可化为一元一次方程的分式方程及其应用1(2018-2019)

11.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用（一）●课题§11.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用（一）●教学目标（一）教学知识点1.解分式方程的一般步骤.2.了解解分式方程验根的必要性.（二）能力训练要求1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.（三）情感与价值观要求1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.●教学重点1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.2.明确解分式方程验根的必要性.●教学难点明确分式方程验根的必要性.●教学方法探索发现法学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性.●教具准备投影片四张第一张：例1、例2，第二张：议一议，第三张：想一想，第四张：补充练习.●教学过程Ⅰ.提出问题，引入新课［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程.这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法. 解方程213-x +325+x =2－624-x ［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得3（3x －1）+2（5x +2）=6×2－（4x －2）.（2）去括号，得9x －3+10x +4=12－4x +2,（3）移项，得9x +10x +4x =12+2+3－4,（4）合并同类项，得23x =13,（5）使x 的系数化为1，两边同除以23，x =2313. Ⅱ.讲解新课，探索分式方程的解法［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？ ［师］同学们说他的想法可取吗？［生］可取.［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？［生］乘以分式方程中所有分母的公分母.［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单.解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单.［师］我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？［生］x （x －2）.［师生共析］方程两边同乘以x （x －2）,得x （x －2）·21-x =x （x －2）·x 3, 化简，得x =3（x －2）. （2）我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程.［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x .即x =3x －6（去括号） 2x =6（移项，合并同类项）.x =3（x 的系数化为1）.［师］x =3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论.（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）［生］x =3是由一元一次方程x =3（x －2） （2）解出来的，x =3一定是方程（2）的解.但是不是原分式方程（1）的解，需要检验.把x =3代入方程（1）的左边=231-=1，右边=33=1，左边=右边，所以x =3是方程（1）的解. ［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法解出例2.［例2］解方程：x 300－x2480=4 （由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）解：方程两边同乘以2x ，得600－480=8x解这个方程，得x =15检验：将x =15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边,所以x =15是原方程的根.［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯. 我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（先隐藏小亮的解法）（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析）［师］我们来看小亮同学的解法：32--x x =x-31－2 解：方程两边同乘以x －3,得2－x =－1－2（x －3）解这个方程，得x =3.［生］小亮解完没检验x =3是不是原方程的解.［师］检验的结果如何呢？［生］把x =3代入原方程中，使方程的分母x －3和3－x 都为零，即x =3时，方程中的分式无意义，因此x =3不是原方程的根.［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？［生］x =3是去分母后的整式方程的根.［师］为什么x =3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论.（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了.［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解.［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根.是增根，必舍去.［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根.但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检验的错误.Ⅲ.应用，升华1.解方程：（1）13-x =x 4;（2）1210-x +x215-=2. ［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.解：（1）13-x =x4 去分母，方程两边同乘以x （x －1），得3x =4（x －1）解这个方程，得x =4检验：把x =4代入x （x －1）=4×3=12≠0，所以原方程的根为x =4.（2）1210-x +x215-=2 去分母，方程两边同乘以（2x －1），得10－5=2（2x －1）解这个方程，得x =47 检验：把x =47代入原方程分母2x －1=2×47－1=25≠0. 