苏教版高中数学选修2-1简单的逻辑连接词同步练习

简单的逻辑联结词（简答题：较易）1、给定两个命题，命题：对，不等式恒成立，命题：关于的方程有实数根；若为假命题，为真命题，求实数的范围．2、已知命题：方程有两个不相等的负实根，命题：恒成立；若或为真，且为假，求实数的取值范围．3、设方程有两个不等的负根，方程无实根，若“”为真，“”为假，求实数的取值范围.4、已知命题“，”，命题“是焦点在轴上的椭圆的标准方程”.若命题“”是真命题，求实数的取值范围.5、设：实数满足，其中；：实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围.6、已知，命题表示的曲线是焦点在轴上的椭圆；命题：不等式的解集为，若是真命题，求的取值范围.7、设函数在区间上单调递增；函数在其定义域上存在极值．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）如果“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围．8、已知命题：方程有两个不相等的实根，命题：关于的不等式对任意的实数恒成立，若“”为真，“”为假，求实数的取值范围．9、已知:方程有两个不相等的实数根；：不等式的解集为.若“”为真，“”为假，求实数的取值范围.10、已知命题方程有两个不相等的实根，命题关于的不等式对任意的实数恒成立，若“”为真，“”为假，求实数的取值范围．11、已知，设：函数在其定义域内为增函数，：不等式的解集为，若“”为真，“”为假，求实数的范围．12、已知，命题，命题．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围．13、设命题函数在上是增函数,命题,如果是假命题,是真命题,求的取值范围.14、已知,向量,向量，集合.（1）判断“”是“”的什么条件（2）设命题若则, 命题若集合的子集个数为，则,判断的真假，并说明理由.15、已知，且．设函数在区间内单调递减；曲线与轴交于不同的两点，如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．16、命题方程有两个不等的正实数根；命题方程无实数根，若“或”为真命题，求的取值范围.17、设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18、设命题:实数满足,其中；命题实数满足.（1）若且为真,求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.19、设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围.（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.20、已知命题：，命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.（1）命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.21、已知命题关于的方程在有解，命题在单调递增；若为真命题，是真命题，求实数的取值范围．22、已知c＞0，设命题p：函数为减函数.命题q：当时，函数f（x）＝x＋＞恒成立.如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求c的取值范围.23、命题，命题．（1）若“或”为假命题，求实数的取值范围；（2）若“非”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．24、已知命题不等式的解集为,命题是增函数, 若或为假命题,且，求实数的取值范围.25、已知，，其中．（1）若，且为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．26、设命题“对任意的”，命题“存在，使”。

第1章常用逻辑用语（苏教版选修2-1）建议用时实际用时满分实际得分120分钟160分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.下列说法中,不正确的是_________.①“若则”与“若则”是互逆命题；②“若﹁则﹁”与“若则”是互否命题；③“若﹁则﹁”与“若则”是互否命题；④“若﹁则﹁”与“若则”是互为逆否命题.2.若命题“使得”是假命题，则实数的取值范围是.3.集合，，，则“”是“”的条件.4.设：：,若﹁是﹁的必要不充分条件，则实数的取值范围是.5.命题：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象；命题：函数的最小正周期是，则复合命题“或”“且”“非”中真命题的个数是______.6.已知命题：,命题：，,若命题“”是真命题，则实数的取值范围是.7.给出下列命题：①若“或”是假命题，则“﹁且﹁”是真命题；②；③若关于的实系数一元二次不等式的解集为，则必有且；④，其中真命题是______.8.关于的函数有以下命题：①,；②；③，都不是偶函数；④,使f是奇函数．其中假命题的序号是.9.有限集合中元素的个数记作，设A,B都是有限集合，给出下列命题：①的充要条件是=；②的必要条件是；③的充分条件是；④的充要条件是.其中正确的命题是.10.已知命题使；命题,都有给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“﹁”是假命题；③命题“﹁”是真命题；④命题“﹁﹁”是假命题.其中正确的是.11.命题：“如果－+=0，则x=2且y=－1”的逆否命题为.12.已知命题p:x∈R,a+2x+3≥0，如果命题p为真命题，则实数a的取值范围是.13.已知命题p:命题q:若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数的范围是____________.14.下列四个结论中，正确的有(填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“＞－”是“一元二次不等式a＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（本小题满分14分）设命题为“若，则关于的方程有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．16.（本小题满分14分）已知命题：任意，，如果命题﹁是真命题，求实数的取值范围．17.（本小题满分14分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足－－－＞（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18.（本小题满分16分）若函数的图象和轴恒有公共点，求实数的取值范围．19. （本小题满分16分）设P,Q,R,S四人分别获得一到四等奖，已知：（1）若P得一等奖，则Q得四等奖；（2）若Q得三等奖，则P得四等奖；（3）P所得奖的等级高于R；（4）若S未得一等奖，则P得二等奖；（5）若Q得二等奖，则R不是四等奖；（6）若Q得一等奖，则R得二等奖.问P,Q,R,S分别获得几等奖？20.（本小题满分16分）设命题p:函数是R上的减函数，命题q:函数在上的值域为．若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围．第1章常用逻辑用语（苏教版选修2-1）答题纸得分：＿＿＿一、填空题1.2. 3. 4. 5.6.7. 8. 9.10.11. 12. 13. 14.二、解答题15.解：16.解：17.解：18.解：19.解：20.解：第1章常用逻辑用语（苏教版选修2-1）答案一、填空题1.②解析：“若﹁则﹁”与“若则”是互为逆否的命题，②不正确，故选②.2.[- 1,3] 解析：已知命题是假命题，则它的否定为真命题，命题的否定为若为真命题，需方程的判别式解得3.必要不充分解析：集合集合，故，，所以“”是“”的必要不充分条件.4.解析：由已知得若成立，则,若成立，则.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以，＜，或＜，所以.5.2解析：将函数y=的图象向右平移个单位长度得到函数y==的图象，所以命题P是假命题，“非P”是真命题，“P且Q”是假命题.函数,最小正周期为，命题Q为真命题，所以“P或Q”为真命题.故真命题有2个.6.或解析：若p成立，对有.因为所以即若q成立，则方程的判别式解得或因为命题“”是真命题，所以p真q真，故的取值范围为或7.①②解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若，则，若,则，所以②是真命题；数形结合可得，若一元二次不等式的解集是，则必有且，所以③是假命题；当时，必有但当，y=5时，满足但，所以④是假命题.8.①③解析：对于命题①，若==成立，必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f，当=时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题.9.①②解析：，集合和集合没有公共元素，①正确；，集合中的元素都是集合中的元素，②正确；③错误；，则集合中的元素与集合中元素完全相同，元素个数相等，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，④错误.10.②③解析：因为，所以命题p是假命题，﹁是真命题；由函数y=的图象可得，命题q是真命题，﹁是假命题.所以命题“”是假命题, 命题“﹁”是假命题，命题“﹁”是真命题，命题“﹁﹁”是真命题.所以②③正确.11.如果x≠2或y≠－1，则－+≠0 解析：“x=2且y=－1”的否定为“x≠2或y≠－1”，“－+12=0”的否定为－2++12≠0，故原命题的逆否命题为“如果x≠2或y≠－1，则－2++12≠0”.12.a＜解析：∵p为真命题，∴p为假命题.又当p为真命题时，需a+2x+3≥0恒成立，显然a=0时不正确，则需4-120aa⎧⎨⎩＞，≤，∴a≥，∴当p为假命题时，a＜.13.解析：两个命题可分别表示为或，或，要使命题是命题的充分不必要条件，则，，，或，，，解得.14.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，∴“x≠1”是“≠1”的不充分条件.x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0x＞0x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.二、解答题15.解：否命题为“若，则关于的方程没有实数根”；逆命题为“若关于的方程有实数根，则”；逆否命题为“若关于的方程没有实数根，则”.由方程根的判别式，得，此时方程有实数根．因为使，所以方程有实数根，所以原命题为真，从而逆否命题为真.但方程有实数根，必须，不能推出，故逆命题为假,从而否命题为假.16.解：因为命题﹁是真命题，所以是假命题.又当是真命题，即恒成立时，应有，，解得，所以当是假命题时，.所以实数的取值范围是.17.解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由－－－＞得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3. 若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若ℸp是ℸq的充分不必要条件，即q，且p.设A={x|p},B={x|q},则A B，又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.18.解：（1）当时，=的图象与轴恒相交；（2）当时，二次函数=的图象和轴恒有公共点的充要条件是恒成立，即恒成立，又是一个关于的二次不等式，恒成立的充要条件是解得．综上，当时，；当时，．19.解：由（3）知，得一等奖的只有P,Q,S之一（即R不可能是一等奖）.若P得一等奖，则S未得一等奖，与（4）矛盾；若Q得一等奖，由（6）知，R得二等奖，P只能得三等奖或四等奖，与（3）矛盾.所以只有S得一等奖.若P是二等奖，由（2）知，Q不得三等奖，只能是四等奖，所以R是三等奖；若P是三等奖，则R是四等奖，Q得二等奖，与（5）矛盾.所以S，P，R，Q分别获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖.20.解：由得.因为在上的值域为,所以.又因为“”为假命题，“”为真命题，所以,一真一假．若真假，则；若假真，则.综上可得，的取值范围是或.。

