2020人教版中考数学专题《分式方程及其应用》含解答

2020中考数学专题《分式方程及其应用》含解答第一批一、选择题6．（2019·苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本．设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）A．15243x x=+B．15243x x=-C．15243x x=+D．15243x x=-【答案】A【解析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．直接利用“小明和小丽买到相同数量的笔记本”，得15243x x=+，故选A．5．（2019·株洲）关于x的分式方程253x x-=-的解为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【答案】B【解析】解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，方程两边同时乘以x(x-3)得，2（x-3)-5x=0,解得，x=-2，所以答案为B。

4．（2019·益阳）解分式方程321212=-+-xxx时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）A.x+2=3B.x-2=3C.x-2=3(2x-1)D.x+2=3(2x-1)【答案】C 【解析】两边同时乘以（2x-1），得x-2=3(2x-1) .故选C.1. （2019·济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（）A．5005004510x x-=B．5005004510x x-=C．500050045x x-=D．500500045x x-=【答案】A【解析】由题意知：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x兆数据，4G传输500兆数据用的时间是500x，5G传输500兆数据用的时间是50010x，5G网络比4G网络快45秒，所以5005004510x x-=．2. （2019·淄博）解分式方程11222xx x-=---时，去分母变形正确的是（）A.112(2)x x-+=--- B.112(2)x x-=--C.112(2)x x-+=+- D.112(2)x x-=---【答案】D.【解析】方程两边同乘以x－2，得112(2)x x-=---，故选D.二、填空题11．（2019·江西）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的班马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：.【答案】112.166=+xx【解析】设小明通过AB时的速度是x米/秒，则通过BC的速度是通1.2x米/秒，根据题意列方程得112.166=+xx.1. （2019·岳阳）分式方程121x x=+的解为x=.【答案】1【解析】去分母，得：x+1=2x，解得x=1，经检验x=1是原方程的解．2. （2019·滨州）方程+1＝的解是____________．【答案】x=1【解析】去分母，得x－3+x－2=－3，解得x=1．当x=1时，x－2=－1，所以x=1是分式方程的解．3. (2019·巴中)若关于x的分式方程2222x mmx x+=--有增根,则m的值为________.【答案】1【解析】解原分式方程,去分母得:x－2m＝2m(x－2),若原分式方程有增根,则x＝2,将其代入这个一元一次方程,得2－2m＝2m(2－2),解之得,m＝1.4. （2019·凉山）方程1121122=-+--xxx解是.【答案】x=-2【解析】原方程可化为1)1)(1(2112=-+---xxxx，去分母得（2x-1）(x+1)-2=(x+1)(x-1)，解得x1=1，x2=-2，经检验x1=1是增根，x2=-2是原方程的解，∴原方程的解为x=-2.故答案为x=-2.11．（2019·淮安）方程121=+x的解是.【答案】-1 【解析】两边同时乘以（x+2），得x+2=1，解得x=-1.5. （2019·重庆B卷）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的34和83 .甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是【答案】1819【解析】设第一车间每天生产的产品数量为12m ，则第五、六车间每天生产的产品数量分别9m 、32m; 设甲、乙两组检验员的人数分别为x ，y 人；检查前每个车间原有成品为n.∵甲组6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完∴每个甲检验员的速度=1212126m m m n n nx 6（）+++++∵乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完∴每个乙检验员的速度=1292m m n n y 2（）+++∵乙再用了4天检验完第六车间的所有成品∴每个乙检验员的速度=324m n y 6⨯+∵每个检验员的检验速度一样∴1212122(129)632624m m m n n n m m n n m n x y y 6（）++++++++⨯+==∴1819x y =.故答案为1819.三、解答题19．（2019山东省德州市，19，8）先化简，再求值：（﹣）÷（﹣）•（++2），其中+（n ﹣3）2＝0．【解题过程】（﹣）÷（﹣）•（++2）＝÷•＝••＝﹣．∵+（n ﹣3）2＝0．∴m+1＝0，n ﹣3＝0，∴m ＝﹣1，n ＝3．∴﹣＝﹣＝．∴原式的值为．18.（2019·遂宁）先化简，再求值b a a ab a b a b ab a +--÷-+-2222222 ，其中a,b 满足01)22=++-b a （ 解：b a a b a a b a b a b a +--÷-+-=2)())(2）（（原式=b a b a b a b a +--⨯+-21=b a +-1∵01)22=++-b a （∴a=2,b=-1,∴原式=-117．(2)(2019·泰州,17题,8分)【解题过程】去分母:2x －5+3(x －2)＝3x －3,去括号:2x －5+3x －6＝3x －3,移项,合并:2x ＝8,系数化为1:x ＝4,经检验,x ＝4是原分式方程的解.21．（2019山东滨州，21，10分）先化简，再求值：（－）÷，其中x 是不等式组的整数解．【解题过程】解：原式＝[－]•＝•＝，………………………………………………………………………………5分解不等式组，得1≤x ＜3，…………………………………………………………7分 则不等式组的整数解为1、2．……………………………………………………8分 当x=1时，原式无意义；…………………………………………………………9分 当x ＝2，∴原式＝．……………………………………………………………10分17. （2）（2019·温州）224133x x x x x +-++．【解题过程】原式=24-13x x x ++=233x x x ++=3(3)x x x ++=1x .19．（2019山东威海，19，7）列方程解应用题小明和小刚约定周末到某体育公园去打羽毛球.他们到体育公园的距离分别是1200米，300米.小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度. 【解题过程】设小明的速度为x 米/分钟，则小刚的速度为3x 米/分钟，根据题意，得， 解得x ＝50经检验，得x ＝50是分式方程的解， 所以，3x ＝150.答：小明和小刚两人的速度分别是50x 米/分钟，小刚的速度为150米/分钟.1000300043xx -=20．（2019山东省青岛市，20，8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天. （1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过7800元，那么甲加工了多少天？【解题过程】解：（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，由题意得：60060051.5x x =+化简得600 1.56005 1.5x ⨯=+⨯ 解得40x =1.560x ∴=经检验，40x =是分式方程的解且符合实际意义． 答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件．（2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，则由题意得604030001501207800x y x y +=⎧⎨+⎩①②…由①得75 1.5y x =-③将③代入②得150120(75 1.5)7800x x +-… 解得40x …， 答：甲至少加工了40天．24．（2019·衡阳）某商店购进A 、B 两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等. （1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需多少元：（2）商店准备购买A 、B 两种商品共80个，若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍，并且购买A 、B 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？解：（1）设买一个B 商品为x 元，则买一个A 商品为(x+10)元，则30010010x x =+，解得x ＝5元．所以买一个A 商品为需要15元，买一个B 商品需要5元．（2）设买A 商品为y 个，则买B 商品（80－y ）由题意得4(80)1000155(80)1050y y y y ≥-⎧⎨≤+-≤⎩，解得64≤y≤65；所以两种方案：①买A 商品64个，B 商品16个 ；②买A 商品65个，B 商品15个． 1. （2019·自贡)解方程：xx−1−2x =1.解：方程两边乘以x(x-1)得， x2-2(x-1)=x(x-1)解得，x=2.检验：当x=2时，x(x-1)≠0，∴x=2是原分式方程的解.∴原分式方程的解为x=2.2. （2019·眉山）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？ 解：（1）设乙队每天能完成的绿化面积为xm2，则甲队每天能完成的绿化面积为2xm2， 根据题意，得：60060062x x -=，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，∴2x=100.答：甲队每天能完成的绿化面积为100m2，乙队每天能完成的绿化面积为50m2.（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务.由题意得：100a+50b=3600，则a=722b-=1362b -+，根据题意，得：1.2×722b -+0.5b ≤40，解得：b ≥32.答：至少应安排乙工程队绿化32天.3. （2019·乐山）如图，点A 、B 在数轴上，它们对应的数分别为2-，1+x x，且点A 、B 到原点的距离相等.求x 的值.解：根据题意得：21=+x x，去分母，得)1(2+=x x ， 去括号，得22+=x x ，解得2-=x经检验，2-=x 是原方程的解.4. （2019·达州） 端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子， 节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个，这种粽子的标价是多少？ 解：设粽子的标价是x 元，则节后价格为0.6x,根据题意得：276.07296=+x x ,57.6+72=16.2x, x=8,经检验：x=8是原分式方程的解，且符合题意. 答：这种粽子的标价是8元.BA5. (2019·巴中)在”扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲,乙两种物品慰问贫困户,已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同. ①请问甲,乙两种物品的单价各为多少?②如果该单位计划购买甲,乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?解：(1)设甲物品x 元,则乙物品单价为(x －10)元,根据题意得:50045010x x =-,解之,得x ＝100,经检验,x ＝100是原分式方程的解,所以x －10＝90,答:甲物品单价为100元,乙物品单价为90元.(2)设购买甲种物品a 件,则购买乙种物品(55－a)件,根据题意得5000≤100a+90(55－a)≤5050,解之,得5≤a ≤10,因为a 是整数,所以a 可取的值有6个,故共有6种选购方案.6.(2019·泰安)端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B 两种粽子1100个,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同.已知A 种粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍.(1)求A,B 两种粽子的单价各是多少?(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B 两种粽子共2600个,已知A,B 两种粽子的进价不变.求A 种粽子最多能购进多少个?解：(1)设B 种粽子单价为x 元,则A 种粽子单价为1.2x 元,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同,共花费3000元,故两种粽子都花费1500元,根据题意得:1500150011001.2x x +=,解之,得x ＝2.5,经检验,x ＝2.5是原分式方程的解,∴1.2x ＝3,答:A 种粽子单价为3元,B 种粽子单价为2.5元;(2)设购进A 种粽子y 个,则购进B 种粽子(2600－y)个,根据题意得:3y+2.5(2600－y)≤7000,解之,得:y ≤1000,∴y 的最大值为1000,故A 种粽子最多能购进1000个.7. （2019·无锡）解方程：（2）1421+=-x x .解：去分母得x+1=4（x-2），解得x =3，经检验 x = 3是方程的解.第二批一、选择题4．(2019·海南)分式方程112x =+的解是( )A.x ＝1B.x ＝－1C.x ＝2D.x ＝－2【答案】B【解析】去分母得,1＝x+2,移项,合并,得:x ＝－1,经检验,x ＝－1是原分式方程的解,∴x －1,故选B. 【知识点】分式方程的解法6.（ 2019·广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ） A ．120x=150x−8 B ．120x+8=150x C ．120x−8=150x D ．120x=150x+8【答案】D 【解析】解：设甲每小时做x 个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得方程：120x=150x+8，故选：D ．14.（2019·齐齐哈尔）关于x 的分式方程3111-x a -2x =--x 的解为非负数，则a 的取值范围为.【答案】a ≤4，且a ≠3【解析】方程两边同时乘以(x-1)去分母得(2x-a)+1=3(x-1),∴x=4-a,∵解为非负数， ∴x ≥0且x ≠1∴a ≤4，且a ≠312．（2019·黄石）分式方程：241144x x x -=--的解为 __________________.【答案】x ＝﹣1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：4﹣x ＝x2﹣4x ，即x2﹣3x ﹣4＝0，解得：x ＝4或x ＝﹣1，经检验x ＝4是增根，分式方程的解为x ＝﹣1，12.（2019甘肃天水，12，4分）分式方程1x−1−2x =0的解是_____________. 【答案】x ＝2 【解析】原式通分得：x−2(x−1)x(x−1)=0去分母得：x ﹣2（x ﹣1）＝0 去括号解得，x ＝2经检验，x ＝2为原分式方程的解 故答案为x ＝213. （2019·甘肃）分式方程3512x x =++的解为_____________. 【答案】12【解析】解：去分母，得3655x x +=+，解得12x =， 经检验12x =是分式方程的解．故答案为12． 16.（2019·绵阳）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h ，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km 所用时间相同，则江水的流速为 km/h ． 【答案】10【解析】设江水的流速为xkm/h ，根据题意可得：12030+x=6030−x ，解得：x ＝10，经检验得：x ＝10是原方程的根， 答：江水的流速为10km/h ．16.（2019 ·宿迁）关于x 的分式方程1x−2+a−22−x =1的解为正数，则a 的取值范围是_____________. 【答案】a ＜5且a ≠3【解析】解：去分母得：1﹣a+2＝x ﹣2， 解得：x ＝5﹣a ，解得：a ＜5，当x ＝5﹣a ＝2时，a ＝3不合题意， 故a ＜5且a ≠3．故答案为：a ＜5且a ≠3．三、解答题18. （2019 ·南京）解方程：x x−1−1=3x 2−1． 【思路分析】方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x ﹣1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验．【解题过程】解：方程两边都乘以（x+1）（x ﹣1）去分母得， x （x+1）﹣（x2﹣1）＝3， 即x2+x ﹣x2+1＝3， 解得x ＝2检验：当x ＝2时，（x+1）（x ﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0， ∴x ＝2是原方程的解， 故原分式方程的解是x ＝2．23. （2019 ·扬州）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？【思路分析】直接利用甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等，得出等式求出答案． 【解题过程】解：设甲工程队每天修x 米，则乙工程队每天修(1500)x -米，根据题意可得：360024001500x x =-，解得900x =，经检验得：900x =是原方程的根， 故1500900600()m -=，答：甲工程队每天修900米，乙工程队每天修600米． 【知识点】分式方程的应用16．（2019·陕西）（本题5分）解分式方程：22211x x x -+=--． 【思路分析】去分母，解整式方程，检验根的情况，回答问题．【解题过程】22211x x x -+=-- 22211x x x -+=---方程两边同乘(1)x -，得22(1)2x x -+-=-解得23x =检验：当23x =时，(1)0x -≠，所以23x =是原分式方程的解所以原分式方程的解为23x =．21.（2）（2019·黔三州） (6分)解方程：331221x xx x --=++.【思路分析】（1）根据绝对值的定义，乘方法则，负整数指数幂和零指数幂的运算法则计算即可； （2）首先去分母，将分式方程转化为整式方程，然后解出整式方程即可． 【解题过程】（2）去分母，得2x+2-(x-3)=6x 去括号，得2x+2-x+3=6x ， 移项，得2x-x-6x=-2-3， 合并同类项，得-5x=-5， 系数化为1，得x=1．经检验，x=1是原分式方程的解.【知识点】绝对值的定义；乘方法则；负整数指数幂；零指数幂；解分式方程.22．（2019·毕节）解方程：． 【思路分析】观察可得最简公分母是2（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解题过程】解：去分母得，2x+2﹣（x ﹣3）＝6x ，∴x+5＝6x ，解得，x ＝1经检验：x ＝1是原方程的解． 【知识点】解分式方程．18.（2019•广安）解分式方程：241244x x x x -=--+． 【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：241244x x x x -=--+， 方程两边乘2(2)x -得：2(2)(2)4x x x ---=， 解得：4x =，检验：当4x =时，2(2)0x -≠．所以原方程的解为4x =．【知识点】解分式方程20. （2019·宜宾）甲、乙两辆货车分别从A 、B 两城同时沿高速公路向C 城运送货物．已知A 、C 两城相距450千米，B 、C 两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C 城．求两车的速度．【思路分析】设乙车的速度为x 千米/时，则甲车的速度为(10)x +千米/时，路程知道，且甲车比乙车早半小时到达C 城，以时间做为等量关系列方程求解．【解题过程】解：设乙车的速度为x 千米/时，则甲车的速度为(10)x +千米/时． 根据题意，得：4501440102x x +=+， 解得：80x =，或110x =-（舍去），80x ∴=，经检验，x =，80是原方程的解，且符合题意．当80x =时，1090x +=．答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时．【知识点】分式方程的应用17．（2019·随州）解关于x 的分式方程：963+3x x =-【思路分析】本题考查了分式方程的解法，去分母将分式方程化为整式方程，然后解这个整式方程，求出的解要代入最简公分母中进行检验．【解题过程】解：方程两边同时乘以（3+x ）（3－x ）得9（3－x ）＝6（3+x ），整理得15 x ＝9，解得x ＝35，经检验，x ＝35是原分式方程的解，所以原分式方程的解为x ＝35．【知识点】分式方程的解法；21.（2019·黔东南）（2）解方程：1−x−32x+2=3x x+1【思路分析】（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：（2）去分母得：2x+2﹣x+3＝6x ，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．【知识点】解分式方程18. （2019·菏泽）列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．【思路分析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/分钟，根据“行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟”列出方程并解答．【解题过程】解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/分钟，由题意，得811.8x +36=81x．解得x＝1．经检验，x＝1是所列方程的根，且符合题意．所以1.8x＝1.8（千米/分钟）．答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8千米/分钟．【知识点】分式方程的应用20. （2019·菏泽）解方程：5x−2=3x．【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：去分母得：5x＝3x﹣6，解得：x＝﹣3，经检验x＝﹣3是分式方程的解．【知识点】解分式方程第三批一、选择题9.（2019 ·荆州）已知关于x的分式方程xx−1−2=k1−x的解为正数，则k的取值范围为（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1 【答案】B【解析】解：∵xx−1−k1−x=2，∴x+kx−1=2，∴x＝2+k，∵该分式方程有解，∴2+k≠1，∴k≠﹣1，∵x＞0，∴2+k＞0，∴k＞﹣2，∴k＞﹣2且k≠﹣1，故选：B．【知识点】分式方程的解；解一元一次不等式17．（2019·龙东地区）已知关于x的分式方程213x mx-=-的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3 C．m＞－3 D．m≥－3 【答案】A【解析】由213x mx-=-得x=m-3，∵方程的解是非正数，∴m-3≤0，∴m≤3.当x-3=0即x=3时，3=m-3，m=6，∵m=6不在m≤3内，∴m≤3.故选A.【知识点】分式方程的增根9．（2019·本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元.若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是( )A.360480140x x=- B.360480140x x=- C.360480140x x+=D.360480140x x-=【答案】A.【思路分析】本题考查了分式方程的应用，设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程．【解析】设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：360480140x x=-，故选A．【知识点】分式方程的应用．二、填空题14．（2019·安顺）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为．【答案】205.193636=+-xx【解析】根据种植亩数＝总产量÷平均亩产量结合改良后的种植面积比原计划少20亩，可得出分式方程 解：设原计划平均亩产量为x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克， 依题意，得：205.193636=+-x x 故答案为：205.193636=+-x x【知识点】由实际问题抽象出分式方程12．（2019·永州）方程x x 112=-的解为．【答案】x=－1【解析】去分母得，2x=x －1，解得x=－1，经检验，x=－1是原方程的解，所以原方程的解是x=－1．12．（2019·孝感）方程3221+=x x 的解为 ☆ .答案： x=1三、解答题18. （2019·云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.解：设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h ，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5xkm/h.根据题意得15.1270240=-x x ，解得x ＝60，经检验，x ＝60是原分式方程的解.x ＝60，1.5x ＝90.答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h 和90km/h.21．(2019·大庆)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,求该工厂原来平均每天生产多少台机器?解：设原来每天生产x 台机器,则现在每天生产(x+50)台,根据题意得:45060050xx =+,解之,得x ＝150,经检验,x ＝150是原分式方程的解.答:该工厂原来平均每天生产150台机器.【知识点】分式方程的应用17. （2019·长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务。