所以原方程的根为x =47. 2.回顾，总结［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结.［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.3.补充练习［分析］强调解分式方程的三个步骤：一去分母；二解整式方程；三验根. 解：（1）去分母，方程两边同时乘以x （x +3000）,得9000（x +3000）=15000x 解这个整式方程，得x =4500检验：把x =4500代入x （x +3000）≠0.所以原方程的根为4500（2）x h 2=xa a -（a ,h 是常数且都大于零）去分母，方程两边同乘以2x （a －x ），得h （a －x ）=2ax解整式方程，得x =h a ah +2（2a +h ≠0） 检验：把x =ha ah +2代入原方程中，最简公分母2x （a －x ）≠0，所以原方程的根为 x =h a ah +2. Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小.［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可. ［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根.［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程.……Ⅴ.课后作业Ⅵ.活动与探究若关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，则m 的值是____________. ［过程］首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根，但却使最简公分母为零.［结果］关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，则此增根必使3x －9=3（x －3）=0，所以增根为x =3.去分母，方程两边同乘以3（x －3），得3（x －1）=m 2.根据题意，得x =3是上面整式方程的根，所以3（3－1）=m 2,则m =±6.●板书设计§11.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用（一）。

可化为一元一次方程的分式方程及其应用年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共10题，题分合计40分)1.可化为一元一次方程的分式方程,如果有增根,那么以下判断错误的是A.方程只有一个增根B.分式方程无解C.方程还有异于增根的根D.增根代入最简公分母,最简公分母的值为零2.甲､乙两班同学绿化校园,两班合作6天完成.若单独做,甲班比乙班少用5天,则两班独自完成各需多少天?解:设甲班单独做需x 天,根据题意列出方程为A.61511=++x xB.61511=-+x xC.61511=+-x xD.61511=--x x 3.把a 克盐溶解在b 克水中,这样的盐水c 克含盐的克数是A.b a ac + B.b a bc + C.b a a + D.ca4.甲､乙两班学生参加植树造林,已知甲班每天比乙班多植5棵树,甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等,若设甲班每天植树x 棵,则根据题意列出的方程是 A.x x 7058=- B.57080+=x x C.x x 70580=+ D.57080-=x x5.甲､乙两班同学绿化校园,两班合作6天完成.若单独做,甲班比乙班少用5天,则两班独自完成各需多少天?解:设甲班单独做需x 天,根据题意列出方程为A.61511=++x xB.61511=-+x xC.61511=+-x xD.61511=--x x 6.方程1111=-++a x x 如果有增根,则此增根只可能是A.0B.-1C.a 或-1D.a7.用换元法把方程71)1(61)1(222=+++++x x x x 化为762=+y y ,那么下列换元方法正确的是A.y x =+11B.y x =+112C.y x x =++112D.y x x =++1128.甲､乙两班学生参加植树造林,已知甲班每天比乙班多种5棵树,甲班种80棵树所用的天数与乙班种70棵树所用的天数相等.若设乙班每天种树x 棵,则根据题意列出的方程是 A.x x 70580=- B.57080+=x x C.x x 70580=+ D.57080-=x x 9.用换元法解分式方程152--x x +510102--x x =7时,如果设152--x x =y ,那么原方程可化为A.y +y10=7 B.y +y 1=7 C.10y +y 1=7 D.y +10y 2=710.某工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好全部运走,怎样调配劳动力才能使挖出的土能够及时运走且不窝工?设可以派x 人挖土,其他人运土,列方程为①3172=-x x ,②372xx =-③x +3x =72④372=-x x上述所列方程正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题(共1题，题分合计3分)1.若11-x 与11+x 互为相反数则可以得到关于x 的方程___________________.三、解答题(共18题，题分合计138分)1.解方程:5221332-=-x xx2.解方程:1313131319122-+-+-=-x x x x x3.解方程:()b a xbb x a a ≠+=+11(未知数为x ) 4.一组学生乘汽车去春游,预计共需车费120元,后来人数增加了41,费用仍不变,这样每人少摊3元,原来这组学生的人数是多少个?5.有一项工作需要在规定日期内完成,如果甲单独做,刚好如期完成;如果乙单独做,就要超过规定日期3天.现在由甲､乙两人合做2天,剩下的工作由乙单独做,刚好如期完成,问规定日期是几天?6.k 取何值时,方程x x kx x x x +=+-+2112会产生增根? 7.为了方便广大游客参观游览"世博会".铁道部门临时增开了一列南宁--昆明的直达快车，已知南宁--昆明两地相距828千米，一列普通快车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2小时，比普通快车早4小时到达昆明，求两车的平均速度.8.已知:方程1112x x -=的解是1212,2x x ==-;方程1223x x -=的解是1213,3x x ==-; 方程1334x x -=的解是1214,4x x ==-; 方程1445x x -=的解是1215,5x x ==-;问题:观察上述方程及其解,再猜想出方程1101011x x -=的解,并写出检验 9.