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平面向量的数量积复习ppt课件

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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线

平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮复习

平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮复习

平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问
预测 题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填
空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.向量的夹角
∠AOB
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则________叫做a与b的夹角
定义
范围
0≤θ≤π
设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是_______
道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用
坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
对点训练
1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3,则a·b=(
A.-2
24 1
θ=
=
= ,
|||| 12×8 4
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos

1 1 3
θ· =12× × b= b.
||
4 8 8
3
b
8
.
2.(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8), =5,且b与向量(1,0)的夹角是钝
角.则b在向量(1,0)上的投影向量为(
(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos

θ) .(
||
√
)
2.(必修第二册P36练习T1·
变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且 2 + =3,则t=(
A. 2
B. 3
C.± 2
D.±
2
2

高三一轮复习课件平面向量的数量积

高三一轮复习课件平面向量的数量积
a. 确定两个向量的方向和长度
b解的.
题模计技和算巧方两：向个角a向的. 量利关的用系夹向c角量.
的 利
性 用
质 向
和 量
几 的何Biblioteka 加意 法义 和简 减
化 法
计 进
算 行
b. 简化
注 计
意 算
向
量
ca.. 利利用用数向量量积的公性式质求和解几 何 意 义 简 化 计 算
b. 注意向量的模和方向角的关系
定义：平面向量的数量积是两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余 弦值的乘积 几何意义：表示两个向量的夹角大小和方向
性质：数量积满足交换律、结合律和分配律
应用：在物理、工程等领域有广泛应用，如力矩、功等
结合律：a·(b+c) = a·b + a·c 交换律：a·b = b·a 分配律：a·(b+c) = a·b + a·c
平行四边形定 理：两个向量 的数量积等于 这两个向量的
模的乘积
余弦定理：两 个向量的数量 积等于这两个 向量的模的乘 积再乘以这两 个向量的夹角
的余弦值
向量数量积的 性质：向量数 量积的绝对值 等于这两个向 量的模的乘积 再乘以这两个 向量的夹角的
余弦值
向量数量积的 定理：两个向 量的数量积等 于这两个向量 的模的乘积再 乘以这两个向 量的夹角的余
记开方等
理解错误，如 混淆向量的数 量积和向量积
的性质
应用错误，如 无法正确应用 向量的数量积 解决实际问题
计算两个向量的数量积，并判断其 正负性
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因
计算两个向量的数量积，并判断其 方向
判断两个向量的数量积是否为零， 并解释原因

高中数学课件 平面向量的数量积(2)

高中数学课件 平面向量的数量积(2)

解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。 解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1： 已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.

高考一轮第四章 第三节 平面向量的数量积及向量应用ppt

高考一轮第四章 第三节 平面向量的数量积及向量应用ppt

返回
|a|2 (3)a· a＝ ，|a|＝ a· a.
(4)cos〈a，b〉＝ (5)|a· b|
≤
a· b |a||b| .
|a||b|.
3．数量积的运算律： (1)交换律：a· b· . b＝ a
c (2)分配律：(a＋b)· a· c＝ c＋b· . b a· (3)对λ∈R，λ(a· b)＝ (λa)· ＝ (λb) ．
(
)
解析：|a· b|＝|a|· |b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a· b| ＝|a||b|，可知B是错误的． 答案：B
返回
2．(2011· 辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)， a· (2a－b)＝0，则k＝ ( )
A．－12
C．6
B．－6
D．12
解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a· (2a－b)＝0，得(2,1)· (5,2－k)＝0 ∴10＋2－k＝0，解得k＝12. 答案： D
即18＋3x＝30，解得：x＝4. [答案] C
返回
[例2]
π (2011· 江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为3，若向
量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·2＝________. b
[自主解答] b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·2＝(e1－2e2)· 1＋ b (3e
第 四 章 平 面 向 量、 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入
第三 节
平面 向量 的数 量积
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
及向
量的 应用
提 能 力
返回
[备考方向要明了] 考 什 么

高考理科第一轮复习课件(4.3平面向量的数量积)

高考理科第一轮复习课件(4.3平面向量的数量积)

【规范解答】（1）选A.由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x,即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)， 所以sin x＝cos x，即 x＝ ，故tan x＝1.
4
(2)选A.由题意得，BQ AQ AB 1 AC AB，
5．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ ，则
数量积
x1x2＋y1y2 a·b＝_________
2 2 x1＋y1 ①|a|＝_______
模
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 2 （x1－x 2） ＋（y1－y2） 则 | AB| ＝____________________
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ 为a与b(或e)的夹
角．则
(1)e·a=a·e=|a|cos
a·b=0 (2)a⊥b⇔_______.
θ .
(3)当a与b同向时，a·b=|a|·|b|.
当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|, |a|2 a a 特别地，a·a＝____或者|a|＝____.
第三节 平面向量的数量积
1.两个向量的夹角 定义 范围 向量夹角θ 的范围是 0°≤θ ≤180° _______________, 0°或180° 当θ = ___________时，两向 量共线； 90° 当θ = _____时，两向量垂直， 记作a⊥b（规定零向量可与任 一向量垂直）
非零 已知两个_____向量a,b， 作 OA a,OB b, ∠AOB=θ 叫作向量a与b的 夹角（如图）.
又∵a,b为两个不共线的单位向量，

