八年级数学 分式讲义

八年级上册分式专题讲义一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式.例1.下列各式aπ，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0中，是分式的有______个二、 分式有意义的条件是分母不为零：（B ≠0） 分式没有意义的条件是分母等于零.（ B=0 ）分式值为零的条件分子为零且分母不为零.( B ≠0且A=0,即分子零分母不零 )例1.下列分式，当x 取何值时有意义.（1）2132x x ++ （2）2323x x +-练习1．当x______时，分式2134x x +-无意义，当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零.练习2.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x + D ．2221x x +中考链接：（2007昆明，10，3分）当x ≠________时，分式13x -有意义. （2014昆明，12，3分）要使分式101-x 有意义，则x 的取值范围是 .三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变.（C ≠0） （C ≠0）四、分式的通分和约分：关键是因式分解 分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式.步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式.注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂.②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分.分式的通分定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成同分母分式（分式值不变）.步骤：分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定.最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.确定最简公分母的一般步骤： ①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的； ④保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解.C B CA B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=例1.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有 个.练习1.约分：（1）22699x x x ++- （2）2232m m m m -+-练习2.通分：（1）26x ab ，29y a bc（2）2121a a a -++，261a -例2.已知1x -1y =3，求5352x xy yx xy y+---的值.五、分式的运算分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.bcad c d b a d c b a =⋅=÷分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减.c b a c b c a +=± bd bc ad bd bc bd ad d c b a +=±=± 混合运算:运算顺序和以前一样.能用运算率简算的可用运算率简算.bd ac d c b a =⋅n nn ba b a =)(例1.当分式211x --21x +-11x -的值等于零时，则x=_________.练习1．已知a+b=3，ab=1，则a b +ba的值等于_______.例2.计算：222x x x +--2144x x x --+练习2.计算：21x x --x-1练习3.先化简，再求值:3a a --263a a a +-+3a，其中a=32练习4．计算34x x y -+4x y y x +--74yx y-得（ ） A ．-264x y x y +- B ．264x yx y+- C ．-2 D ．2练习5.计算a-b+22b a b+得（ ）A ．22a b b a b -++B ．a+bC ．22a b a b ++D ．a-b中考链接：（2009昆明，17改编，6分)化简，求值：x 6)1x 11x 1(x 3x 3÷+--⋅+，其中x ＝23（2010昆明，12，3分）化简：1(1)1a a -÷=+（2011昆明，13，3分）计算：2()ab a ba ab a b++÷--错误!未找到引用源。

第十七章 分式§17.1 分式及其基本性质 一． 知识点：1.分式的概念：形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母（未知数），B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母（denominator ）.整式和分式统称有理式（rational expression ）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。

（分式有意义的条件）2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。

二．学习过程：1．先由分数，整数，有理数的概念引入分式，有理式。

（单项式和多项式统称为整式。

代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式） 再按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。

2. 和学生一起完成课后习题。

三．例题及习题：教材中的题目。

典型例题1.23m m是一个分式么？答：是。

虽然可以化成3m 的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基本性质化简的，另外23m m与3m 中的字母的取值也不同．习题一（1）．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)12+a a ;(2) 3252-a a （2）. 要使分式)5)(32(23-+-x x x有意义，则.（ ）（A ）x ≠23-(B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23-或x ≠5（3）. 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是.（ ）（A ）112++a a （B ）12+a a （C ）112++a a （D ）21a a +（4）. 当x 是什么数时，分式252++x x 的值是零？解：由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时，分母2x-5≠0所以，当x=-2时，分式的值是零习题二一、填空题 1.约简公式= .2.a 取整数 时，分式(1-114++a a )·a 1的值为正整数.3.如果x+x 1=3，则1x x x 242++的值为 .4.已知x=1+a 2,y=1-a 1.用x 的代数式表示y ，得y= ；用y 的代数式表示x ，得x= .5．要使代数式3a 2a 3a 2---的值为零，只须 .6.已知s=)y s (q 1yqx ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 .7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p ∶1，另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 .二、解答题8.化简分式232m m 21m m m 1+-+--9.解关于x 的方程，其中a+2b-3c ≠0,a 、b 、c 互不相等.10.已知ab=1，证明11b b 1a a =+++11.甲的工作效率是乙的2倍，若甲先完成32后乙来完成，这样完成工作所用时间比甲、乙两人同时工作晚4天，甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？参考答案【同步达纲练习】一、1. c d a c b a -+-+ 2.-2或-4 3.814.2x 3- 3-2y5.a=-36.q=y S x S --7.2q p pq 2q p ++++二、8.当m ≥0时，且m ≠1时，原式=1+m. 当m ＜0时，且m ≠-1时，原式=m 1)m 1(2+-9.x=c 3b 2a bcac 2ab 3-+-- 10.提示：将第二个分式的分母中的1换为ab.11.甲单独完成需6天，乙需12天.§17.2 分式的运算 一． 知识点：1.分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+　无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。