第11讲解分式方程知识定位讲解用时：5分钟A 、适用范围：人教版初二，基础较好；B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习解分式方程。

分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型。

在中考中，有关分式的内容所占比例较大，所以要重视本节课知识的学习，学会解分式方程。

知识梳理讲解用时：20分钟分式方程22x 1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.100602020vv3162x x 分式方程整式方程2、判断下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程?2231323=π212x x x x x xx x4371111052131xy x x xx x x x解分式方程的步骤在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想.增根的定义：由去分母后所得的整式方程解出的，使分母为零的根.分式方程的解法：去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).分式方程有增根和无解的区别：（1）分式方程有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，扩大了未知数的取值范围产生的未知数的值，从而使分式方程无解.（2）分式方程无解：指的是无论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，包含两种情况：原方程化去分母后的整式方程无解；原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解.100602020vv转化一元一次方程两边同乘以（20+v ）（20-v ），得100（20-v ）=60（20+v ）解得：v=5检验：当v=5代入分式方程，左边=4=右边所以v=5是原方程的解.解：课堂精讲精练【例题1】下列方程：①；②=2；③y=x；④=；⑤y+1=；⑥1+3（x﹣2）=7﹣x；⑦y2﹣3=．其中，分式方程有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断即可．解：下列方程：①；②=2；③y=x；④=；⑤y+1=；⑥1+3（x﹣2）=7﹣x；⑦y2﹣3=是分式方程的是：②④⑤，共3个；故选：C．讲解用时：2分钟解题思路：此题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．教学建议：熟练掌握分式方程的定义，学会判断分式方程.难度： 2 适应场景：当堂例题例题来源：荣成市校级月考年份：2015【练习1.1】在关于x的方程：①=+，②﹣=0，③ax2=+1，④=，⑤=，⑥+=中，是整式方程，是分式方程．【答案】②③④；①⑤【解析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．解：①=+，⑤=的分母中含未知数，是分式方程；②﹣=0，③ax2=+1，④=的分母中不含未知数，是整式方程；故答案是：②③④；①⑤．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．教学建议：难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】解分式方程：﹣=1．【答案】无解【解析】分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：化为整式方程得：3x﹣（4﹣x2）=x（x﹣1），化简得：4x=4，解得：x=1，经检验x=1时，x（x﹣1）=0，原方程无意义，所以x=1是原方程的增根，所以原方程无解．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．教学建议：解分式方程中很重要的一步要验根，保证分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：岐山县一模年份：2018【练习2.1】解分式方程：+=．【答案】无解【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2x+4﹣4x=3x﹣6，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无实数解．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．教学建议：解分式方程中很重要的一步要验根，保证分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：兴庆区校级一模年份：2018【练习2.2】解方程（1）﹣1=．（2）=．【答案】（1）无解；（2）x=1【解析】（1）直接找出公分母进而去分母解方程即可；（2）直接找出公分母进而去分母解方程即可．解：（1）﹣1=去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，解得：x=1，检验：当x=1时，（x﹣1）（x+2）=0，故此方程无实数根；（2）=去分母得：2x+1=3x，解得：x=1，检验：当x=1时，x（2x+1）≠0，故x=1是原方程的解．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．教学建议：熟练掌握解分式方程的步骤，最后一定要验根，保证分母不等于0. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：澧县三模年份：2018 【例题3】关于x的分式方程=﹣2的根是负数，试确定a的取值范围．关于本题有同学解答如下：解：两边同乘以（x+3），得x﹣a=﹣2（x+3）．化简，得3x=a﹣6．所以x=．因为原方程的根是负数，所以＜0，得a＜6．所以当a＜6时，原方程的根是负数．你认为上述解答正确吗？如果不正确，请说明出错原因，并写出正确解答．【答案】不正确，没有考虑分母不为0的条件【解析】不正确，没有考虑分母不为0的条件，写出正确解答过程即可．解：不正确，没有考虑分母不为0这个条件，正确解答为：两边同乘以（x+3），得x﹣a=﹣2（x+3），化简，得3x=a﹣6，所以x=，因为原方程的根是负数，所以＜0，且≠﹣3，得a＜6且a≠3，所以当a＜6且a≠﹣3时，原方程的根是负数．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．教学建议：在解分式方程的过程中，时刻注意分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：泰兴市校级期中年份：2018【练习3.1】如果关于x的方程+3=无解，试求m的值？【答案】m=1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．解：去分母得：m+3x﹣6=x﹣1，由分式方程无解，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入方程得：m=1．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．教学建议：在解分式方程的过程中，时刻注意分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：筠连县校级期中年份：2017【练习3.2】若关于x的分式方程=1的解为正数，求m的取值范围．【答案】m＞2且m≠3【解析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．解：去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由分式方程的解为正数，得到m﹣2＞0，且m﹣2≠1，解得：m＞2且m≠3．解题思路：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．教学建议：先化分式方程为整式方程，保证分母不等于0，然后解一元一次不等式.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：杜尔伯特县校级期中年份：2018【例题4】已知关于x的方程+=3．（1）当m取何值时，此方程的解为x=3；（2）当m取何值时，此方程会产生增根；（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．【答案】（1）m=-3；（2）m=-4；（3）m＞-6且m≠-4【解析】（1）把x=3代入方程+=3即可得出m的值；（2）根据增根的定义，得出增根x=2，从而得出m的值；（3）把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出m的取值范围．解：（1）把x=3代入方程+=3，得m=﹣3；（2）方程的增根为x=2，2x+m=3x﹣6，所以m=﹣4；（3）去分母得，2x+m=3x﹣6，解得x=m+6，因为x＞0，所以m+6＞0，解得m＞﹣6，因为x≠2，所以m≠﹣4．解题思路：本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：淮安校级期末年份：2015【练习4.1】（1）若解关于x的分式方程+=会产生增根，求m的值．（2）若方程=﹣1的解是正数，求a的取值范围．【答案】（1）m=﹣4或6；（2）a＜2且a≠﹣4【解析】（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．（2）先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx=3（x﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．把x=﹣2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=﹣4或6．（2）解：去分母，得2x+a=2﹣x解得：x=，∵解为正数，∴，∴2﹣a＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣4∴a＜2且a≠﹣4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：简阳市校级月考年份：2015【练习4.2】若方程+=2有增根，求m的值．【答案】0【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）2）=0，得到x=﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．解：方程的两边都乘以（x+1）2，得m+2x（x+1）=2（x+1）2．化简，得m=2x+2∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）2=0，解得x=﹣1，当x=﹣1时，m=2×（﹣1）+2=0．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：原阳县校级月考年份：2016【例题5】已知方程+=有增根，求k的值．【答案】k=-1【解析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．解：方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）+k（x+1）=x（x﹣1）∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，∴增根是x=1或﹣1，当x=1时，k=-1；当x=﹣1时，k无解．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】若分式方程﹣=有增根，求k值及增根．【答案】3或6或9【解析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x（x+1）（x﹣1）=0，所以增根是x=0或﹣1或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．解：方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），得x（k﹣1）﹣（x+1）=（x﹣1）（k﹣5），∵原方程有增根，∴最简公分母x（x+1）（x﹣1），∴增根是x=0或﹣1或1，当x=0时，k=6；当x=﹣1时，k=9；当x=1时，k=3．故k值为3或6或9．讲解用时：3分钟解题思路：增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，请列出关于x的分式方程．【答案】=【解析】关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：．由题意得：=．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】一辆汽车计划从A地出发开往相距180千米的B地，事发突然，加速为原速的1.5倍，结果比计划提前40分钟到达B地，求原计划平均每小时行驶多少千米？【答案】90【解析】设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶 1.5x千米，根据时间=路程÷速度结合结果比计划提前40分钟到达，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶 1.5x千米，根据题意得：﹣=，解得：x=90，经检验，x=90是原分式方程的根，且符合题意．答：原计划平均每小时行驶90千米．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：盘龙区模拟年份：2018【例题7】某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，已知毛笔单价是钢笔单价的 1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支，求钢笔的单价．【答案】10元/支【解析】设钢笔的单价为x元/支，则毛笔的单价为 1.5x元/支，根据数量=总价÷单价结合购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设钢笔的单价为x元/支，则毛笔的单价为 1.5x元/支，根据题意得：﹣=30，解得：x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意．答：钢笔的单价为10元/支．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：长春一模年份：2018【练习7.1】某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1小时，求高铁列车全程的运行时间．【答案】2小时【解析】设高铁列车全程的运行时间为x小时，则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，根据速度=路程÷时间结合铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设高铁列车全程的运行时间为x小时，则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，根据题意得：﹣=90，解得：x1=2，x2=﹣3，经检验，它们都是原方程的根，但x=﹣3不符合题意．答：高铁列车全程的运行时间为2小时．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：松江区二模年份：2018【练习7.2】水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价多少元？【答案】120【解析】设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，根据用1250元所购件数是第一批的2倍，列方程求解．解：设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，由题意得，×2=，解得：x=120，经检验：x=120是原分式方程的解，且符合题意．答：第一批水果每件进价为120元．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：长春二模年份：2018课后作业【作业1】（1）化简：（2）方程的=解是．【答案】（1）﹣；（2）x=﹣4【解析】（1）先通分化为同分母分式相减，再根据法则计算可得；（2）根据解分式方程的步骤计算可得．解：（1）原式=﹣==﹣；（2）两边都乘以2（x+2）（x﹣2），得：8﹣2（x+2）=（x+2）（x﹣2），整理，得：x2+2x﹣8=0，解得：x=2或x=﹣4，检验：x=2时，2（x+2）（x﹣2）=0，舍去；x=﹣4时，2（x+2）（x﹣2）=24≠0，所以原分式方程的解为x=﹣4，故答案为：x=﹣4．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：高淳区二模年份：2018【作业2】若分式方程=a无解，求a的值．【答案】a=1或a=﹣1【解析】直接解分式方程进而分析得出答案a的值．解：∵分式方程=a无解，∴x﹣a=ax+a，整理得：（1﹣a）x=2a，则1﹣a=0或x==﹣1，解得：a=1或a=﹣1．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：吴江区校级月考年份：2017【作业3】（1）若分式方程=2﹣有增根，试求m的值．（2）当x为何值时，分式的值比分式的值大3．【答案】（1）5；（2）x=1【解析】（1）根据等式的性质，可把分式方程转化成整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；（2）根据两个分式值的关系，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．解：（1）方程两边都乘以（x﹣5），得x=2（x﹣5）+m．化简，得m=﹣x+10．分式方程的增根是x=5，把x=5代入方程得m=﹣5+10=5；（2）分式的值比分式的值大3，得﹣=3．方程得两边都乘以（x﹣2），得x﹣3﹣1=3（x﹣2）．解得x=1，检验：把x=1代入x﹣5≠0，x=1是原分式方程的解，当x=1时，分式的值比分式的值大3．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】（1）当m为何值时，方程+=会产生增根．（2）当m为何值时，方程+=无解．（3）已知关于x的方程﹣2=的解为正数，求m的取值范围．【答案】（1）m=﹣10或﹣4；（2）m≠﹣3；（3）m＜6，且m≠3【解析】（1）根据分式方程增根的定义进行解答即可；（2）根据分式方程无解的两种进行解答即可；（3）先解分式方程，再根据解为正数，得出m的取值范围．解：（1）∵方程+=会产生增根，∴x2﹣1=0，∴x=±1，分式方程化为整式方程后得，2（x﹣1）﹣5（x+1）=m，当x=1时，m=﹣10；当x=﹣1时，m=﹣4；∴当m=﹣10或﹣4时，方程+=会产生增根；（2）分式方程化为整式方程后得，3（x+2）+m（x﹣2）=12，整理得，（3+m）x=2m+6，当3+m≠0时，x=2，经检验x=2是分式方程的增根，当m=﹣3时，方程有无数个解，∴当m≠﹣3时，方程+=无解；（3）分式方程化为整式方程后得，x﹣2（x﹣3）=m，整理得，﹣x=m﹣6，∴x=6﹣m，∵关于x的方程﹣2=的解为正数，∴6﹣m＞0且6﹣m≠3，m＜6，且m≠3，∴m的取值范围m＜6，且m≠3；难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】一条小船顺流航行50km后，又立即返回原地．如果船在静水中的速度为akm/h，水流的速度为8km/h，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？【答案】【解析】先求出顺流速度，再求出逆流速度，根据时间=路程÷速度，分别求出逆流航行时间，顺流航行时间，相减即可得出顺流航行比逆流航行少用时间．解：依题意有﹣==小时．答：顺流航行比逆流航行少用小时．难度： 4 适应场景：练习题例题来源：石家庄校级月考年份：2009。