简单的逻辑连接词 同步练习一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．1. 下列命题中为简单命题的是 （ C ） A ．8或6是30的约数 B ．菱形的对角线垂直平分C D ．方程210x x -+=没有实数根 2. 有下列命题： ①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy=0，则0||||=+y x ”的逆命题； ③“若a>b ，则a+c>b+c ”的否命题； ④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有 （ B ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 已知命题p ：若实数x 、y 满足,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若11,.a b a b><则 给出下列四个复合命题：①p 且q ，②p 或q ，③ ⌝ p ，④ ⌝ q .其中真命题的个数为 （ B ） A ．1 B ．2 C ．3D ．44. 在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是（ B ） A.1或2或3或4 B.0或2或4 C.1或3 D.0或45. 若命题p ：2n －1是奇数，q ：2n ＋1是偶数，则下列说法中正确的是 （ A ）A ．p 或q 为真B ．p 且q 为真C ． 非p 为真D ． 非p 为假 二、填写题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．6. 命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥；命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且______________的三棱锥是正三棱锥．7. 由命题p :6是12的约数，q :6是24的约数，构成的“p 或q ”形式的命题是：_ ___，“p 且q ”形式的命题是__ _，“非p ”形式的命题是__ _. 8. 指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：(1)12是48与36的公约数； . (2)3是偶数或奇数； . (3)4的算术平方根不是－2； . (4)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． . 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9. 分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”的真假． （1）p : 梯形有一组对边平行；q ：梯形有一组对边相等．（2）p : 1是方程0342=+-x x 的解；q ：3是方程0342=+-x x 的解． （3）p : 不等式0122>+-x x 解集为R ；q : 不等式1222≤+-x x 解集为∅．（4）p : ∅⊂≠∈0:};0{q ∅10. 写出下列各组命题的“或”命题，并判断其真假 ①p ：2=2；q ：2＞2．②p ：正方形的对角线互相垂直；q ：矩形的对角线互相平分．11. 关于x 的不等式22:(1)0p x a x a +-+>与指数函数2()(2),x f x a a =-若命题“p 的解集为(,)-∞+∞　或()f x 在(,)-∞+∞　内是增函数”是真命题，求实数a 的取值范围．12. 若a 、b 、c 均为实数，且2222,2,2236a x yb y zc z x πππ=-+=-+=-+，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．13.已知命题p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根, 命题q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：１．Ｃ 提示 简单命题是不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题，选择支A 、B 、D 中分别含有逻辑连结词“或”、“且”、“非”． 2．Ｂ 3．Ｂ 提示 ②、③为真命题． ４．Ｂ 提示 结合命题的等价关系进行判断． 5. A 二、填空题：6【 答案】提示 此题是开放性题，答案不唯一，可以是“侧棱与底面所成角相等”；或“侧面与底面所成角相等；……．7【 答案】6是12或24的约数；6是12的约数，也是24的约数；6不是12的约数． 8【 答案】(1)这个命题是p 且q 的形式， p ：12是48的约数; q ：12是36的约数． (2)这个命题是p 或q 的形式， p ：3是偶数；q ：3是奇数． (3)这个命题是非p 的形式， p ：4的算术平方根是－2． (4)这个命题是p 且q 的形式， p ：垂直于弦的直径平分这条弦；q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧． 三、解答题：9. 【 解析】 ⑴∵ p 真，q 假， ∴“p 或q”为真，“p 且q”为假．⑵∵ p 真，q 真， ∴“p 或q”为真，“p 且q”为真． ⑶∵ p 假，q 假， ∴“p 或q”为假，“p 且q”为假．⑷∵ p 真，q 假， ∴“p 或q”为真，“p 且q”为假，“非p”为假． 10. 【 解析】 【解】 ① p ∨q ：(2=2)∨(2＞2)，即2≥2．(真) 由于2=2是真命题，所以2≥2是真命题．②p ∨q ：(正方形的对角线互相垂直)∨(矩形的对角线互相平分)． 由于两个命题都是真的，所以p ∨q 是真命题．11. 【 解析】 设使p 的解集为(,)-∞+∞　的a 的集合为A ，使()f x 在(,)-∞+∞　内是增函数的a 的集合为B ，则本题即求,A B 答案为11(,)(,)23-∞-+∞．12. 【 解析】 用反证法）假设a 、b 、c 都不大于0，即0a ≤，0,0b c ≤≤，则有0a b c ++≤． 而222222236a b c x y y z z x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222222x x y y z z π=-+-+-+()()()()2221113x y z π=-+-+-+-, 所以 0a b c ++>，此与0a b c ++≤矛盾． 故假设错误，从而原命题正确．说明 本题亦可直接转化为证明等价命题：0a b c ++>．13. 【 解析】由已知p ，q 中有且仅有一为真，一为假．⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅>⇒<-=+>∆01200:2121x x m m x x p ． 310:<<⇒<∆m q ． （1）若p 假q 真，则21213m m m ≤⎧⇒<≤⎨<<⎩；（２）若p 真q 假，则2313m m m m >⎧⇒≥⎨≤≥⎩或．综上所述：(][)+∞⋃∈,32,1m ．点评 本题在利用复合命题的真假条件时，实质上涉及到化归思想、分类讨论思想和集合的“交”、“并”、“补”运算．§1.2.简单的逻辑联结词(2)要点精讲逻辑联结词：非逻辑联词“非”的意义就是日常语言的“否定”．例如，把命题“7是21的因数”加以“否定”，就构成了新的命题：“不是‘7是21的因数’’’，即“7不是21的因数”．对命题p 加以否定，就得到一个新的命题，叫做命题p 的否定命题，记作⌝p ，读作“非p”． 否定命题的真值表如右．这就是说，⌝p 与p 不能同真或同假；其中一个为真，另一个必假，它们是互为否定的．显然有⌝ (⌝p) =p ．对“非”的理解，可联想到集合中的“补集”概念，若命题p 对应于集合P ，则命腰非p 就对应着集合P 在全集U 中的补集C U P ．“非”字有否定的意思,一个命题p 经过使用逻辑联结词“非”，就构成了复合命题“非p”，称为“命题p 的否定”,复合命题“p 或q”的否定为“非p 且非q”，复合命题“p 且q”的否定为“非p 或非q”．写一个命题p 的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常有的正面词语和它的否定到表如下：典型题解析【例1】写出下列各命题的否定命题，并判断其真假： p ：3是方程x 2-9=0的根； q ： 1)1(2-=-r ：三角形的三个外角和等于360°． 【分析】【解】 ⌝p ： 3不是方程x 2-9=0的根；(假) ⌝q ： 1)1(2-≠-，或者⌝q ：1)1(2->-或1)1(2-<-；(真)⌝r ：三角形的三个外角和不等于360°.(假)【例2】已知命题p ：无穷数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若｛a n ｝是等差数列，则点列｛（n ，S n ）｝在一条抛物线上；命题q ：若实数m ＞1，则mx 2+(2m ―2)x ―1＞0的解集为（―∞，+∞），对于命题p 的逆否命题s 与命题q 的逆命题r ，下列判断正确的是 （ ）A ．s 是假命题，r 是真命题B ．s 是真命题，r 是假命题C ．s 是假命题，r 是假命题D ．s 是真命题，r 是真命题【解】对于命题p ，当｛a n ｝为常数数列时为假命题，从而其逆否命题s 也是假命题；由于使mx 2+(2m ―2)x ―1＞0的解集为（―∞，+∞）的m 不存在，故命题命题q 的逆命题r 是假命题，于是应选（Ｃ）． 【例4】已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减．Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．【分析】本题主要考查集合、函数、不等式、绝对值等基本知识;考查分析和判断能力.解题突破口：用数轴表示两个集合, 这时如果P 和Q 有且仅有一个正确就一目了然．本题解题过程中蕴涵着分类讨论的数学思想和转化思想.【解】函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.|2|11121.,,0.,, 1.221(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c Rc c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为规律总结1.对逻辑联结词“非”的理解，与判断含有“非”的命题的真假是分不开的．逻辑中的“非”与日常生 “非”的意义是不尽相同的，要直接讲清楚它们的意义，比较困难，例如，像4≥3与4≥4这样的关系式，初接触时，同学们可能不容易接受，大家应结合实例深刻体会．2.简单的逻辑联结词“非”． 为了进一步感受与理解“非”，可以适当联系集合与不等式的有关知识．集合中的“补”，与逻辑联结词 “非”密切相关．例如补集的定义分别是：C I A=(x ｜x ∈I 且x ∉A}．在一个命题前加“非”，是对这个命题进行否定，得到的是一个新的命题．3.命题的否定与否命题是不一样的,任何一个命题都有否定，但否命题只是“若…则…”形式命题的四种命题形式中的一种，不是“若…则…”形式的命题，就没有讨论否命题的可能．根据复合命题的真值表判断个复合命题的真假对于“p 或q”、“p 且q”、“非p”这三种形式的复台命题．可由构成它的简单命题的真假，通过真值表进行判断①复合命题“p 或q”，在p 、q 中至少有一个为真(包括两个同时为真)时，它是真命题; 只有p 、q 都为假时才是假命题．我们可简述为“一真必真”②复台命题“p 且q ，只有在p 、q 都为真时，它才是真命题；p 、q 中有一个为假(包括两 个同时为假)时，它就是假命题我们司简述为”一假必假”③复台命题“非p”，当p 为真时，它是假命题；当p 是假命题时，它是真命题．判断复合命题真假的基本程序是：（1）确定复合命题的构成形式（先找出逻辑联结词，后确定被联结的简单命题）；（2）判断各个简单命题的真假；（3）结合真值表推断复合命题的真假．基础演练与综合应用一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 1. “至多三个”的否定为（ B ）A ．至少有三个B ．至少有四个C ． 有三个D ． 有四个2. “220a b +≠”的含义是 （ A ） A ．,a b 不全为0 B.,a b 全不为0C ．,a b 至少有一个为0 D.a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0 3. 如果命题“非p”与命题“p 或q”都是真命题，那么 （ B ） A ．命题p 与命题q 的真值相同B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 不一定是真命题4. 如果命题“非p”与命题“p 或q”都是真命题，那么 （ B ） A ．命题p 与命题q 的真值相同B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 不一定是真命题5. 由下列各组命题构成“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，非“p ”为真的是 （ B ）A ．=0:p ,∈0:q ∅B ．p ：等腰三角形一定是锐角三角形，q ：正三角形都相似C ．{}a p : ≠⊂{}b a , ，{}b a a q ,:∈ D ．:,35:q p >12是质数二、填写题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．6. 在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是 (把符合要求的命题序号都填上). 7. 命题{}{}{}{}:21,2,3,:21,2,3,p q ∈⊆则对复合命题的下述判断：①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．其中判断正确的序号是 （填上你认为正确的所有序号）． 8. 所给命题：①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；②{}R x x x ∈=+,01|2={}=0或 ;③对于命题:“p 且q ”，若p 假q 真，则“p 且q ”为假；④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件． 