高三数学一轮复习基础过关5.3平面向量的数量积PPT课件


5 ，|a|cos
θ
=|a|
ab |a ||b |
2 (4) 3 7 13 65 .
(4)2 72
65 5
2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为
30°，则a·b等于
（ B）
A. 3
B. 3
C. 2 3
D. 1
2
2
解析 a b | a || b | cos 30
§5.3 平面向量的数量积
基础知识 自主学习
要点梳理
1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ ，则数量 |a |·|b|cos θ 叫做a与b的数量积（或内积），记 作a ·b=|a ||b|·cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a ·b=0 ，两非 零向量a与b平行的充要条件是 a ·b=±|a ||b| .
4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成 立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c 共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线 的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c ≠(b·c)a.
失误与防范
1. 零 向 量 :(1)0 与 实 数 0 的 区 别 ， 不 可 写 错 ： 0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任 意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只 定义了非零向量的垂直关系.
·sin(
π -θ )=sin
θ cos
2 θ -sin θ
cosθ =0.
∴a⊥b. 2
（2）解 由x⊥y得x·y=0,
即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，

6.1.2空间向量的数量积课件(苏教版)

＝CA2＋CC1 2＋CB2＝12＋22＋12＝6，
形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明 在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得，BD＝ 3AD，
所以AD2 ＋BD2 ＝AB2 ，
→ →
所以 DA⊥BD，则BD·DA＝0.
→ →
由 PD⊥底面 ABCD，知 PD⊥BD，则BD·PD＝0.
→ →
（2）AM 在直线 BC上的投影向量 BC
C
D
0
A
B
D1
C1
2
AM BC BC BC BC | BC |2 1
B1
A1
（问）AM BC还有没有其他方法？
M
C
D
A
B
典型例题
例3.量a，
b，
c均为单位向量, 它们的夹角均为600，求 | a 2b c |
2
2
2
解：
| a 2b c | （a 2b c） a 4b c 4a b 2a c 4b c


4
4
→
所以|BN|＝
→
|BN|2＝ 3.
典型例题
—→ —→ → → —→ →
（2）因为 BA1 ＝ CA1 －CB＝CA＋CC1 －CB，
—→ → —→
CB1 ＝CB＋CC1 ，
—→
—→
→ → →
所以| BA1 |2＝ BA1 2＝(CA＋CC1－CB)2
—→
→ —→ →
| BA1 |＝ 6，
| m|| n |
典型例题
一、数量积的计算
例4

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT


(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2

数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)



