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高考函数题型总结：零点问题总结

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高中函数专题——零点（看图像交点）2018年【2018新课标1理】已知函数， .若存在2个零点，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】令，∴，，当，∴，当x﹥0时，∴在（0，+∞）∴。

【2018•新课标Ⅲ】函数在的零点个数为________．【答案】3【解析】，因为则共三个零点，填3【2018•浙江理】已知λ∈R ，函数f (x )= ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 【答案】(1,4)；【解析】 由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，不等式f (x )<0的解集是当时，，此时，即在 上有两个零点；当4≤λ 时，，由在上只能有一个零点得1<3≤λ .综上， 的取值范围为.【2018•天津理】已知 a>0 ，函数若关于 x 的方程 f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则 a 的取值范围是________. 【答案】（4,8）【解析】∵∴=0与=0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内.则 ⇒4<a<82017年【2017•新课标Ⅲ理11】已知函数f （x ）=x 2﹣2x+a （e x ﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ）A ．﹣21 B ．31 C ．21D ．1 【答案】 C 【解析】因为f （x ）=x 2﹣2x+a （e x ﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x ﹣1）2+a （ex ﹣1+1-e 1x ）=0， 所以函数f （x ）有唯一零点等价于方程1﹣（x ﹣1）2=a （ex ﹣1+1-e1x ）有唯一解，等价于函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象与y=a （ex ﹣1+1-e 1x ）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f （x ）=x 2﹣2x ≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a ＜0时，由于y=1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a （ex ﹣1+1-e 1x ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y=a （e x ﹣1+1-e 1x ）的图象的最高点为B （1，2a ）， 由于2a ＜0＜1，此时函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象与y=a （ex ﹣1+1-e1x ）的图象有两个交点，矛盾； ③当a ＞0时，由于y=1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a （ex ﹣1+1-e 1x ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y=a （e x ﹣1+1-e1x ）的图象的最低点为B （1，2a ）， 由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a=1，即a=21，符合条件； 综上所述，a=21， 【2017年山东理】已知当x ∈[0,1]时，函数y=(mx-1)2的图象与y=x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A.(0,1]∪[23,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C. (0,2]∪[23,+∞)D. (0, 2]∪[3,+∞) 【答案】B 【解析】当0＜m ≤1时，1m ≥1，y=(mx-1)2在[0,1]上单调递减，且y=(mx-1)2∈[(m-1)2，1]，y=x +m 在x ∈[0,1]上单调递增，且y=x +m ∈[m ，1+m]，此时有且仅有一个交点；当m ＞1时，0＜1m ＜1，y=(mx-1)2在[1m ,1]上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需（m-1）2≥1+m m ≥3.故选B.2016年【2016山东文理15】——有三个不同的根=图像有三个不同的交点 已知函数f （x ）=，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 ． 【答案】 （3，+∞）【解析】解：当m ＞0时，函数f （x ）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），【2016天津理8】已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}【答案】 C【解析】y=loga（x+1）+在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，【2016天津文14】已知函数f （x ）=（a ＞0，且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f （x ）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 ． 【答案】[，）【解析】解：∵f （x ）是R 上的单调递减函数，∴y=x 2+（4a ﹣3）x+3a 在（﹣∞．，0）上单调递减，y=log a （x+1）+1在（0，+∞）上单调递减， 且f （x ）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f （0）．∴，解得≤a ≤．作出y=|f （x ）|和y=2﹣的函数草图如图所示：∵|f （x ）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，∴3a ＜2，即a ．综上，．