高考数学合情推理与演绎推理

专题19 演绎推理与合情推理解题技巧【知识要点】1．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理．当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理．数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理．(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)演绎推理的一般模式——“三段论”①大前提——已知的一般性的原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想3.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法.是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.4.注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明.1．直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．推证过程如下：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法的特点：先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做_________．(2)反证法的特点：先假设原命题__________成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．2.关于反证法使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等.反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾；(3)下结论.矛盾的主要类型：(1)与假设矛盾；(2)与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾；(4)自相矛盾.1.数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善.2.证明代数恒等式的关键是第二步，将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论.3.用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利用证明不等式的方法(如放缩)把式子化为n ＝k ＋1成立时的式子.4.用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“n ＝k 到n ＝k ＋1”增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找其变化规律.5.由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法，研究与正整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项a n 或前n 项和S n ，解决与自然数有关的探索性、开放性问题等.这里猜想必须准确，证明必须正确.既用到合情推理，又用到演绎推理.猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析，再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，二者相辅相成.题型典例分析1.归纳法例1已知数列{}{},n n a b 满足，，则2017b =（ ）A. 20172018B. 20182017C. 20152016D. 20162015【答案】A 【解析】数列{}{},n n a b 满足，，，，由此猜想，故选A.【规律方法总结】本题通过观察数列的前几项，归纳出数列通项来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.练习1.将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16……………则在表中数字2017出现在（）A. 第44行第80列B. 第45行第80列C. 第44行第81列D. 第45行第81列【答案】D练习2. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则n=A. 35B. 48C. 63D. 80【答案】C【解析】根据规律得,所以,选C.练习3．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A. nB. 2nC. 1n -D. 1n +【答案】D【解析】最大的正方形面积为1，当n=1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为1n +，选D. 练习4.九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则7S 为（ ）A. 1089B. 680C. 840D. 2520【答案】A【解析】当7n =时，序列如图：故练习5. 如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．【答案】194【解析】 由题意得，前19行共有个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.练习6．(导学号：05856327)观察下列等式：1＝12＋13＋16；1＝12＋14＋16＋112；1＝12＋15＋16＋112＋120；…，以此类推，1＝12＋16＋17＋＋120＋130＋142，其中n∈N*.则n＝________.【答案】12【解析】1＝12＋(12－13)＋13，1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋14，1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋15，…，以此类推，故1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋(15－16)＋(16－17)＋1 7＝12＋16＋17＋112＋120＋130＋142，故n＝12.故答案为：12【规律方法总结】：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.练习7. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）．（2）三角恒等式：．证明如下：左边2.类比法例2. 二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度38V r π=,则其思维测度W=（ ）A. 42r πB. 43r πC. 44r πD. 46r π【答案】A【解析】由题意得，二维空间中，二维测度的导数为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度．由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故42W r π=．选A ．练习1. 如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.运用类比推理，若对∀n ∈N *，恒成立，则实数A＝________.【答案】ln2练习2.我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC 的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )A. S2＝S＋S＋SB.C. S＝S1＋S2＋S3D.【答案】A【解析】如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝(12BC·AD)2＝14BC2·AD2＝14BC2·(OA2＋OD2)＝14(OB2＋OC2)·OA2＋14BC2·OD2＝(12OB·OA)2＋(12OC·OA)2＋(12BC·OD)2＝.练习3. 对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．思考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为( )A. (－3，－1)∪(1,2)B. (1,2)C. (－1,2)D. (－3,2)【答案】A【解析】由关于x的不等式的解集为，得的解集为(－3，－1)∪(1,2)，即关于x的不等式的解集为(－3，－1)∪(1,2)．练习4 ．已知数列{a n}为等差数列，若a m＝a，a n＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则.类比上述结论，对于等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，若b m＝c，b n＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到b m＋n等于( )A.mn mndc- B.mm nndc-C.nn mmdc- D.nm nmdc-【答案】C【解析】观察{a n }的性质：，则联想nb －ma 对应等比数列{b n }中的nm d c，而{a n }中除以(n －m )对应等比数列中开(n －m )次方，故b m ＋n ＝n n m md c -. 练习5. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则1227用算筹表示为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意得到个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，分别在所给的横式和纵式中选择1227中每个数字对应的图，可选答案为B 。