其中为真命题的序号为 ．三、解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9. 写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：（1）若21,20m x x m >-+=则方程有实数根．（2）平方和为0的两个实数都为0．（3）若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的任何一个内角是锐角． （4）若0abc =，则,,a b c 中至少有一为0． （5）若0)2)(1(=--x x ，则21≠≠x x 且 ．10. 若三条抛物线()2222443,1,22y x ax a y x a x a y x ax a =+-+=+-+=+-中至少有一条与x 轴有公共点，求a 的取值范围.11. 写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：（1）若21,20m x x m >-+=则方程有实数根． （2）平方和为0的两个实数都为0．（3）若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的任何一个内角是锐角． （4）若0abc =，则,,a b c 中至少有一为0． （5）若0)2)(1(=--x x ，则21≠≠x x 且12. 已知命题p :|x 2－x ｜≥6，q ：x ∈Z ，且“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，求x 的值.13*.已知函数f (x )满足下列条件：（1）1()12f =；（2）()()()f xy f x f y =+；（3）()f x 的值域为［－1,1］． 试证：14不在f (x )的定义域内．14*.已知p :方程x 2＋mx ＋1=0有两个不等的负根；q :方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．§1.2.简单的逻辑联结词(2)参考答案一、选择题：1．B ２．A 3． B ４．B ５． B 二、填空题：6．【 答案】② 7．【 答案】①④⑤⑥ 8．【 答案】②③④ 三、解答题：9. 【 解析】⑴若21,20m x x m >-+=则方程无实数根，(真)；⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；⑶若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的任何一个内角不都是锐角(假)；⑷若0abc =，则,,a b c 中没有一个为0(假)； ⑸若0)2)(1(=--x x ，则1=x 或2=x ，(真)．10. 【 解析】 若按一般思维习惯，对三条抛物线与x 轴公共点情况一一分类讨论，则较为繁琐，若从其反面思考，先求“三抛物线均与x 轴无公共点的a 的范围”则很简单.由 ()()()()2122223444301404420a a a a a a ⎧∆=--+<⎪⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎪⎩解之，得312a -<<-，记3,,12I R A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，则所求a 的范围是 ∁[)3,1,2R A ⎛⎤=-∞--+∞ ⎥⎝⎦.11. 【 解析】⑴若21,20m x x m >-+=则方程无实数根，(真)；⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；⑶若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的任何一个内角不都是锐角(假)； ⑷若0abc =，则,,a b c 中没有一个为0(假)； ⑸若0)2)(1(=--x x ，则1=x 或2=x ，(真)． 12. 【 解析】 ∵p 且q 为假p 、q 至少有一命题为假，又“非q ”为假 ∴q 为真，从而可知p 为假.由p 为假且q 为真，可得：⎩⎨⎧∈<-Zx x x 6||2即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈->-<-Zx x x x x 6622 ∴⎪⎩⎪⎨⎧∈∈<<-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈>+-<--Z R Z x x x x x x x x 32060622故x 的取值为：－1、0、1、2. 13. 【 解析】 证明 假设14在f (x )的定义域内，则1()4f 有意义，且1()[1,1]4f ∈-． 又由题设，得1()4f ＝[]1111()()()21,12222f f f ⋅=+=∉-，此与1()[1,1]4f ∈-矛盾．故假设不成立，从而14不在f (x )的定义域内．点评 运用反证法时常见词语的否定方式有：“在”⇒“不在”；“是”⇒“不是”；“都是”⇒“不都是”； “大于”⇒“不大于”；“所有的…”⇒“至少有一个不…”；“至少一个” ⇒“一个也没有”；“任意一个”⇒“存在某个不…”，等等． 14*. 【 解析】若方程x 2＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得m ＞2，即p ：m ＞2若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0 解得：1＜m ＜3.即q ：1＜m ＜3.因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真，又“p 且q ”为假，所以p 、q 至少有一为假， 因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真. ∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或解得：m ≥3或1＜m ≤2.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知命题p ：x ∈A ∩B ，则非p 是________．【解析】 根据数集的定义知，非p 是x ∉A 或x ∉B .【答案】 x ∉A 或x ∉B2．若p 是真命题，q 是假命题，则下列说法正确的是________．①p 且q 是真命题；②p 或q 是假命题；③非p 是真命题；④非q 是真命题．【解析】 ∵p 真q 假，∴非q 为真命题．【答案】 ④3．命题p ：已知x ，y 为实数，若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都为0；命题q ：若a 2>b 2，则a >b .给出下列命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q .其中，真命题是________．(填所有真命题的序号)【解析】 p 真q 假，所以p 或q 为真，非q 为真．【答案】 ②④4．由命题p ：6是12的约数，q ：6是24的约数，构成的(1)“p 或q ”形式的命题是_________________________________________；(2)“p 且q ”形式的命题是_________________________________________；(3)“非p ”形式的命题是__________________________________________．【答案】 (1)6是12或24的约数(2)6是12的约数且是24的约数(3)6不是12的约数5．(2016·沈阳高二检测)设命题p ：若a ＞b ，则1a ＜1b ；命题q ：1ab＜0⇔ab ＜0.给出下列四个复合命题：①p ；②q ；③p 或q ；④p 且q .其中真命题的个数有________个. 【导学号：09390010】【解析】 令a ＝1，b ＝－2，则1a ＞1b，所以命题p 是假命题；命题q 显然是真命题，所以命题p 或q 是真命题，命题p 且q 是假命题，所以真命题的个数为2.【答案】 26．若命题“p 且(非q )”为真，则在命题“p 且q ”、“p 或q ”、“q ”、“非p ”中，真命题的个数有________个．【解析】 ∵“p 且(非q )”为真，∴p 真q 假．∴p 或q 为真．【答案】 17．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断： ①p 为真；②非q 为假；③p 且q 为假；④p 或q 为真．其中正确的是________(填序号)．【解析】 由题意得命题p 是假命题，命题q 是假命题，因此只有③正确．【答案】 ③8．设有两个命题：p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数y ＝－(5－2a )x 在R 上是减函数，若“且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 对于p ：Δ＝4a 2－16<0，即－2<a <2；对于q ：5－2a >1，即a <2.因为且q 为真命题，所以实数a 的取值范围是－2<a <2.【答案】 －2<a <2二、解答题9．分别指出下列各组命题构成的“p 且q ”、“p 或q ”、“非p ”形式的命题的真假．(1)p ：一次函数是单调函数，q ：一次函数是奇函数；(2)p ：9是素数，q ：9是奇数；(3)p ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点，q ：不等式x 2－2x ＋1≥0恒成立；(4)p ：四条边相等的四边形是正方形，q ：有一个角是直角的四边形是正方形．【解】 (1)∵p 是真命题，q 为假命题．∴p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题．(2)∵p 是假命题，q 是真命题．∴p 且q 是假命题，p 或q 为真命题，非p 为真命题．(3)∵p 是真命题，q 是真命题．∴p 且q 与p 或q 都是真命题，非p 是假命题．(4)∵p 是假命题，q 是假命题．∴p 且q 与p 或q 都是假命题，非p 是真命题．10．(2016·哈尔滨高二检测)设p ：2∈{x ||x －a |＞1}；q ：曲线 y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．【解】 ∵2∈{x ||x －a |＞1}，∴|2－a |＞1，∴p ：a ＞3或a ＜1，∵q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，∴Δ＞0，即(2a －3)2－4＞0，∴q ：a ＜12或a ＞52， 由p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，知p ，q 一真一假，若p 真q 假，则12≤a ＜1；若p 假q 真，则52＜a ≤3. ∴实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪52＜a ≤3或12≤a ＜1. 能力提升]1．(2016·杭州高二检测)命题p ：直线y ＝2x 与直线x ＋2y ＝0垂直；命题q ：异面直线在同一个平面上的射影可能为两条平行直线，则命题p 且q 为________命题(填“真”或“假”)．【解析】 直线y ＝2x 与直线x ＋2y ＝0的斜率分别为k 1＝2，k 2＝－12，所以k 1k 2＝－1，即两直线垂直，所以命题p 为真命题；正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中直线AD 1和B 1C 是异面直线，在平面ABCD 上的射影分别为AD ，BC ，且AD ∥BC ，所以命题q 为真命题，所以命题p 且q 为真命题．【答案】 真2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可用符号表示为________．【解析】 依题意得非p ：甲没有降落在指定范围，非q ：乙没有降落在指定范围，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(非p )或(非q )．【答案】 (非p )或(非q )(或填非(p 且q ))3．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x －2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1或p 2，q 2：p 1且p 2，q 3：(非p 1)或p 2和q 4：p 1且 (非p 2)中，真命题有________．【解析】 ∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x 在R 上为减函数，∴y ＝2x － 2－x 在R 上为增函数，∴p 1为真命题，p 2为假命题，故q 1：p 1或p 2为真命题，q 2：p 1且 p 2为假命题，q 3：(非p 1)或p 2为假命题，q 4：p 1且 (非p 2)为真命题．故真命题是q 1，q 4.【答案】 q 1，q 44．已知p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根．q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R.若“p 或q ”与“非q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 【导学号：09390011】【解】 p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，x 1＋1 x 2＋1 >0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1≥0，－2a >－2，2－2a >0，解得a ≤－1. q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0. 由于⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0， 解得0<a <4，所以0≤a <4. 因为“p 或q ”与“非q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1. 故实数a 的取值范围是(－∞，－1].。