2015年【2015北京理】——分界点已知图形分别画了考虑 设函数f （x ）=，①若a=1，则f （x ）的最小值为 ；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】①﹣1，②21≤a ＜1，或a ≥2 【解析】：①当a=1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=2x﹣1为增函数，f （x ）＞﹣1，当x ＞1时，f （x ）=4（x ﹣1）（x ﹣2）=4（x 2﹣3x+2）=4（x ﹣）2﹣1， 当1＜x ＜时，函数单调递减，当x ＞时，函数单调递增， 故当x=时，f （x ）min =f （）=﹣1，②设h （x ）=2x﹣a ，g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ） 若在x ＜1时，h （x ）=与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x=1时，h （1）=2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2，而函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1， 所以21≤a ＜1， 若函数h （x ）=2x﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点， 则函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），当h （1）=2﹣a ≤时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点为x 1=a ，x 2=2a ，都是满足题意的， 综上所述a 的取值范围是21≤a ＜1，或a ≥2． 【2015湖南理】——分界点未知，图像画在同一个图中，两个图形的交点，往往是参数的分界点，从而精准确定a 的取值范围 已知函数f （x ）=若存在实数b ，使函数g （x ）=f （x ）﹣b 有两个零点，则a 的取值范围是 ． 【答案】{a|a ＜0或a ＞1}【解析】∵g （x ）=f （x ）﹣b 有两个零点，∴f （x ）=b 有两个零点，即y=f （x ）与y=b 的图象有两个交点， 由x 3=x 2可得，x=0或x=1①当a ＞1时，函数f （x ）的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故a ＞1满足题意②当a=1时，由于函数f （x ）在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当0＜a ＜1时，函数f （x ）单调递增，故不符合题意④a=0时，f （x ）单调递增，故不符合题意⑤当a ＜0时，函数y=f （x ）的图象如图所示，此时存在b 使得，y=f （x ）与y=b 有两个交点综上可得，a ＜0或a ＞1 答案为：{a|a ＜0或a ＞1}【2015天津理】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=b ﹣f （2﹣x ），其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ） A ．（47，+∞）B ．（﹣∞，47）C ．（0，47）D ．（47，2） 【答案】 D 【解析】∵g （x ）=b ﹣f （2﹣x ）， ∴y=f （x ）﹣g （x ）=f （x ）﹣b+f （2﹣x ），由f （x ）﹣b+f （2﹣x ）=0，得f （x ）+f （2﹣x ）=b ， 设h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）， 若x ≤0，则﹣x ≥0，2﹣x ≥2， 则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2+x+x 2， 若0≤x ≤2，则﹣2≤﹣x ≤0，0≤2﹣x ≤2，则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x ＞2，﹣x ＜0，2﹣x ＜0，则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=（x ﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x 2﹣5x+8．即h （x ）=，作出函数h （x ）的图象如图：当x ≤0时，h （x ）=2+x+x 2=（x+21）2+47≥47， 当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x+8=（x ﹣）2+47≥47， 故当b=47时，h （x ）=b ，有两个交点，当b=2时，h （x ）=b ，有无数个交点，由图象知要使函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点， 即h （x ）=b 恰有4个根，则满足47＜b ＜2，【2015•安徽理】设x 3+ax+b=0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b ＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2． 【答案】 ①③④⑤【解析】设f （x ）=x 3+ax+b ，f'（x ）=3x 2+a ，①a=﹣3，b=﹣3时，令f'（x ）=3x 2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f （1）=﹣5，f （﹣1）=﹣1； 并且x ＞1或者x ＜﹣1时f'（x ）＞0，所以f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数，所以函数图象与x 轴只有一个交点，故x 3+ax+b=0仅有一个实根；如图②a=﹣3，b=2时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f（﹣1）=4；如图③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；④a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．【2015•安徽理】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1【答案】 A【解析】对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；【2015•湖北理】函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为．【答案】2【解析】函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．故答案为：2．【2015•天津（文）】已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】∵g（x）=3﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，【2015•湖南（文）】若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是【答案】0＜b＜2【解析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，【2015•湖北（文）】函数的零点个数为．【答案】2【解析】f（x）=2sinxcosx﹣x2=sin2x﹣x2，由f（x）=0得sin2x=x2，作出函数y=sin2x和y=x2的图象如图：由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，即函数f（x）的零点个数为2个，【2015•安徽（文）】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【答案】D【解析】对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；2014年【2014新课标1】已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）【答案】C【解析】当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0） 0f ′（x ） + 0 ﹣0 + f （x ）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x →+∞，f （x ）→+∞，而f （0）=1＞0，∴存在x ＜0，使得f （x ）=0，不符合条件：f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，应舍去． 