《分式方程应用题》中考常见题型练习1．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高某公司根据市场需求代理A，B 两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多300元，用4万元购进A 型净水器与用3.4万元购进B型净水器的数量相等（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划购进A、B两种型号的净水器共50台进行试销，购买资金不超过9.85万元，其中A型净水器为x台试销时A型净水器每台售价2499元，B型净水器每台售价2099元．公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a元（80＜a＜100）作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W （元），求W的最大值．2．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，改造总费用不超过220万元，至少安排甲队工作多少天？3．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．（1）这两次各购进这种衬衫多少件？（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2100元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？4．在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2：3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做15天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m天，乙队共做了n天完成．已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？5．某书店在图书批发中心选购A、B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多25元，若用2000元购进A种科普书的数量是用750元购进B种科普书数量的2倍．（1）求A、B两种科普书每本进价各是多少元；（2）该书店计划A种科普书每本售价为130元，B种科普书每本售价为95元，购进A 种科普书的数量比购进B种科普书的数量的还少4本，若A、B两种科普书全部售出，使总获利超过1240元，则至少购进B种科普书多少本？6．哈市某段地铁工程由甲、乙两工程队合作30天可完成，若单独施工，甲工程队比乙工程队多用45天．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1.5万元，乙工程队施工每天需付施工费2.4万元，甲工程队最多要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过127万元？7．某超市准备购进A，B两种品牌台灯，其中A每盏进价比B每盏进价贵30元，A每盏售价120元，B每盏售价80元．已知用1040元购进A的数量与用650元购进B的数量相同．（1）求台灯A、B每盏的进价是多少元；（2）超市打算购进A，B台灯共100盏，要求售出A，B的总利润不少于3400元，问至少需购进A台灯多少台？8．某超市预测某品牌饮料有销售前景，用1200元购进一批该饮料，试销售后果然供不应求，又用5400元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价为多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于5400元，那么销售单价至少为多少元？9．某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元．（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元．现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？10．2018年“清明节”前夕，宜宾某花店用1000元购进若干菊花，很快售完，接着又用2500元购进第二批花，已知第二批所购花的数量是第一批所购花数的2倍，且每朵花的进价比第一批的进价多0.5元．（1）第一批花每束的进价是多少元．（2）若第一批菊花按3元的售价销售，要使总利润不低于1500元（不考虑其他因素），第二批每朵菊花的售价至少是多少元？11．某修理厂需要购进甲、乙两种配件，经调查，每个甲种配件的价格比每个乙种配件的价格少0.4万元，且用16万元购买的甲种配件的数量与用24万元购买的乙种配件的数量相同．（1）求每个甲种配件、每个乙种配件的价格分别为多少万元；（2）现投入资金80万元，根据维修需要预测，甲种配件要比乙种配件至少要多22件，问乙种配件最多可购买多少件．12．安排甲、乙两队绿化面积为1800m2的区域．已知甲队每天可绿化面积为乙队的一半，且在独立绿化面积为400m2的区域时比乙队多用4天．（1）求甲、乙两队每天可绿化面积；（2）若每天需付甲队0.25万元，乙队0.4万元，要使总费用不超过8万元，至少应安排乙队绿化多少天？13．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？14．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备A型B型价格（万元/台）m m﹣3月处理污水量（吨/台）220 180（1）求m的值；（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过156万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．15．在石家庄地铁3号线的建设中，某路段需要甲乙两个工程队合作完成．已知甲队修600米和乙队修路450米所用的天数相同，且甲队比乙队每天多修50米．（1）求甲队每天修路多少米？（2）地铁3号线全长45千米，若甲队施工的时间不超过120天，则乙队至少需要多少天才能完工？16．小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？17．有一项工程，乙队单独完成所需的时间是甲队单独完成所需时间的2倍，若两队合作4天后，剩下的工作甲单独做还需要6天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天；（2）若甲队每天的报酬是1万元，乙队每天的报酬是0.3万元，要使完成这项工程时的总报酬不超过9.6万元，甲队最多可以工作多少天？18．时代天街某商场经营的某品牌书包，6月份的销售额为20000元，7月份因为厂家提高了出厂价，商场把该品牌书包售价上涨20%，结果销量减少50个，使得销售额减少了2000元．（1）求6月份该品牌书包的销售单价；（2）若6月份销售该品牌书包获利8000元，8月份商场为迎接中小学开学做促销活动，该书包在6月售价的基础上一律打八折销售，若成本上涨5%，则销量至少为多少个，才能保证8月份的利润比6月份的利润至少增长6.25%？19．荔枝上市后，某水果店的老板用500元购进第一批荔枝，销售完后，又用800元购进第二批荔枝，所购件数是第一批购进件数的2倍，但每件进价比第一批进价少5元．（1）求第一批荔枝每件的进价；（2）若第二批荔枝以30元/件的价格销售，在售出所购件数的50%后，为了尽快售完，决定降价销售，要使第二批荔枝的销售利润不少于300元，剩余的荔枝每件售价至少多少元？20．为落实“美丽城区”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造480米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过66万元，至少安排甲队工作多少天？参考答案1．解：（1）设每台B型净水器的进价为x元，则每台A型净水器的进价为（x+300）元，依题意，得：＝，解得：x＝1700，经检验，x＝1700是原方程的解，且符合题意，∴x+300＝2000．答：每台A型净水器的进价为2000元，每台B型净水器的进价为1700元．（2）∵购进x台A型净水器，∴购进（50﹣x）台B型净水器，依题意，得：W＝（2499﹣2000﹣a）x+（2099﹣1700）（50﹣x）＝（100﹣a）x+19950．∵购买资金不超过9.85万元，∴2000x+1700（50﹣x）≤98500，解得：x≤45．∵80＜a＜100，∴100﹣a＞0，∴W随x值的增大而增大，∴当x＝45时，W取得最大值，最大值为（24450﹣45a）元．2．解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.5x＝60．答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据题意得：7m+5×≤220，解得：m≥10．答：至少安排甲队工作10天．3．解：（1）设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，依题意，得：﹣＝10，经检验，x＝15，经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，∴2x＝30．答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件．（2）由（1）可知，第一次购进衬衫的单价为150元/件，第二次购进衬衫的单价为140元/件，设第二批衬衫的售价为y元/件，依题意，得：（200﹣150）×30+（y﹣140）×15≥2100，解得：y≥180．答：第二批衬衫每件至少要售180元．4．解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要2x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，依题意，得：+＝1，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，∴2x＝60，3x＝90．答：甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天．（2）由题意，得：+＝1，∴n＝90﹣m．设施工总费用为w万元，则w＝15m+8n＝15m+8×（90﹣m）＝3m+720．∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，∴，∴20≤m≤40．∵15＞0，∴w 值随m 值的增大而增大，∴当m ＝20时，完成此项工程总费用最少，此时n ＝90﹣m ＝60，w ＝780万元．答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元．5．解：（1）设B 种科普书每本的进价为x 元，则A 种科普书每本的进价为（x +25）元， 根据题意得：＝2×，解得：x ＝75，经检验，x ＝75是所列分式方程的解，∴x +25＝100．答：A 种科普书每本的进价为100元，B 种科普书每本的进价为75元．（2）设购进B 种科普书m 本，则购进A 种科普书（m ﹣4）本，根据题意得：（130﹣100）（m ﹣4）+（95﹣75）m ＞1240，解得：m ＞45，∵m 为正整数，且m ﹣4为正整数，∴m 为3的倍数，∴m 的最小值为48．答：至少购进B 种科普书48本．6．解：（1）设乙工程队单独完成此项工程需要x 天，则甲工程队单独完成此项工程需要（x +45）天， 依题意，得：+＝， 整理，得：x 2﹣15x ﹣1350＝0，解得：x 1＝45，x 2＝﹣30，经检验，x 1＝45，x 2＝﹣30是原方程的解，x 1＝45符合题意，x 2＝﹣30不符合题意，舍去，∴x ＝45，x +45＝90．答：甲工程队单独完成此项工程需要90天，乙工程队单独完成此项工程需要45天．（2）设甲工程队单独施工m天后，则甲、乙两工程队需合作施工天才能完成任务，依题意，得：1.5×（m+）+2.4×≤127，解得：m≤50．答：甲工程队最多要单独施工50天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过127万元．7．解：（1）设B台灯每盏的进价为x元，则A台灯每盏的进价为（x+30）元，依题意，得：＝，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴x+30＝80．答：A台灯每盏的进价为80元，B台灯每盏的进价为50元．（2）设购进A台灯m台，则购进B台灯（100﹣m）台，依题意，得：（120﹣80）m+（80﹣50）（100﹣m）≥3400，解得：m≥40．答：至少需购进A台灯40台．8．解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第一批饮料进货单价为（x+2）元，依题意，得：＝3×，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价为4元．（2）第一批饮料进货数量为1200÷4＝300（瓶），第二批饮料进货数量为5400÷（4+2）＝900（瓶）．设销售单价为y元，依题意，得：（300+900）y﹣（1200+5400）≥5400，解得：y≥10．答：销售单价至少为10元．9．解：（1）设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为（x+10）元，依题意，得：1.2（x+10）+x≤34，解得：x≤10．答：购入的B种原料每千克的价格最高不超过10元．（2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为（a+30）元，依题意，得：＝，解得：a＝50，经检验，a＝50是原方程的解，且符合题意．答：这种产品的批发价为50元．10．解：（1）设第一批花每束的进价是x元，则第二批花每束的进价是（x+0.5）元，根据题意得：×2＝，解得：x＝2，经检验：x＝2是原方程的解，且符合题意．答：第一批花每束的进价是2元．（2）由（1）可知第二批菊花的进价为2.5元．设第二批菊花的售价为m元，根据题意得：×（3﹣2）+×（m﹣2.5）≥1500，解得：m≥3.5．答：第二批花的售价至少为3.5元．11．解：（1）设每个乙种配件的价格为x万元，则每个甲种配件的价格为（x﹣0.4）万元，根据题意得：＝，解得：x＝1.2，经检验，x＝1.2是原分式方程的解，∴x﹣0.4＝1.2﹣0.4＝0.8．答：每个甲种配件的价格为0.8万元、每个乙种配件的价格为1.2万元．（2）设购买甲种配件m件，购买乙种配件n件，根据题意得：0.8m+1.2n＝80，∴m＝100﹣1.5n．∵甲种配件要比乙种配件至少要多22件，∴m﹣n≥22，即100﹣1.5n﹣n≥22，解得：n≤31.2，∵m，n均为非负整数，∴n的最大值为30．答：乙种配件最多可购买30件．12．解：（1）设甲队每天可绿化面积为xm2，则乙队每天可绿化面积为2xm2，根据题意得：﹣＝4，解得：x＝50，经检验，x＝50是所列分式方程的解，∴2x＝100．答：甲队每天可绿化面积为50m2，乙队每天可绿化面积为100m2．（2）设应安排乙队绿化m天，则安排甲队绿化天，根据题意得：0.25×+0.4m≤8，解得：m≥10．答：至少应安排乙队绿化10天．13．解：（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，∴2x＝600．答：甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米．（2）设甲队先单独工作y天，则甲乙两工程队还需合作＝（﹣y）天，依题意，得：7000（y+﹣y）+5000（﹣y）≤79000，解得：y≥1，∴﹣y≤﹣＝6．答：两工程队最多可以合作施工6天．14．解：（1）依题意，得：＝，解得：m＝18，经检验，m＝18是原方程的解，且符合题意．∴m＝值为18．（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（10﹣x）台，依题意得：18x+15（10﹣x）≤156，解得：x≤2，∵x是整数，∴有3种方案．当x＝0时，y＝10，月处理污水量为180×10＝1800吨，当x＝1时，y＝9，月处理污水量为220+180×9＝1840吨，当x＝2时，y＝8，月处理污水量为220×2+180×8＝1880吨，答：有3种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为1880吨．15．解：（1）设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x﹣50）米，依题意，得：＝，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．答：甲队每天修路200米．（2）设乙队需要y天才能完工，依题意，得：45000﹣（200﹣50）y≥200×120，解得：y≤140．答：乙队至少需要140天才能完工．16．解：（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，依题意，得：＝，解得：x＝0.5，经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，∴x+0.3＝0.8．答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，解得：m≤．∵m为正整数，∴m的最大值为8．答：大本作业本最多能购买8本．17．解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要2x天，依题意，得：+＝1，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，∴2x＝24．答：甲队单独完成这项工程需要12天，乙队单独完成这项工程需要24天．（2）设甲队工作m天，则乙队工作天，依题意，得：m+0.3×≤9.6，整理，得：0.4m≤2.4，解得：m≤6．答：甲队最多可以工作6天．18．解：（1）设6月份该品牌书包的销售单价为x元，则7月份该品牌书包的销售单价为（1+20%）x元，依题意，得：﹣＝50，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．答：6月份该品牌书包的销售单价为100元．（2）6月份该品牌书包的销售数量为20000÷100＝200（个），6月份该品牌书包的进价为（20000﹣8000）÷200＝60（元）．设8月份该品牌书包的销售数量为y个，依题意，得：[100×0.8﹣（1+5%）×60]y≥8000×（1+6.25%），解得：y≥500．答：销量至少为500个时，才能保证8月份的利润比6月份的利润至少增长6.25%．19．解：（1）设第一批荔枝每件的进价为x元，则第二批荔枝每件的进价为（x﹣5）元，依题意，得：2×＝，解得：x＝25，经检验，x＝25是原分式方程的解，且符合题意．答：第一批荔枝每件的进价为25元．（2）第二批购进荔枝的件数为800÷（25﹣5）＝40（件）．设剩余的荔枝每件售价为y元，依题意，得：[30﹣（25﹣5）]×40×50%+[y﹣（25﹣5）]×40×50%≥300，解得：y≥25．答：剩余的荔枝每件售价至少为25元．20．解：（1）设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路x米，依题意，得：﹣＝4，解得：x＝40，经检验，x＝40是分式方程的解，且符合题意，∴x＝60．答：甲工程队每天能改造道路60米，乙工程队每天能改造道路40米．（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，依题意，得：3m+2.4×≤66，解得：m≥10．答：至少安排甲队工作10天．。

