分式方程及其应用

分式方程及其应用考点·方法·破译1．分式方程(组)的解法解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.2．分式方程增根在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).3．列分式方程解应用题列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.经典·考题·赏析【例1】解下列方程:⑴22xx-+－2164x-＝1⑵12x+－2244xx-－22x-＝4⑶45xx--＋89xx--＝78xx--＋56xx--【解法指导】对于方程⑴、⑵只需先将分母分解因式，找到最简公分母，然后将分式方程转化为整式方程，求解并验根.对于方程⑶如果按常规方法去分母则计算复杂，若注意到将这四个分式的分母均比分子小这个特点，先化简，如45xx--＝515xx-+-＝1＋15x-，按照上述变形，原方程可变为15x-＋19x-＝18x-＋16x-再移项后分组通分求解较简单.解: ⑴22xx-+－()()1622x x-+＝1(x－2) 2－16＝(x＋2) (x－2)x2－4x＋4－16＝x2－4x＝－2当x＝－2时(x＋2) (x－2)＝0，∴x＝－2是增根，原分式方程无解.⑵12x +＋()()2422x x x +-－22x -＝4 x －2＋4x 2－2(x ＋2)＝4(x ＋2) (x －2)∴x ＝10当x ＝10时， (x ＋2) (x －2) ≠0， ∴原分式方程的解为x ＝10. ⑶原方程变形为515x x -+-＋919x x -+-＝818x x -+-＋616x x -+- 1＋15x -＋1＋19x -＝1＋18x -＋1＋16x - ∴15x -＋19x -＝18x -＋16x - 15x -－16x -＝18x -－19x - 两边分别通分得: ()()156x x ---＝()()189x x --- ∴(x －5) (x －6)＝(x －8) (x －9)∴x ＝7 检验知x ＝7是原方程的解.【变式题组】 ⑴12x x --＝12x-－2⑵2x x -＋2＝3(2)x x-⑶14x -－23x -＝32x -－41x -⑷12x +＋242x x -＋22x-＝1【例２】当m 为何值时，分式方程1m x +－21x -＝231x -会产生增根? 【解法指导】我们很容易测出分式方程可能产生的增根是x ＝1或x ＝－1，只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程，即可求出相应的字母的值.解:原方程去分母并整理得 (m －2) x ＝5＋m假设产生增根x ＝1，则有: m －2＝5＋m ，方程无解，所以不存在m 的值，使原方程产生增根x ＝1;。

分式方程的解法与应用分式方程是含有至少一个分式的方程，其解法与整式方程有一定的区别。

本文将介绍分式方程的解法及其应用。

一、分式方程的解法解分式方程的关键在于将方程化简为整式方程，以下是常见的几种解法：1. 通分法：当分式方程中含有多个分母时，可以通过通分的方式将其转化为整式方程。

首先找到所有分母的公倍数，然后将方程两边都乘以公倍数，从而得到一个整式方程。

最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。

2. 消去法：当分式方程中存在相同的因式时，可以通过消去的方式将其化简为整式方程。

首先找出方程中的公因式，然后将其约去，从而得到一个整式方程。

最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。

3. 倒数法：当分式方程中含有一个分式的倒数时，可以通过倒数的方式将其转化为整式方程。

首先将方程两边的分式取倒数，然后将其化简为整式方程。

最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。

二、分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用，以下是几个常见的例子：1. 比例问题：比例问题通常可以表示为分式方程。