当a ＜0时，f ′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax =0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）0 （0，+∞） f ′（x ） ﹣ 0 + 0 ﹣ f （x ）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f （0）=1＞0，x →+∞时，f （x ）→﹣∞，∴存在x 0＞0，使得f （x 0）=0， ∵f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，∴极小值=，化为a 2＞4，∵a ＜0，∴a ＜﹣2．综上可知：a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）．【2014•江苏理13】已知f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，f （x ）=|x 2﹣2x+21|，若函数y=f （x ）﹣a 在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ．【答案】（0，）【解析】f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，f （x ）=|x 2﹣2x+21|，若函数y=f （x ）﹣a 在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f （x ）与y=a 的图象如图：由图象可知．【2014•天津理】——难已知函数f （x ）=|x 2+3x|，x ∈R ，若方程f （x ）﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ．【答案】 （0，1）∪（9，+∞）【解析】由y=f （x ）﹣a|x ﹣1|=0得f （x ）=a|x ﹣1|， 作出函数y=f （x ），y=g （x ）=a|x ﹣1|的图象， 当a ≤0，不满足条件； 则a ＞0，此时g （x ）=a|x ﹣1|=，当﹣3＜x ＜0时，f （x ）=﹣x 2﹣3x ，g （x ）=﹣a （x ﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x 2﹣3x=﹣a （x ﹣1），即x 2+（3﹣a ）x+a=0， 则由△=（3﹣a ）2﹣4a=0，即a 2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g （x ）=﹣9（x ﹣1），g （0）=9，此时不成立，∴此时a=1， 要使两个函数有四个零点，则此时0＜a ＜1，若a ＞1，此时g （x ）=﹣a （x ﹣1）与f （x ），有两个交点，此时只需要当x ＞1时，f （x ）=g （x ）有两个不同的零点即可，即x 2+3x=a （x ﹣1），整理得x 2+（3﹣a ）x+a=0， 则由△=（3﹣a ）2﹣4a ＞0，即a 2﹣10a+9＞0，解得a ＜1（舍去）或a ＞9， 综上a 的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），故答案为：（0，1）∪（9，+∞）【2014山东理8】已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A.），（21B.），（121C.），（21D.），（∞+2【答案】 B【解析】画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为12，斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的斜率一致.所以k 的取值范围是），（121.【2014•重庆文】已知函数f （x ）=，且g （x ）=f （x ）﹣mx ﹣m 在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(﹣，﹣2]∪（0，21] B ．（﹣，﹣2]∪（0，21]C ．（﹣，﹣2]∪（0，]D ．（﹣，﹣2]∪（0，]【答案】 A【解析】：由g （x ）=f （x ）﹣mx ﹣m=0，即f （x ）=m （x+1）， 分别作出函数f （x ）和y=g （x ）=m （x+1）的图象如图： 由图象可知f （1）=1，g （x ）表示过定点A （﹣1，0）的直线， 当g （x ）过（1，1）时，m ═21此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是0＜m ≤21， 当g （x ）过（0，﹣2）时，g （0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点， 当g （x ）与f （x ）相切时，两个函数只有一个交点， 此时，即m （x+1）2+3（x+1）﹣1=0， 当m=0时，x=，只有1解，当m ≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f （x ）相切， ∴要使函数有两个零点，则﹣＜m ≤﹣2或0＜m ≤，【2014•湖北】已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣3x ，则函数g （x ）=f （x ）﹣x+3的零点的集合为（ ）A ．{1，3}B ．{﹣3，﹣1，1，3}C ．{2﹣，1，3}D ．{﹣2﹣，1，3}【答案】D【解析】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣3x ，令x ＜0，则﹣x ＞0， ∴f （﹣x ）=x 2+3x=﹣f （x ） ∴f （x ）=﹣x 2﹣3x ， ∴∵g （x ）=f （x ）﹣x+3 ∴g （x ）=令g （x ）=0， 当x ≥0时，x 2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3， 当x ＜0时，﹣x 2﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，∴函数g （x ）=f （x ）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3}【2014•北京6】已知函数f （x ）=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞） 【答案】D【解析】∵f （x ）=﹣log 2x ， ∴f （2）=2＞0，f （4）=﹣21＜0，满足f （2）f （4）＜0， ∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点。