滚动训练(一)一、填空题1．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为________________________．考点四种命题的概念题点按要求写命题答案△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．2．已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有________个．答案 1解析原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题．当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5.故其逆命题：“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题．又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题．3．有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集．真命题的个数是________．答案 2解析①当m＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax2＋2x－1＝0(a≠0)的判别式Δ＝4＋4a，其值不一定大于或等于0，有可能小于0，所以与x轴至少有一个交点不能确定；③④正确．4．给出下列三个命题：①“若x2＋2x－3≠0，则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题p：∀x∈R,2x＞0，则綈p：∃x∈R,2x≤0.其中正确的个数是________．考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案 1解析①命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”，是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①不正确．②不正确．③根据含量词的命题否定方式，可知命题③正确．5．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)?{x |(a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.6．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是________．考点 “p ∧q ”形式命题真假性的判断题点 由“p ∧q ”形式命题的真假求参数的取值范围答案 (－2,0)解析 由题意可知，若p ∧q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题．命题p 为真命题，则m ＜0.命题q 为真命题，则m 2－4＜0，即－2＜m ＜2.所以命题p 和命题q 均为真命题时，实数m 的取值范围是(－2,0)．7．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是________．考点 全称量词的否定题点 全称量词的命题的否定答案 ∃x ∈[0，＋∞)，x 3＋x <0解析 全称命题的否定是存在性命题．全称命题：∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0的否定是存在性命题：∃x ∈[0，＋∞)，x 3＋x <0.8．已知p ：x 2＋2x －3＞0；q ：13－x＞1.若“(綈q )∧p ”为真命题，则x 的取值范围是________________________________________________________________________．考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，所以q 假p 真．而当q 为真命题时，有x －2x －3＜0，即2＜x ＜3， 所以当q 为假命题时有x ≥3或x ≤2；当p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，解得x ＜－3或1＜x ≤2或x ≥3.9．设命题p ：若e x ＞1，则x ＞0，命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b，则命题p ∧q 为________命题．(填“真”“假”)考点 “p ∧q ”形式命题真假性的判断题点 判断“p ∧q ”形式命题的真假答案 假解析 ∵命题p ：若e x ＞1，则x ＞0，∴可知命题p 是真命题．∵命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b， 当a ＝1，b ＝－2时，满足a ＞b ，但1a ＞1b， ∴命题q 为假命题，∴命题p ∧q 为假命题．10．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则m 的取值范围是________． 考点 存在性命题的真假性判断题点 存在性问题求参数的取值范围答案 (－∞，－2)解析 因为函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象过点(0,1)，所以若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象的对称轴必在y 轴的右侧，且与x 轴有两个交点，所以Δ＝m 2－4＞0，且－m 2＞0， 所以m ＜－2，即m 的取值范围是(－∞，－2)．11．已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：|x －3|≤m ，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．考点 充分、必要条件的概念及判断题点 由充分、必要条件求取值范围答案 [4，＋∞)解析 由x 2－3x －4≤0，得－1≤x ≤4，设A ＝{x |－1≤x ≤4}，若|x －3|≤m 有解，则m ＞0(m ＝0时不符合已知条件)，则－m ≤x －3≤m ，得3－m ≤x ≤3＋m ，设B ＝{x |3－m ≤x ≤3＋m }．∵綈q 是綈p 的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q 成立，但q ⇒p 不成立，即A ?B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，3－m ＜－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ＞4， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＞4，m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ≥4，m ＞1，得m ≥4，故m 的取值范围是[4，＋∞)．二、解答题12．判断下列各题中p 是q 的什么条件．(1)p ：ax 2＋ax ＋1＞0的解集为R ，q ：0＜a ＜4；(2)p ：A ?B ，q ：A ∪B ＝B .考点 充分、必要条件的概念及判断题点 充分、必要条件的判断解 (1)∵当0＜a ＜4时，Δ＝a 2－4a ＜0，∴当0＜a ＜4时，ax 2＋ax ＋1＞0恒成立，故q ⇒p .而当a ＝0时，ax 2＋ax ＋1＞0恒成立，∴pD ⇒/q ，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵A ?B ⇒A ∪B ＝B ，∴p ⇒q .而当A ∪B ＝B 时，A ⊆B ，即qD ⇒/p ，∴p 是q 的充分不必要条件．13．设集合A ＝{x |－1≤x ≤7}，B ＝{x |n ＋1≤x ≤2n －3}，若“B 是A 的子集”是真命题，求实数n 的取值范围．考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围解 ①当B ＝∅，即n ＋1＞2n －3时，B ⊆A .此时解得n ＜4.②当B ≠∅时，由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋1≤2n －3，n ＋1≥－1，2n －3≤7，解得4≤n ≤5.综上所述，实数n 的取值范围是(－∞，5]．三、探究与拓展14．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的________________条件． 答案 必要不充分解析 因为0<x <π2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1，得x sin x <1sin x ，而1sin x>1，因此充分性不成立． 15．已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0.显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a. 若命题p 为真，∵x ∈[－1,1]，故⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴|a |≥1.若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 的图象与x 轴只有一个交点．∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}．。

1.1.2充分条件和必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．框图表示2．条件与结论之间的关系知识点二充要条件思考在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？答案因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件．梳理(1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称为p是q的充要条件，记作p⇔q.(2)充要条件的实质是原命题“若p则q”和其逆命题“若q则p”均为真命题，如果p是q 的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．1．当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)2．当p是q的充分必要条件时，那么q也一定是p的充分必要条件．(√)类型一 充分条件、必要条件的判断例1 对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，下列结论正确的是________．(填序号) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac ＞0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac ＜0是函数f (x )没有零点的充要条件． 答案 ①②④解析 ①正确，因为Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有零点；②正确，因为Δ＝b 2－4ac ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，但是f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，有可能Δ＞0；③错误，因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，但未必有Δ＝b 2－4ac ＞0，也有可能Δ＝0；④正确，因为Δ＝b 2－4ac ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点．反思与感悟 充分、必要条件判断的常用方法 (1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断． 