专题二函数零点问题
函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐．
模块1 整理方法提升能力
对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）
．其
中以一平一曲的情况最为常见．
分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数
f x 的图象与x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用
零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．
函数的凸性
1．下凸函数定义
设函数f x 为定义在区间
,a b 上的函数，若对
,a b 上任意两点1x ，2x ，总有
1
2
1
2
2
2
f x f x x x f
，当且仅当1
2x x 时取等号，则称
f x 为,a b 上的下凸函数．
2．上凸函数定义
设函数f x 为定义在区间
,a b 上的函数，若对
,a b 上任意两点1x ，2x ，总有
1
2
1
2
2
2
f x f x x x f
，当且仅当1
2x x 时取等号，则称
f x 为,a b 上的上凸函数．
3．下凸函数相关定理
定理：设函数f x 为区间
,a b 上的可导函数，则f x 为,a b 上的下凸函数f x
为,a b 上的递增函数0f x 且不在,a b 的任一子区间上恒为零．
4．上凸函数相关定理
定理：设函数f x 为区间,a b 上的可导函数，则f x 为,a b 上的上凸函数f x
为,a b 上的递减函数
0f x 且不在,a b 的任一子区间上恒为零．
例1
已知函数2e
2e
x
x
f x
a a x ．
（1）讨论f x 的单调性；（2）若f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）22e 2e 12e
1e
1x
x
x
x
f x a a
a ，2e
10x
．
①当0a 时，e 10x a ，所以0f x ，所以f x 在R 上递减．
②当0a
时，由0f
x 可得1ln x
a
，由0f
x 可得1ln
x
a
，所以f x 在
1,ln
a
上递减，在
1ln ,
a
上递增．
（2）法1：①当0a
时，由（1）可知，f x 在R 上递减，不可能有两个零点．
②当0a 时，min
11ln 1
ln f x
f a a
a
，令min
g a
f x
，则
2
110g a a
a
，所以g a 在0,上递增，而1
0g ，所以当1a 时，
min
0g a
f x
，从而f x 没有两个零点．
当01a 时，1ln 0f a
，2
21
1
0e
e e
a a f
，于是f x 在
11,ln
a
上有1个
零点；因为2
3
33333ln
1
121
ln
1
1ln
10f a a a
a
a
a
a a
，且
31ln 1ln
a
a
，所以f x 在1ln
,
a
上有1个零点．
综上所述，a 的取值范围为0,1．
法2：2222e e
2e
0e e
2e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x a a x
a a x a
．令22e e
e
x
x
x
x g x
，
则222
2
222e
1e
e 2e
2e e e 2e
1e
1
e
e e e
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x g x
，令
e
1x
h x
x ，则e
1
0x
h x ，所以h x 在R 上递增，而00h ，所以当0x 时，0h x ，当0x 时，0h x
，
于是当0x 时，0g x
，当0x
时，0g x
，所以g x
在
,0上递增，在
0,
上递减．01g ，当x
时，
g x ，当x
时，0g x
．若f x 有两个零点，则y a 与g x 有两个交点，
所以a 的取值范围是
0,1．法3：设e 0x
t
，则ln x
t ，于是22
e
2e
02ln x
x
a a x at
at t t
2
2ln t t a
t
t
，令2
2ln t t G t
t
t
，则2
2
2
12
2ln 21
t t t t t t
G t
t
t
2
2
211ln t t t
t
t
，令1ln H t t t ，则11
0H
t t
，
所以H t 在0,上递增，而10H ，所以当01t 时，
0H t ，0G t
，当1t 时，0H t
，0G t
，所以
G t 在0,1上递增，在1,上递减．11G ，当0t
时，G t
，当t
时，
0G t
．若f x 有两个零点，则
y a 与G t 有两个交点，所以
a 的取值范围是0,1．法4：设e
0x
t
，则ln x
t ，于是22
e 2e
02ln 0x
x
a a x at
at t t ln 12
t a t t
．令1
2k t a t ，
ln t t
t ，则f x 有两个零点等价于
y
k t 与
y
t 有两个交点．因为
2
1ln t
t
t
，由0t 可得0e t ，由
0t 可得e t ，
所以
t 在0,e 上递增，在e,
上递减，
1e
e
，当x
时，
0t
．y
k t
是斜率为a ，过定点1,2A
的直线．当y
k t 与y
t 相切的时候，设切点
00,P t y ，则有
专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________.