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2025高考数学必刷题 第25讲、函数的零点问题(学生版)

2025高考数学必刷题 第25讲、函数的零点问题(学生版)

第25讲函数的零点问题知识梳理1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴(或直线y k =)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.2、函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将()f x 整理变形成()()()f x g x h x =-的形式，通过()(),g x h x 两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.4、利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.必考题型全归纳题型一：零点问题之一个零点例1．（2024·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测）已知函数()ln f x x =,()21212g x x x =-+.（1）求函数()()()3x g x f x ϕ=-的单调递减区间；（2）设()()()h x af x g x =-，a R ∈.①求证：函数()y h x =存在零点；②设0a <，若函数()y h x =的一个零点为m .问：是否存在a ，使得当()0,x m ∈时，函数()y h x =有且仅有一个零点，且总有()0h x ≥恒成立？如果存在，试确定a 的个数；如果不存在，请说明理由.例2．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知函数()e sin 1x f x a x =--，()()22cos sin 2e xx a g x a x x ++=-+-+，()f x 在()0,π上有且仅有一个零点0x .(1)求a 的取值范围；(2)证明：若12a <<，则()g x 在(),0π-上有且仅有一个零点1x ，且010x x +<.例3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()1ln e xx f x a x -=+.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)证明：当0a ≥时，()f x 有且只有一个零点；(3)若()f x 在区间()()0,1,1,+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围.变式1．（2024·广东茂名·高三统考阶段练习）已知0a >，函数()e xf x x a =-，()ln g x x x a =-.(1)证明：函数()f x ，()g x 都恰有一个零点；(2)设函数()f x 的零点为1x ，()g x 的零点为2x ，证明12x x a =.题型二：零点问题之二个零点例4．（2024·海南海口·统考模拟预测）已知函数2()e x f x x +=.(1)求()f x 的最小值；(2)设2()()(1)(0)F x f x a x a =++>.（ⅰ）证明：()F x 存在两个零点1x ，2x ；（ⅱ）证明：()F x 的两个零点1x ，2x 满足1220x x ++<.例5．（2024·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a =时，2()(1)()1g x x f x x =---，证明：函数()g x 有且仅有两个零点，两个零点互为倒数．例6．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考期中）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++．（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当0a =时，2()(1)()1g x x f x x =---，证明：函数()g x 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()ln x f x e x a =--.（1）若3a =.证明函数()f x 有且仅有两个零点；（2）若函数()f x 存在两个零点12,x x ，证明：121222x x x x e e e a >++-.变式3．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈在其定义域内有两个不同的零点．（1）求a 的取值范围；（2）记两个零点为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式()21ln 1ln 10λ-+->x x 恒成立，求λ的取值范围．变式4．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数()4212f x ax x =-，,()0x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-．(1)若0a >，求证：（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；(2)若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．题型三：零点问题之三个零点例7．（2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数()21ln ln 1ex ax f x x a -=---有三个零点.(1)求a 的取值范围；(2)设函数()f x 的三个零点由小到大依次是123,,x x x .证明：13e e x x a >.例8．（2024·广东深圳·校考二模）已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)①当102a <<时，试证明函数()f x 恰有三个零点；②记①中的三个零点分别为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，试证明22131(1)(1)x x a x >--.例9．（2024·广西柳州·统考三模）已知()3()1ln f x x ax x =-+．（1）若函数()f x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的前提下，设三个零点分别为123,,x x x 且123x x x <<，当132x x +>时，求实数a 的取值范围．变式5．（2024·贵州遵义·遵义市南白中学校考模拟预测）已知函数()32113f x x ax bx =+++（a ，b ∈R ）.（1）若0b =，且()f x 在()0+∞，内有且只有一个零点，求a 的值；（2）若20a b +=，且()f x 有三个不同零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.变式6．（2024·浙江·校联考二模）设e 2a <，已知函数()()()22e 22x f x x a x x =---+有3个不同零点.(1)当0a =时，求函数()f x 的最小值：(2)求实数a 的取值范围；(3)设函数()f x 的三个零点分别为1x 、2x 、3x ，且130x x ⋅<，证明：存在唯一的实数a ，使得1x 、2x 、3x 成等差数列.变式7．（2024·山东临沂·高三统考期中）已知函数ln ()xf x x=和()e x ax g x =有相同的最大值.