方法 (3)2.3豪斯霍尔德方法（镜像变换） (5)2.2.1 Householder 矩阵和Householder变换 (5)2.2.2QR算法 (6)3 QR算法C实现过程 (8)3.1主要参数 (8)3.2组成模块 (8)3.3程序改错 (8)4 测试运行 (11)参考文献……………………………………………………………………………….…….. 附录…………………………………………………………………………….……………..1 绪论1.1 问题重述（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用QR 方法求实对称三对角矩阵全部特征值和特征向量的通用子程序。

线性代数 实对称矩阵的特征值与特征向量

线性代数 实对称矩阵的特征值与特征向量

实对称矩阵的特征值与特征向量主要内容◼矩阵共轭的概念◼实对称矩阵的性质⚫矩阵共轭的概念定义(),ij m n A a ⨯=并称A 是A 的共轭矩阵.就是对它的每个元素取共轭. 记为对复数域上的矩阵(或向量)取共轭(1)kA k A =(2);A B A B +=+(3) ;AB AB =()(4) ;T T A A =(5);A A =()11.A A −−=(6)若A 可逆, 则(k 为复数)共轭矩阵的性质⚫实对称矩阵的特征值与特征向量定理1实对称矩阵的特征值都是实数, 相应的特征向量可取为实向量.证明：设λ是实对称矩阵A 的任意特征值，且x 是属于λ特征向量, xAx λ=上式两边取共轭,x Ax λ=即.x x A λ=由A 是实对称矩阵，,A A =即得故因此有.x x A λ=上式两边同时转置后、再右乘x , 得T T T T x A x x Ax x xλ===即T T x x x xλλ=T T x x x xλλ==右边左边即,λλ=说明λ是实数.这样当实对称矩阵的特征值都是实数时, 齐次方程组(λE −A )x =0是实系数的方程组, 因此必有实的基础解系, 所以对应的特征向量可取为实向量.而()1212T n n x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭012≠=∑=n i ix注意若A是一般的实矩阵而非对称的，则它的特征值与特征向量完全可能是复数.定理2证,A αλα=对第一个等式两边转置并右乘β, 设A 是实对称矩阵，特征值的特征向量必正交.则属于A 的不同设λ, μ是A 的两个不同特征值,α, β是分别属于λ,μ的特征向量，则有A βμβ=T T TA αβλαβ=得由于A =A T , A β=μβ，()0T λμαβ−=由于λ≠μ，代入上式左边并移项得，故αT β=0，即α与β正交. 证毕.定理2指出，实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量不仅是线性无关的，是相互正交的.这为寻找实对称矩阵的正交特征向量组提供了方法. 而且。

3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量

3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) .
Step3 利用施密特正交化方法，把向量组 i1 , i2 , ... , ini 正交化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) . 再将所得正交向量组单位化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) .
8
0
4
6

0 4 1 2

3
6
2
1

A为对称矩阵
A对称矩阵的特征值都是实数.
说明：若A是实数域上的对称矩阵，则
a11 a12 L
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann


1

,
0
2

2


T 2

T 1
1 1
1

1

0

1

1 2
1

1

0


1 2


1 2

1
再单位化得
1

(
1 2
,
1 2
,
0
)T
,
2

(
1 , 6
1, 6
2 )T 6
1
设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交, 故
(1 , x) = x1 + x2 + x3 = 0

3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量

P13P13-4
第三章
5.Def.: 设α , β ∈ Rn , 如果 αTβ = 0, 则称向量 α , β 正交. 则称向量 正交. 注: (1) Rn 中的零向量与任意向量都正交; 中的零向量与任意向量都正交 都正交; (2) 与自身正交的向量只能是零向量; 与自身正交的向量只能是零向量; (3) 正交的几何意义: αT β = || α || · || β || cos θ 正交的几何意义: 6.Def.: 若一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零 若一个非零向量组( 非零向量组 向量) 中的向量两两正交, 则称非 向量两两正交 向量) α1 , α2 , … , αs (s ≥ 2) 中的向量两两正交, 则称非 零向量组 α1 , α2 , … , αs 为一个正交向量组. 为一个正交向量组 正交向量组. 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量， 若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称 向量 该向量组为正交单位向量组 正交单位向量组. 该向量组为正交单位向量组. 是一个正交向量组, 7.Th.: 设 α1 , α2 , … , αs 是一个正交向量组, 则α1,α2 , …,αs 线性无关. 线性无关.
P13P13-3
n
i=1
第三章
3.Def.: 设 α = (a1 , a2 , … , an)T ∈ Rn ，称 (α,α ) = α Tα (a 为向量 α 的长度(或模)，记作 || α || . 即 的长度(
α = αα=
T
∑a
i=1
n
2 i
单位向量. 如果 || α || = 1，则称 α 为单位向量 ， 1 ∀ α ≠ 0 ，则 为单位向量或标准化向量. α 为单位向量或标准化向量. 4. 长度的性质