八年级上册数学分式讲解一、分式的概念。

1. 定义。

- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子(A)/(B)叫做分式。

例如(x + 1)/(x)，(1)/(x - y)等都是分式。

- 整式和分式统称为有理式。

整式是单项式和多项式的统称，像3x，x^2+2x + 1等是整式，而分式是分母中含有字母的式子。

2. 分式有意义的条件。

- 分式的分母不能为0。

例如对于分式(1)/(x)，当x = 0时，分式无意义；当x≠0时，分式有意义。

- 对于分式(x+1)/(x - 2)，要使其有意义，则x-2≠0，即x≠2。

二、分式的基本性质。

1. 性质内容。

- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。

- 例如：(2)/(3)=(2× 2)/(3× 2)=(4)/(6)，对于分式(x)/(x + 1)，(x)/(x + 1)=(x×2)/((x + 1)× 2)=(2x)/(2x+2)（x≠ - 1）。

2. 约分。

- 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

- 步骤：- 首先找出分子分母的公因式。

例如对于分式frac{6x^2y}{9xy^2}，分子6x^2y = 2×3× x× x× y，分母9xy^2=3×3× x× y× y，公因式为3xy。

- 然后将分子分母同时除以公因式，得到frac{6x^2y}{9xy^2}=(2x)/(3y)。

3. 通分。

- 定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

- 步骤：- 先确定最简公分母。

分式方程及应用题知识点：1.分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程步骤：(1)去分母： 将 抓化为 (2) (3)3.増根：在方程变形时，产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的増根。

4.列方程解应用题的基本步骤：例1.解下列分式方程： (1)6272332+=++x x (2)2236111x x x +=+-- (3)163104245--+=--x x x x例2.已知关于x 的方程323-=--x mx x 的解为正数，求m 的取值范围。

例3.若关于x 的方程211333x x kx x x x ++-=--有增根,求增根和k 的值.例4.解方程：1211)10)(9(1...)1(1)1(1=++++++-x x x x x x例5.已知1=abc ，求证：1111=++++++++cac cbc b b ab a a .例6.李某承包了40亩菜地和15亩水田,根据市场信息,冬季瓜菜需求量大,他准备把水田改造为菜地,使改完后水田占菜地的10%,问应把多少水田改为菜地?例7.某人骑自行车比步行每小时快8千米,坐汽车比骑自行车每小时快16千米,此人从A 地出发,先步行4千米,然后乘坐汽车10千米就到在B 地,他又骑自行车从B 地返回A 地,结果往返所用的时间相等,求此人步行的速度.例8.今年我市遇到百年一遇的大旱,全市人民齐心协力积极抗旱.某校师生也活动起来捐款打井抗旱,已知第一天捐款4800元,第二天捐款6000元,第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人,且两天人均捐款数相等,那么两天共参加捐款的人数是多少？例9.周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一路程所用时间之比为2:3．(1)直接写出甲、乙两组行进速度之比．(2)当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A 处，且A 处离山顶的路程尚有1.2 km ，试求山脚到山顶的路程．例10.某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格,每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元.今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器,5月份的用气量比去年12月份少10m3,5月份的燃气费是90元.求该市今年居民用气的价格.例11.某商店在“端午节”到来之际,以2400元购进一批盒装粽子,节日期间每盒按进价增加20%作为售价,售出了50盒;节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子,整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．例12.北京奥运会开幕前,某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.该商场两次共购进这种运动服多少套？例13.某公司投资某个工程项目,现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目.公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元.根据以上信息，从节约资金的角度考虑,公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？课堂练习：1.解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( )A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1) C.解这个整式方程,得x=1B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6 D.原方程的解为x=12.某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达,后来由于把速度加快20%，结果于下午4时到达,求原计划行军的速度.设原计划行军的速度为xkm/h ，，则可列方程（ ）A.1%206060++=x xB.1%206060-+=x xC.1%2016060++=）（x xD.1%2016060-+=）（x x3.一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（ ） A.a ＋b B.b a 11+ C.b a +1 D.b a ab+4.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ） A ．8 B.7 C ．6 D ．55.已知122432+--=--+x Bx A x x x ,其中A 、B 为常数，则4A-B 的值为（ ） A.7 B.9 C.13 D.5 6.若解分式方程21x x +-21m x x ++=1x x+产生增根，则m 的值是（ ） A.－1或－2 B.－1或2 C.1或2 D.1或－27.若方程212x ax +=--的解是最小的正整数，则a 的值为_______8.若方程87178=----x x x 有增根，则增根是9.若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a =10.已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为______ 11.轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是 千米/时． 12.解分式方程: (1)1132422x x +=-- (2)21212339x x x -=+-- (3))2)(1(311+-=--x x x x13.若方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围。

分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。