(1)求a ，并说明函数()()()h x f x g x =-在（1，e ）上有且仅有一个零点；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.题型四：零点问题之max ，min 问题例10．（2024·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数()()2sin cos ,lnπxf x x x x axg x x =++=．(1)当0a =时，求函数()f x 在[]π,π-上的极值；(2)用{}max ,m n 表示,m n 中的最大值，记函数()()(){}max ,(0)h x f x g x x =>，讨论函数()h x 在()0,∞+上的零点个数．例11．（2024·四川南充·统考三模）已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，()ln πxg x x =．(1)当0a =时，求函数()f x 在[,]-ππ上的极值；(2)用max{,}m n 表示m ，n 中的最大值，记函数()max{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点个数．例12．（2024·四川南充·统考三模）已知函数()2e 2x ax x f x x =+-，()ln g x x =其中e 为自然对数的底数.(1)当1a =时，求函数()f x 的极值；(2)用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，记函数()()(){}max ,(0)h x f x g x x =>，当0a ≥时，讨论函数()h x 在()0,∞+上的零点个数.变式8．（2024·广东·高三专题练习）已知函数()ln f x x =-，31()4g x x ax =-+，R a ∈.(1)若函数()g x 存在极值点0x ，且()()10g x g x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=；(2)用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，记函数()min{()h x f x =，()}(0)g x x >，若函数()h x 有且仅有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()e (R)x f x ax a =-∈，()1g x x =-．(1)若直线()y g x =与曲线()y f x =相切，求a 的值；(2)用{}min ,m n 表示m ，n 中的最小值，讨论函数()min{(),()}h x f x g x =的零点个数．变式10．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数()()31,1ln 4f x x axg x x x =++=--.(1)若过点()1,0可作()f x 的两条切线，求a 的值.(2)用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()(){}min ,(01)h x f x g x x =<<，讨论()h x 零点的个数.题型五：零点问题之同构法例13．已知函数1()()2(0)x axf x x ln ax a e -=+-->，若函数()f x 在区间(0,)+∞内存在零点，求实数a 的取值范围例14．已知2()12a f x xlnx x =++．（1）若函数()()cos sin 1g x f x x x x xlnx =+---在(0,]2π上有1个零点，求实数a 的取值范围．（2）若关于x 的方程2()12x a a xe f x x ax -=-+-有两个不同的实数解，求a 的取值范围．例15．已知函数()(1)1x f x ae ln x lna =-++-．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有且仅有两个零点，求a 的取值范围．题型六：零点问题之零点差问题例16．已知关于x 的函数()y f x =，()y g x =与()(h x kx b k =+，)b R ∈在区间D 上恒有()()()f x h x g x ．（1）若2()2f x x x =+，2()2g x x x =-+，(,)D =-∞+∞，求()h x 的表达式；（2）若2()1f x x x =-+，()g x klnx =，()h x kx k =-，(0,)D =+∞，求k 的取值范围；（3）若42()2f x x x =-，2()48g x x =-，342()4()32(0||h x t t x t t t =--+<，[D m =，][n ⊂，，求证：n m-例17．已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++．（1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(,)α-∞，(2,)β单调增加，在(,2)α，(,)β+∞单调减少，证明：6βα->．例18．已知函数221()2x f x ae x ax =--，a R ∈．（1）当1a =时，求函数2()()g x f x x =+的单调区间；（2）当4401a e <<-，时，函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，证明：212x x ->．题型七：零点问题之三角函数例19．（2024·山东·山东省实验中学校考一模）已知函数()()sin ln 1f x a x x =-+．(1)若对(]1,0x ∀∈-时，()0f x ≥，求正实数a 的最大值；(2)证明：221sinln2n k k =<∑；(3)若函数()()1e sin x g x f x a x +=+-的最小值为m ，试判断方程()1eln 10x m x +--+=实数根的个数，并说明理由．例20．（2024·全国·高三专题练习）设函数()πsin2x f x x =-.(1)证明：当[]0,1x ∈时，()0f x ≤；(2)记()()ln g x f x a x =-，若()g x 有且仅有2个零点，求a 的值.例21．（2024·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知1()sin (1)1f x a x x x x =-+>-+，且0为()f x 的一个极值点．(1)求实数a 的值；(2)证明：①函数()f x 在区间(1,)-+∞上存在唯一零点；②22111sin 121n k n k =-<<+∑，其中*N n ∈且2n ≥．变式11．（2024·山东济南·济南市历城第二中学校考二模）已知()sin n f x x =，()ln e x g x x m =+（n 为正整数，m R ∈）．(1)当1n =时，设函数()()212h x x f x =--，()0,πx ∈，证明：()h x 有且仅有1个零点；(2)当2n =时，证明：()()()e 12x f x g x x m '+<+-．题型八：零点问题之取点技巧例22．已知函数()[2(1)]2(x x f x e e a ax e =-++为自然对数的底数，且1)a ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．例23．已知函数2()(1)()x f x xe a x a R =++∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．例24．已知函数211()(()22x f x x e a x =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．变式12．已知函数1()()(1)2x x f x e a e a x =+-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围。