一、教学目标1. 让学生理解合情推理和演绎推理的定义和特点。

2. 培养学生运用合情推理和演绎推理解决问题的能力。

3. 引导学生体会数学的逻辑性和严谨性，提高学生的数学思维能力。

二、教学内容1. 合情推理的定义和分类：归纳推理、类比推理。

2. 演绎推理的定义和分类：演绎推理、反证法。

3. 合情推理和演绎推理在数学中的应用实例。

三、教学重点与难点1. 重点：合情推理和演绎推理的定义、特点和分类。

2. 难点：合情推理和演绎推理在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解合情推理和演绎推理的定义、特点和分类。

2. 通过举例、引导学生参与课堂讨论，培养学生的实际应用能力。

3. 布置练习题，巩固所学知识。

五、教学过程1. 引入新课：通过生活中的实例，引导学生思考如何运用合情推理和演绎推理解决问题。

2. 讲解合情推理：介绍归纳推理和类比推理的定义、特点和分类。

3. 讲解演绎推理：介绍演绎推理和反证法的定义、特点和分类。

4. 应用实例：分析实际问题，运用合情推理和演绎推理进行解决。

5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

7. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学内容1. 合情推理和演绎推理在数学证明中的应用。

2. 合情推理和演绎推理在数学问题解决中的应用。

3. 合情推理和演绎推理在数学探究活动中的应用。

七、教学重点与难点1. 重点：合情推理和演绎推理在数学证明、问题解决和探究活动中的应用。

2. 难点：如何灵活运用合情推理和演绎推理解决复杂数学问题。

八、教学方法1. 采用案例分析法，讲解合情推理和演绎推理在数学证明、问题解决和探究活动中的应用。

2. 通过小组讨论、引导学生参与课堂活动，培养学生的合作能力和创新思维。

3. 布置实践性作业，巩固所学知识。

九、教学过程1. 复习导入：回顾上节课所学内容，引导学生思考合情推理和演绎推理在数学中的应用。

2. 应用实例：分析数学证明、问题解决和探究活动中的实例，展示合情推理和演绎推理的应用。

2.1 合情推理与演绎推理1、合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。

它具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用。

归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理。

2、演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

它是一般到特殊的推理。

3、三段论：①大前提：已知的一般原理(M 是P)；②小前提：所研究的特殊情况(S 是M)；③结论：根据一般原理，对特殊情况作出判断(S 是P)。

只要前提与推理形式正确，结论必定正确。

1．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

小王 发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。

小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。

他写出不是质数的一个数是 （ ）A ．1643B ．1679C ．1681D ．1697答案：C 。

解析：观察可知：),1(2,,6,4,21342312-=-=-=-=--n a a a a a a a a n n累加可得： 2)1(2)222)(1()1(2421n n n n n a a n -=-+-=-+++=- ， ∴,41222+-=n n a n 验证可知1681符合此式，且41×41=1681。

2．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2=a 2类比得到复数z 的性质|z |2=z 2；③方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++有两个不同实数根的条件是042>-ac b 可以类比得到：方程),,(02C c b a c bz az ∈=++有两个不同复数根的条件是042>-ac b ； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是 ( )A.①③B. ②④C. ①④D. ②③答案：D 。

