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2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

2012高考文科试题解析分类汇编：导数

1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是

【答案】C

【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；

2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>

【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题． 2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数

A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b

B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b

C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b

D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A

【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若

23a

e a e b

+=+，必有

22a b

e a e b

+>+．构造函数：()2x

f x e

x =+，则()20x

f x e '=+>恒成立，故有函数()2x f x e x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余

选项用同样方法排除．

3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x

+lnx 则（）

A ．x=

为f(x)的极大值点 B ．x=12

为f(x)的极小值点

C ．x=2为 f(x)的极大值点

D ．x=2为 f(x)的极小值点【答案】D.

【解析】()2

212'x f x x

-=-

，令()'0f x =，则2x =．

当2x <时，()2

212'0x f x x x x -=-+=<；当2x >时，()2

2212'0x f x x

x x

-=-

+=>．

即当2x <时，()f x 是单调递减的；当2x >时，()f x 是单调递增的．所以2x =是()f x 的极小值点．故选D ． 4.【2012高考辽宁文8】函数y=

x 2-㏑x 的单调递减区间为

（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞）（D ）（0，+∞）【答案】B

【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。【解析】2

11ln ,,00,02

y x x y x y x x x x

''=-∴=-

>∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故

选B

5.【2102高考福建文12】已知f （x ）=x 3-6x 2+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④ 【答案】C ．

考点：导数。难度：难。

分析：本题考查的知识点为导数的计算，零点问题，要先分析出函数的性质，结合图形来做。

解答：c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(2

， 9123)('2+-=x x x f

)

3)(1(3)34(32--=+-=x x x x

导数和函数图像如下：

由图04961)1(>-=-+-=abc abc f ，

0275427)3(<-=-+-=abc abc f ，

且0)3()0(<=-=f abc f ，所以0)3()0(,0)1()0(<>f f f f 。

6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8 【答案】C

【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。

【解析】因为点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，代人抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为8,2.由2

12,,,2

x y y x y x '==

∴=则所以过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，所以

过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为48,22,y x y x =-=--联立方程组解得1,4,x y ==-故点A 的纵坐标为-4

【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。

7.【2012高考新课标文13】曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【答案】34-=x y

)

x (

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.

【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=.

8.【2012高考上海文13】已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1

(,1)2B 、

(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为

【答案】

1。

【解析】根据题意，得到12,02

()122,12

x x f x x x ?

≤≤??=??-+≤?? ，

从而得到???

???

?≤+-≤≤==121,222

10,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为

1)22(21

+-+

dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为

1 .

【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 9【2102高考北京文18】（本小题共13分）

已知函数f(x)=ax 2+1(a>0),g(x)=x 3+bx 。

若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b 的值；当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围。

【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目，考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点，在题目占能够发现

(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-，比较重要。

解：（1）()2f x ax '=，2()=3g x x b

'+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()

1c ，处具有公共切线，所以

(1)(1)f g =，(1)(1)f g ''=．

即11a b +=+且23a b =+．解得3,3a b == （2）记()()()h x f x g x =+

当3,9a b ==-时，32()391h x x x x =+-+，2

()369h x x x '=+- 令()0h x '=，解得：13x =-，21x =；

()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下：

由此可知：

当3k ≤-时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=；当32k -<<时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(,3]-∞-

10.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称

0x 为函数)(x f y =的极值点。

已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；

（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；

（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。 ∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，

∴ (1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，解得==3a b -0，。（2）∵ 由（1）得，3()3f x x x =- ，

∴()()2

3()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。 ∵当2x <-时，()0g x <'；当21'， ∴=2x -是()g x 的极值点。

∵当21时，()0g x >'，∴ =1x 不是()g x 的极值点。 ∴()g x 的极值点是－2。

（3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈-

当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为I 和一2 ，注

意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和2。

当

d <时，∵

(1)=(2)=20

f d f d d >----，

(1)=(2)=20f d f d d <----- ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。由（1）知()()()=311f'x x x +-。

① 当()2x ∈+∞，时，()0f 'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而

()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在()2+∞，无实根。

② 当()1 2x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 ③ 当()1 1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，

；当2d < 时

()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x

。现考虑函数()y h x =的零点：

( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，

。而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个

零点。

( 11 ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足

2 =3, 4, 5

i t

y h x =有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出)(x f y =的导数，根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，3()3f x x x =-，求出()g x '，令()=0g x '，求解讨论即可。（3）比较复杂，先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况；再考虑函数()y h x =的零点。

11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分）已知函数a ax x a x x f ---+

131)(，x

其中a>0.