例如，某商品的原价为x元，打折后的价格为x/2元，求折扣后的价格是多少。

可以建立分式方程x/2 = 折扣后的价格，然后通过解方程求得折扣后的价格。

2. 水箱问题：水箱问题中常涉及到进水速度、出水速度等概念，可以通过分式方程求解。

例如，一个水箱的进水口每小时进水1/3箱，出水口每小时排水1/4箱，求水箱在多长时间内装满。

可以建立分式方程1/3 - 1/4 =水箱装满的时间，然后通过解方程求得水箱装满的时间。

3. 工作效率问题：工作效率问题中常涉及到多个人或物共同工作时的效率关系，可以通过分式方程求解。

例如，甲、乙两人共同完成一项任务需要5小时，如果甲的效率是乙的2倍，那么甲独自完成此任务需要多长时间。

可以建立分式方程1/甲的效率 - 1/乙的效率 = 5，然后通过解方程求得甲独自完成任务的时间。

总之，分式方程的解法与整式方程有一定的区别，可以通过通分法、消去法、倒数法等方式来解决。

分式方程及其应用一、知识要点1. 分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2. 如何解分式方程（1）解分式方程的基本思想是“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程转化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。

（2）解分式方程的步骤：①转化：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

（3）“增根”是怎样产生的？把分式方程“转化”为整式方程时，需要用最简公分母乘方程的两边，如果所得的解恰好使最简公分母为零，那么这个根就是“增根”。

（4）注意的问题：①把分式方程“转化”为整式方程的条件是去掉分式方程中的分母。

如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤。

②用分式方程中各式的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母。

但要注意用最简公分母乘方程两边的每一分式或项，切勿漏项。

③解分式方程可能产生“增根”的情况，那么验根就是解分式方程必要的步骤。

3. 分式方程的应用解分式方程应用题的分析方法，解题步骤与解一元一次方程或二元一次方程组应用题基本相同，不同之处在于它侧重于用分式表示数量关系列代数式和寻找等量关系列方程。

其方法和步骤可归纳如下：①审清题意，分清已知量和未知量；②设未知数；③根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程；④解方程，并验根；⑤写出答案。

二、问题举例例1. 解方程 。

； 32651222-=+----x x x x x x x 例2. 解下列方程：()()x x x x ++++=151602 3. （2003年吉林省）如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上。

小明家到王老师家的路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km 。

由于小明的父亲战斗在抗击“非典”第一线，为了使小明能按时到校，王老师每天骑自行车接他上学。

已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用20min 。

分式方程及其应用【分类解析】 例1. 解方程：x x x --+=1211分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x xx x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+--分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。

1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==例4. 解方程：61244444402222y y y y y y yy +++---++-=2分析：此题若用一般解法，则计算量较大。