合情推理、演绎、直接间接证明知识讲解一、合情推理与演绎推理1.推理概念：根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论．2.合情推理概念：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情理．合情推理分类：1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．3.演绎推理概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．三段论包括：1）大前提---已知的一般原理；2）小前提---所研究的特殊情况；3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．4.演绎法：概念：如果一般的命题是已经证明了的，或者是未经证明而作为真理用的，那么以这个一般命题推出的每一个特殊命题也就是正确的．象这样由一般到特殊的推理方法，通常称为演绎推理或者演绎法一般模式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．二、直接证明与间接证明1.综合法概念：综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．2.分析法概念：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法．3.反证法概念：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法．证明的一般步骤：1）假设命题的结论不成立；2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；3）断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立三．常见结论结论：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形；面边；体积面积；二面角平面角；面积线段长；典型例题一．选择题（共24小题）1．（2018•乌鲁木齐一模）甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了．”乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了．”丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了．”结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（）A．甲、乙B．乙、丙C．丙、丁D．甲、丁2．（2018•柳州一模）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（）A．壬子年B．辛子年C．辛丑年D．庚丑年3．（2018•四川模拟）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示为．1﹣9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则的运算结果可用算筹表示为（）A．B．C．D．4．（2018•凯里市校级四模）如图是2017年1﹣11月汽油、柴油介个走势图（单位：元/吨），据此下列说法错误的是（）A．从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B．从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C．92#汽油与95#汽油价格成正相关D．2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌5．（2018•湖南模拟）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为（）年A．丙酉B．戊申C．己申D．己酉6．（2018•昆明一模）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值7．（2018•抚顺一模）学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是（）A．甲和乙B．乙和丙C．丁和戊D．甲和丁8．（2018•长春四模）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果9．（2018•淄博一模）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（x0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确10．（2018•秦州区校级三模）下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；所以直线b∥直线a，在这个推理中（）A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误D．大前提错误，结论错误11．（2018•泸州模拟）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了12．（2018•邕宁区校级模拟）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁13．（2018春•烟台期中）分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（2018春•桃城区校级期中）下列表述：①综合法是由因到果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句与（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．（2018春•济宁期中）若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q 的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定16．（2017春•钦州期末）（文）下列说法中正确的是（）A．合情推理就是类比推理B．归纳推理是从一般到特殊的推理C．合情推理就是归纳推理D．类比推理是从特殊到特殊的推理17．（2016春•邹平县校级期中）若a＞b＞c，则使恒成立的最大的正整数k为（）A．2 B．3C．4 D．518．（2009春•温州期末）设函数f（x）=，类比课本推导等差数列的前n 项和公式的推导方法计算f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3））+…+f（0））+f（1））+…+f（5）+f（6）的值为（）A．B．C．3D．19．（2015秋•雁塔区校级期末）要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法20．（2016春•枣阳市校级期中）设x，y，z＞0，则三个数+，+，+（）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于221．（2016春•曲阜市校级月考）下列说法不正确的是（）A．综合法是由因导果的顺推证法B．分析法是执果索因的逆推证法C．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的充分条件D．综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用22．（2014•奎文区校级模拟）证明命题：“f（x）=e x+在（0，+∞）上是增函数”，现给出的证法如下：因为f（x）=e x+，所以f′（x）=e x﹣，因为x＞0，所以e x＞1，0＜＜1，所以e x﹣＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，使用的证明方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是23．（2014•海淀区校级模拟）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件24．要证明+＜2+所选择的方法有以下几种，其中合理的是（）A．综合法B．分析法C．类比法D．归纳法二．填空题（共3小题）25．（2014秋•襄阳期末）分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的.（填序号）①充分条件；②必要条件；③充要条件．26．（2010•江苏模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1﹣2a n=2n，则a n=. 27．如图所示，直线m∥n，AB⊥m，∠ABC=130°，那么∠α为．三．解答题（共7小题）28．证明：x∈[0，+∞），e x+x3﹣2x2≥（e﹣1）x．29．已知数列{a n}满足：a1=，且a n=（n≥2，n∈N*）．证明：{1﹣}为一个等比数列，求数列{a n}的通项公式．30．用分析法和综合法分别证明下题：如图，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC，CF⊥AB，BE与CF相交于M，求证：MB=MC．31．已知f（x）=，证明f（x）+f（1﹣x）=．32．在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，M为BC的中点，BN⊥AM，且交AC于点N，用解析法证明：∠CMN=∠BMA．33．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D的中点为E，BD的中点为F，证明：CD1∥EF．34．求证：关于x的方程sin（cosx）=x在区间（0，）内有唯一的实数解．。