跟踪训练1 指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：ax 2＋ax ＋1>0的解集是R ，q ：0<a <4； (2)p ：|x －2|<3，q ：6x －5<－1；(3)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B ；(4)p ：⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.解 (1)当a ＝0时，1>0满足题意；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a <0，a >0，可得0<a <4.故p 是q 的必要不充分条件． (2)易知p ：－1<x <5，q ：－1<x <5， 所以p 是q 的充要条件．(3)因为A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，根据同向不等式相加、相乘的性质，有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，即p ⇒q .但⎩⎨⎧α＋β>4，αβ>4⇏⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，比如，当α＝1，β＝5时，⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝6>4，αβ＝5>4，而α<2，所以q ⇏p ，所以p 是q 的充分不必要条件． 类型二 充要条件的探求与证明 命题角度1 充要条件的探求例2 求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？ 解 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.①方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1x 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a <0，∴a <0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎨⎧a ≤1，－2a <0，1a >0，∴0<a ≤1.综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋t (t 为常数)，试问t ＝－1是否为数列{a n }是等差数列的充要条件？请说明理由． 解 是充要条件．(充分性)当t ＝－1时，S n ＝(n ＋1)2－1＝n 2＋2n . a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1. 又a 1＝3符合上式， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 又∵a n ＋1－a n ＝2(常数)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． 故t ＝－1是{a n }为等差数列的充分条件． (必要性)∵{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，∵a 1＝S 1＝4＋t ，a 2＝S 2－S 1＝5，a 3＝S 3－S 2＝7，∴10＝11＋t ，解得t ＝－1， 故t ＝－1是{a n }为等差数列的必要条件． 综上，t ＝－1是数列{a n }为等差数列的充要条件． 命题角度2 充要条件的证明例3 已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是直线l 外一点，求证：点P 在直线l 上的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.证明 ①充分性：若点P 满足OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1，消去y ，得 OP →＝xOA →＋(1－x )OB →＝x (OA →－OB →)＋OB →， ∴OP →－OB →＝x (OA →－OB →)，即BP →＝xBA →. ∴点P 在直线AB 上，即点P 在直线l 上．②必要性：设点P 在直线l 上，则由共线向量基本定理知，存在实数t ，使得AP →＝tAB →＝t (OB→－OA →)，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.令1－t ＝x ，t ＝y ，则OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.综上，点P 在直线l 上的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1. 反思与感悟 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．跟踪训练3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． 证明 ①充分性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0， 即a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.②必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0. ∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0， ∴a 2－ab ＋b 2≠0.∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． 类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例4 已知p ：2x 2－3x －2≥0，q ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，且命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 令M ＝{x |2x 2－3x －2≥0}＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥2，N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}＝{x |x ≤a －2或x ≥a }． 由已知p ⇒q 且q ⇏p ，得M ?N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2，解得32≤a <2或32<a ≤2，即32≤a ≤2.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.反思与感悟 1.在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p 和q 转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围． 2．根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤 (1)记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}．(2)若p 是q 的充分不必要条件，则M ?N ，若p 是q 的必要不充分条件，则N ?M ，若p 是q 的充要条件，则M ＝N .(3)根据集合的关系列不等式(组)． (4)求出参数的范围．跟踪训练4 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪ y ＝2x 2x ＋1，x ∈R ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝13x ＋m ，x ∈[－1，1]，记命题p ：“y ∈A ”，命题q ：“y ∈B ”，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围为______________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，23解析 由题意知A ＝(0,1)，B ＝⎣⎡⎦⎤m －13，m ＋13，依题意，得B ?A ， 故⎩⎨⎧m －13>0，m ＋13<1，∴13<m <23.1．从“⇒”，“⇒/”与“⇔”中选出适当的符号填空： (1)x ＞1________x ＞0； (2)a ＞b ________a 2＞b 2；(3)a 2＋b 2＝2ab ________a ＝b ； (4)A ⊆∅________A ＝∅.答案 (1)⇒ (2)⇏ (3)⇔ (4)⇔2．“a >1”是“1a <1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 由a >1可得到1a<1，反之不成立．3．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.4．设p ：1≤x ＜4，q ：x ＜m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________． 考点 充分条件的概念及判断 题点 由充分条件求取值范围 答案 [4，＋∞)解析 因为p 为q 的充分条件，所以[1,4)⊆(－∞，m )， 得m ≥4.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解． 当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论． (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及集合B ＝{x |q (x )}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、填空题1．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件． 答案 充分不必要解析 由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．2．若集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －1<0，B ＝{x |x －2<2}，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1<0＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x －2<2}＝{x |x <4}．∴A ?B ，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．3．“k >4，b <5”是“一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴”的________条件． 答案 充要解析 ①当k >4，b <5时，一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象如图．②当一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴，即当x ＝0时，y ＝b －5<0，∴b <5.当y ＝0时，x ＝5－bk －4>0.∵b <5，∴k >4.4．已知不等式m －1<x <m ＋1成立的一个充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 由题意得⎝⎛⎭⎫13，12?(m －1，m ＋1)，则有⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1>12或⎩⎨⎧m －1<13，m ＋1≥12.∴－12≤m ≤43.5．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中，是真命题的是________．(填序号) ①“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件； ②“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件； ③“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件； ④“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件． 答案 ②③解析 由②得当a ＝b 时，得到ac ＝bc ；由③得ac 2>bc 2⇒a >b .6．关于x 的方程m 2x 2－(m ＋1)x ＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是________． 答案 m ＝0解析 当m ＝0时，原方程即x ＝2，满足条件，当m ≠0时，m ＋1m 2＝2，则m ＝1或m ＝－12，但Δ＝[－(m ＋1)]2－8m 2，m ＝1及m ＝－12均使Δ<0，故m ＝0.7．在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b “的________条件． 