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1(ln )1ln f a a a-=-+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点. （ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点. （iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若1 3x=是函数()f x的一个极值点，求a的值；(2) 当4a=-时，求函数()f x的单调区间；(3) 当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程()f x m=有三个实数根，求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x=,重新构造方程()()g x h x=,再画函数(),()y g x y h x==的图像分析解答.【例4】函数()lg cosf x x x=-的零点有（）A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个【点评】调性不是很方便，所以先令()lg cos0f x x x=-=,可化为lg cosx x=,再在同一直角坐标系下画出lgy x=和cosy x=的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln,1,02f x x m xg x x m x m=-=-+>．（1）求函数()f x的单调区间；（2）当1m≥时，讨论函数()f x与()g x图象的交点个数．422510152025oy=cosxy=lgxyx参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1,)++∞； 【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ；（2）1．【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()()(0,,'x m x m f x x+∞=．当0x m <<()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增，综上，函数()f x 的单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ．（2）令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。

函数零点的题型归纳与解题技巧

函数零点的题型归纳与解题技巧

函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。

在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。

一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。

2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。

3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。

4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。

5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。

6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。

二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。

例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。

2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。

例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。

3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。

例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。

4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。

例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。

5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。

例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。

6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。

7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。

高考数学函数图像与零点常考题型汇总

高考数学函数图像与零点常考题型汇总


真命题是（ ）
A. q1 ， q3 B. q2 ， q3
C. q1 ， q4
D. q2 ， q4
15.（2017 全国Ⅲ）已知函数 f ( x) x2 2x a(ex1 e ) x1 有唯一零点，则
a （ ）
A. 1 2
B. 1
C. 1
D. 1
3
2
题型二、不会画，选择题
16.（2017
全国Ⅲ）函数
1
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点个数为__________. 5.已知函数 y | x | 的图象与函数 y kx 的图象恰有两个交点，则实数 k
x 的取值范围是_____________. 6.函数 y e|ln x| | x | 的图象大致是
7.已知定义在区间 ,上的函数 y f (x) 的图像如图所示，则 y f ( x) 的图
________________.
12.设函数 f (x) | x 1| | x a |的图象关于直线 x 1对称，则 a 的值为
（）
A. 3
B. 1
C. 1
D. 1
3
高考数学函数图像与零点常考题型汇总
13.已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 (,) 上 的 奇 偶 性 , 且 当 x 0 时, f (x) x a x a a ,若 x R , f (x 1) f (x) ,则实数 a 的取
（2）若 f (x) 有两个零点，则 a 的取值范围为_____________.
8. （2014 湖南）已知函数 f (x) x ex （ x ）与 g(x) x ln(x a) 的图象
在存在关于 y 轴对称点，则 a 的取值范围是
7
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