第40讲合情推理与演绎推理一、知识与方法1 合情推理合情推理即根据已有的事实经过观察,分析、比较,联想,再经过归纳、类比,然后提出猜想. 合情推理包括归纳推理和类比推理.（1）归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理. 其特点是由部分到整体,由个别到一般. 合情推理的一般步骤是: (1)通过观察个别对象发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想).(2) 类比推理: 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理. 其特点是由特殊到特殊. 类比推理的一般步骤是: (1) 找出两类对象之间的相似性或一般性; (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,得出一个明确的命题(猜想).(3) 合情推理透析:合情推理得出的结论具有猜测性,不一定正确,有待于进一步证明. 在数学研究中,得到一个新的结论之前,它具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用.2 演绎推理从一般性的原理出发、推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理,简言之, 演绎推理是由一般到特殊的推理.（1）一般模式: 三段论.1) 大前提-一已知的一般原理,可表示为: M是P.2) 小前提一一所研究的特殊情况,可表示为: S是M.3) 结论――根据一般原理,对特殊情况作出判断, 可表示为: S是P.(2) 演绎推理透析: (1) 演绎推理是由一般到特殊的推理,主要用来证明和推理数学问题,但要注意推理过程的严密性和书写格式的规范性; (2) 应用三段论解决问题时, 应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的; 如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得的结论也是错误的.二、典型例题【例1】(1) 观察下列等式：照此规律,第 n 个等式可为___________; (2) 已知{}n a 是等差数列且满足等式 11231232C C C n n n n n a a a -⋅=++++()*C n n n a n ∈N , 试求出这个等差数列的通项 n a .【分析】归纳就是从特殊到一般的过程,第(1)问,观察所给等式结果是正负相 间,分 n 为奇数和偶数讨论容易归纳出正确的结论.第 (2) 问,既然所给等式对任意正整数 n 都成立,可以先取 1,2,3,4n = 等特殊值,求出 1234,,,a a a a 后,从中发现规律,猜想出结 论,然后再对猜想的结论加以证明.【解析】（1）分 n 为奇数、偶数两种情况. 当 n 为偶数时, 第 n 个等式为()()2222221234(1)n n ⎡⎤-+-++--=⎣⎦(1)2n n +-当 n 为奇数时,第 n 个等式为 ()()2222221234(2)(1)n n ⎡⎤-+-++---+⎣⎦22(1)(1)22n n n n n n -+=-+= 综上,第 n 个等式为 222121(1)123(1)(1)2n n n n n -++-+-+-=-⋅. (2) 1n = 时, 等式为 1111112C a -⨯=, 可求得 11a =. 2n = 时, 等式为 2112222221C C a -⨯=⋅+, 可求得 22a =. 3n = 时, 等式为 311233333321C 2C C a -⨯=⋅+⋅+, 可求得 33a =. 4n = 时, 等式为 41123444444421C 2C 3C C a -⨯=⋅+⋅+⋅+, 可求得 44a =.以此类推,一般地, 可猜想 n a n =.下面证明, 当 n a n = 时,等式 ()112*2C 2C C n n n n n n n n -⋅=+++∈N成立. 设 121C 2C (1)C C n nn n n n n S n n -=+++-+. (1)则 121C (1)C 2C C n n n n n n n S n n -=+-+++,0121C (1)C 2C C n n n n n n n S n n --=+-+++ (2)2222222222111231236123410=-=--+=-+-=-(1) + (2), 得01212C C C C C n nn n n n n nS n n n n n -=+++++()01211C C C C C 2.2n nn n n n n n n n n n S n --=+++++=⋅∴=⋅即 ()112*2C 2C C n n n n n n n n -⋅=+++∈N, 故 n a n =. 【例 2 】在 Rt ABC ∆ 中, ,AB AC AD BC ⊥⊥ 于点 D , 求证:222111AD AB AC=+, 那么在四 面体 A BCD - 中,类比上述结论,能得到怎样的猜想 ? 并说明理由.【分析】 类比推理的关键是找到合适的类比对象,经常用到的类比关系有:平 面图形与空间图形;等差数列与等比数列;平面向量与空间向量;椭圆与双曲线、拋物线, 数列与函数等.既有某种性质的知识性类比,也有解题思想和思维策略的方法性类比.本例显然是平面几何中的某一性质类比到立体几何中的相关性质. 通常平面中的三 角形与空间中的三棱锥是类比对象; 相对应的有:三角形各边边长对应三棱锥各面面积; 三角形边上的高对应三棱锥面上的高;三角形面积对应三棱锥体积;三角形面积公式中的"12"对应三棱锥体积公式的“13"等 【解析】 如图 61- 所示,由射影定理知 222,,AD BD DC AB BD BC AC BC DC =⋅=⋅=⋅.∴2222211BC BC AD BD DC BD BC DC BC AB AC===⋅⋅⋅⋅⋅ 又 222BC AB AC =+, ∴2222222111AB AC AD AB AC AB AC +==+⋅. ∴222111AD AB AC =+类比 ,AB AC AD BC ⊥⊥, 猜想: 在四面体 A BCD - 中, ,,AB AC AD 两两垂直,AE ⊥ 平面 BCD , 则22221111AE AB AC AD =++. 