答案 充要解析 在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立． 8．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.9．若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 p ：0＜x ＜3，q ：x ＜3＋m2， 若p 是q 的充分不必要条件，则3＋m2≥3，即m ≥3.10．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件； ②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件． 其中正确命题的序号为________． 答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确． 11．有下列命题：①“x ＞2且y ＞3”是“x ＋y ＞5”的充分条件； ②“x ＞0”是“x 2＞0”的必要不充分条件；③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为________． 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 ①④解析 ①当x ＞2且y ＞3时，x ＋y ＞5成立，反之不一定，所以“x ＞2且y ＞3”是“x ＋y ＞5”的充分不必要条件，故①为真命题； ②x ＞0⇒x 2＞0，x 2＞0⇏x ＞0，故②为假命题；③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，所以a ＝2，所以“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，所以xy＝1且x＞0，y＞0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy ＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．综上可知，真命题是①④.二、解答题12．判断下列各题中，p是q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断解(1)∵|x|＝|y|⇏x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形⇏△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形⇏△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分又不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件．(4)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，，即r＝|c|a2＋b2∴c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，＝r成立，则|c|a2＋b2说明圆x2＋y2＝r2(r＞0)的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，故p 是q 的充要条件．13．求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)有两个正根的充要条件． 解 方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)有两个正根等价于⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac ≥0，－ba ＞0，c a ＞0，a ＜0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧b 2≥4ac ，b ＞0，c ＜0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)有两个正根的充要条件是b 2≥4ac ，且b ＞0，c ＜0. 三、探究与拓展14．“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3成立”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)． 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 必要不充分条件的判断 答案 必要不充分解析 命题“若a ≠1或b ≠2，则a ＋b ≠3”与命题“若a ＋b ＝3，则a ＝1且b ＝2”互为逆否命题，当a ＝3，b ＝0时，有a ＋b ＝3，所以命题“若a ＋b ＝3，则a ＝1且b ＝2”是假命题，所以命题“若a ≠1或b ≠2，则a ＋b ≠3”是假命题，所以a ≠1或b ≠2推不出a ＋b ≠3.“若a ＝1且b ＝2，则a ＋b ＝3”是真命题，所以命题“若a ＋b ≠3，则a ≠1或b ≠2”是真命题，所以a ＋b ≠3⇒a ≠1或b ≠2，所以“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3成立”的必要不充分条件．15．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )；必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴1＋2cos A ＝c b ＝sin Csin B，即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )， 由于A ，B 均为三角形的内角， 故必有B ＝A －B ，即A ＝2B .综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .§3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB →.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b . ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理 (1)用向量表示直线的位置：(2)用向量表示平面的位置：①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b来确定：②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量：知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1)设v 1＝(a 1，b 1，c 1)，v 2＝(a 2，b 2，c 2)分别是直线l 1，l 2的方向向量．若直线l 1∥l 2，则向量v1，v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理(1)空间中平行关系的向量表示：设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则(2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(√)2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)3．两直线的方向向量平行，则两直线平行．(×)4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解 因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)． 引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解 由例1解析图可知，P (0,0,1)，C (1，3，0)， 所以PC →＝(1，3，－1)， 即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，3)． 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解 如图，以A 为坐标原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0， DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 类型二 证明线线平行问题例2 已知直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)． 证明：l 1∥l 2.证明 ∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.反思与感悟 两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练2 已知在四面体ABCD 中，G ，H 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则GH 与BD 的位置关系是________． 答案 平行解析 设E ，F 分别为BC 和CD 的中点，则GH →＝GA →＋AH →＝23(EA →＋AF →)＝23EF →，所以GH ∥EF ，所以GH ∥BD .类型三 利用空间向量证明线面、面面平行问题例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 (1)以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1—→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1—→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1—→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1—→，n 2⊥C 1B 1—→， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1—→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．解 以A 为坐标原点．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，如图所示．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设存在满足题意的点E (0，y ，z )， 则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴y ×(－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在点E ，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(填序号)①(－1,0,1)；②(1,4,7)；③(2,4,6)． 答案 ③解析 显然AB →＝(2,4,6)可以作为直线l 的一个方向向量．2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.3．已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________．(填序号)①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1)． 答案 ④解析 由题可知只有④可以作为α的法向量．4．已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点．P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________． 答案 x －3y －z ＋4＝0解析 由题可知MP →＝(x ，y －1，z －1)． 又因为n ·MP →＝0，故－x ＋3(y －1)＋(z －1)＝0，化简，得x －3y －z ＋4＝0.5．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为________． 答案 －8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， ∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.1．应用向量法证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法：设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、填空题1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝________. 答案 2解析 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则μ的值为________． 答案 12解析 因为a ∥b ，故2μ－1＝0，即μ＝12.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为________． 