，求

∙ .
设 =12， =9， ∙ =-54 ，求与的夹角
向量的数量积的几何意义是什么？
B
a
A
b
C A1
B2
D
两个非零向量、，他们的夹角为，
探究向量在上的投影向量的情况.
两个非零向量、，他们的夹角为，是与方向相同的单位
向量.
（1） ∙ = , = .（求向量长度的工具）
如何规定向量的乘法.
向量的乘法的结果是什么量？这个值由那些量决定？符号
由什，我们把数量
cos量叫做、的数量积，记作 ∙
即 ∙ = cos
规定零向量与任一非零向量的数量积为0.
已知 = , = , 与的夹角 =
6.2.4向量的数量积
学习目标
1、向量数量积的运算.
2、向量投影及投影向量的概念
重点、难点 向量数量积的概念与运算律.
向量的概念源自哪一门学科？我们已经研究了向量的哪些
运算？这些向量的运算表运算结果是什么？
前面学习了向量的加，减，数乘（线性运算）.
其运算结果是向量.
向量能否相乘？如何规定向量的乘法？我们该怎样研究？
（2） ⊥ ⟺ ∙ =0.（直线垂直的重要条件）
（3） ∙ = ∙ = cos.
已知 = , = , 与的夹角 = °，求 ∙ ，
（ + ）2 ， + .
1、本节课学习了哪些知识和内容.
2、结合实例说明向量数量积的几何意义.
感谢聆听！
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设a 非 x 1 ,y 1 ,b 零 x 2 ,y 2 ,则 a 向 b x 1 x 2 量 y 1 y 2 0 2 .当 a 与 b 同 ,a 向 b a b ;当 时 a 与 向 b 反 ,a 量 向 b a b 时
2
特别 ,aa 地 a或 aaa
设 ax,y,则 ax2y2 用于计算向量的模
求 :1 .AB DC2.ABCD 3.ABDA
解:1因为 AD 与BC平行且方,向相同
D
C
AD与BC的夹角0为 .
AB D C AD Bc C0 o s 3 3 1 9
60
2
或ADBCAD9
2.AB 与CD 平行 ,且方向相反
A120
B
AB与CD的夹角18是0
A C B A D C B c D 1 o8 s4 0 4 1 16 进计行算向时量,既数要量考积
如果表 a 的示 有向 向量 线点 段的 的坐 起 x1,标 y1 点 ,x2 分 ,y和 2,那 别 终
ax1x22y1y22. 这就是平面内两点间的距离公式
3.cos a b . 用于计算向量的夹角
ab
设 a x 1 ,y 1,b x 2 ,y 2,则 co s x 1 2x 1 x y 2 1 2 y 1 x y 2 2 2 y 2 2
精选ppt
6
二、基础训练题
1.有四个 :10式 a0 子 ,20a0,3abac bc, 4abab,其中正确 : 的 D 个数为
A. 4个
B.3个
C. 2个 D.1个
2.已知a,b均为单位向 ,下量列结论正确: 的 B 是
A.ab 1
2
2
B.a b
C.a平b 行 ab
D.ab0
3.设向 a量 x1,y1,bx2,y2,有下列 :1a命 x1 2 题 y1 2,
2
或AB CD AB16
虑向量的模,又
要根据两个向量
3.A与 BA的 D 夹6角 0 ,是 AB与DA的夹角12是0方向确定其夹角。
AD B AD BcA 1 o2 s 4 0 3 1 6
精选pp t 2
8
例2、 已知 a5,b4,且a与 b夹角 60为 ,问 k为何值 ,
使kaba2b
2
cos
a b
a b
1 2
2
2
a b 4
1
2
a
2
b
2
41
164
3
2 2
2
当且 a b 仅 2 时 ,S 有 当最 ,此 c大 时 o s a 值 b2 1 ab2 22
0 18060 注精选意ppt两个向量夹角的取值范围10
例4. 已知两 M点 1,0,N1,0,且点 P使MP MN , PM PN, NM NP
法之一.
精选ppt
9
例3、已知 OA a,OB b,abab2,当AO的 B 面积有最 , 大
求a与b的夹角
B
解:因为 ab 2, 所a以 22abb24
b
22
ab42ab4228
O
A
a SAO B1 2OA OB sin1 2ab 1co2s
1
a2b2a2b2co2s1
22
2
a b ab
2
复习课
平面向量的数量积
复习目标：
1、掌握向量数量积定义，几何意义，坐标表示及其 在物理学上的应用。
2、掌握平面两点间的距离公式和向量垂直的坐标表示 的充要条件。
3、利用向量的数量积来处理长度、角度、垂直知识复习
1、数量积的定义： ab|a||b|cos
其中： a 0, b 0
于是 MPMN ,PMPN,NMNP 是公差小于零列 的等 等价 差于 数
x2y21121x21x
2
21x21x0
即x2 y2 3 x 0
所以点 P的横坐标的取值0范x围为3
精选ppt
解 : k a b a 2 b k a b a 2 b 0
ka22k1 ab2b20
k 2 2 k 5 1 5 4 c 6 o 2 0 1 s 0 6
解得: k 14 15
所k 以 1时 4 ,当 ka b a 2 b 15
两个向量的数量积是否 为零,是判断相应的两条 直线是否垂直的重要方
4.aba b 证明精柯 选ppt :西 x 1 x2y 不 1y22等 x 1 2y 1 2式 x2 2y2 2特 5
5、数量积的运算律：
⑴交换律： abba
⑵对数乘的结合律： (a)b(ab)a(b)
⑶分配律： (ab)cacbc
注意：数量积不满足结合律
即 :(ab)ca(bc)
公差小于零的,求 等点 P差 的数 横列 坐标的取 ? 值范围
解 :记 P x ,y ,由 M 1 ,0 ,N 1 ,0 得 P M 1 x , y ,P 1 N x , y ,M 2 ,0 N
M M 2 1 P x , N P P M x 2 N y 2 1 , N N M 2 1 x P ,
是 a和 b的夹 ,范角 围 0是
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.
规定:0a0
数量积的坐标公式： abx1x2y1y2
其中： a(x1, y1), b(x2, y2)
精选ppt
3
2、数量积的几何意义：
B
b
aba bcos
a abb acos
O | b | cos
A
abba
数量 ab等 积a于 的长 a与 度 b在 a的方向上的 bco投 的 s 影 乘 .
2b2 x2 2y2 2,3abx1x2y1y2,4ab x1x2y1y20
其中假命 :⑵题序号是
4 . 若 a 0 , 1 , b 1 , 1 且 a b a , 则 的 实 （A值 ） 数 是
A．-1 B.0 C.1 D.2
精选ppt
7
三、典型例题分析
例1、如 ,在 图平A 行 B 中 四 ,已 CD A 边 知 B 4 ,A 形 D 3 , D A 6B ,0
3、数量积的物理意义： F
S
F cos
如果一个 F的物 作体 用在 下 s,那 力 产 么 F所 生 力 做 位 W 的 移
可用公 : 式 W计 FS算 |F||S|cos
精选ppt
4
4、数量积的主要性质及其坐标表示：
设a, b是两个非零向量
1ab ab0当a0时,ab0,不能推 b0出
内积为零是判定两向量垂直的充要条件