分式方程的解法和应用分式方程，又称有理方程，是指包含了分数的方程。

解决分式方程问题可以在数学中发挥很大的作用，因为它们可以用来描述实际问题，特别是在科学和工程领域中。

本文将介绍一些常见的分式方程的解法以及它们在实际应用中的应用。

一、一次分式方程的解法一次分式方程是指分式的分子和分母的次数均为1的方程。

例如，2/x + 3 = 1/2。

解决这类问题的一种常见方法是通过消去分母，使方程转化为线性方程。

在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将2/x转化为2/x - 1/2。

2. 通过求公倍数来消去分母，例如通过乘以2来消去分母。

3. 合并同类项并将方程转化为一元一次方程，例如2 - x = 1/2。

4. 将方程解题得到x的值，检查解的合法性。

二、二次分式方程的解法二次分式方程是指分式的分子或者分母的次数为2的方程。

例如，1/x^2 + 1/x = 2。

解决这类问题的一种常见方法是通过将方程转化为二次方程，然后使用二次方程的解决方法来求解。

在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将1/x^2转化为1/x^2 - 2。

2. 将方程中的分数转化为一个多项式方程，例如通过乘以x^2来消去分母。

3. 合并同类项并将方程转化为二次方程，例如x^2 - 2x + 1 = 0。

4. 使用求解二次方程的方法，例如配方法、因式分解法或者公式法，得到x的值。

5. 检查解的合法性。

三、分式方程的应用分式方程在实际应用中有广泛的用途，常见的应用包括以下几个方面：1. 比例问题：比例问题可以通过设置分式方程来解决。

例如，一个图书馆中有1000本书，其中有3/10是故事书，那么故事书的数目可以表示为(3/10)*1000=300本。

2. 涉及速度、距离和时间的问题：速度、距离和时间之间有一定的关系，可以通过设置分式方程来解决相关问题。

例如，一个人以每小时60公里的速度行驶，问他行驶1小时可以行驶多远，可以通过设置方程60/1=x/1解决。

分式方程是一种常见的数学方程，用于描述两个有关的量之间的关系。

常见的分式方程的形式如下：
ax+b = cy+d
其中，a、b、c、d是常数，x、y是未知数。

分式方程的应用
解决实际问题：例如，你想知道跑步消耗卡路里的规律，可以通过分式方程来描述跑步距离与卡路里之间的关系。

计算不同条件下的结果：例如，你想知道不同温度下水的沸点，可以通过分式方程来描述温度与沸点之间的关系，并计算不同温度下的沸点。

绘制函数图像：分式方程可以用来描述函数的规律，通过绘制函数图像，可以更直观地理解函数的特征。

分式方程是一种重要的数学工具，能够帮助我们解决实际问题、计算结果、绘制图像等。

分式方程的求解
在解决分式方程时，需要注意以下几点：
先将分式方程化简，去掉分母，使得方程的形式更简单。

解决未知数的值，即求解未知数的数值解。

检查解的正确性，即将求得的解代回原方程，看是否满足原方程。

下面是一个具体的例子：
例如，求解方程：2x+3 = x+1。

解：
首先，将方程化简，得：x=1。

然后，代回原方程，得：2*1+3=1+1。

因此，x=1是方程的一个数值解。

注意，有些分式方程可能有多个解，因此需要计算多个解，并检查解的正确性。

希望以上内容能够帮助你更好地理解分式方程的求解方法。

分式方程的解法与应用分式方程是数学中的一种常见形式，它包含有分数的方程。

解决分式方程的过程需要运用一些特定的方法和技巧，同时，分式方程在实际生活中也有着广泛的应用。

本文将介绍分式方程的解法以及其在实际问题中的应用。

一、分式方程的解法解决分式方程的关键是将其转化为简单的等式，然后求解。

下面将介绍几种常用的分式方程解法。

1. 通分法当分式方程中含有多个分母时，可以使用通分法来简化方程。

首先找到方程中所有分母的最小公倍数，然后将方程两边同时乘以最小公倍数，将分母消去，得到一个简化的等式。

最后，通过移项和化简，求得方程的解。

2. 倒数法倒数法是解决分式方程中含有倒数的情况。

首先将方程中的倒数部分转化为分数形式，然后通过移项和化简，求得方程的解。

3. 分解法对于一些特殊的分式方程，可以使用分解法来解决。

例如，对于形如$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$的方程，可以将其分解为$\frac{x+y}{xy}=1$，然后通过移项和化简，求得方程的解。

二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。

下面将介绍几个典型的应用案例。

1. 比例问题比例问题是分式方程的一种常见应用。

例如，某商品原价为$x$元，现在打折后的价格为原价的$\frac{2}{3}$，求打折后的价格。

通过建立方程$\frac{2}{3}x=x-\frac{1}{3}x$，可以求得打折后的价格为$\frac{1}{3}x$。

2. 浓度问题浓度问题也是分式方程的一种常见应用。

例如，某种饮料中含有$30\%$的果汁，现在要制作$1$升含有$20\%$果汁的饮料，需要加入多少升的纯果汁？通过建立方程$\frac{x}{1+x}=0.2$，可以求得需要加入的纯果汁的升数。

3. 财务问题财务问题中也常常涉及到分式方程的应用。

例如，某人的年收入为$x$元，他的生活开销占年收入的$\frac{1}{4}$，求他的生活开销。

通过建立方程$\frac{1}{4}x=x-\frac{3}{4}x$，可以求得他的生活开销为$\frac{3}{4}x$。