第六讲——分式方程考向一 解分式方程1．（2020·江苏常州·中考真题）解方程：2211x x x+=--； 【答案】x=0；【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；【解析】解：（1）2211x x x+=-- 去分母得：x 2=2x 2－－ 解得x=0，经检验x=0是分式方程的解；【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．2．（2020·山东济南·中考真题）代数式31x -与代数式23x -的值相等，则x ＝_____．【答案】7【分析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．【解析】解：根据题意得：3213x x =--，去分母得：3x ﹣9＝2x ﹣2，解得：x ＝7，经检验x ＝7是分式方程的解．故答案为：7．【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．1．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________．【答案】()2x x -x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【解析】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x-的最简公分母是()2x x -，方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-，移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．2.（2020·湖南郴州·中考真题）解方程：24111x x x =+--【答案】x=3．【分析】观察可得方程最简公分母为(x 2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．【解析】解：24111x x x =+--去分母得，2(1)41x x x +=+- 解得，x=3，经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．考向二 分式方程的解1．（2020·四川遂宁·中考真题）关于x 的分式方程2mx -﹣32x-＝1有增根，则m 的值（ ）A ．m ＝2B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可．【解析】解：去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0，解得：m ＝﹣3，故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解，则m 的值为__．【答案】-1或5或13-【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.【解析】去分母得：()443x m x m ++-=+，可得：()151m x m +=-，当10m +=时，一元一次方程无解，此时1m =-，当10m +¹时，则5141m x m -==±+，解得：5m =或13-.故答案为：1-或5或13-.【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.1．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，则m =_________．【答案】3．【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x 的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m 的值．【解析】解：去分母得：()332x m x =++-，整理得：21x m =+，∵关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，即20x -=，∴2x =，把2x =代入到21x m =+中得：221m ´=+，解得：3m =，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．2．（山东东营·中考真题）若分式方程无解，则的值为．【答案】±1【解析】去分母得：x-a=ax+a ，整理得：（1-a ）x=2a ，由于分式方程无解，所以由两种情况：①分母为0，即x=-1,所以a-1=2a ，解得a=-1；②整式方程无解，即1-a=0，解得a=1；综上a=±1.考点：分式方程的解.1．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x 的分式方程32x x -＝2mx-+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣10B ．m ≤﹣10C ．m ≥﹣10且m ≠﹣6D ．m ＞﹣10且m ≠﹣6【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m 的范围即可．【解析】解：去分母得35(2)x m x =-+-，解得102m x +=，由方程的解为正数，得到100m +>，且2x ¹，104m +¹，则m 的范围为10m >-且6¹-m ，故选：D ．【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m 的范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．2．（四川成都·中考真题）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是.【答案】12k >且1k ¹．分析：分式方程去分母得：()()()()211121211x k x k x x x k k +--+=-Þ=-+-+¹±.【解析】∵分式方程解为负数，∴12102k k-+Þ.由211k -+¹±得0k ¹和1k ¹∴k 的取值范围是12k >且1k ¹．考点：1.分式方程的解；2.分式有意义的条件；3.解不等式；4.分类思想的应用．1．（2020·四川泸州·中考真题）已知关于x 的分式方程3211m x x+=---的解为非负数，则正整数m 的所有个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．【解析】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，移项、合并，解得：x=52m-，∵分式方程的解为非负数，∴52m -≥0且52m-≠1，解得：m≤5且m≠3，∵m 为正整数∴m=1，2，4，5，共4个，故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．2．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知关于x 的分式方程433x kx x-=--的解为非正数，则k 的取值范围A ．12k £-B ．12k -≥C ．12k >-D ．12k <-【答案】A【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．【解析】解：方程433x k x x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-，∴412x x k -+=-，∴312x k -=--，∴43kx =+，∵解为非正数，∴403k+£，∴12k £-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．1．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x kx x x +=+--+的解满足41x -<<-，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定【答案】A【分析】先解出关于x 的分式方程得到x=63k-，代入41x -<<-求出k 的取值，即可得到k 的值，故可求解．【解析】关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+得x=217k -，∵41x -<<-∴21471k --<<-解得-7＜k ＜14∴整数k 为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k 中，含负整数6个，正整数13个，∴k 值的乘积为正数,故选A ．【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．1．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ）A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4【答案】D【分析】解带参数m 的分式方程，得到2122m x m m ==+--，即可求得整数m 的值．【解析】解：21mx x=-，两边同时乘以()1x x -得：()21x m x =-，去括号得：2x mx m =-，移项得：2x mx m -=-，合并同类项得：()2m x m -=-，系数化为1得：2122m x m m ==+--，若m 为整数，且分式方程有正整数解，则3m =或4m =，当3m =时，3x =是原分式方程的解；当4m =时，2x =是原分式方程的解；故选：D ．【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．考向三 分式方程的应用1．（2020·湖北荆州·中考真题）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A ．10x -102x=20B ．102x -10x=20C ．10x -102x =13D ．102x -10x =13【答案】C【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解析】由题意可得，10x -102x =13，故选：C ．【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．2．（2020·辽宁朝阳·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（）A．807250405x x´=´+B．807240505x x´=´+C．728040505x x´=´-D．728050405x x´=´-【答案】B【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．【解析】设班级共有x名学生，依据题意列方程得，807240505x x´=´+故选：B．【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．1．（2020·浙江嘉兴·中考真题）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．【答案】10406 x x=+【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．【解析】解：根据题意得，10406x x=+，故答案为：10406x x=+【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．2．（2020·山东淄博·中考真题）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100≈1.47等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？【答案】（1）从A地到景区B旅游可以少走35千米；（2）施工队原计划每天修建0.14千米．【解析】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝CDBC，BC＝1000千米，∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝＝50（千米），∴AB＝50+50（千米），∴AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，﹣＝50，解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建0.14千米．点评：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．1.（2020辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x 件，根据题意可列方程为（ ）A ．8042003000-=x x B ．x x 4200803000=+C ．8030004200-=xxD ．8042003000+=x x 【分析】设原来平均每人每周投递快件x 件，则现在平均每人每周投递快件（x +80）件，根据人数＝投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设原来平均每人每周投递快件x 件，则现在平均每人每周投递快件（x +80）件，依题意，得：8042003000+=x x ．故选：D ．2．（2019·湖南株洲·中考真题）关于x 的分式方程2503x x -=-的解为（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：2650x x --=，解得：2x =-，经检验2x =-是分式方程的解，故选B ．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．3．（2020·辽宁鞍山·中考真题）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x 个零件，所列方程正确的是（ ）A ．2403006x x =-B ．2403006x x =+C ．2403006x x=-D ．2403006x x=+【答案】B【分析】根据“甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等”，列出方程即可．【解析】解：根据题意得：2403006x x =+，故选B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．4．（2019·四川遂宁·中考真题）关于x 的方程1242k xx x -=--的解为正数，则k 的取值范围是（ ）A ．4k >-B ．4k <C ．4k >-且4k ¹D ．4k <且4k ¹-【答案】C【分析】先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.【解析】解：分式方程去分母得：(24)2k x x --=，解得：44k x +=，根据题意得：404k +>，且424k +¹，解得：4k >-，且4k ¹．故选C ．【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.5．（四川凉山·中考真题）关于x 的方程32211x mx x -=+++无解，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．5【答案】A【解析】解：去分母得：3x ﹣2=2x +2+m ①．由分式方程无解，得到x +1=0，即x =﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m ，解得：m =﹣5．故选A ．6．（2020·广西中考真题）甲、乙两地相距600km ，提速前动车的速度为/vkm h ，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min ，则可列方程为（ ）A ．60016003 1.2-=v v B ．60060011.23v v =- C ．60060020 1.2v v -= D ．600600201.2v v=-【答案】A【分析】行驶路程都是600千米；提速前后行驶时间分别是：600600,1.2v v；因为提速后行车时间比提速前减少20min ，所以，提速前的时间-提速后的时间=20min ．【解析】根据提速前的时间-提速后的时间=20min ，可得60060011.23-=v v 即60016003 1.2-=v v故选：A 【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．7．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x 的方程201m x x-=+的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．2m <B ．2m <且0m ¹C ．2m >D ．2m >且4m ¹【答案】C【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解.【解析】解：∵解方程21mx x-=+，去分母得：()210mx x-+=，整理得：()22m x-=，∵方程有解，∴22xm=-，∵分式方程的解为正数，∴22m>-，解得：m＞2，而x≠-1且x≠0，则22m-≠-1，22m-≠0，解得：m≠0，综上：m的取值范围是：m＞2.故选C.【点睛】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．8．（2020·湖南长沙·中考真题）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（）A．40050030x x=-B．40050030x x=+C．40050030x x=-D．40050030x x=+【答案】B【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．【解析】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：40050030x x=+．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．9．（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式结3132xxx a-ì£+ïíï£î的解集为x a£；且关于y的分式方程34122y a yy y--+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．7B．－14C．28D．－56【答案】A【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．【解析】解：解不等式3132xx-£+，解得x≤7，∴不等式组整理的7xx a£ìí£î，由解集为x≤a，得到a≤7，分式方程去分母得：y−a ＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a ，解得：y ＝+23a ，由y 为正整数解且y ≠2，得到a ＝1，7，1×7＝7，故选：A ．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10.（2019·黑龙江伊春·中考真题）已知关于x 的分式方程213x mx -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ）A ．3m £B ．3m <C ．3m >-D ．3m ³-【答案】A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可【解析】213x mx -=-，方程两边同乘以3x -，得23x m x -=-，移项及合并同类项，得3x m =-，Q 分式方程213x mx -=-的解是非正数，30x -¹，30(3)30m m -£ì\í--¹î，解得，3m £，故选A ．【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值11．（2020·辽宁抚顺·中考真题）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x 件，根据题意可列方程为（ ）A ．3000420080x x =- B ．3000420080x x += C ．4200300080x x =- D ．3000420080x x =+【答案】D【分析】设原来平均每人每周投递快件x 件，则现在平均每人每周投递快件（x +80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x 件，则现在平均每人每周投递快件（x +80）件，根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：3000420080x x =+，故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．12．（2019·重庆中考真题）若数a 使关于x 的不等式组12(7)34625(1)xx x a x ì--ïíï->-î…有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程12311y ay y--=---的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【答案】A【分析】先解不等式组12(7)34625(1)xx x a x ì--ïíï->-î…根据其有三个整数解，得a 的一个范围；再解关于y 的分式方程12311y ay y--=---，根据其解为正数，并考虑增根的情况，再得a 的一个范围，两个范围综合考虑，则所有满足条件的整数a 的值可求，从而得其和．【解析】解：由关于x 的不等式组12(7)34625(1)x x x a x ì--ïíï->-î…，得32511x a x ìïí+>ïî…∵有且仅有三个整数解，∴25311a x +<…，1x =，2，或3．∴250111a +<…，∴532a -<<；由关于y 的分式方程12311y a y y--=---得1 2 31y a y -+=--（），∴2y a =-，∵解为正数，且1y =为增根，∴2a <，且1a ¹，∴522a -<<，且1a ¹，∴所有满足条件的整数a 的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．故选A ．【点睛】本题属于含一元一次不等式组和含分式方程的综合计算题，比较容易错，属于易错题．13．（2020·福建中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ）A ．62103(1)-=x xB ．621031=-x C ．621031-=x xD ．62103=x【答案】A【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．【解析】解：由题意得：62103(1)-=x x，故选A.【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．14．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x 个零件，下列方程正确的是（ ）A ．240280130x x =-B ．240280130x x =-C ．240280130x x+=D ．240280130x x-=【答案】A【分析】设甲每天做x 个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．【解析】解：设甲每天做x 个零件，根据题意得：240280130x x=-，故选：A ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．15．（2020·山东菏泽·中考真题）方程111x x x x -+=-的解是______．【答案】13x =【分析】方程两边都乘以(1)x x -化分式方程为整式方程，解整式方程得出x 的值，再检验即可得出方程的解．【解析】方程两边都乘以(1)x x -，得：2(1)(1)x x x -=+，解得：13x =，检验：13x =时，2(1)09x x -=-¹，所以分式方程的解为13x =，故答案为：13x =．【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．16．（2019·山东烟台·中考真题）若关于x 的分式方程33122x m x x +-=--有增根，则m 的值为_____.【答案】3【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m 的值．【解析】去分母得3x-(x-2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3 ∴m=3．故答案为3．【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．17．（2020·四川眉山·中考真题）关于x 的分式方程11222k x x-+=--的解为正实数，则k 的取值范围是________．【答案】2k >-且2k ¹【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．【解析】解：11222k x x -+=--方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1，解得22k x +=222k +¹Q ，022k +>2k \>-，且2k ¹故答案为：2k >-且2k ¹【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．18．（2020·江苏徐州·中考真题）方程981x x =-的解为_______．【答案】9.x =【分析】去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，并检验即可得到答案．【解析】解：981x x =-Q()918,x x \-= 998,x x \-= 9,x \= 经检验：9x =是原方程的根，所以原方程的根是：9.x = 故答案为：9.x =【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握去分母解分式方程是解题的关键．19．（2020·广西河池·中考真题）方程121x +＝12x -的解是x ＝_____．【答案】-3【分析】根据解分式方程的步骤解答即可，注意求出x 的值后记得要代入原方程进行检验，看是否有意义．【解析】解：方程的两边同乘（2x +1）×（x ﹣2），得：x ﹣2＝2x +1，解这个方程，得：x ＝﹣3，经检验，x ＝﹣3是原方程的解，∴原方程的解是x ＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题主要考查了分式的求解，首先需要注意要给等式两边同时乘以最简公分母，其次计算结束后要对方程的解进行检验，要求熟练掌握分式方程的解题规则．20．（2020·内蒙古中考真题）分式方程3122x xx x-+=--的解是_____．【答案】x =53【分析】根据分式方程的解题步骤解出即可．【解析】3122x xx x-+=-- 方程左右两边同乘x －2,得 3－x －x =x －2．移项合并同类项,得 x =53．经检验, x =53是方程的解．故答案为: x =53．【点睛】本题考查分式方程的解法,关键在于熟练掌握解法步骤注意检验．21．（2020·内蒙古包头·初三学业考试）若关于x 的方程22222x a ax x-+=--的解为非负数，则a 的取值范围是__________【答案】a≤1且1a 2¹【分析】先求出分式方程的解，然后结合方程的解为非负数，即可求出a 的取值范围．【解析】解：∵22222x a ax x-+=--，∴222(2)x a a x --=-，∴424x a x -=-，∴44x a =-；∵0x ³，20x -¹，∴440a -³，442a -¹，∴1a £，12a ¹，故答案为：1a £且12a ¹；【点睛】本题考查解分式方程，由分式方程的解求参数的取值范围，解题的关键是正确求出分式方程的解．22．（四川眉山·中考真题）已知关于x 的分式方程233x kx x -=--有正数解，则k 的取值范围为________.【答案】k <6且k ≠3分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．【解析】233x kx x -=--，方程两边都乘以（x-3），得x=2（x-3）+k ，解得x=6-k≠3，关于x 的方程程233x k x x -=--有正数解，∴x=6-k ＞0，k ＜6，且k≠3，∴k 的取值范围是k ＜6且k≠3．故答案为k ＜6且k≠3．点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k 的范围是解此题的关键．23．（2020·黑龙江大庆·中考真题）解方程：24111x x x -=--【答案】3【分析】去分母化成整式方程，求出x 后需要验证，才能得出结果；【解析】24111x x x -=--，去分母得：214x x -+=，解得：3x =．检验：把3x =代入1x -中，得-=-=¹13120x ，∴3x =是分式方程的根．【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．24．（2020·陕西中考真题）解分式方程：2312x x x --=-．【答案】x ＝45．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：方程2312x x x --=-，去分母得：x 2﹣4x +4﹣3x ＝x 2﹣2x ，移项得：-5x=-4，系数化为1得：x ＝45，经检验x ＝45是分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程．利用了转化的思想，解分式方程要注意检验．25．（2020·江苏泰州·中考真题）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A 为全程25km 的普通道路，路线B 包含快速通道，全程30km ，走路线B 比走路线A 平均速度提高50%，时间节省6min ，求走路线B 的平均速度．【答案】75km/h【分析】根据题意，设走线路A 的平均速度为/xkm h ，则线路B 的速度为1.5/xkm h ，由等量关系列出方程，解方程即可得到答案．【解析】解：设走线路A 的平均速度为/xkm h ，则线路B 的速度为1.5/xkm h ，则2563060 1.5x x-=，解得：50x =，检验：当50x =时，1.50x ¹，∴50x =是原分式方程的解；∴走路线B 的平均速度为：50 1.575´=（km/h ）；【点睛】本题考查分式方程的应用，以及理解题意的能力，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解．26．（2020·辽宁沈阳·中考真题）某工程队准备修建一条长3000m 的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？【答案】原计划每天修建盲道300米【分析】可设原计划每天修建盲道x 米，由“实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%”可知实际每天修建(125%)x +米，表示出原计划和实际修建3000m 的盲道所用的时间，根据“提前2天完成这一任务”可列出关于x 的分式方程，求解即可.【解析】解：设原计划每天修建盲道x 米，根据题意，得300030002(125%)x x-=+．解这个方程，得300x =．经检验：300x =是所列方程的根．答：原计划每天修建盲道300米【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找准题中等量关系列出方程是解题的关。