答案 ±2解析 易知－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0， 解得x ＝±2.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 的值为________． 答案 4解析 因为α∥β，所以平面α与平面β的法向量共线， 所以(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λ，－4＝2λ，k ＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝4.所以k 的值是4.5．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为________． 答案 －1,2解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.6．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 答案 11解析 ∵点P 在平面ABC 内， ∴存在实数k 1，k 2，使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7， 即x ＝11.7．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________. 答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0， ∴y ＝12.8．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________. 答案 －3解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2，∴－36＝y －2＝2z .∴y ＝1，z ＝－4.∴y ＋z ＝－3.9．已知平面α与平面β平行，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(5,25,5)，v ＝(t,5,1)，则t 的值为________． 答案 1解析 ∵平面α与平面β平行，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v 平行， ∴5t ＝255＝51，解得t ＝1. 10．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________． 答案 α∥β解析 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)， n ·AB →＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1) ＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0， n ·AC →＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1) ＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0， ∴n ⊥AB →，n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.11．若平面α的一个法向量为u 1＝(m,2，－4)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－4，n )，且α∥β，则m ＋n ＝________. 答案 5解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2.∴m 6＝2－4＝－4n∴m ＝－3，n ＝8.∴m ＋n ＝5. 二、解答题12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．证明 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)． 所以AC 1—→＝(－1,1,1)，D 1B 1—→＝(1,1,0)，CB 1—→＝(1,0,1)， 所以AC 1—→·D 1B 1—→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0， AC 1—→·CB 1—→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0， 所以AC 1—→⊥D 1B 1—→，AC 1—→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，且B 1D 1，CB 1⊂平面B 1D 1C ， 所以AC 1⊥平面B 1D 1C ，AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．13．已知A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．解 AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 三、探究与拓展14.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面； (2)AC →∥EG →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →， 知A ，B ，C ，D 四点共面， E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →， ∴AC →∥EG →.15.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解 如图所示，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连结BQ ，D 1Q .设正方体的棱长为1， 则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， 则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)， ∴OP →∥BD 1—→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP →＝BQ →，即当AP ∥BQ 时，有平面P AO ∥平面D 1BQ ， ∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。

『高中数学』教学课件‖课时训练‖讲义测试‖[A 基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“标准大气压下，100 ℃时水沸腾”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题解析：选D.对于A ，改写成“若p ，则q ”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B 所给语句是命题；C 的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A ．这个四边形的对角线互相平分B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形解析：选C.把命题改写成“若p ，则q ”的形式后可知C 正确．故选C.3．“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0与直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由两直线平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）＝3×1a ×1≠3×1，解得a ＝－1；当a ＝－1时，两直线的方程分别为x －3y －3＝0和x －3y ＋1＝0，可知两直线平行．故“a ＝－1”是“直线 ax ＋3y ＋3＝0与直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的充要条件．4．已知a ，b 是实数，则“|a ＋b |＝|a |＋|b |”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为|a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a 2＋2ab ＋b 2＝a 2＋2|ab |＋b 2⇔|ab |＝ab ⇔ab ≥0，而由ab ≥0不能推出ab ＞0，由ab ＞0能推出ab ≥0，所以由|a ＋b |＝|a |＋|b |不能推出ab ＞0，由ab ＞0能推出|a ＋b |＝|a |＋|b |，故选B.5．设a 、b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：选C.对于A ，当a ＝－b 时，a |a |≠b |b |；对于B ，当a ∥b 时，a |a |与b |b |可能不相等；对于C ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |；对于D ，当a ∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |. 综上所述，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是a ＝2b . 6．设α，β，γ为平面，m ，n ，l 为直线，则对于下列条件：①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ；②α∩γ＝m ，α⊥β，γ⊥β；③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α；④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.其中为m ⊥β的充分条件的是________．(将正确的序号都填上)解析：①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ⇒/ m ⊥β；②α∩γ＝m ，α⊥β，γ⊥β⇒m ⊥β；③α⊥γ，β⊥γ⇒α与β可能相交也可能平行，故α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α⇒/ m ⊥β；④由n ⊥α，n ⊥β得α∥β，又m ⊥α，所以m ⊥β.答案：②④7．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的________条件．解析：当m ＝12时，两直线斜率乘积为－1，从而可得两直线垂直，故原命题为真．而当m ＝－2时两直线一条斜率为0，一条斜率不存在，但两直线仍然垂直，所以其逆命题为假．答案：充分不必要8．设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：因为q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1＞1，解得0≤a ≤12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 9．下列各题中，p 是q 的什么条件？q 是p 的什么条件？(1)p ：c ＝0，q ：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过原点；(2)p ：x ＞1且y ＞1，q ：x ＋y ＞2且xy ＞1；(3)p ：0＜x ＜3，q ：|x －1|＜2.解：(1)c ＝0⇒抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过原点；抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过原点⇒c ＝0.故p 是q 的充要条件，q 是p 的充要条件．(2)x ＞1且y ＞1⇒x ＋y ＞2且xy ＞1；而x ＋y ＞2且xy ＞1⇒/ x ＞1且y ＞1.故p 是q 的充。