（I ）求函数)(x f 的单调区间；

（II ）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；

（III ）当a=1时，设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为M （t ），最小值为m （t ）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间]1,3[--上的最小值。【解析】(Ⅰ) 3

11()()(1)(1)()32

a f x x x ax a f x x a x a x x a -'=

--?=+--=+-

()01f x x '>?<-或x a >，()01f x x a '

得：函数)(x f 的单调递增区间为(,1),(,)a -∞-+∞，单调递减区间为(1,)a - (Ⅱ) 函数)(x f 在(2,1)--内单调递增，在(1,0)-内单调递减原命题1

(2)0,(1)0,(0)003

f f f a ?-<->

（lfxlby ）

（III ）当1a =时，154

(2)(1),(2)(1),(1)(1)333

f f f f f f =-=--==---=

()f x 在[3,1],[1,2]--上单调递增,在[1,1]-上单调递减

当[3,2],3[0,1]()(1),()(2)(1)t t M t f m t f f ∈--+∈?=-≤-=

()(1)(1)3g t f f ?≥--=

当[2,1],3[1,2]()(1),()(1)t t M t f m t f ∈--+∈?=-=

()(1)(1)3g t f f ?=--=

得：函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值为

12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分）

设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2

{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，

D A B = .

（1）求集合D （用区间表示）

（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 【解析】（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++，

9(1)4893093(31)(3)a a a a a a ?=+-=-+=--。

① 当103

a <≤

时，0?≥，

方程

()

g x =的两个根分别为

1309

a x +

，

x =

所以

(g x >

的解集为

()4

-∞+∞ 。

因为12,0

x x >，

所以

D == )4

+∞ 。

② 当113

a <<时，0?<，则()0g x >恒成立，所以D A B == (0,)+∞，

综

上所述，当103

a <≤

时，

D =3333(0,()4

a a +-

+∞ ；

当

113

a <<时，D =(0,)+∞。

（2）2

()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，令()0f x '=，得x a =或1x =。

① 当103

a <≤

时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞ ，

因为2

()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤，所以1201a x x <<<≤，

所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：

所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点。 ② 当

113

a <<时，由（1）知D =(0,)+∞，

所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：

所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =。综上所述，当103

a <≤

时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；

当

113

a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。

13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分）已知函数3

()sin (),2f x ax x a R =-

∈且在,0,

2π

????

上的最大值为32π-，（1）求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

考点：导数，函数与方程。

难度：难。

分析：本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。解答：

（I ）33

()sin 22

f x ax x π-=-

≤

在]2

,0[π

上恒成立，且能取到等号

()s i n 2g x x x a

?=≤在]2

,0[π

上恒成立，且能取到等号

m ax ()2g x a

()sin cos 0()g x x x x y g x '=+>?=在]2,0[π

上单调递增

(

)122

g a a

?=3()sin 2

f x x x ?=-（lfxlby ）

（II ）3()sin ()()sin cos 2

f x x x h x f x x x x '=-?==+

①当x ∈]2

,0[π

时，()0()f x y f x '≥?=在(0,

上单调递增 33

(0)()0()2

f f y f x π

π-=-

上有唯一零点

②当x ∈[

,]2

π时，()2cos sin 0()h x x x x f x ''=-

,]2

π上单调递减

()()022

f f ππ

π'=-

π∈使0()0f x '=

00()0,()02

f x x x f x x x π

π''>?≤<>?<< 得：()f x 在0[,)2

x π

上单调递增，0(,]x π上单调递减

)0,()02

2f f π

π>=-

得：x ∈0[

,]2

x π

时，()0f x >，

x ∈0[,]x π时，0()()0f x f π<，()y f x =在0[,]x π上有唯一零点

由①②得：函数)(x f 在),0(π内有两个零点。 14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)