中考复习习题分式方程组及其应用1．若关于x 的分式方程3x －a＝1的解是x ＝2，则常数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－22．(2019·哈尔滨)方程23x －1＝3x的解为( ) A ．x ＝311 B ．x ＝113C ．x ＝37D ．x ＝733．(2020·原创)已知关于x 的分式方程x x －3－2＝k x －3的解是正数，则k 的取值范围是( )A ．k ＜6B ．k≠3C ．k ＜6且k≠3D ．k≤6且k≠34．(2018·潍坊)当m ＝____时，解分式方程x －5x －3＝m 3－x会出现增根． 5．(2019·滨州)方程x －3x －2＋1＝32－x的解是________． 6．(2019·自贡)解方程：x x －1－2x＝1.7．(2019·达州)端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子，节前，按标价购买，用了96元，节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少．参考答案1．A 2.C 3.C 4.2 5.x ＝16．解：给方程两边同乘以x(x －1)去分母得 x 2－2(x －1)＝x(x －1)，整理得x 2－2x ＋2＝x 2－x ，解得x ＝2，检验：将x ＝2代入x(x －1)得2×(2－1)＝2≠0， ∴原分式方程的解是x ＝2.7．解：设这种粽子的标价为x 元，根据题意列方程得 96x ＋720.6x＝27， 解得x ＝8，经检验，x ＝8是分式方程的解，同时满足题意， 答：这种粽子的标价是8元．。

第3节 分式方程的解法及应用A 组1．(2020徐州)方程9x ＝8x －1的解为 x ＝9 ． 2．若分式x 2－1x ＋1的值等于0，则x 的值为( D ) A ．±1B ．0C ．－1D ．13．(2020宜宾)学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15 000元购买科普类图书的本数与用12 000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x 元，则列方程正确的是( B )A.15 000x －8＝12 000x B ．15 000x ＋8＝12 000x C ．15 000x ＝12 000xD ．15 000x ＝12 000x＋8 4．解分式方程：(1)(2020大庆)2x x －1－1＝4x －1； 解：去分母，得2x －(x －1)＝4.解得x ＝3.检验：当x ＝3时，x －1＝2≠0.∴x ＝3是分式方程的解．(2)(2020陕西)x －2x －3x －2＝1. 解：去分母，得x 2－4x ＋4－3x ＝x 2－2x .解得x ＝45. 检验：当x ＝45时，x (x －2)≠0. ∴x ＝45是分式方程的解． B 组5．深圳市某中学为了更好地改善教学和生活环境，该学校计划在2020年暑假对两栋主教学楼重新进行装修．(1)由于时间紧迫，需要雇佣建筑工程队完成这次装修任务．现在有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成，如果乙工程队单独施工则要超过期限6天才能完成，若两队合作4天，剩下的由乙队单独施工，则刚好也能如期完工，那么，甲工程队单独完成此工程需要多少天？(2)装修后，需要对教学楼进行清洁打扫，学校准备选购A ，B 两种清洁剂共100瓶，其中A 种清洁剂6元/瓶，B 种清洁剂9元/瓶．要使购买总费用不多于780元，则A 种清洁剂最少应购买多少瓶？解：(1)设甲工程队单独完成此工程需要x 天，则乙工程队单独完成此工程需要(x ＋6)天．依题意，得4x ＋x x ＋6＝1.解得x ＝12. 经检验，x ＝12是原方程的解，且符合题意．答：甲工程队单独完成此工程需要12天．(2)设A 种清洁剂应购买a 瓶，则B 种清洁剂应购买(100－a )瓶．依题意，得6a ＋9(100－a )≤780.解得a ≥40.答：A 种清洁剂最少应购买40瓶．C 组6．(北师八下P128习题5.8T3改编)某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道，铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．(1)求原计划每天铺设管道的长度；(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，完成整个工程市政部门应该支付工人工资多少？解：(1)设原计划每天铺设x m 管道，则后来每天铺设(1＋20%)x m.根据题意，得120x ＋300－120（1＋20%）x＝30. 解得x ＝9.经检验，x ＝9是原分式方程的解，且符合题意．答：原计划每天铺设管道的长度为9 m.(2)实际每天铺设管道的长度为(1＋20%)x ＝1.2×9＝10.8，支付工人的工资为120÷9×600＋(300－120)÷10.8×600×(1＋30%)＝21 000(元)．答：完成整个工程市政部门应该支付工人工资21 000元．。

1. （2020四川省遂宁市，9，4分）遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克．为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克．种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x 万千克，则改良后平均亩产量为1.5x 万千克．根据题意列方程为( )．A ．36369201.5x x +-=B ．3636201.5x x -=C ．36936201.5x x -=＋D ．36369201.5x x ++=【答案】A ．【解析】相等关系：原计划种植亩数－实际种植亩数＝20． 由题意可得方程36369201.5x x +-=．注意 此类题并不难，同学们出错最多的地方就是审题不清，而误选其它答案．这样可以少出错：一是要明白x 的含义，而是要区分是谁与谁的差，这样不容易不错．2. （2020四川省自贡市，3，4分）方程211x x -+＝0的解是 ······························ （ ） A ．1或－1B ．－1C ．0D ．1【答案】D3. （2020天津市，8，3分）分式方程xx 332=-的解是（ ） A.x=0 B.x=3 C.x=5 D.x=9【答案】D4. (2020年山东省济宁市)解分式方程22311x x x++=--时，去分母后变形正确的为（ ） A. 2+（x +2）=3（x －1） B. 2－x +2=3（x －1）C. 2－（x +2）=3D. 2－（x +2）=3（x －1） 【答案】D5. （2020贵州遵义，7，3分）若x =3是分式方程2102a x x --=-的根，则a 的值是 （ ） A ．5 B ．-5 C ．3 D ．-3【答案】A【解析】解：根据方程根的意义，将x =3代入分式方程得：2103a --=，即转换成关于a 的一元一次方程，解得a =5，故选A ．6.（2020湖南常德，7，3分）分式方程23122x x x+=--的解为（ ） A. 1 B. 2 C. 13 D. 0 【答案】A1. （2020四川省巴中市，14，3分）分式方程322x x=+的解x = ． 【答案】 4．2. （2020山东省德州市，14，4分）方程的解为x = .【答案】23. （2020湖南省长沙市，16，3分）分式方程572x x =-的解为________． 【答案】5x =-【解析】4. （2020四川省凉山州市，16，4分）分式方程233x x =-的解是 .【答案】9x =【解析】解：方程两边乘(3)x x -，得239x x =-；移项，合并得9x =，故答案为9x =.5.（2020山东省威海市16,3分）分式方程2313-1--=-xx x 的解为 ． 【答案】x ＝4.【解析】方程两边同乘以(x -3)，得1-x ＝ -1-2(x -3)．解得x ＝4．经检验，x ＝4是原方程的解．6.（2020浙江省温州市，14，5分）方程231x x =+的根是________. 【答案】x=27. （2020江苏淮安，9，3分）方程031=-x 的解是 。

分式方程及其应用【分类解析】 例1. 解方程：x x x --+=1211分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x xx x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+--分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。

1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==例4. 解方程：61244444402222y y y y y y yy +++---++-=2分析：此题若用一般解法，则计算量较大。