章末复习提升课1．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)分类①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；②充分不必要条件：p⇒q，q⇒/p；③必要不充分条件：q⇒p，p⇒/q；④既不充分也不必要条件：p⇒/q且q⇒/p.2．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题全称量词用符号“∀”表示．全称命题用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与存在性命题存在量词用符号“∃”表示．存在性命题用符号简记为：∃x∈M，p(x)．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．如“a＝0”是“a·b＝0”的充分不必要条件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分条件．充要条件的判断与应用从逻辑关系上，命题的条件p和结论q之间有四种关系，即：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件．判断条件p与结论q之间的四种关系，常用方法有：定义法，互为逆否命题的两命题同真同假；利用集合之间的包含关系进行判断．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8＞0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．【解】 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0} ＝{x |3a ＜x ＜a ，a ＜0}，B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0} ＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8＞0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x ＜－4或x ＞2} ＝{x |x <－4或x ≥－2}．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以綈q ⇒綈p ，且綈p ⇒/ 綈q . 则{x |綈q }{x |綈p }．而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}， {x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}， 所以{x |－4≤x <－2}{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0. 综上可得－23≤a <0或a ≤－4.全称命题与存在性命题1．全称命题与存在性命题含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是存在性命题．判断全称命题为真命题，需进行严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假时，要进行严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题的否定这是高考考查的重点，对全称命题和存在性命题的考查主要以考查它们的否定为主，多以客观题为主，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．写出下列命题的“否定”，并判断其真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； (3)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.【解】 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，这是假命题，因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0恒成立． (2)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，是真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0成立．(3)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.1．下列命题是假命题的是()A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2＞bc2，则a＞bD．若α＝60°，则cos α＝1 2解析：选B.因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，所以a＝b不一定成立，故选B.2．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.由A＝B，得tan A＝tan B．反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B.3．下列命题：①存在x0<0，x20－2x0－3＝0；②对于一切实数x<0，都有|x|>x；③已知a n＝2n，b m＝3m，对于任意n，m∈N*，a n≠b m.其中，所有真命题的序号为________．解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x0＝－1<0，使x20－2x0－3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故③为假命题．答案：①②4．若∃x0∈R，x20－ax0＋1≤0为假命题，则a的取值范围为________．解析：∃x0∈R，x20－ax0＋1≤0为假命题，即对∀x∈R，x2－ax＋1>0为真命题．需Δ＝(－a)2－4<0，即a2－4<0，解得－2<a<2，故a的取值范围为(－2，2)．答案：(－2，2)5．指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}； (2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数；(3)p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．解：(1)因为{x |x >－2或x <3}＝R ， {x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}， 所以{x |x >－2或x <3}{x |－2<x <3}， 所以p 是q 的必要不充分条件． (2)因为a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数， 而a ＋b 为偶数⇒/a 、b 都是奇数， 所以p 是q 的充分不必要条件． (3)mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不等实根⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，3m>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4－12m >0，m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <13，m >0⇔0<m <13.所以p 是q 的充要条件．。

简单的逻辑联结词（填空题：较易）2、若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是__________．3、设使函数有意义，若为假命题，则的取值范围为_____________.4、命题“的值不超过”看作“非”形式时，为．5、已知命题，，则为．6、已知，命题“”为真，则实数的取值范围是_________7、．已知命题：“”，命题：“，”，若命题：“且”是真命题，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8、若命题，则命题为．9、给出下列命题：①若“或”是假命题，则“且”是真命题；②若实系数关于的二次不等式，的解集为，则必有且；③；④．其中真命题的是（填写序号）。

10、已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围为．11、已知命题：，．命题：，，则，命题是（填真命题或假命题）12、命题的否定是．13、已知命题，，那么命题为 .14、设命题，则是_____________________________15、已知命题p1：函数y＝ln(x＋)，是奇函数，p2：函数y＝为偶函数，则下列四个命题：①p1∨p2；②p1∧p2；③(p1)∨p2；④p1∧(p2)．其中，真命题是________．(填序号)16、已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥e x”,命题q:“∃x∈R,x2-4x+a≤0”,若命题p∧q为真命题,则实数a的取值范围是.17、下列结论错误的是________．①命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题；②命题p：∀x∈[0,1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2＋x＋1＜0，则p∨q为真；③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题；④若p∨q为假命题，则p、q均为假命题．18、若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是19、命题“”的否定是．20、命题“，”的否定是．21、命题“x∈R，”的否定是。

22、命题“∃x∈R，使x2＋ax＋4<0”的否定是．23、已知命题P:关于x的函数在为增函数,命题q:成立。

『高中数学』教学课件‖课时训练‖讲义测试‖[A基础达标]1．存在性命题“存在实数x0，使x20＋1<0”可写成()A．若x∈R，则x2＋1>0B．∀x∈R，x2＋1<0C．∃x0∈R，x20＋1<0 D．以上都不正确解析：选C.存在性命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C.2．下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A中的命题是全称命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但x2＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.3．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0解析：选C.命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20<0”．故选C.4．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆解析：选A.根据全称命题的否定是存在性命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.5．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数”是真命题．6．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是____________．解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 答案：所有正实数x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝07.不等式x 2－x>x －a 对∀x ∈R 都成立，则a 的取值范围是________．解析：法一：不等式x 2－x >x －a 对∀x ∈R 都成立，即不等式x 2－2x ＋a >0恒成立； 结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a <0，所以a >1.法二：不等式x 2－x >x －a 对∀x ∈R 都成立，也可看作a >－x 2＋2x 对∀x ∈R 都成立，所以a >(－x 2＋2x )max ；而二次函数f (x )＝－x 2＋2x 的最大值为0－224×（－1）＝1，所以a >1. 答案：a >18．下列命题中的真命题的个数是________．①∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32； ②∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；③∀x ∈(0，π)，sin x >cos x .解析：因为∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2；∀x ∈(－∞，0)，2x >3x ；sin π4＝cos π4，所以①②③都是假命题．答案：09．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：(1)p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0都成立；(2)p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5>0.解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p ：存在一个x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立”；(2)由于“∃x ∈R ”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p ：对任意一个x 都有x 2＋2x ＋5≤0，即“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0”．10．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：。