（三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且
高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：
复合函数零点问题专题训练 1．定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。 那么，其中正确命题的个数是 () A ．1 B.2 C.3 D.4(第1 题图) 解：选B.（1）方程f[g （x ）]=0有且仅有三个解；g （x ）有三个不同值，由于y=g （x ）是减函数，所以有三个解，正确； （2）方程g[f （x ）]=0有且仅有三个解；从图中可知，f （x ）∈（0，a ）可能有1，2，3个解，不正确； （3）方程f[f （x ）]=0有且仅有九个解；类似（2）不正确； （4）方程g[g （x ）]=0有且仅有一个解．结合图象，y=g （x ）是减函数，故正确．2.已知函数1)(+=x xe x f ， 若函数2)()(2 ++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则实数b 的取值范围是 （ ） A.) 22,(--∞ B.) 2,3(-- C.) 3,(--∞ D.(] 2 2,3--解：用求导方法得，f(x)在x =－1取得最大值1，在x=0取得最小值0，故0
高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：
专题五挖掘“隐零点”，破解导数压轴题 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围 例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间和上的单调性，并说明理由; (2)当时,恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）区间单调递增；（2） 【解析】 （1）.∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x)=ln x+4x-1. 因为在单调递增，所以当时 即函数f(x)在区间单调递减；当时 即函数f(x)在区间单调递增； （2）因为，而在（0，1）上递增 存在使得
，当 时单调递减； 当时 单调递增 所以 又因为时则 所以则 类型二 挖掘“隐零点”，证明不等式 例2. 设函数2()ln x f x e a x =-，设()2 0,2a e ∈求证：当(]0,1x ∈时，2()2ln f x a a a ≥+ 【答案】见解析 【解析】()f x 的定义域为(]0,1，222'()2x x a xe a f x e x x -=-= 设2()2x x xe a ?=-，()22()242x x x xe x e ?'==+， 当(]0,1x ∈，()0x ?'>，即()x ?在区间(]0,1为增函数， (2(),2x a e a ??∈--? 又因为( )2 0,2a e ∈，所以2 (0)0,(1)20a e a ??=-<=-> 由零点存在定理可知'()f x 在(]0,1的唯一零点为0x 当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，当(]0,1x x ∈，'()0f x > 故()f x 在0(0,)x 单调递减，在(]0,1x 单调递增， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0200()ln x f x e a x =-， 由0 2020x x e a -=，即0 202x a e x = ，两边去对数得00ln ln 22 a x x =- 由于，所以00000222()2ln 22ln 2ln 22a a f x ax a ax a a a x a x a a = ++≥?=+
函数零点问题专题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 2.已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间 []11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()4f x x =+-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5. 若存在区间[,]a b ,使函数[]()(,)f x k x a b =∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. （三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 7：设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 8：已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?-
高中数学2017-2018高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
含参函数的零点问题 含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用． 例1已知函数f (x )＝x 2 ＋ax (a ∈R)，g (x )＝? ?? ?? f x ， x ≥0， f ′x ， x <0. 若方程g (f (x ))＝ 0有4个不等的实根，则a 的取值范围是________． 例2(1) 若关于x 的方程|x 4 －x 3 |＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为________． (2) 已知函数f (x )＝x 2 ＋|x －a |，g (x )＝(2a －1)x ＋a ln x ，若函数y ＝f (x )与函数y ＝ g (x )的图象恰好有2个不同的交点，则实数a 的取值范围为________． 思维变式题组训练 1. 已知函数f (x )＝?? ? 2x －1， x ≥2， 2， 1≤x <2. 若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解时，则 实数a 的取值范围为________．
2. 设函数f (x )＝????? x －1e x ， x ≥a ， －x －1， x 0， 若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有 且只有4个不同解，则实数k 的取值构成的取值集合为________． 强化训练 1. 若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为________．
复合函数零点问题 例1：设定义域为R 的函数()1 ,111,1x x f x x ?≠? -=??=? ，若关于x 的方程 ()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则22212 3x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。所以()1i f x =，可解得： 1230,1,2x x x ===，所以222 1235x x x ++= 答案：5 例2：关于x 的方程( ) 2 2 213120x x ---+=的不相同实根的个 数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得： 1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即 可，共有5个 答案：C 例3：已知函数 11 ()||||f x x x x x =+ --，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程 2 ()()0f x a f x b ++=可视为()()2 0f x a f x b ++=，故考虑作出