小明步行4千米又坐公共汽车10千米从A 地到达B 地，又骑自行车从B 地返回A 地，往返所用时间相同，已知小明骑车比步行每小时多行8千米，坐公共汽车比步行每小时快24千米，求小明步行的速度.10.一个人跑400米的速度比原来提高了十分之一，时间比原来缩短了A.101B.91C.111D.100911.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再有两队合作2天就完成全部工程，已知甲队单独完成工程所需天数是乙队单独完成所需天数的32，求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？12.某项工程，甲、乙合做8天可以完成需费用3520元；若甲单独做6天后，剩下的工程由乙独做，乙需12天才能完成，这样需费用3480元，问：①甲、乙两人单独完成此项工程，各需多少天？ ②甲、乙两人单独完成此项工程各需费用多少元？13.某人骑自行车比步行每小时快8千米，坐汽车比骑自行车每小时快16千米，此人从A 地出发，先步行4千米，然后乘汽车10千米就到达B 地，他又骑自行车从B 地返回A 地，结果往返所用的时间相等，求此人步行的速度？14.一水池有甲、乙两个进水管，同时打开甲乙两管4小时后，关闭乙管，甲管又用了6小时把空水池注满，乙知甲管开2小时30分与乙管开2小时的注水量相同，求单独开甲、乙两管分别需要几小时可以把空水池注满？15.列方程(组)解应用题：(1)购一年期债券，到期后本利共获2700元，如果债券年利率12.5%，那么利息是多少元?(2)某校学生到离校15千米的森林公园春游，先遣队与学生队伍同时出发，先遣队行进速度是学生大队伍的1.2倍，以便提前半小时到达，求先遣队与学生队伍的速度.16.甲、乙二人合做一件工作，10天可以完成；如果甲、乙二人共同工作7天剩下的由乙单独做9天完成，求甲、乙二人单独做各需几天可以完成.17.某公司招聘打字员,要求每分至少打45个字.已知应聘者乙的打字工作效率比甲高25%,而甲打1800个字的时间比乙打2000个字的时间多5分.问甲､乙两人的打字速度是否能达到公司的要求?18.某人从甲地到乙地,开始以a km/h 的速度走完了全程的31,其后以2b km/h 的速度走完了剩下的路程.若所用时间恰好等于他以3c km/h 的速度往返于甲乙两地所需的时间.求 (1)a ､b ､c 之间的关系式 (2)若c =3,且6111=-a b ,求a ､b 的值可化为一元一次方程的分式方程及其应用答案一、选择题(共10题，合计40分)1.10957答案：C2.10993答案：A3.10998答案：A4.11001答案：C5.11002答案：A6.11003答案：C7.11007答案：C8.11010答案：C9.11012答案：A 10.8974答案：D二、填空题(共1题，合计3分)1.8948答案：01x 1 11=++-x三、解答题(共18题，合计138分)1.10965答案：见注释2.10966答案：见注释3.10968答案：见注释4.10969答案：见注释5.10970答案：见注释6.10971答案：见注释7.16649答案：普通快车的平均速度为46千米/时，直达快车的平均速度为69千米/时. 8.9676答案：方程的解为111,1121-==x x检验略9.16614答案：小明步行的速度是6.4千米/时. 10.16631答案：C11.16643答案：6, 4(天)12.16644答案：①⎩⎨⎧==2412y x ②⎩⎨⎧==33603600n m13.16645答案：614.16646答案：x =15,54x =1215.16647答案：(1)利息为300元.(2)学生队伍的速度是5千米/时，先遣队的速度是6千米/时.16.16648答案：甲单独完成这项工作需15天，乙单独完成这项工作需30天. 17.9055答案：甲的不能满足，乙的能18.9058答案：(1)c b a 211=+ (2)⎪⎩⎪⎨⎧==5124b a。

可化为一元一次方程的分式方程及应用(1)教学目标：1．使学生在与整式方程的对比中理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.2．使学生领会“ 转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.3．使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.4．培养学生自主探究的意识，提高学生自主学习的能力. 重点、难点：1．重点：理解分式方程的概念，掌握解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤. 2．难点：领会分式方程验根的必要性，掌握验根的方法. 教具准备：投影仪、胶片 教学过程： 复习引入1. 一元一次方程的意义是什么？(1)只含有一个未知数； (2)未知数的次数是1； (3)是整式方程. 2. 下列方程是不是一元一次方程？为什么？ (1)021=-x ; (2) 0132=-+x ; (3)66090-=x x . 3．引入课题：上面有的方程是整式方程，而有的不是，这就是我们今天要研究的“可化为一元一次方程的分式方程”.学标出示1.理解分式方程的意义；会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.2.了解增根的概念及产生的原因；掌握验根的方法. 指导自学1. 学生自学课本P101目标下面第1行至第9行内容，并思考下列问题： (1)分式方程的意义是什么？（分母里含有未知数的方程叫做分式方程）(2)上面的方程中都含有分母，为什么方程(2)是整式方程，而方程(1)、(3)是分式方程？这说明分式方程区别于整式方程的主要标志是什么？ （分母里含有未知数）2. 学生自学课本P101第10行至P102倒数第6行内容，并思考下列问题：(1) 解分式方程的基本思想是什么？如何达到这个目的？（由于分式方程与整式方程主要区别是分母中含有未知数，所以我们解分式方程的关键是：把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解） （在方程的两边同乘最简公分母，就可约去分母，化成整式方程） (2)解分式方程的结果有几种情形？（两种：①所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根） 3. 学生自学课本P102倒数第5行至P103第13行内容，并思考下列问题： (1)什么叫做原方程的增根？（在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根） (2)产生增根的原因是什么？（在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了零）举例：为什么在变形时，分式两边同时乘以零就产生增根呢，我们不妨看这样一个例子：21=x ① 的根为 21 如果对它进行变形――两边同时乘以零：0201⨯=⨯x② 显然所有满足 0≠x 的有理数都是②的根，这样就产生了一些原方程不具有的增根。