已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线2

y x =-+

与x 轴正半轴相交于点A ，设()

f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ；（Ⅱ）求对所有n 都有

()1()1

f n n f n n -≥++成立的a 的最小值；（Ⅲ）当01a <<时，比较111(1)(2)

(2)(4)

()(2)

f f f f f n f n +

+???+

---与

(1)(1)6(0)(1)

f f n f f -+-

的大小，并说明理由。

命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想

[解析]（1）由已知得，交点A 的坐标为

???

?0,2a

，对x y y

a x

-=+

-=求导得

则抛物线在点A 处的切线方程为： a

a a

a n

n f x y x y =

-=-

-=)(.2),2

(2则即 ………………4分

（2）由（1）知f (n)=a n

,则121

)(1)(+≥+≥

+-n n n

n f n f a

成立的充要条件是

即知，1

2+≥n a

对于所有的n 成立，

特别地，当n=1时，得到a≥3 当a=3，n≥1时，1n 22.11

)

21(3

+≥?++==

+C a n n

当n=0时，a n

=2n+1.故a=3时11

)(1

)(+≥

+-n n

n f n f 对所有自然数n 均成立.

所以满足条件的a 的最小值为3. ………………………………………………8分（3）由（1）知f(k)=k a

下面证明：

)

1()0()1()1(.

2()(1)

4()2(1)

2()1(1f f n f f n f n f f f f f -+->-+

?+-+

首先证明0

x x

612

设函数g(x)=6x(x 2-x)+1,0

2(18)('-=x x x g .

当3

20<

0)('13

2><

故g （x ）在区间（0，1）上的最小值09

)32()(min

>==g x g

所以，当00,即得

x x x

612

由0

,61

),(102*

a k a

∈

a a

a n f n f f f f f 24

2()(1)4()2(1)2()1(1-?

+-+

-+?+-+

分

14)

1()0()1()1(616)(61

f f n f f n

a a a

n n

-+-?

=--

?++

[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。

15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分）已知函数f(x)=e x -ax ，其中a ＞0.

（1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A （x 1, f(x 1)）,B(x 2, f(x 2))(x 1

【答案】解：(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得.

当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减；当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增，故当

ln x a =时，()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-

于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当

l n 1a a

a -≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-

当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1.

（Ⅱ）由题意知，2

2121

()()

.x x f x f x e

k a x x x x --==

---

令2

()(),x x x

x f x k e x x ?-'=-=-

-则

2112121()()1,x x x e

x e x x x x ?-??=-

---??-

1221221()()1.x x x e

x e x x x x ?-??=

---?

?- 令()1t

F t e t =--，则()1t

F t e '=-.

当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t --> 从而21

21()10x x e

x x ---->，12

12()10,x x e

x x ---->又

x e

x x >-2

0,x e

x x >-

所以1()0,x ?<2()0.x ?>

因为函数()y x ?=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在

012(,)x x x ∈使0()0,x ?=即0()f x k '=成立.

【解析】

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值

(ln )ln .f a a a a =-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为m in ()1f x ≥从而得出求a 的取值

集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

16.【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）

设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间

(Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值

【答案】

17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -

（1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值．

【解析】（Ⅰ）因3()f x ax bx c =++ 故2

()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处

取得极值

故有(2)0(2)16f f c '=??=-?即1208216a b a b c c +=??++=-? ，化简得12048a b a b +=??+=-?解得1

12a b =??=-?

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 3()12f x x x c =-+，2

()312f x x '=-

令()0f x '= ，得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；

当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数。

由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值

(2)16

f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时

(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=，(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值

为(2)4f =-

18.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分）设函数

，n 为正整数，a,b 为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切

线方程为x+y=1.