()f x 的图像：()2 ,12,01 2,102 ,1x x x x f x x x x x ?>?? <≤?=? --≤时，()()121,0212,22 x x f x f x x -?-<≤? =?->??，则关于x 的方 程()()2 610f x f x --=????的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：已知方程()()2 610f x f x --=????可解，得 ()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23 y y ==- 与()y f x =的交点个数即可。由奇函数可先做出 0x >的图像，2x >时，()()1 22 f x f x = -，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩 为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程 ()()()2 320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
2020【通编版】高考数学专题突破 《直击函数压轴题中零点问题》 一、解答题 1．已知函数()()()2 ln 10f x x a x a =+->. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明：3 12 0e x e --<<. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）依题可知 ()10 f =，若 () f x 在区间 ()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >， 且0110,2x x ?? =∈ ???，于是：()2 0010lnx a x +-=①，2002210ax ax -+=② 由①②得 000 1ln 0 2x x x -- =，设g(x)＝lnx ?12x x -，(x∈(0，1))，求出函数的导数，根据函 数的单调性证明即可． （2）依题可知 ()10 f =，若 () f x 在区间 ()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >， 且 0110,2x x ?? =∈ ? ?? Z&X&X&K]
于是： ()2 0010 lnx a x +-=① 2002210 ax ax -+= ② 由①②得 0001ln 02x x x -- =，设()()()1ln ,0,12x g x x x x -=-∈， 则 ()221 2x g x x '-= ，因此()g x 在10,2?? ???上单调递减， 又3 3 2 2 402e g e -??-=> ???，()11302e g e ---=< 根据零点存在定理，故 31 2 0e x e - -<<. 点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法. 2．设函数f(x)＝x2＋bx －1(b ∈R)． (1)当b ＝1时证明：函数f(x)在区间1,12?? ? ??内存在唯一零点； (2)若当x ∈[1,2]，不等式f(x)<1有解．求实数b 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） (),1-∞ 【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f(x)在区间1,12?? ? ??单 调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为 对应函数最值问题：2 b x x < - ，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b 的取值范 围．
高中函数专题——零点（看图像交点） 2018年 【2018新课标1理】已知函数， .若存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，∴，， 当，∴， 当x﹥0时，∴在（0，+∞） ∴。 【2018?新课标Ⅲ】函数在的零点个数为________． 【答案】3 【解析】，因为 则共三个零点，填3
【2018?浙江理】已知λ∈R ，函数f (x )= ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是 ________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 【答案】(1,4)； 【解析】 由题意得 或 ，所以 或 ，即 ， 不等式f (x )<0的解集是 当 时， ，此时 ，即在 上有两个零点； 当4≤λ 时， ，由 在 上只能有一个零点得 1<3≤λ .综上， 的取值范围为 . 【2018?天津理】已知 a>0 ，函数 若关于 x 的方程 f(x)=ax 恰有2个互 异的实数解，则 a 的取值范围是________. 【答案】（4,8） 【解析】∵ ∴ =0与 =0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内. 则 ?4 函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 函数隐性零点问题 近年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。 函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的， 不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。 1.不含参函数的隐性零点问题 已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则：①有关系式0)('0=x f 成立，②注意确定0x 的合适范围. 2.含参函数的隐性零点问题 已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则：①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系，②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关. 题型一 求参数的最值或取值范围 例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值． 解析：（1）（略解）若a≤0，则f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增； 若a ＞0，则f （x ）的单调减区间是（﹣∞，lna ），增区间是（lna ，+∞）． （2）由于a=1，所以（x ﹣k ）f′（x ）+x+1=（x ﹣k ）（e x ﹣1）+x+1． 故当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0等价于k ＜ 1 1 -+x e x +x （x ＞0）（*）， 令g （x ）=1 1-+x e x +x ，则g′（x ）=2 )1()2(---x x x e x e e ，而函数f （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞） 专题六 重温高考压轴题----函数零点问题集锦 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力. 【典型例题】 类型一 已知零点个数，求参数的值或取值范围 例1.【2018年理新课标I 卷】已知函数 ．