实对称矩阵的特征值和特征向量

由于对称矩阵A的特征值 i 为实数,所以齐次
线性方程组
(A i E)x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解
系, 从 而 对 应 的 特 征 向 量 可以 取 实 向 量.
P4/12
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
定理3.10 设1, 2是对称矩阵的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量. 若1 2, 则p1, p2正交.
二、用正交矩阵将对称矩阵对角化的步骤
1) 作 E A 0 求诸i, i = 1, 2, …, m
2) 解 (iE A)x 0 得基础解系
i1 ,i 2 ,L , r i,nri i r (i E A)
3) 正交化得 i1 ,i 2 ,L i,nri
4) 单位化得 ij
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
1
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
一、对称矩阵的性质
本节所提到的对称矩阵, 除非特别说 明, 均指实对称矩阵．
定理3.9 对称矩阵的特征值为实数.
证明 设复数为对称矩阵A的特征值 ,复向量x为
对应的特征向量,
P8/12
§3 实对称矩阵的特征值和特征向量
将1 = 3代入(EA) x = 0, 得基础解系 a1 = (2, 1, 0)T, a2 = (2, 0, 1)T.
将其正交化：
b1 = a1,
b2
a2

a2 b1
, ,
b1 b1

b1

2, 0,1T

4 2,1, 0T
例3.6 设三阶对称阵A的特征值1 = 0, 2 = 1(二重). 属于1的特征向量为a1 = (0, 1, 1)T, 求A. 解 对应于2 = 1的线性无关的特征向量有两个, 设为a2, a3. 则a2, a3均a1与正交, 即满足

线性代数3.3实对称矩阵的特征值和特征向量


05
实对称矩阵的应用举例
在二次型中的应用
二次型的标准型
通过实对称矩阵的正交变换，可 以将二次型化为标准型，从而简 化问题的求解。
二次型的正定性
利用实对称矩阵的特征值性质， 可以判断二次型的正定性，进而 解决优化问题。
二次曲面分类
实对称矩阵的特征值和特征向量 可用于二次曲面的分类，如椭球 面、双曲面等。
1. 求出矩阵$A$的特征多项式$f(lambda)$。
3. 对于每个特征值$lambda_i$，求出对应的特征向量 $alpha_{i1}, alpha_{i2}, ldots, alpha_{ik}$，其中$k$是 $lambda_i$的重数。
5. 计算$P^{-1}AP = Lambda$，其中$Lambda = text{diag}(lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n)$。
线性代数3.3实对称 矩阵的特征值和特征
向量
目录
• 引言 • 实对称矩阵的应用举例 • 总结与展望
01
引言
课程背景与目标
课程背景
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个学科领域。实对称矩阵作为一 类特殊的矩阵，具有很多重要的性质和应用。特征值和特征向量是矩阵理论中的 核心概念，对于理解矩阵的性质和解决实际问题具有重要意义。
迭代法
通过构造迭代序列来逼近特 征值和特征向量，如幂法、 反幂法等。
特征值与矩阵性质的关系
特征值与矩阵的行列式
矩阵的所有特征值的乘积等于其行列式 的值。
特征值与矩阵的秩
如果矩阵至少有一个非零特征值，则 其秩大于等于1；如果矩阵所有特征
值都为零，则其秩为零。
特征值与矩阵的迹