专题06分式方程（共41道）一．选择题（共17小题） 1．（2020•哈尔滨）方程2x+5=1x−2的解为（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝5C ．x ＝7D ．x ＝9【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【解析】方程的两边同乘（x +5）（x ﹣2）得： 2（x ﹣2）＝x ﹣5， 解得x ＝9，经检验，x ＝9是原方程的解． 故选：D ．2．（2020•成都）已知x ＝2是分式方程kx +x−3x−1=1的解，那么实数k 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【分析】把x ＝2代入分式方程计算即可求出k 的值． 【解析】把x ＝2代入分式方程得：k2−1＝1，解得：k ＝4． 故选：B ．3．（2020•甘孜州）分式方程3x−1−1＝0的解为（ ）A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】分式方程3x−1−1＝0，去分母得：3﹣（x ﹣1）＝0， 去括号得：3﹣x +1＝0， 解得：x ＝4，经检验x ＝4是分式方程的解． 故选：D ．4．（2020•黑龙江）已知关于x 的分式方程x x−3−4=k3−x 的解为非正数，则k 的取值范围是（ ）A ．k ≤﹣12B ．k ≥﹣12C ．k ＞﹣12D ．k ＜﹣12【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可． 【解析】方程x x−3−4=k3−x 两边同时乘以（x ﹣3）得：x ﹣4（x ﹣3）＝﹣k ， ∴x ﹣4x +12＝﹣k ， ∴﹣3x ＝﹣k ﹣12， ∴x =k3+4， ∵解为非正数， ∴k3+4≤0，∴k ≤﹣12． 故选：A ．5．（2020•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程3x x−2=m 2−x+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣10B ．m ≤﹣10C ．m ≥﹣10且m ≠﹣6D ．m ＞﹣10且m ≠﹣6【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m 的范围即可． 【解析】去分母得：3x ＝﹣m +5（x ﹣2）， 解得：x =m+102， 由方程的解为正数，得到m +10＞0，且m +10≠4， 则m 的范围为m ＞﹣10且m ≠﹣6， 故选：D ．6．（2020•泸州）已知关于x 的分式方程m x−1+2=−31−x 的解为非负数，则正整数m 的所有个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【解析】去分母，得：m +2（x ﹣1）＝3， 移项、合并，得：x =5−m2， ∵分式方程的解为非负数， ∴5﹣m ≥0且5−m 2≠1，解得：m ≤5且m ≠3，∴正整数解有1，2，4，5共4个， 故选：B ．7．（2020•黑龙江）已知关于x 的分式方程x x−2−4=k2−x的解为正数，则k 的取值范围是（ ） A ．﹣8＜k ＜0B ．k ＞﹣8且k ≠﹣2C ．k ＞﹣8 且k ≠2D ．k ＜4且k ≠﹣2【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k 的范围即可． 【解析】分式方程x x−2−4=k 2−x， 去分母得：x ﹣4（x ﹣2）＝﹣k ， 去括号得：x ﹣4x +8＝﹣k ， 解得：x =k+83，由分式方程的解为正数，得到k+83＞0，且k+83≠2，解得：k ＞﹣8且k ≠﹣2． 故选：B ．8．（2020•长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x 万件产品，依题意得（ ） A ．400x−30=500xB ．400x=500x+30C ．400x=500x−30D ．400x+30=500x【分析】设更新技术前每天生产x 万件产品，则更新技术后每天生产（x +30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设更新技术前每天生产x 万件产品，则更新技术后每天生产（x +30）万件产品， 依题意，得：400x=500x+30．故选：B ．9．（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A ．3（x ﹣1）=6210xB ．6210x−1=3C ．3x ﹣1=6210xD ．6210x=3【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【解析】依题意，得：3（x ﹣1）=6210x． 故选：A ．10．（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x 件，根据题意可列方程为（ ） A ．3000x =4200x−80B ．3000x +80=4200xC ．4200x=3000x−80D ．3000x=4200x+80【分析】设原来平均每人每周投递快件x 件，则现在平均每人每周投递快件（x +80）件，根据人数＝投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【解析】设原来平均每人每周投递快件x 件，则现在平均每人每周投递快件（x +80）件， 依题意，得：3000x=4200x+80．故选：D ．11．（2020•牡丹江）若关于x 的方程m x+1−2x=0的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2B ．m ＜2且m ≠0C ．m ＞2D ．m ＞2且m ≠4【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解． 【解析】∵解方程m x+1−2x=0，去分母得：mx ﹣2（x +1）＝0， 整理得：（m ﹣2）x ＝2， ∵方程有解， ∴x =2m−2，∵分式方程的解为正数， ∴2m−2＞0，解得：m ＞2， 而x ≠﹣1且x ≠0， 则2m−2≠−1，2m−2≠0，解得：m ≠0，综上：m 的取值范围是：m ＞2． 故选：C ．12．（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．80(1+35%)x −80x=40 B ．80(1+35%)x−80x=40 C ．80x−80(1+35%)x=40 D ．80x−80(1+35%)x=40【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为x1+35%万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前40天完成了这一任务，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为x1+35%万平方米，依题意，得：80x1+35%−80x=40，即80(1+35%)x−80x=40．故选：A ．13．（2020•重庆）若关于x 的一元一次不等式组{3x−12≤x +3，x ≤a 的解集为x ≤a ；且关于y 的分式方程y−ay−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）A ．7B ．﹣14C ．28D ．﹣56【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【解析】不等式组整理得：{x ≤7x ≤a ，由解集为x ≤a ，得到a ≤7，分式方程去分母得：y ﹣a +3y ﹣4＝y ﹣2，即3y ﹣2＝a ， 解得：y =a+23，由y 为正整数解，且y ≠2得到a ＝1，7 1×7＝7， 故选：A ．14．（2020•遂宁）关于x 的分式方程m x−2−32−x=1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可 【解析】去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2， 把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0， 解得：m ＝﹣3， 故选：D ．15．（2020•重庆）若关于x 的一元一次不等式组{2x −1≤3(x −2)，x−a 2＞1的解集为x ≥5，且关于y 的分式方程y y−2+a 2−y=−1有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．0【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【解析】不等式组整理得：{x ≥5x ＞2+a ，由解集为x ≥5，得到2+a ≤5，即a ≤3， 分式方程去分母得：y ﹣a ＝﹣y +2，即2y ﹣2＝a ， 解得：y =a2+1， 由y 为非负整数，且y ≠2，得到a ＝0，﹣2，之和为﹣2， 故选：B ．16．（2020•上海）用换元法解方程x+1x 2+x 2x+1=2时，若设x+1x 2=y ，则原方程可化为关于y 的方程是（ ）A ．y 2﹣2y +1＝0B ．y 2+2y +1＝0C ．y 2+y +2＝0D ．y 2+y ﹣2＝0【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设x+1x =y ，则原方程化为y +1y =2，再转化为整式方程y 2﹣2y +1＝0即可求解． 【解析】把x+1x 2=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1＝0．故选：A ．17．（2020•枣庄）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b =1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18．则方程x ⊗（﹣2）=2x−4−1的解是（ ） A ．x ＝4B ．x ＝5C ．x ＝6D ．x ＝7【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可． 【解析】根据题意，得1x−4=2x−4−1，去分母得：1＝2﹣（x ﹣4）， 解得：x ＝5，经检验x ＝5是分式方程的解． 故选：B ．二．填空题（共10小题） 18．（2020•徐州）方程9x =8x−1的解为 x ＝9 ．【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可． 【解析】去分母得： 9（x ﹣1）＝8x 9x ﹣9＝8x x ＝9检验：把x ＝9代入x （x ﹣1）≠0， 所以x ＝9是原方程的解． 故答案为：x ＝9． 19．（2020•盐城）分式方程x−1x=0的解为x ＝ 1 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】分式方程x−1x=0，去分母得：x ﹣1＝0， 解得：x ＝1，经检验x ＝1是分式方程的解． 故答案为：1．20．（2020•广元）关于x 的分式方程m2x−1+2＝0的解为正数，则m 的取值范围是 m ＜2且m ≠0 ．【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m 的不等式，从而求得m 的范围．【解析】去分母得：m +4x ﹣2＝0， 解得：x =2−m4， ∵关于x 的分式方程m 2x−1+2＝0的解是正数，∴2−m 4＞0，∴m ＜2， ∵2x ﹣1≠0， ∴2×2−m4−1≠0， ∴m ≠0，∴m 的取值范围是m ＜2且m ≠0． 故答案为：m ＜2且m ≠0． 21．（2020•淮安）方程3x−1+1＝0的解为 x ＝﹣2 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】方程3x−1+1＝0，去分母得：3+x ﹣1＝0， 解得：x ＝﹣2，经检验x ＝﹣2是分式方程的解． 故答案为：x ＝﹣2． 22．（2020•南京）方程x x−1=x−1x+2的解是 x =14．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】方程x x−1=x−1x+2，去分母得：x 2+2x ＝x 2﹣2x +1， 解得：x =14，经检验x =14是分式方程的解． 故答案为：x =14．23．（2020•绥化）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x 个，可列方程240x−2401.5x=2 ．【分析】设原计划每天加工零件x 个，则实际每天加工零件1.5x 个，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划少用2天，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【解析】设原计划每天加工零件x 个，则实际每天加工零件1.5x 个， 依题意，得：240x−2401.5x=2．故答案为：240x−2401.5x=2．24．（2020•杭州）若分式1x+1的值等于1，则x ＝ 0 ．【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案． 【解析】由分式1x+1的值等于1，得1x+1=1，解得x ＝0，经检验x ＝0是分式方程的解． 故答案为：0．25．（2020•嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x 人，则可列方程10x=40x+6．【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论． 【解析】根据题意得，10x=40x+6，故答案为：10x=40x+6．26．（2020•内江）若数a 使关于x 的分式方程x+2x−1+a 1−x=3的解为非负数，且使关于y 的不等式组{y−34−y+13≥−13122(y −a)＜0的解集为y ≤0，则符合条件的所有整数a 的积为 40 ． 【分析】解分式方程的得出x =5−a2，根据解为非负数得出5−a2≥0，且5−a 2≠1，据此求出a ≤5且a ≠3；解不等式组两个不等式得出y ≤0且y ＜a ，根据解集为y ≤0得出a ＞0；综合以上两点得出整数a 的值，从而得出答案．【解析】去分母，得：x +2﹣a ＝3（x ﹣1）， 解得：x =5−a2，∵分式方程的解为非负数， ∴5−a 2≥0，且5−a 2≠1，解得a ≤5且a ≠3， 解不等式y−34−y+13≥−1312，得：y ≤0，解不等式2（y ﹣a ）＜0，得：y ＜a ， ∵不等式组的解集为y ≤0， ∴a ＞0， ∴0＜a ≤5，则整数a 的值为1、2、4、5，∴符合条件的所有整数a 的积为1×2×4×5＝40， 故答案为：40． 27．（2020•菏泽）方程x−1x=x+1x−1的解是 x =13 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】方程x−1x=x+1x−1，去分母得：（x ﹣1）2＝x （x +1）， 整理得：x 2﹣2x +1＝x 2+x ， 解得：x =13，经检验x =13是分式方程的解． 故答案为：x =13． 三．解答题（共14小题） 28．（2020•湘潭）解分式方程：3x−1+2=xx−1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】3x−1+2=xx−1去分母得，3+2（x ﹣1）＝x ， 解得，x ＝﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解． 所以，原方程的解为：x ＝﹣1． 29．（2020•陕西）解分式方程：x−2x−3x−2=1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】方程x−2x−3x−2=1，去分母得：x 2﹣4x +4﹣3x ＝x 2﹣2x ， 解得：x =45，经检验x =45是分式方程的解． 30．（2020•遵义）计算：（1）sin30°﹣（π﹣3.14）0+（−12）﹣2；（2）解方程；1x−2=32x−3．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】（1）原式=12−1+4 ＝312；（2）去分母得：2x ﹣3＝3x ﹣6， 解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解． 31．（2020•苏州）解方程：x x−1+1=2x−1．