若g （x ）存在2个零 点，则a 的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 例2.【2018年理数全国卷II 】已知函数． （1）若，证明：当时， ； （2）若 在 只有一个零点，求． 类型二 利用导数确定函数零点的个数 例3.【2018年全国卷II 文】已知函数． （1）若，求 的单调区间； （2）证明： 只有一个零点． 类型三 挖掘“隐零点”，证明不等式 例4.【2017课标II ，理】已知函数()2 ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥. (1)求a ； (2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2 202e f x --<<. 类型四 利用函数单调性，确定函数零点关系 例5.【2016高考新课标1理】已知函数2 ()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围； 一、解答题 1．（2020·湖南省高三考试）设函数()()2 1f x x bx b R =-+∈，()()() ,0,0f x x F x f x x ?>? =? ->??. （1）如果()10f =，求()F x 的解析式； （2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()2221,0 21,0 x x x F x x x x ?-+>=?-+-=?-+- 第 10 炼函数零点的个数问题 一、知识点讲解与分析： 1、零点的定义：一般地，对于函数y f x x D ，我们把方程f x 0的实数根x 称 为函数y f x x D 的零点 2、函数零点存在性定理：设函数f x 在闭区间a,b 上连续，且f a f b 0 ， 那么在开区间a,b 内至少有函数f x 的一个零点，即至少有一点x0a,b ，使得 f x 0 。 （1）f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （ 2）零点存在性定理中的几个“不一定” （假设f x 连续） ① 若f a f b 0 ，则f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若f a f b 0 ，那么f x 在a,b 不一定有零点 ③ 若f x 在a,b 有零点，则 f a f b 不一定必须异号 3、若f x 在a,b 上是单调函数且连续，则f a f b 0 f x 在a,b 的零点唯一 4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系 设函数为y f x ，则f x 的零点即为满足方程f x 0的根，若f x g x h x , 则方程可转变为g x h x ，即方程的根在坐标系中为g x ,h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。 由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵 活转化。（详见方法技巧） 二、方法与技巧： 1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构 造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对 高中数学-函数零点问题及例题解析 、函数与方程基本知识点 1、 函数零点：(变号零点与不变号零点) (1 )对于函数y f (x)，我们把方程f(x) 0的实数根叫函数y f(x)的零点。 (2)方程f (x) 0有实根 函数y f(x)的图像与x 轴有交点 函数y f (x)有零点。 若函数f(x)在区间a ,b 上的图像是连续的曲线，则f(a)f(b) 0是f(x)在区间a ,b 内有零点的 充分不必要条件。 2、 二分法：对于在区间［a,b ］上连续不断且f(a) f(b) 0的函数y f(x)，通过不断地把函数 y f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似 值的 方法叫做二分法； 二、函数与方程解题技巧 零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下： (一) 函数零点的存在性定理指出：“如果函数y f (x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的一 条曲线，并且f(a)f(b) 0，那么，函数y f(x)在区间(a,b )内有零点，即存在c (a,b), 使得f(c) 0,这个c 也是方程f (x) 0的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区 间上是否有零点(或方程在某个区间上是否有根)时，一定要注意该定理是函数存在零点的充 分不必要条件：如 2 例、函数f(x) In(x 1)-的零点所在的大致区间是() x (A )( 0, 1)； ( B )( 1, 2)； ( C ) ( 2, e ); ( D )( 3, 4)。 2 分析：显然函数f (x) ln(x 1) 在区间［1,2］上是连续函数，且f (1) 0, f(2) 0,所 x 以由根的存在性定理可知，函数 f(x) ln(x 1) 2 的零点所在的大致区间是(1, 2),选B x (二) 求解有关函数零点的个数(或方程根的个数)问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的 个 最新高考数学压轴题命题区间探究与突破专题 第一篇 函数与导数 专题05 用好导数，破解函数零点问题 一．方法综述 近几年的高考数学试题中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化、综合化.处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口．利用导数解决函数的零点问题，是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大．本专题举例说明如何用好导数，破解函数零点问题. 二．解题策略 类型一 讨论函数零点的个数 【例1】【2020河南濮阳一中期中】已知函数2()ln 1f x x mx =++，m ∈R . （1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间及极值； （2）讨论函数()f x 的零点个数. 【指点迷津】 讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零点存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数. 【举一反三】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在,0,2π??????上的最大值为3 2π-， （1）求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明 类型二 已知函数在区间上有零点，求参数的取值范围 【例2】【2020·福建莆田期末】已知函数()() 21e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 21e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【指点迷津】 烟台芝罘区数学2015-2016高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析 明老师整理 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B高考数学-函数零点问题及例题解析
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