（1）求a,b 的值；

（2）求函数f(x)的最大值（3）证明：f(x)<

1n e

解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在1x y +=上，可得11b +=，即0b =.

因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.

又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =. 故1a =，0b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)(

)

n n f x n x x n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1

n x n =+，即()f x '在(0,)+∞上有唯一零点01

n x n =

在(0,)

1n n +上，()0f x '>，故()f x 单调递增；

而在(

n n +∞+上，()0f x '<，()f x 单调递减.

故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1

(

)()(1)1

(1)

n n

n n n n n

f n n n n +=-

++++.

（Ⅲ）令1()ln 1+

(0)

t t t t

?=->，则2

111()=

(0)

t t t t

?-'=-

在(0,1)上，()0t ?'<，故()t ?单调递减；而在(1,)+∞上()0t ?'>，()t ?单调递增.

故()t ?在(0,)+∞上的最小值为(1)0?=. 所以()0(1)t t ?>>，即1ln 1(1)t t t

>->.

令11t n =+，得11ln

n n

n +>

+，即1

1ln(

)

ln e

n n n

++>，

所以1

)

e n n n

++>，即

1(1)

n n n

n n +<

由（Ⅱ）知，1

1()(1)

n n n

f x n n +≤

+，故所证不等式成立.

【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解

的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有,ln x e x 等的函数求导的运算及其应用考查. 19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分）设定义在（0，+∞）上的函数1()(0)f x ax b a ax

=++>

（Ⅰ）求()f x 的最小值；

（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32

y x =

，求,a b 的值。

【解析】（I

）（方法一）1

()2f x ax b b b ax =++≥=+，当且仅当11()ax x a

时，()f x 的最小值为2b +。

（II ）由题意得：313(1)2

f a b a =

+=， ①

113()(1)2

f x a f a ax

''=-

?=-=

， ②

由①②得：2,1a b ==-。

20.【2012高考江西文21】（本小题满分14分）

已知函数f(x)=（ax 2+bx+c ）e x 在[]0,1上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0. （1）求a 的取值范围；

（2）设g(x)= f(-x)- f ′(x)，求g(x)在[]0,1上的最大值和最小值。【解析】（1）(0)1f c ==，()()0,1f x a b c e a b =++=+=-，在[0,1]上恒成立(*) (0)00f a '≤

?≥

(*)(0)0,(1)001f f a ''?≤≤?≤≤

（2）()()()(21)x g x f x f x ax a e '=-=-++()(21)x

g x ax a e '=-+-

2()[(1)]0x f x ax a x a e '=+--≤

①当0a =时，()0()g x y g x '>?=在[]0,1上单调递增得：min max ()(0),()(1)g x g g x g == ②

当

01a <≤时，

111()0,()0,()0222a a a g x x g x x g x x a

---'''=?=

>?<

得：()g x 在[]0,1上的最小值是(0)1,(1)(1)g a g a e =+=-中的最小值当1(0)(1)(

1)1

e g g a e -≥≤≤+时，m in ()(1)g x g = 当1

(0)(1)(0)1

e g g a e -<<<

+时，m in ()(0)g x g = 求最大值：当11

1(0)23

a a a -≥<≤时，m ax ()0()(1)g x g x g '≥?=

当111(

1)23

a a a

-<<≤时，m ax 1()(

)2a g x g a

得：当

111

e a e -≤≤+时，m in ()(1)g x g =，当101

e a e -≤<+时，m in ()(0)g x g =

103

a ≤≤

时，m ax ()(1)g x g =，

113

a <≤时，m ax 1()(

)2a g x g a

21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)