如图 62- 所示,联结BE 并延长交 CD 于点 F , 联结 AF ,∵,,,AB AC AB AD AC AD A AB ⊥⊥⋂=∴⊥ 平面 ACD . 而AF ⊂ 平面 ,ACD AB AF ∴⊥.在 Rt ABF ∆ 中, ∵222111,AE BF AE AB AF⊥∴=+ 在 Rt ACD ∆ 中, 222111,AF CD AF AC AD ⊥∴=+. ∴22221111AE AB AC AD=++, 故猜想正确.【例 3 】数列 {}n a 的前 n 项和记为 n S , 已知 ()*1121,n n n a a S n n++==∈N , 求证: (1) 数列 n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列; (2) 14n n S a +=【分析】 演绎推理的一般模式为“三段论”,应用“三段论”解决问题时,首先应 该明确什么是大前提,什么是小前提,然后再找结论,也经常采用省略大前提或小前提的 表述方法. 而对于复杂的论证,会采用一连串的“三段论”,把前一个“三段论”的结论作为 下一个“三段论"的前提.【解析】(1) ∵1112,n n n n n n a S S a S n++++=-=, ∴()1(2)n n n n S n S S ++=-, 即 12(1)n n nS n S +=+ ∴121n n S S n n +=⋅+. 故 n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以 2 为公比的等比数列. (大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2) 由 (1) 可知 114(2)11n n S Sn n n +-=⨯+-, ∴111124(1)44(2)11n n n n S n S n S a n n n -+--+=+⋅=⨯⋅=--又 21212133,1344a S S a a a ==∴=+=+==. ∴ 对于任意正整数 n , 都有 14n n S a +=.三、易错警示【例】 设 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 是其前 n 项和.证明 :11222112log log log 2n n n S S S +++>【错解】 欲证11222112log log log 2n n n S S S +++>, 只需证 11211222log log 2log n n n S S S +++>.即证 ()2121122log log n n n S S S ++>由对数函数的单调性可知, 只需证 221n n n S S S ++< 即可.()()()()()()221111221222211121221111111110(1)(1)nn n n n n nn n n a q a q a q S S S qqq a qq a q a q q q ++++++⎡⎤---⎢⎥-=⋅----⎢⎥⎣⎦---=-=-<--∴221n n n S S S ++<, 因此原不等式成立.【评析及正解】 上述解法虽然证明了 221n n n S S S ++<, 但不严密, 因为使用等比数列 前 n项和公式 ()111nn a q S q-=- 的条件是 1q ≠, 而上述解法在解题过程中应用了求和公式,但没有指出 1q ≠ 这一条件,并且还忽视了 1q = 的情况,而推理证明题不论运用何种推理 方法,证明的过程一定要严密,要经得起推敲. 【正确的证法】如下：欲证11222112log log log 2n n n S S S +++>, 只需证 11211222log log 2log n n n S S S +++>即证 ()2121122log log n n n S S S ++>.由对数函数的单调性可知, 只需证 221n n n S S S ++< 即可.∵ 已知数列 {}n a 是由正数组成的等比数列, ∴10,0q a >>,若 1q =, 则 []222211111(2)(1)0n n n S S S na n a n a a ++-=+-+=-<;若 1q ≠, 则 ()()()222211122211221110(1)(1)nn n n n n n a qq a q S S S a q q q ++++----=-=-<--. ∴221n n n S S S ++<, 因此原不等式成立.四、难题攻略例 给出下列各式: (1) 1cos 32π=, (2) 21cos cos 554ππ=, (3) 231cos cos cos 7778πππ=, (4) 2341coscoscos cos 999916ππππ=, 根据以上信息,猜想一般规律,并加以证明.【分析】本例从猜想一般规律到论证猜想,都是应用归纳推理的范例,难点在论证上,有以下几个注意点: (1)要想到二倍角正弦公式的变用; (2)要根据角度关系运用诱 导公式; (3)要分n 为偶数或奇数分类讨论.【解析】 根据上述已知信息,猜想一般规律为:()*231coscoscos cos212121212n n n n n n n ππππ⋅⋅=∈++++N 证明: 由二倍角正弦公式 sin 2sin 22sin cos cos 2sin αααααα=⇒=.据此可得 23coscoscos cos21212121n n n n n ππππ++++ 2462(1)2sinsin sinsinsin212121212123(1)2sin 2sin 2sin2sin 2sin2121212121n n n n n n n n n n n n n n ππππππππππ-+++++=⋅⋅⋅⋅⋅-+++++ 当 n 为偶数时,则有原式(2)(4)(22)2sinsin sin sin 212121213(2)(1)2sin sin sin si }n212n 12121n n n n n n n n n n n n n n n ππππππππ++-⋅⋅⋅⋅++++=--⋅⋅⋅⋅++++ 注意到以下这些角互补. 即23(22)(1)2121212121n n n n n n n n πππππ--+=+==++++++(2)231cos cos cos cos21212121212n n n n n n n n ππππππ+=⇒=+++++ 同理可得当 n 为奇数时结论成立.五、强化训练1. 