【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【解析】方程的两边同乘x ﹣1，得x +（x ﹣1）＝2， 解这个一元一次方程，得x =32，经检验，x =32是原方程的解．32．（2020•广东）某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米．建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的35．（1）求每个A ，B 类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A ，B 两类摊位共90个，且B 类摊位的数量不少于A 类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．【分析】（1）设每个B 类摊位的占地面积为x 平方米，则每个A 类摊位占地面积为（x +2）平方米，根据用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的35这个等量关系列出方程即可．（2）设建A 摊位a 个，则建B 摊位（90﹣a ）个，结合“B 类摊位的数量不少于A 类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．【解析】（1）设每个B 类摊位的占地面积为x 平方米，则每个A 类摊位占地面积为（x +2）平方米， 根据题意得：60x+2=60x⋅35，解得：x ＝3，经检验x ＝3是原方程的解， 所以3+2＝5，答：每个A 类摊位占地面积为5平方米，每个B 类摊位的占地面积为3平方米； （2）设建A 摊位a 个，则建B 摊位（90﹣a ）个， 由题意得：90﹣a ≥3a ， 解得a ≤22.5，∵建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A 类摊位，即a 取最大值22时，费用最大， 此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520， 答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．33．（2020•牡丹江）某商场准备购进A ，B 两种书包，每个A 种书包比B 种书包的进价少20元，用700元购进A 种书包的个数是用450元购进B 种书包个数的2倍，A 种书包每个标价是90元，B 种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A ，B 两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B 种书包的个数比A 种书包的2倍还多5个，且A 种书包不少于18个，购进A ，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B 种书包各有几个？【分析】（1）设每个A 种书包的进价为x 元，则每个B 种书包的进价为（x +20）元，根据数量＝总价÷单价结合用700元购进A 种书包的个数是用450元购进B 种书包个数的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该商场购进m 个A 种书包，则购进（2m +5）个B 种书包，根据购进A ，B 两种书包的总费用不超过5450元且A 种书包不少于18个，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数即可得出各进货方案；（3）设销售利润为w 元，根据总利润＝销售每个书包的利润×销售数量，即可得出w 关于m 的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最大的进货方案，设赠送的书包中B 种书包有a 个，样品中B 种书包有b 个，则赠送的书包中A 种书包有（5﹣a ）个，样品中A 种书包有（4﹣b ）个，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于a ，b 的二元一次方程，结合a ，b ，（5﹣a ），（4﹣b ）均为正整数，即可求出结论．【解析】（1）设每个A 种书包的进价为x 元，则每个B 种书包的进价为（x +20）元， 依题意，得：700x=2×450x+20，解得：x ＝70，经检验，x ＝70是原方程的解，且符合题意， ∴x +20＝90．答：每个A 种书包的进价为70元，每个B 种书包的进价为90元． （2）设该商场购进m 个A 种书包，则购进（2m +5）个B 种书包， 依题意，得：{m ≥1870m +90(2m +5)≤5450，解得：18≤m ≤20． 又∵m 为正整数， ∴m 可以为18，19，20，∴该商场有3种进货方案，方案1：购买18个A 种书包，41个B 种书包；方案2：购买19个A 种书包，43个B 种书包；方案3：购买20个A 种书包，45个B 种书包．（3）设销售利润为w 元，则w ＝（90﹣70）m +（130﹣90）（2m +5）＝100m +200． ∵k ＝100＞0，∴w 随m 的增大而增大，∴当m ＝20时，w 取得最大值，此时2m +5＝45．设赠送的书包中B 种书包有a 个，样品中B 种书包有b 个，则赠送的书包中A 种书包有（5﹣a ）个，样品中A 种书包有（4﹣b ）个，依题意，得：90×[20﹣（5﹣a ）﹣（4﹣b ）]+0.5×90（4﹣b ）+130（45﹣a ﹣b ）+0.5×130b ﹣70×20﹣90×45＝1370， ∴b ＝10﹣2a ．∵a ，b ，（5﹣a ），（4﹣b ）均为正整数， ∴{a =4b =2． 答：赠送的书包中B 种书包有4个，样品中B 种书包有2个．34．（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？【分析】设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，根据现在120吨水比以前可多用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解析】设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，依题意，得：12045x−120x=3，解得：x ＝10，经检验，x ＝10是原方程的解，且符合题意， ∴45x ＝8．答：现在每天用水量是8吨．35．（2020•连云港）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物资，A 种防疫物资每箱15000元，B 种防疫物资每箱12000元．若购买B 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A 、B 两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．【分析】（1）设甲公司有x 人，则乙公司有（x +30）人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的76倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买A 种防疫物资m 箱，购买B 种防疫物资n 箱，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m ，n 的二元一次方程组，再结合n ≥10且m ，n 均为正整数，即可得出各购买方案． 【解析】（1）设甲公司有x 人，则乙公司有（x +30）人， 依题意，得：100000x×76=140000x+30，解得：x ＝150，经检验，x ＝150是原方程的解，且符合题意， ∴x +30＝180．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）设购买A 种防疫物资m 箱，购买B 种防疫物资n 箱， 依题意，得：15000m +12000n ＝100000+140000， ∴m ＝16−45n ．又∵n ≥10，且m ，n 均为正整数， ∴{m =8n =10，{m =4n =15， ∴有2种购买方案，方案1：购买8箱A 种防疫物资，10箱B 种防疫物资；方案2：购买4箱A 种防疫物资，15箱B 种防疫物资．36．（2020•扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单 商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．【分析】设乙商品的进价为x 元/件，则甲商品的进价为（1+50%）x 元/件，根据数量＝总价÷单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其分别代入（1+50%）x ，3200x，7200(1+50%)x中即可得出结论．【解析】设乙商品的进价为x 元/件，则甲商品的进价为（1+50%）x 元/件， 依题意，得：7200(1+50%)x−3200x=40，解得：x ＝40，经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意， ∴（1+50%）x ＝60，3200x=80，7200(1+50%)x=120．答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件． 37．（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A 为全程25km 的普通道路，路线B 包含快速通道，全程30km ，走路线B 比走路线A 平均速度提高50%，时间节省6min ，求走路线B 的平均速度．【分析】设走路线A 的平均速度为xkm /h ，则走路线B 的平均速度为（1+50%）xkm /h ，根据时间＝路程÷速度结合走路线B 比走路线A 少用6min ，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解析】设走路线A 的平均速度为xkm /h ，则走路线B 的平均速度为（1+50%）xkm /h ， 依题意，得：25x−30(1+50%)x=660，解得：x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意， ∴（1+50%）x ＝75．答：走路线B 的平均速度为75km /h ．38．（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G ，某地已开通5G 业务，经测试5G 下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G 与4G 下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G 与5G 的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地4G 的下载速度是每秒x 兆，则该地5G 的下载速度是每秒15x 兆，根据题意可得等量关系：4G 下载600兆所用时间﹣5G 下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【解析】设该地4G 的下载速度是每秒x 兆，则该地5G 的下载速度是每秒15x 兆， 由题意得：600x−60015x=140，解得：x ＝4，经检验：x ＝4是原分式方程的解，且符合题意， 15×4＝60，答：该地4G 的下载速度是每秒4兆，则该地5G 的下载速度是每秒60兆．39．（2020•泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B 种茶叶若干盒，所购B 种茶叶比A 种茶叶多10盒，且B 种茶叶每盒进价是A 种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A ，B 两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A ，B 两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B 种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A ，B 两种茶叶各多少盒？【分析】（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元，根据用8400元购买的B 种茶叶比用4000元购买的A 种茶叶多10盒，即可得出关于x 的分式方程，解之即可得出结论； （2）设第二次购进A 种茶叶m 盒，则购进B 种茶叶（100﹣m ）盒，根据总利润＝每盒的利润×销售数量，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元， 依题意，得：84001.4x−4000x=10，解得：x ＝200，经检验，x ＝200是原方程的解，且符合题意， ∴1.4x ＝280．答：A 种茶叶每盒进价为200元，B 种茶叶每盒进价为280元． （2）设第二次购进A 种茶叶m 盒，则购进B 种茶叶（100﹣m ）盒， 依题意，得：（300﹣200）×m 2+（300×0.7﹣200）×m 2+（400﹣280）×100−m2+（400×0.7﹣280）×100−m2=5800， 解得：m ＝40， ∴100﹣m ＝60．答：第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒．40．（2020•湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ （2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变． 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变． 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同． ①求乙车间需临时招聘的工人数；②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．【分析】（1）设甲车间有x 名工人参与生产，乙车间各有y 名工人参与生产，由题意得关于x 和y 的方程组，求解即可．（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m 名工人，由题意，以企业完成生产任务的时间为等量关系，列出关于m 的分式方程，求解并检验即可；②用生产任务数量27000除以方案一中甲和乙完成的生产任务之和可得企业完成生产任务的时间，然后分别按方案一和方案二计算费用并比较大小即可． 【解析】（1）设甲车间有x 名工人参与生产，乙车间各有y 名工人参与生产，由题意得： {x +y =5020(25x +30y)=27000， 解得{x =30y =20．∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产． （2）①设方案二中乙车间需临时招聘m 名工人，由题意得：2700030×25×(1+20%)+20×30=2700030×25+(20+m)×30，解得m ＝5．经检验，m ＝5是原方程的解，且符合题意． ∴乙车间需临时招聘5名工人． ②企业完成生产任务所需的时间为：2700030×25×(1+20%)+20×30=18（天）．∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500＝17700（元）． 选择方案二需增加的费用为5×18×200＝18000（元）． ∵17700＜18000，∴选择方案一能更节省开支．41．（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．【解析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得80000 x =80000(1−10%)x−200，解得：x＝2000．经检验，x＝2000是原方程的根．答：去年A型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得y＝（1800﹣1500）a+（2400﹣1800）（60﹣a），y＝﹣300a+36000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20．∵y＝﹣300a+36000．∴k＝﹣300＜0，∴y随a的增大而减小．∴a＝20时，y有最大值∴B型车的数量为：60﹣20＝40辆．∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．。