实对称矩阵得特征子和特征向量


补充例题： 1) A, B为n阶矩阵，且 A 0，证明 AB ∽ BA。
4 5 100 2)设A 2 3 , 求A .
3) A33有特征值 1,2,3; B A 3 A I , 则
3
B能否与对角矩阵相似？ 如能，给出 相似的对角矩阵。
§4.3 实对称矩阵得特征值和特征向 量
3 (2,1,1) 正交化。
T
（三）正交矩阵 定义4.9 设n阶实矩阵，满足 QTQ=I 则称Q为正交矩阵。
正交矩阵存在性：
如 cos I是正交阵， sin sin 也是正交阵。 cos
正交矩阵的性质：
1）若Q为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1。
即
如果一个分块对角矩阵 的所有子块都是约当块 ， J1 J2 即J J s 其中J1 , , J s都是约当块，则称 J为约当形矩阵， 或称约当标准形。
定理4.7 任意一个n阶矩阵A，都存在n阶 可逆矩阵T，使得T 1 AT J。即任意一个 n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似。
（二）阶矩阵与对角矩阵相似的条件
定理4.5 n阶矩阵A与n阶对角矩阵相似 矩阵A有n个线性无关的特征向量 。其中 1 ＝ . n
推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值 1， ，n ; 1 则A与对角矩阵＝ 相似。 n
向量组，且与α 1， α 2，…，αs可以相互线 性表示。
例.将线性无关的向量组 1＝（ 1， 1， 1， 1 ）,
T
2 (1,2,2,1) , 3 (2,3,1,6) 正交化。
T T
练习 . 将线性无关的向量组
1＝（ 1， 1， 1 ）, 2 (1,1,1) ,
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1
s
s
(s , s1 ) (s1, s1 )
s1
(s (2
, ,
2 2
) )
2
(s (1
, ,
1 1
) )
1
则 1 , 2 , … , s 是一个正交向量组, 且
{ 1 , 2 , … , s } { 1 , 2 , … , s }
P13-6
第三章
8. 施密特(Schmidt) 正交化方法
设 1 ,2 ,…, s ( s 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令 1 1
4. 长度的性质
(1) || || 0 , 且 || || = 0 = 0 ;
(2) || k || = | k | ·|| || ;
(3) |( , )| || || ·|| || , 且
|( , ) | = || || ·|| || , 线性相关.
P13-4
第三章
5.Def.: 设 , Rn , 如果 T = 0, 则称向量 , 正交.
注: (1) Rn 中的零向量与任意向量都正交; (2) 与自身正交的向量只能是零向量;
(3) 正交的几何意义: T = || || ·|| || cos
6.Def.: 若一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零
其中 , , 为 Rn 中的任意列向量，k R .
P13-3
第三章
3.Def.: 设 = (a1 , a2 , … , an)T Rn ，称 (,) T
为向量 的长度(或模)，记作 || || . 即
n
T ai2
i1
如果 || || = 1，则称 为单位向量.
0 ，则 1 为单位向量或标准化向量.
A-1= AT
3.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 A 的列向量组(或行向 量组) 为正交单位向量组.
P13-8
第三章
二、正交矩阵
1.Def.: 设 A 为一个 n 阶实矩阵，若 A满足 ATA = E (或AAT = E )
则称 A 为一个 n 阶正交矩阵.
2.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 A 可逆 A-1= AT
2
2
(2, 1) (1, 1)
1
3
3
(3, 2 ) (2 , 2 )
2
(3, 1) (1, 1 )
1
s
s
(s , s1 ) (s1, s1 )
s1
(s (2
, ,
2 2
) )
2
(s (1
, ,
1 1
) )
1
例1 求与向量组
1 = (1, 1, 1)T ,2 = (1, -2, -3)T ,3 = (1, 2, 2)T
中的两个列向量，则 n T a1b1a2b2anbn aibi i1
称为向量 与 的内积. 内积T 也可记作(, )
2. 内积的性质
(1) ( , ) = ( , ) ;
(2) (k , )= k( , );
(3) ( + , )= (, )+ ( , );
(4) ( , ) 0 , 且( ,)= 0 = 0 .
a2,
,
an
)
b2 bn
n
a1b1 a2b2 anbn aibi
i1
称为向量 与 的内积. 内积T 也可记作(, )
P13-2
第三章
一、向量的内积 1. Def.: 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn
向量) 1 , 2 , … , s (s 2) 中的向量两两正交, 则称非 零向量组 1 , 2 , … , s 为一个正交向量组.
若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称 该向量组为正交单位向量组.
7.Th.: 设 1 , 2 , … , s 是一个正交向量组, 则1,2 , …,s
线性无关.
P13-5
第三章
8. 施密特(Schmidt) 正交化方法
由一个线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组.
设 1 ,2 ,…, s ( s 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令 1 1
2
2
(2, 1) (1, 1)
1
3
3
(3 , (2,
2 ) 2 )
2
(3, 1) (1, 1 )
P13-9
第三章
三、实对称矩阵特征值的性质
1. 实对称矩阵的特征值都是实数. 2. 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量相互正交. 3. 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得
Q-1AQ 成为对角矩阵.
四、实对称矩阵对角化方法
例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
特征值 0 的一个特征向量为1= (0, 1, 1)T . 求 A .
0 1 0
1 0 0
P 1 0 1 , A 0 1 2 1 2
1 0 1
0 1 2 1 2
3 2 0 (1) A 2 2 2
0 2 1
E A ( 2 ) ( 5 ) ( 1 )
P13-10
第三章
四、实对称矩阵对角化方法
例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
1 2 2
(2)
A
2
1
2
,E A (-5 ) ( 1 )2
2 2 1
例2 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 0 , 1 (二重), 属于
3.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 A 的列向量组(或行向 量组) 为正交单位向量组.
4. 正交矩阵的性质 (1) 若 A 是正交矩阵，则 A-1 也是正交矩阵;
(2) 若 A , B 均为 n 阶正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵.
(3) 若 A 是正交矩阵，则 detA = -1 或 1 .
等价的一个正交单位向量组.
ห้องสมุดไป่ตู้
P13-7
第三章
例2 已知
1 1 ,1 , 1 T ,2 1 ,1 ,3 T
求 3 使之与1 , 2 都正交.
二、正交矩阵
1.Def.: 设 A 为一个 n 阶实矩阵，若 A满足 ATA = E (或AAT = E )
则称 A 为一个 n 阶正交矩阵.
2.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 A 可逆.
第三章
§3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
向量的内积 正交矩阵 实对称矩阵特征值的性质 实对称矩阵对角化方法
P13-1
第三章
一、向量的内积
1.Def.: 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn
中的两个列向量，则
b1
T
(a1 ,