平面几何中有如下性质:如图(1)所示,设 O 是等腰直角三角形 ABC 底边 BC 的中 点, 1AB =. 过点 O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为 Q R 、, 则有11AQ AR+= 2. 类比此结论，将其拓展到空间有:如图2，设O 是正三棱锥A -BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC, AD 两两垂直，AB=1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q, R, P , 则有____________【解析】设 O 到各个平面的距离为 d , 而11113326-=⋅=⨯⋅⋅=R AQP AQP V S AR AQ AP AR AQ .⋅AP AR1111(3336----∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=⋅又R AQP O AQP O ARP O AQR AQP ARP AQR V V V V S d S d S d AQ )+⋅+⋅AP AR AP AQ AR d11()66∴⋅⋅=⋅+⋅+⋅AQ AP AR AQ AP AR AP AQ AR d即1111,++=AQ AR AP d 而1112.33436-∆=⋅=⨯⨯=A BDC BDC V S hDC 11.318--∴==O ABD A B V V即B 11111111.3332183∆⨯⋅=⨯=⇒=∴++=A D S d d d AQ AR AP2. (1) 请证明抛物线的一个几何性质:过抛物线 24y x = 的焦点 F 任作直线 l 与抛物线交于 ,A B 两点,则在 x 轴上存在定点 (1,0)M -, 使直线 MF 始终是 AMB ∠ 的平分线;(2) 对于椭圆 2215x y +=, 设它的左焦点为 F , 请写出一个类似的性质,并证明其真假. 【解析】(1) 直线 l 的方程为 (1)(=-y k x k 不存在时, 显然 MF 是 ∠AMB 的平分线)设()()1122,,,A x y B x y , 则 2(1),y 4=-⎨=⎧⎩y k x x即()2222240, -++=k x k x k()()()()()1212121212121211122000.111111∴=-----+=+=+==++++++MA MBx x k x k x k x x y y k k x x x x x x∴直线MF 始终是 ∠AMB 的平分线.(2) 过椭圆 2215+=x y 的左焦点 F 任作直线 l 与椭圆交于 ,A B 两点,则在 x 轴上存在定点 5,02⎛⎫-⎪⎝⎭M , 使直线 MF 始终是 ∠AMB 的平分线 证明同(1)类似,有 22(2)1,5=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去 y 得 ()222215202050+++-=k x k x k .21222122201520515k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩设0M t （，），则 ()()121212122200MA MB k x k x y y k k x t x t x t x t++--+=+=+---- ()()()1212122(2)4k x x t x x t x t x t ⎡⎤+-+-⎣⎦=--, 将韦达定理所得12,x x +12x x 代入，欲使 0MA MB k k +=,即()()()()()222221212401020(2)41515(410)0,15MA MBk k k t t k k k t k k x t x t k x t x t ⎡⎤--+--⎢⎥++--⎣⎦+===--+-- 则4100t --=，得52t =-，即 52t =-时, 0MA MB k k +=恒成立, 即存在点 5,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭使直线MF 始终是AMB ∠的平分线.3. 已知数列 {}n a 满足 111,31n n a a a +==+. (1) 证明: 12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,并求 {}n a 的通项公式; (2) 证明 :1211132n a a a +++<. 【解析】(1) 由 1131n n a a ++=+, 得 111322n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 又 11322a +=, ∴12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为 32,公比为3的等比数列∴1331,222n n n n a a -+==. 因此 {}n a 的通项公式为 312n n a -=.(2) 证法一: ∵()121210(31)333131333322n n n n n n a -----++++-===++++,1021012101221111111133333333311111313311133323213n n n n n na a a ---∴+++=+++++++++++-⎛⎫<++++==-< ⎪⎝⎭-证法二: ∵ 当 1n 时,()()12123131(31)333123331n n n n n n n -----=-=-++++=++++1112322131233n n n n ---⨯∴=-⨯ 1201211113222111113131313333133131232n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴+++++++=----⎛⎫=-< ⎪⎝⎭证法三: 由 ,,a b m +∈R , 且1ab<, 则 a a m b b m +<+ (即糖水不等式), 可得 ()112211313311n n n n a -+=<=--+ 12121121111311122211111313131333133132232n n n n n a a a --⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴+++=+++<++++=----=-<⨯。