专题含参函数的零点问题

含参函数的零点问题

含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用．

例1已知函数f (x )＝x 2

＋ax (a ∈R)，g (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

f x

， x ≥0，

f ′x ， x <0.

若方程g (f (x ))＝

0有4个不等的实根，则a 的取值范围是________．

例2(1) 若关于x 的方程|x 4

－x 3

|＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为________．

(2) 已知函数f (x )＝x 2

＋|x －a |，g (x )＝(2a －1)x ＋a ln x ，若函数y ＝f (x )与函数y ＝

g (x )的图象恰好有2个不同的交点，则实数a 的取值范围为________．

思维变式题组训练

1. 已知函数f (x )＝⎩⎨

⎧

2x －1， x ≥2，

2， 1≤x <2.

若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解时，则

实数a 的取值范围为________．

2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x －1e

x ， x ≥a ，

－x －1， x

g (x )＝f (x )－b .若存在实数b ，使得函数g (x )

恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________．

3. 已知函数f (x )＝⎝ ⎛

x －1， 1≤x <2，

2f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12x ， x ≥2，如果函数g (x )＝f (x )－k (x －3)恰有2

个不同的零点，那么实数k 的取值范围是________.

4. 已知k 为常数，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2x ＋1

， x ≤0，

|ln x |， x >0，

若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有

且只有4个不同解，则实数k 的取值构成的取值集合为________．

强化训练

1. 若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为________．

2. 若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 有解，则实数k 的取值范围是________．

3. 已知直线y ＝mx (m ∈R)与函数f (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

， x ≤0，12x 2

＋1， x >0

的图

象恰有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．

4. 已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．

5. 已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝－x 2＋2x ，若函数g (x )＝f (x )－a |x －1|在区间[0,4]上有4个零点，则实数a 的取值范围是________．

6. 已知关于x 的方程x 2＋2a log 2(x 2＋2)＋a 2－3＝0有唯一解，则实数a 的值为________．

7. 若函数y ＝ln x ＋x 2的图象与函数y ＝3x －b 的图象有3个不同的交点，则实数b 的取值范围是________．

8. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

x 2

－4， x ≤0，

e x

－5， x >0，

若关于x 的方程|f (x )|－ax －5＝

0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为________．

9. 已知函数f (x )＝⎩⎨

⎧

k x －1， x ≤0，

ln x ， x >0，

若关于x 的方程f (f (x ))＝0

有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为________．

10. 设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数．当x ∈(0,2]时，f (x )＝1－

x －1

2

，g (x )

＝⎩⎨⎧

k x ＋2，0

2， 1

其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f (x )

＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________.