2020中考数学知识梳理系统复习专题训练：分式方程应用1．科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话：记者：你们是用9天完成4800米长的高架桥铺设任务的？工程师：是的，我们铺设600米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍．通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度．2．小华周一早展起来，步行到离家900米的学校去上学，到了学校他发现数学课本忘在家中了，于是他立即按照原路步行回家，拿到数学课本后立即按照原路改骑自行车返回学校，已知小华骑自行车的速度是他步行速度的3倍，步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟．小华骑自行车的速度是多少米每分？3．雅西高速公路于4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车每小时比客车每小时多行驶28千米，求出小汽车和客车的平均速度．4．（1）如图，在△ABC中，BD是角平分线，BD交AC于点D，已知∠ABC＝∠C＝∠BDC．求∠A和∠C的度数．（2）天津市奥林匹克中心体育场﹣﹣“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（3）解了以上两题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．5．某公司经销甲型号和乙型号两种手机，甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．甲型手机今年的售价比去年每部降价500元．且卖出n部甲型号的手机，去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）求n的值及今年甲型号手机每部的售价为多少元？（2）若公司销售两种手机20部的利润率不大于60%又不低于55%，今年乙型手机售价1400元，共有几种销售情况．6．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设，渝利铁路通车前，从重庆到上海的铁路全程为1920千米，渝利铁路通车后，比原铁路全程缩短了320千米，且列车设计运行时速比原来的设计运行时速提高了120千米/每小时，全程设计运行时间比原来设计运行时间少用16小时．（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行时速是多少千米/小时？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计运行时速减少m%，以便于有充足的时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m小时，求m 的值．7．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？8．小芳每次骑车从家到学校都要经过一段坡度相同的上坡路和下坡路，假设她骑车坡度相等的上坡路与下坡路平均速度基本相同，且上坡路骑行50米与下坡路骑行80米所用的时间相等．当她从家到学校时，下坡路的长为400米，下坡路比上坡路多花一分钟，设她骑行下坡路的速度为x米/分钟．（1）用含x的代数式表示她从家到学校时上坡路段的路程．（2）当她从学校回家时，在这两个坡道所花的时间为10分30秒，请求出她回家时在下坡路段所花的时间．9．某校为美化校园，计划对面积为2000m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为480m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）在该次校园绿化工程中，设安排甲队工作y天①再安排乙队工作天，完成该工程（用含有y的式子表示）②若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.12万元，要使这次的绿化总费用不超过7.6万元，乙队的工作天数不超过34天，如何安排甲队的工作天数？10．某公司计划从商店购买A、B两种签字笔，已知A种签字笔比B种签字笔每支单价多20元，若用400元购买A种签字笔，用160元购买B种签字笔，则购买A种签字笔的支数是购买B种签字笔支数的一半．（1）求A、B两种签字笔的每支单价各是多少元？（2）经商谈，商店给予该公司“购买一支A种签字笔，赠送一支B种签字笔”的优惠，且该公司需要的B种签字笔的支数是A种签字笔的2倍还多8支，且该公司购买这两种笔的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少支A种签字笔？11．冬季将至，服装城需1100件羽绒服解决商场货源短缺问题，现由甲、乙两个加工厂生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，且加工生产480件羽绒服甲工厂比乙工厂少用4天．（1）求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件羽绒服？（2）若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批羽绒服的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？12．某超市用2000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又拨6000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多200千克．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的500千克按售价的7折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？13．某公司计划从商店购买同一品牌的羽毛球拍和羽毛球，已知购买一副羽毛球拍比购买一个羽毛球多用20元，若用400元购买羽毛球拍和用160元购买羽毛球，则购买羽毛球拍的个数是购买羽毛球个数的一半．（1）求购买该品牌一副羽毛球拍、一个羽毛球各需要多少元？（2）经商谈，商店给予该公司购买一副该品牌羽毛球拍赠送一个该品牌羽毛球的优惠，如果该公司需要羽毛球的个数是羽毛球拍个数的2倍还多8个，且该公司购买羽毛球拍和羽毛球的总费用不超过670元，那么该公司公司最多可购买多少副该品牌羽毛球拍？14．随着虹桥综合交通枢纽的开工建设，“大虹桥”将成为上海“后世博”阶段重要的经济亮点，上海将形成东有“大浦东”，西有“大虹桥”的“双引擎”格局．现有一个工程，要整修一段全长为1200米的道路，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前4小时完成任务，求原计划每小时修路的长度是多少米？15．在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”（1）若这段高速公路全程限速110千米/时，如若两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由．（2）张师傅所行使的车内邮箱余油量y（升）与行使时间t（时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？参考答案1．解：设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x 米，依题意，得： +＝9，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意．答：该建筑集团原来每天铺设高架桥300米．2．解：设小华步行的速度是x米每分，则小华骑自行车的速度是3x米每分，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴3x＝180．答：小华骑自行车的速度是180米每分．3．解：设客车的平均速度为x千米/小时，小汽车的速度为（x+28）千米/小时，由题意得，2.5（x+x+28）＝420，解得：x＝70，则x+28＝70+28＝98．答：客车的平均速度为70千米/小时，小汽车的速度为98千米/小时．4．解：（1）设∠ABC＝∠C＝∠BDC＝x，则180°﹣2x＝x﹣x，解得x＝72°，则180°﹣2x＝36°．答：∠A和∠C的度数分别是36°、72°；（2）设骑车同学的速度为x千米/时，根据题意，列方程得＝+．解这个方程，得x＝15．经检验，x＝15是原方程的解．所以x＝15．答：骑车同学的速度为每小时15千米；（3）解了以上两题后，发现以上两小题都用了方程思想．5．解：（1）由已知得：﹣＝500，解得：n＝40，经检验：n＝40是原分式方程的解，80000÷40﹣500＝1500（元），答：n的值为40，今年甲型号手机每部的售价为1500元；（2）设销售甲型手机x部，依题得：55%[1000x+（20﹣x）]≤500x+600（20﹣x）≤60%[1000x+（20﹣x）]，解之得10≤x≤15，x为整数，销售情况是：甲型（部）11 12 13 14 15乙型（部）9 8 7 6 5答：共有5种销售情况．6．解：（1）设渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行时速是x千米/小时，则﹣＝16，解得：x1＝200，x2＝﹣60（舍去），经检验x＝200是原方程的解；（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+m）＝1600，解得：m1＝20，m2＝0（不合题意舍去），答：m的值为20．7．解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则2×＝，解得x＝30经检验，x＝30是原方程的根．答：第一批盒装花每盒的进价是30元．8．解：（1）设小芳从家到学校时上坡路段的路程为y米，根据题意可得：﹣1＝，整理，得y＝﹣x+250，故小芳从家到学校时上坡路段的路程为﹣x+250米．（2）∵放学从学校到家正好与上学从家到学校相反，上下坡颠倒，∴放学回家上坡路程为400米，下坡路程为﹣x+250米，根据题意，得+＝10.5，整理，得890﹣x＝x，解得：x＝80，下坡所花时间为＝﹣＝（分）答：小芳回家时在下坡路段所花的时间为分．9．解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣＝6，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是40×2＝80（m2）．答：甲、工程队每天能完成绿化的面积是80m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是40m2；（2）①再安排乙队工作＝50﹣2y天，完成该工程；故答案为：（50﹣2y）．②设应安排甲队工作a天，根据题意得：，解得：8≤a≤10．答：应安排甲队工作8或9或10天．10．解：（1）设购买B种签字笔的每支单价是x元，则购买A种签字笔的每支单价是（x+20）元．根据题意得＝×，解得x＝5，经检验，x＝5是原方程的解．所以x+20＝25．答：买A种签字笔的每支单价是25元，购买B种签字笔的每支单价是5元；（2）设公司购买a支A种签字笔，则需要购买（2a+8）支B种签字笔，由题意得25a+5（2a+8﹣a）≤670，解得a≤21．故该公司最多可购买21支A种签字笔．11．解：（1）设乙工厂每天可加工生产x件，则甲工厂每天可加工生产1.5x件，根据题意可得：＝+4，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的根，也符合题意，则1.5x＝60，答：甲工厂每天可加工生产60件，乙工厂每天可加工生产40件；（2）设甲工厂加工生产y天，根据题意得：3y+2.4×≤60，解得：y≥10．答：至少应安排甲工厂加工生产10天．12．解：（1）设第一次的进价为x元，由题意得：，解得：x＝5，经检验：x＝5是原分式方程的解，答：该种干果的第一次进价是每千克5元；（2）第二批进的干果数量：6000÷[（1+20%）×5]＝1000（千克），第一批进的干果数量：2000÷5＝400（千克），900×9+500×0.7×9﹣8000＝3250元，答：超市可以盈利3250元．13．解：（1）设进一副羽毛球拍需要x元，则进一个羽毛球需要（x+20）元，由题意得＝×，解得：x＝25，经检验x＝25是原分式方程的解，则x﹣20＝5．答：进一副羽毛球拍需要25元，进一个羽毛球需要5元．（2）设进a副该品牌的羽毛球拍，则还需购进羽毛球（2a+8﹣a）个，由题意得25a+5（2a+8﹣a）≤670，解得a≤21．答：商店最多可以进21副该品牌的羽毛球拍．14．解：设原计划每小时修路的长度是x米，则实际每小时修（1+20%）x米．根据题意得：﹣＝4，解得：x＝50．经检验，x＝50是原方程的解．答：原计划每小时修路50米．15．解：（1）张师傅没有超速，理由：设张师傅的速度为x千米/时，，解得，x1＝﹣80（舍去），x2＝100，经检验，x＝100是原分式方程的解，∵100＜110，∴张师傅没有超速；（2）由函数图象可得，张师傅每小时耗油量为：44÷8＝5.5（升），行驶完这段高速公路，张师傅至少需要：＝33（升），即行驶完这段高速公路，他至少需要33升．11。