设()ln 1f x x =+

，证明：

(Ⅰ)当x ﹥1时，()f x ﹤ 3

（ 1x -）

(Ⅱ)当13x <<时，9(1)()5

x f x x -<

【命题意图】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。

【解析】(Ⅰ)(法1)记()g x =3ln 1(1)2

x x +

-，

则当x ＞1时，()g x '=130

+-<，

又∵(1)0g =，∴()g x ＜0，即()f x ＜3(1)2

x -； ……4分

（法2）由均值不等式，当x ＞1时，1x <+122

x <+， ①

令()ln 1k x x x =-+，则(1)0k =，1()10k x x

'=-<，∴()0k x <，即ln 1x x <-， ②

由①②得，当x ＞1时，()f x ＜

3(1)2

x -. ……4分

(Ⅱ)（法1）记9(1)()()5

x h x f x x -=-

+，由(Ⅰ)得，

()h x '=

154(5)

x +-

542(5)

x +＜

5544(5)

x x

x +-

(5)2164(5)

x x x x +-+，

令()g x =3(5)216x x +-，则当13x <<时，()g x '=23(5)2160x +-< ∴()h x 在（1,3）内单调递减，又(1)0h =，∴()h x ＜0， ∴当1＜x ＜3时，9(1)()5

x f x x -<

+. ……12分

（证法2）记()h x =(5)()9(1)x f x x +--，则当当1＜x ＜3时，

()h x '=()(5)()9f x x f x '++-＜31(1)(5)(

x x x

-+++-

=1[3(1)(5)(218]2x x x x x -+++

-＜11[3(1)(5)(2)18]22

x x x x x x

-++++-

1(73225)4x x x

-+＜0. ……10分

∴()h x 在（1,3）内单调递减，又(1)0h =，∴()h x ＜0， ∴当1＜x ＜3时，9(1)()5

x f x x -<

+. ……12分

22.【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a ∈R ，函数3()42f x x ax a =-+ （1）求f(x)的单调区间

（2）证明：当0≤x ≤1时，f(x)+ 2a -＞0. 【答案】

【解析】（1）由题意得2

()122f x x a '=-，

当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.

当0a >时，()12(f x x x '=-

，此时函数()f x 的单调递增区间为?

. (2)由于01x ≤≤，当2a ≤时，3

()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时，3

()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.

设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2

()626(3

g x x x x '=-=-

则有 x

0,3? ?

? 3

3??

? ???

()g x ' - 0 + ()g x

减

极小值

增

所以m in ()1039

g x g ==-

当01x ≤≤时，32210x x -+>. 故3

()24420f x a x x +-≥-+>.

23.【2012高考全国文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数ax x x x f ++=

1)(

（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设()f x 有两个极值点21,x x ，若过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上，求a 的值。

【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数，通过求解导数求解单调区间。另外就是运用极值概念，求解参数值的运用。

解：（1）依题意可得2

()2f x x x a '=++

当440a ?=-≤即1a ≥时，2

20x x a ++≥恒成立，故()0f x '≥，所以函数()f x 在R 上

单调递增；

当440a ?=->即1a <时，

()20

f x x x a '=++=有两个相异实根

122112

x x --=

=--=-+且12x x <

故由2

()20f x x x a '=++>?(,1x ∈-∞--或(1)x ∈-++∞，此时()f x 单调递增

由2()2011f x x x a x '=++

当1a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当1a <时，()f x 在(,1x ∈-∞--上单调递增，

在(1)x ∈-++∞单调递增，在(11---+单调递减。（2）由题设知，12,x x 为方程()0f x '=的两个根，故有

11221,2,2a x x a x x a <=--=--

因

此

11(

)

f x =+

同理222()(1)3

a f x a x =

因此直线l 的方程为2(1)33

a y a x =-- 设l 与x 轴的交点为0(,0)x ，得02(1)

a x a =

而2

()(

)(

)(12176)32(1)

2(1)

24(1)

a a

f x a a a a a a =

-+----

由题设知，点0(,0)x 在曲线()y f x =的上，故0()0f x =，解得0a =或23

a =或34

a =

所以所求a 的值为0a =或23

a =

或34

a =

。

【点评】试题分为两问，题面比较简单，给出的函数比较常规，这一点对于同学们来说没有难度，但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响，求解函数的单调区间。第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。

24.【2012高考山东文22】 (本小题满分13分)

已知函数ln ()(e

x k f x k

为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点

(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.

(Ⅰ)求k 的值；

(Ⅱ)求()f x 的单调区间；

(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.

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